专题5 全等三角形模型 倍长中线法 2024-2025学年北师大版七年级数学下册

专题5 倍长中线法 遇到“中点”字眼，现在的你能想到哪些知识点呢？中线能够想到最直接的结论应该是线段相等，由线段相等可以推导得到两个三角形的面积相等。 如图，线段AD为△ABC的中线，由此我们可以得到：BD=CD，S△ABD=S△ADC。那么，如果已知三角形中两条线段的长度要求中线AD的取值范围，你会求吗？即在△ABC中，AB=10，AC=8，求线段AD的取值范围。要求线段AD 取值范围，我们需要添加辅助线，构造全等三角形，如何构造辅助线呢？这就是本节需要重点讲的内容——倍长中线法。 在讲倍长中线法之前，我们先介绍一个关于中点+平行线得到全等三角形的模型，这个模型比较基础，在初二学习平行四边形时能经常遇到。 如图，AB∥CD，连接AD，过AD的中点O的直线交AB于点B，交CD于点C，求证：△AOB≌△DOC 证明：∵AB∥CD ∴∠A=∠D ∵点O为线段AD的中点， ∴OA=OD 在△AOB和△DOC中 ∴△AOB≌△DOC（ASA） 一、倍长中线法 中线指的是三角形的顶点到对边中点所连线段，倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。 在△ABC中，AD是中线，添加辅助线的方法：延长AD到点E，使得AD=DE，连接DE 证明：∵AD是中线 ∴BD=CD 在△ADC和△EDB中 ∴△ADC≌△EDB（SAS） 由此，构造出了全等三角形，也可以连接CE，证明△ADB≌△EDC，我们也可以解决一开始提出的问题。 例题1：△ABC中，AB=10，AC=8，求中线AM的取值范围. 解：如图所示，延长AM至点D，使得AM=DM，连接BD ∵AM是△ABC的中线 ∴BM=CM ( 小结：求 AM的取值范围，利用三角形三边之间的关系。中线倍长法的具体应用：延长AM至D，使DM=AM，连接BD；利用SAS证明三角形全等。从而得到线段AD的取值范围，线段AM是线段AD的一半，进而求得AM的范围 )在△MBD和△MCA中 ∴△MBD≌△MCA （SAS） ∴BD=AC=8 在△ABM中，AB-BD＜AD＜AB+BD,即10-8＜AD＜10+8 ∴2＜AD＜18，则1＜AM＜9 例题2：△ABC中，AM是△ABC的中线，求证：AB+AC＞2AM 解：如图所示，延长AM至点D，使得AM=DM，连接BD ∵AM是△ABC的中线 ∴BM=CM 在△MBD和△MCA中 ∴△MBD≌△MCA （SAS） ∴BD=AC 在△ABD中，AB+BD＞AD 即AB+AC＞2AM 口诀：图形有中线，倍长延中线，连接另一端，全等尽呈现。 二、类倍长中线法 类中线，即与中点有关的线段，三角形一边任一点与另一边中点所连线段，添加辅助线的方法与倍长中线法一样，将类中线延长一倍，构造全等三角形。 在△ABC中，AD是中线，点M是线段AB上任意一点，添加辅助线的方法：延长MD到点N，使得DN=MD，连接CN 证明：∵AD是中线 ∴BD=CD 在△BDM和△CDN中 ∴△BDM≌△CDN（SAS） 本模型出来可以这样添加辅助线，还可以借助我们一开始讲的中点+平行线模型构造全等三角形，添加辅助线的方法：过点C作CN∥AB，连接MD并延长交CN于点N 证明：∵AD是中线 ∴BD=CD ∵CN∥AB ∴∠B=∠NCD 在△BDM和△CDN中 ∴△BDM≌△CDN（ASA） 例题3：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE 解：法一：过点D作DM∥AC交BC于M ∵DM∥AC ∴∠DMB=∠ACB，∠FDM=∠E ∵AB=AC ∴∠B=∠ACB ∴∠B=∠DMB ∴BD=MD 在△DMF和△ECF中 ∴△DMF≌△ECF（AAS） ∴DM=CE 又∵BD=DM ∴BD=CE 法二：过点E作EG∥AB交BC的延长线于点G ∵EG∥AB ∴∠B=∠G ∵AB=AC ∴∠B=∠ACB 又∵∠ACB=∠ECG ∴∠G=∠ECG ( 小结：这道题目不是直接利用倍长中线法，已经告诉我们 DF=EF，所以应该是去构造全等三角形，利用作平行线来构造。 )∴EC=EG 在△BDF和△GEF中 ∴△BDF≌△GEF（AAS） ∴EG=BD 又∵EC=EG ∴BD=CE 三、间接倍长中线法 除了上述两种方法外，还有一种间接倍长中线法。在△ABC中，AD是中线，添加辅助线的方法：延长AD，过点B作BE⊥AD交AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD于点F 证明：∵AD是中线 ∴BD=CD ∵BE⊥AD，CF⊥AD ∴∠E=∠CFD=90° 在△BED和△CFD中 ∴△BED≌△CFD（AAS） 【巩固练习】 1、如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线． （1）按要求作图：延长AD到点E，使DE=AD；连接BE． （2）求证：△ACD≌△EBD． （3）求证：AB+AC >2AD． （4）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围． 