精品解析：山西省吕梁市兴县2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

2024—2025学年第二学期八年级教学质量检测（一） 数学 注意事项： 1、本试卷共6页，满分120分，考试时间90分钟． 2、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3、答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. B. 0.3，0.4，0.5 C. D. 3，4，5 2. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 4. 在中，，，，下列不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. “数形结合”就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来进行研究的数学思想．如图，在数轴上以O为圆心，长为半径画弧交数轴于点A，即，则数轴上点A所表示的数是（ ） A. B. C. 2 D. 7. 已知，则的值为（ ） A. 24 B. C. 18 D. 6 8. 消防车上的云梯示意图如图①所示，云梯最多只能伸长到，消防车高．如图②，消防员借助云梯对位于高的点A处的老人实施救援时消防车上的云梯伸长至最长，在完成A处的救援后发现在A处上方的B处有一个老人未及时撤离，为了能成功地救出B处的老人，则消防车需要从C处向着火的楼房靠近的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点均在小正方形方格的顶点上，线段交于点，若，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 如果并且表示当时的值，即，表示当时的值，即，那么的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 小红说:“因为=2,所以不是二次根式.”你认为小红的说法对吗？__（填对或错）． 12. 一个正方形的面积扩大为原来的100倍，则其边长扩大为原来的_____________倍． 13. 一个三角形的三边长的比为，且其周长为，则其面积为_____． 14. 如图，在中，，点D为上一点，连接，，则_____． 15. 在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题，大致意思为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的距离为1尺，将它往前水平推送10尺，即尺，此时秋千踏板离地的距离与身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，设绳索长为尺，则可列方程为___________． 16. 如果三角形一条边上的中线恰好等于这条边的长，那么我们称这个三角形为“匀称三角形”．在中，，若是“匀称三角形”，那么_______． 三．解答题（本大题含7个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2） 18. 我们都学过下图中王之涣的《登鹳雀楼》，其中“欲穷千里目，更上一层楼”说的是登得高看得远．若观测点的高度为，则观测者能看到的最远距离（其中）已知小明站在鹳雀楼下，此时． （1）小明能看到距离鹳雀楼处的黄河吗？说明理由； （2）当小明站在鹳雀楼上时，此时，求的长． 19. 校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在的一侧选点，恰好使米，米；③测得米．请根据他们的操作过程，求出两点间的距离． 20. 如图，在笔直的高速公路旁边有A，B两个村庄，A村庄到公路的距离村庄到公路的距离，现要在之间建一个服务区E，使得A，B两村庄到服务区E的距离相等． （1）若，试说明：； （2）若C，D两点间的距离为，求C，E两点间的距离． 21. 【方法总结】如何比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方．，则． 请利用“平方法”解决下面问题： （1）比较大小，c______d（填写“>”“<”或“=”）． （2）猜想之间的大小，并说明理由． 【拓展延伸】当然除了“平方法”外，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．例如， 比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，．，． （3）根据材料，请选择合适的方法比较与的大小，写出具体比较过程． 22. 阅读下列材料，并按要求完成相应任务． 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国古代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今，在这幅“弦图”中，以c为边长的正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，每个直角三角形的面积为，中间的小正方形的边长为，则其面积为．由面积关系可． 任务一：（1）请利用图②中的数据验证勾股定理． （2）如图③④⑤．以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有_______个． 任务二：（3）如图⑥所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，直角三角形的面积为，请判断的关系，并说明理由． 23. 阅读与思考：阅读下列材料，完成相应的任务： 欧几里德数 一般地，给定单位长度，一个数如果可以借助图形构造出来，我们就称这个数为欧几里德数．