2、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．求证：AB=AC． 3、如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB=AC． 求证：（1）CE=2CD； （2）CB平分∠DCE． 4、如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD上一点，BE=AC，BE的延长线交AC于点F． 求证：∠AEF=∠EAF． 5、如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，BG=CF．求证：AD为△ABC的角平分线． 6、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，点F是CD的中点，且AF⊥AB，已知AD=2.7，AE=BE=5，求CE的长． 7、如图，在正方形ABCD中，CD=BC，∠DCB=90°，点E在CB的延长线上，过点E作EF⊥BE，且EF=BE．连接BF，FD，取FD的中点G，连接EG，CG．求证：EG=CG且EG⊥CG． 8、阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 在△ABC中，AB＝9，AC＝5，BC边上的中线AD的取值范围． （1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长AD到Q使得BQ＝AD； ②再连接BQ，把AB、AC、2AD集中在△ABQ中； ③利用三角形的三边关系可得4＜AQ＜14，则AD的取值范围是　　． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中 （2）请写出图1中AC与BQ的位置关系并证明； （3）思考：已知，如图2，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠FAC＝90°，试探究线段AD与EF的数量和位置关系，并加以证明． 9、自主学习，学以致用 先阅读，再回答问题：如图1，已知△ABC中，AD为中线．延长AD至E，使DE＝AD．在△ABD和△ECD中，AD＝DE，∠ADB＝∠EDC，BD＝CD，所以，△ABD≌△ECD（SAS），进一步可得到AB＝CE，AB∥CE等结论． 在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题． 解决问题：如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，F为AD上一点，且BF＝AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE＝EF． 10.【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是　　． A．SSS B．SAS C．AAS D．HL （2）求得AD的取值范围是　． A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3） 如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF． 求证：AC＝BF． 参考答案 1. 解：（1）如图， （2）证明：如图， ∵AD为BC边上的中线 ∴BD=CD 在△BDE和△CDA中 ∴△BDE≌△CDA（SAS） （3）证明：如图， ∵△BDE≌△CDA ∴BE=AC ∵DE=AD ∴AE=2 AD 在△ABE中，AB+BE>AE ∴AB+AC>2AD （4）在△ABE中， ABBE<AE<AB+BE 由（3）得 AE=2AD，BE=AC ∵AC=3，AB=5 ∴53<AE<5+3 ∴2<2AD<8 ∴1<AD<4 2. 证明：如图，延长AD到E，使DE=AD，连接BE 在△ADC和△EDB中 ∴△ADC≌△EDB（SAS） ∴AC=EB，∠2=∠E ∵AD平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB=BE ∴AB=AC 3. 证明：如图，延长CD到F，使DF=CD，连接BF ∴CF=2CD ∵CD是△ABC的中线 ∴BD=AD 在△BDF和△ADC中 ∴△BDF≌△ADC（SAS） ∴BF=AC，∠1=∠F ∵CB是△AEC的中线 ∴BE=AB ∵AC=AB ∴BE=BF ∵∠1=∠F ∴BF∥AC ∴∠1+∠2+∠5+∠6=180° 又∵AC=AB ∴∠1+∠2=∠5 又∵∠4+∠5=180° ∴∠4=∠5+∠6 即∠CBE=∠CBF 在△CBE和△CBF中 ∴△CBE≌△CBF（SAS） ∴CE=CF，∠2=∠3 ∴CE=2CD CB平分∠DCE 4. 证明：如图，延长AD到M，使DM=AD，连接BM ∵D是BC边的中点 ∴BD=CD 在△ADC和△MDB中 ∴△ADC≌△MDB（SAS） ∴∠1=∠M，AC=MB ∵BE=AC ∴BE=MB ∴∠M=∠3 ∴∠1=∠3 ∵∠3=∠2 ∴∠1=∠2 即∠AEF=∠EAF 5. 证明：如图，延长FE到M，使EM=EF，连接BM ∵点E是BC的中点 ∴BE=CE 在△CFE和△BME中 ∴△CFE≌△BME（SAS） ∴CF=BM，∠F=∠M ∵BG=CF ∴BG=BM ∴∠1=∠M ∴∠1=∠F ∵AD∥EF ∴∠3=∠F，∠1=∠2 ∴∠2=∠3 即AD为△ABC的角平分线 6. 解：如图，延长AF交BC的延长线于点G ∵AD∥BC ∴∠3=∠G ∵点F是CD的中点 ∴DF=CF 在△ADF和△GCF中 ∴△ADF≌△GCF（AAS） ∴AD=CG ∵AD=2.7 ∴CG=2.7 ∵AE=BE ∴∠1=∠B ∵AB⊥AF ∴∠1+∠2=90° ∠B+∠G=90° ∴∠2=∠G ∴EG=AE=5 ∴CE=EGCG =52.7 =2.3 7. 证明：如图，延长EG交CD的延长线于点M 由题意，∠FEB=90°，∠DCB=90° ∴∠DCB+∠FEB=180° ∴EF∥CD ∴∠FEG=∠M ∵点G为FD的中点 ∴FG=DG 在△FGE和△DGM中 ∴△FGE≌△DGM（AAS） ∴EF=MD，EG=MG ∵△FEB是等腰直角三角形 ∴EF=EB ∴BE=MD 在正方形ABCD中，BC=CD ∴BE+BC=MD+CD 即EC=MC ∴△ECM是等腰直角三角形 ∵EG=MG ∴EG⊥CG，∠3=∠4=45° ∴∠2=∠3=45° ∴EG=CG 8. 解：（1）延长AD到Q使得BQ=AD，连接BQ， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD，在△QDB和△ADC中， ∴△QDB≌△ADC（SAS）， ∴BQ=AC=5， 在△ABQ中，AB-BQ＜AQ＜AB+BQ， ∴4＜AQ＜14， ∴2＜AD＜7， （2）AC∥BQ， 理由：由（1）知，△QDB≌△ADC， ∴∠BQD=∠CAD， ∴AC∥BQ； （3）EF=2AD，AD⊥EF， 理由：如图2，延长AD到Q使得BQ=AD，连接BQ， 由（1）知，△BDQ≌△CDA（SAS）， ∴∠DBQ=∠ACD，BQ=AC， ∵AC=AF， ∴BQ=AF， 在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°， ∴∠BAC+∠ABC+∠DBQ=180°， ∴∠BAC+ABQ=180°， ∵∠BAE=∠FAC=90°， ∴∠BAC+∠EAF=180°， ∴∠ABQ=∠EAF， 在△ABQ和△EAF中， ∴△ABQ≌△EAF， ∴AQ=EF，∠BAQ=∠AEF， 延长DA交EF于P， ∵∠BAE=90°， ∴∠BAQ+∠EAP=90°， ∴∠AEF+∠EAP=90°， ∴∠APE=90°， ∴AD⊥EF， ∵AD=DQ， ∴AQ=2AD， ∵AQ=EF， ∴EF=2AD，即：EF=2AD，AD⊥EF． 9. 证明：延长AD到G，使DF=DG，连接CG， ∵AD是中线， ∴BD=DC， 在△BDF和△CDG中 ∴△BDF≌△CDG， ∴BF=CG，∠BFD=∠G， ∵∠AFE=∠BFD， ∴∠AFE=∠G， ∵BF=CG，BF=AC， ∴CG=AC， ∴∠G=∠CAF， ∴∠AFE=∠CAF， ∴AE=EF． 10.（1）解：∵在△ADC和△EDB中 ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， 故选B； （2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB， ∴BE＝AC＝6，AE＝2AD， ∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6， ∴1＜AD＜7， 故选C． （3）证明： 延长AD到M，使AD＝DM，连接BM， ∵AD是△ABC中线， ∴CD＝BD， ∵在△ADC和△MDB中 ∴△ADC≌△MDB， ∴BM＝AC，∠CAD＝∠M， ∵AE＝EF， ∴∠CAD＝∠AFE， ∵∠AFE＝∠BFD， ∴∠BFD＝∠CAD＝∠M， ∴BF＝BM＝AC， 即AC＝BF． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$