例如，如图所示的方格图中，设每个小正方形的边长为单位．借助方格图，可以构造出线段，，分别表示正整数，，；也可以构造出线段表示正分数．事实上，所有的正有理数都是欧几里德数． 任务：如图，图，图所示的方格图中，每个小正方形的边长均为单位长度． （1）请在图中用两种方法构造线段表示正整数（该线段的端点均为格点）； （2）小彬由材料中的结论出发展开联想，经过探究，发现正无理数，也是欧几里德数，可分别用图中两个三角形的边，表示． 其思考与作图方法如下： ，取网格中，且，连接，则． ，取网格中线段，，以点为圆心，长为半径作弧交网格线于点P，连接，且，则． 在图中借助网格和尺规，用两种方法构造三角形，使三角形的一边表示欧几里德数（保留作图痕迹，不写作法）． 在图中借助网格和尺规，用一种方法构造三角形，使三角形的一边表示欧几里德数（保留作图痕迹，不写作法）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第二学期八年级教学质量检测（一） 数学 注意事项： 1、本试卷共6页，满分120分，考试时间90分钟． 2、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3、答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. B. 0.3，0.4，0.5 C. D. 3，4，5 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数的判断，满足，且a，b，c都是正整数的三个数是勾股数． 先根据勾股数是三个正整数组成的数组，判断A、B、C，不符合题意，根据，判断D符合题意． 【详解】因为A、B、C选项不是正整数，所以不符合题意； 因为，，可知，所以能组成一组勾股数，则D符合题意． 故选：D． 2. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，根据被开方数不含能开方开的尽的因式或因数，不含分母，这样的二次根式是最简二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选C． 3. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了逆命题、命题真假的判定、不等式的性质、绝对值等知识点，分别写出逆命题，然后根据相关知识判断命题的真假即可． 【详解】解：A．逆命题为：如果，那么，是假命题，不符合题意； B．逆命题为：如果，那么，是真命题，符合题意； C．逆命题为：如果，那么，是假命题，不符合题意； D．逆命题为：如果,那么，是假命题，不符合题意． 故选：B． 4. 在中，，，，下列不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和分别判断即可． 【详解】A、由，可得， ∴． 此选项能判定是直角三角形，但不符合题意． B、 由整理得：， 则为直角三角形，故选项B不符合题意． C、由， 结合三角形内角和为可推得，，， 此选项不能判定是直角三角形，但符合题意． D、当时， 可设， 则， 则为直角三角形，此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，涉及了勾股定理的逆定理，会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状是解答本题的关键． 5. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘法、二次根式的加减法运算法则分别化简，进而判断即可． 【详解】A．，故原式计算错误； B．与不是同类项，无法合并，故原式计算错误； C．，故原式计算正确； D．，故原式计算错误； 故选：C 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 6. “数形结合”就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来进行研究的数学思想．如图，在数轴上以O为圆心，长为半径画弧交数轴于点A，即，则数轴上点A所表示的数是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理求得即可求解． 【详解】解：根据数轴，， ∴， 则数轴上点A所表示的数是， 故选：D． 【点睛】本题考查实数与数轴、勾股定理，理解实数与数轴上的点一一对应是解答的关键． 7. 已知，则的值为（ ） A. 24 B. C. 18 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查代数式求值．熟练掌握运用完全平方公式变形进行有关计算，是解题的关键． 先算出，，再结合完全平方公式代入求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴原式． 故选：A． 8. 消防车上的云梯示意图如图①所示，云梯最多只能伸长到，消防车高．如图②，消防员借助云梯对位于高的点A处的老人实施救援时消防车上的云梯伸长至最长，在完成A处的救援后发现在A处上方的B处有一个老人未及时撤离，为了能成功地救出B处的老人，则消防车需要从C处向着火的楼房靠近的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理求解是解题的关键． 由题意得，，，长即为消防车的高，，则，，先在求出，再在中求出． 【详解】解：由题意得，，，长即为消防车的高，， ∴，， ∴在中，， 在中，， ∴， 故选：A． 9. 如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点均在小正方形方格的顶点上，线段交于点，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形外角的性质及平行线的性质可进行求解． 【详解】解：如图， 由图可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 10. 如果并且表示当时的值，即，表示当时的值，即，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了与实数运算相关的规律．先根据题意得到，，进而推出，则，再根据即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 又； ∴． 故选：D． 二、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 小红说:“因为=2,所以不是二次根式.”你认为小红的说法对吗？__（填对或错）． 【答案】错 【解析】 【分析】根据二次根式的定义解答即可． 【详解】∵中被开放数4>0且含有“”， ∴是二次根式． ∴小红的说法错误． 故答案为错． 【点睛】本题主要考查的是二次根式的定义，一般地，形如(a≥0)的式子叫做二次根式；熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 12. 一个正方形的面积扩大为原来的100倍，则其边长扩大为原来的_____________倍． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，求边长扩大为原来的多少倍，实际上是求扩大面积的算术平方根，即求100的算术平方根． 【详解】解：设一个正方形的面积为，面积扩大为原来的100倍后为， ． 故答案为：10． 13. 一个三角形的三边长的比为，且其周长为，则其面积为_____． 【答案】##150平方厘米 【解析】 【分析】先设三角形的三边长分别为，，，再由其周长为求出的值，根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，由其面积公式即可得出结论． 【详解】解：三角形的三边长的比为， 设三角形的三边长分别为，，． 其周长为， ，解得， 三角形的三边长分别是15，20，25． ， 此三角形是直角三角形， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 14. 如图，在中，，点D为上一点，连接，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】先利用勾股定理得逆定理推出，则，设，则，则中利用勾股定理得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理得逆定理，证明是解题的关键． 15. 在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题，大致意思为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的距离为1尺，将它往前水平推送10尺，即尺，此时秋千踏板离地的距离与身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，设绳索长为尺，则可列方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，根据题意正确列出方程是解题的关键． 根据题意列方程得，即可得到答案． 【详解】解：根据题意列方程得， 故答案为：． 16. 如果三角形一条边上的中线恰好等于这条边的长，那么我们称这个三角形为“匀称三角形”．在中，，若是“匀称三角形”，那么_______． 【答案】 【解析】 【分析】作的三条中线AD，BE，CF，由题中定义得当BE为的中线时，为“匀称三角形”，设AC=2a，则CE=a，BE=2a，在中，根据勾股定理得，在中，根据勾股定理得，即可得． 【详解】解：如图所示，作的三条中线AD，BE，CF， ∵， ∴， 即CF不能为匀称三角形中线， 在中，， 即AD不能成为“匀称三角形”的中线， ∴当BE为的中线时，为“匀称三角形”， 设AC=2a，则CE=a，BE=2a， 在中，根据勾股定理得， ， 在中，根据勾股定理得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义，勾股定理，解题的关键是理解新定义． 三．解答题（本大题含7个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）先进行乘法，化简二次根式，去绝对值运算，再合并同类二次根式即可； （2）先进行乘法公式的计算，再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式． 18. 我们都学过下图中王之涣的《登鹳雀楼》，其中“欲穷千里目，更上一层楼”说的是登得高看得远．若观测点的高度为，则观测者能看到的最远距离（其中）已知小明站在鹳雀楼下，此时． （1）小明能看到距离鹳雀楼处的黄河吗？说明理由； （2）当小明站在鹳雀楼上时，此时，求的长． 【答案】（1） 能，理由： ∵， ∴小明在鹳雀楼下时能看到距离鹳雀楼处的黄河； （2） 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的实际应用、代数式求值，理解题意是解答的关键． （1）将代入求得值，再比较大小即可求解； （2）将代入求得值，进而作差求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意，， ∴， 答：的长为． 19. 校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在的一侧选点，恰好使米，米；③测得米．请根据他们的操作过程，求出两点间的距离． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理，正确得出三角形是直角三角形是解题的关键．先判定三角形为直角三角形，推出三角形为直角三角形，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：米，米，米， ， 是直角三角形，且， ， 米， 在中，由勾股定理得， 米， ，两点间的距离为米． 20. 如图，在笔直的高速公路旁边有A，B两个村庄，A村庄到公路的距离村庄到公路的距离，现要在之间建一个服务区E，使得A，B两村庄到服务区E的距离相等． （1）若，试说明：； （2）若C，D两点间的距离为，求C，E两点间的距离． 【答案】（1） 证明：∵ ∴ 又∵ ∴ 在在中： ∴ （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，以及勾股定理的应用，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． （1）先根据余角的性质证明，然后根据可证； （2）设，则，根据，利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则 在中，，即：， 在中，，即 ， 又∵， ∴ 解得 即C，E两点间的距离. . 21. 【方法总结】如何比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方．，则． 请利用“平方法”解决下面问题： （1）比较大小，c______d（填写“>”“<”或“=”）． （2）猜想之间的大小，并说明理由． 【拓展延伸】当然除了“平方法”外，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．例如， 比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，．，． （3）根据材料，请选择合适的方法比较与的大小，写出具体比较过程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了平方法、分母有理化、倒数比较实数的大小，解题的关键是求出． （1）模仿题干中的“平方法”比较大小即可； （2）模仿题干中的“平方法”比较大小即可； （3）可利用分子有理数比较大小即可． 【详解】解：（1）， ； （2）， ， ； （3），又 ， ． 22. 阅读下列材料，并按要求完成相应任务． 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国古代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今，在这幅“弦图”中，以c为边长的正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，每个直角三角形的面积为，中间的小正方形的边长为，则其面积为．由面积关系可． 任务一：（1）请利用图②中的数据验证勾股定理． （2）如图③④⑤．以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有_______个． 任务二：（3）如图⑥所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，直角三角形的面积为，请判断的关系，并说明理由． 【答案】 （1）证明：由图可知：大正方形的面积， ∴， ∴， （2）； （3），理由如下： 由图可知：， ， ∵ ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的证明，勾股定理与图形的面积，等边三角形的性质： （1）用两种方法表示出大正方形的面积，即可得证； （2）设直角三角形的两条直角边分别为，斜边为，分别求出，利用勾股定理进行判断即可； （3）用两种方法表示出整个图形的面积，结合勾股定理即可得出结论． 【详解】解：（1）略 （2）设直角三角形的两条直角边分别为，斜边为，则：； 对于③：， ∴； 对于④：， ∴ 对于⑤：如图，过点作，则：， ∴， ∴， 同理：， ∴； 故面积关系满足的有3个； （3）略 23. 阅读与思考：阅读下列材料，完成相应的任务： 欧几里德数 一般地，给定单位长度，一个数如果可以借助图形构造出来，我们就称这个数为欧几里德数．例如，如图所示的方格图中，设每个小正方形的边长为单位．借助方格图，可以构造出线段，，分别表示正整数，，；也可以构造出线段表示正分数．事实上，所有的正有理数都是欧几里德数． 任务：如图，图，图所示的方格图中，每个小正方形的边长均为单位长度． （1）请在图中用两种方法构造线段表示正整数（该线段的端点均为格点）； （2）小彬由材料中的结论出发展开联想，经过探究，发现正无理数，也是欧几里德数，可分别用图中两个三角形的边，表示． 其思考与作图方法如下： ，取网格中，且，连接，则． ，取网格中线段，，以点为圆心，长为半径作弧交网格线于点P，连接，且，则． 在图中借助网格和尺规，用两种方法构造三角形，使三角形的一边表示欧几里德数（保留作图痕迹，不写作法）． 在图中借助网格和尺规，用一种方法构造三角形，使三角形的一边表示欧几里德数（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1） 如图， ，即为所求； （2） 如图， ，即为所求； 如图， ，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了作图应用与设计作图，网格与勾股定理，无理数与勾股定理，解题的关键是学会利用勾股定理以及数形结合的思想解决问题． （）利用数形结合的思想解决问题即可； （）利用勾股定理，数形结合的思想解决问题即可； 利用勾股定理，数形结合的思想解决问题即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $