专题4 全等三角形模型 一线三等角模型 2024-2025学年北师大版七年级数学下册

专题4 一线三等角模型 在全等三角形中有许多模型，这些模型是数学重要知识点的总结与运用，很多数学几何题中都有模型的影子，掌握好这些模型，对学习数学大有益处。那么，什么是一线三等角模型呢？一线三等角指的是三个相等的角的顶点在同一条直线上，当然这个模型也有各种变形模型。我们从最基本的三垂直模型图看起： 如图（1），△ABE与△BDC为直角三角形，∠ABC=90°，且满足AB=BC，那么可证△ABE≌△BCD。 ( ∠ AED= ∠ ABC= ∠ D=90 ° AB=BC )∵∠ABC=∠AEB=90° ∴∠1+∠2=90°，∠1+∠A=90° ∴∠2=∠A 在△ABE与△BCD中 ∴△ABE≌△BCD（AAS） 如图（2），△ABE与△BDC为直角三角形，∠AFB=90°，且满足AE=BD，那么可证△ABE≌△BCD。 ∵∠ABC=∠AFB=90° ( ∠ ABC= ∠ BCD= ∠ AFB=90 ° AE=BD )∴∠1+∠2=90°，∠1+∠A=90° ∴∠2=∠A 在△ABE与△BCD中 ∴△ABE≌△BCD（AAS） 如图（3），△ABE与△BDC为直角三角形，∠AED=90°，且满足AE=DE，那么可证△ABE≌△BCD。 ∵∠ABC=∠AED=90° ( ∠ AED= ∠ ABC= ∠ D=90 ° AB=BC )∴∠1+∠2=90°，∠1+∠A=90° ∴∠2=∠A 在△ABE与△BCD中 ∴△ABE≌△BCD（AAS） 将该模型稍作变形，需要知道的是，该模型的本质是满足三个角等于90°，两条边相等： 即只要满足∠AOB=90°，且OA=OB，那么我们可以自己构造出K型图，而满足这两个条件的几何图形有等腰直角三角形和正方形，因此我们看到这两种图形就可以想一下能不能使用K型图构造全等三角形解题。 并且无论PQ这条直线怎么旋转，都可以构造出K型图，只需要过点A、B分别做直线PQ的垂线即可。 将该图继续变形，这个相等的角不一定要是直角，也可以是锐角，也可以是钝角，其实只要满足这三个角都相等即可构造出一线三等角模型。 如图，在△ABC 中，AB=AC，D，A，E 三点都在一条直线上，且∠BDA=∠AEC=∠BAC，求证：△ADB≌△CEA 解：∵∠BDA=∠AEC=∠BAC， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE， ∴∠DBA=∠CAE， 在△ADB 和△CEA 中， ∴△ADB≌△CEA（AAS） 【典型例题】 1、如图，AE⊥AB，且 AE=AB，BC⊥CD，且 BC=CD，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S 是（ ） A．30 B．50 C．60 D．80 2、如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，若 AD=3，BE=1，则 DE=（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3、如图，在△ABC 中，AB=AC，D，A，E 三点都在一条直线上，且∠BDA=∠AEC=∠BAC，BD=3，CE=6，则 DE 的长为 ． 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 4、如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE，垂足分别为 E，D，AD=25，DE=17，则 BE= ． 5、（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图（1），已知：在△ABC 中，∠ BAC=90°，AB=AC，直线 l 经过点 A，BD⊥直线 l，CE⊥直线 l，垂足分别为点 D、E．证明：DE=BD+CE． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC 中， AB=AC，D、A、E 三点都在直线 m 上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论 DE=BD+CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图（3），过△ABC 的边 AB、AC 向外作正方形 ABDE 和正方形 ACFG，AH 是 BC 边上的高，延长 HA 交 EG 于点 I，求证：I 是 EG 的中点． （4）拓展与应用：如图，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状． 6、如图，CD 是经过∠BCA 顶点 C 的一条直线，CA=CB．E，F 分别是直线 CD 上两点，且∠BEC=∠CFA=∠a． 若直线 CD 经过∠BCA 的内部，且 E，F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题： ①如图 l，若∠BCA=90°，∠a=90°，则 BE CF；EF |BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“=”）； ②如图（2），若 0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA 关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立． 如图，若直线 CD 经过∠BCA 的外部，∠α=∠BCA，请提出 EF，BE，AF 三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）． 【巩固练习】 1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．点P从点A出发，沿折线AC-CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线 BC-CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F，设运动时间为t秒，要使以点P，E，C为顶点的三角形与以点Q，F，C为顶点的三角形全等，则t的值为________． 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2.如图， Rt△ABC中，∠C=90°,，，一条线段PQ=AB，P，Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AM上运动. 当△ABC和△APQ全等时,点Q到点A的距离为___________ . 3.如图，直线l1∥l2∥l3，等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB＝90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则△ABC的面积为 . 4.在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，如图，则∠EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是 . 5.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．求证：AE=CD． 6.如图，已知中，，是的中点，，垂足为．，交的延长线于点．求证：． 7.如图，中，，，是上任意一点，交延长线于，于．求证：． 8.已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于点D，点E在AC上，CE=BC，过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点F. 求证：AB=FC. 9.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB = AC，MN是经过点A的直线，BD⊥MN于D，CE⊥MN于E． （1）求证：BD = AE． （2）若将MN绕点A旋转，使MN与BC相交于点G (如图2)，其他条件不变，求证：BD = AE． （3）在(2)的情况下，若CE的延长线过AB的中点F（如图3），连接GF，求证：∠AFE=∠BFG． 10.如图①所示,已知A. B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点,连接AC、BC，分别以AC、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD1⊥l于点D1，过点E作EE1⊥l于点E1. (1)如图②，当点E恰好在直线l上时(此时E1与E重合)，试说明DD1=AB； (2)在图①中，当D. E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，并说明理由； (3)如图③，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系.(不需要证明) 11.通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： （1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝　 　，BC＝AE．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； （2）如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点； （深入探究） （3）如图，已知四边形ABCD和DEGF为正方形，△AFD的面积为S1，△DCE的面积为S2，则有S1　 　S2（填“＞、＝、＜”） 12.如图，在△ABC中，∠ACB=90，AC=6，BC=8．点P从点A出发，沿折线AC--CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线BC-CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设点P的运动时间为t（秒）： （1）当P、Q两点相遇时，求t的值； （2）在整个运动过程中，求CP的长（用含t的代数式表示）； （3）当△PEC与△QFC全等时，直接写出所有满足条件的CQ的长． 参考答案 【典型例题】 1.解：∵∠EAF+∠BAG=90°，∠EAF+∠AEF=90°， ∴∠BAG=∠AEF， ∵在△AEF和△BAG中， ∴△AEF≌△BAG，（AAS） 同理△BCG≌△CDH， ∴AF=BG，AG=EF，GC=DH，BG=CH， ∵梯形DEFH的面积=（EF+DH）•FH=80， S△AEF=S△ABG=AF•AE=9， S△BCG=S△CDH=CH•DH=6， ∴图中实线所围成的图形的面积S=80-2×9-2×6=50， 2.解：AD⊥CE，BE⊥CE， ∴∠ADC=∠BEC=90°． ∵∠BCE+∠CBE=90°，∠BCE+∠CAD=90°，∠DCA=∠CBE， 在△ACD和△CBE中， ∴△ACD≌△CBE（AAS）， ∴CE=AD=3，CD=BE=1， ∴DE=CE-CD=3-1=2， 3.解：∵∠BDA=∠AEC=∠BAC， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE， ∴∠DBA=∠CAE， ∵在△ADB和△CEA中， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴BD=AE，AD=CE， ∴DE=AE+AD=BD+CE=3+6=9． 4.解：∵∠ACB=90°， ∴∠BCE+∠ACD=90°， 又∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠E=∠ADC=90°， ∴∠BCE+∠CBE=90°， ∴∠CBE=∠ACD， 在△CBE和△ACD中， ∴△CBE≌△ACD（AAS）， ∴BE=CD，CE=AD=25， ∵DE=17， ∴CD=CE-DE=AD-DE=25-17=8， ∴BE=CD=8； 5.解：（1）如图1， ∵BD⊥直线l，CE⊥直线l， ∴∠BDA=∠CEA=90°， ∵∠BAC=90°， ∴∠BAD+∠CAE=90° ∵∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠CAE=∠ABD 在△ADB和△CEA中， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE， ∴DE=AE+AD=BD+CE； （2）DE=BD+CE．如图2， 证明如下： ∵∠BDA=∠BAC=α， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α， ∴∠DBA=∠CAE， 在△ADB和△CEA中． ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE， ∴DE=AE+AD=BD+CE （3）如图3， 过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N． ∴∠EMI=GNI=90° 由（1）和（2）的结论可知EM=AH=GN ∴EM=GN 在△EMI和△GNI中， ∴△EMI≌△GNI（AAS）， ∴EI=GI ∴I是EG的中点 （4）易知，△ADB≌△CEA，BD＝AE，∠DBA＝∠CAE， ∵△ABF和△ACF均为等边三角形 ∴∠ABF＝∠CAF＝60° ∴∠DBA＋∠ABF＝∠CAE＋∠CAF ∴∠DBF＝∠FAE，∵BF＝AF ∴△DBF≌△EAF ∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE ∴∠DFE＝∠DFA＋∠AFE＝∠DFA＋∠BFD＝60° ∴△DEF为等边三角形． 6.解：（1）①∵∠BCA=90°，∠α=90°， ∴∠BCE+∠CBE=90°，∠BCE+∠ACF=90°， ∴∠CBE=∠ACF， ∵CA=CB，∠BEC=∠CFA； ∴△BCE≌△CAF， ∴BE=CF；EF=|CF-CE|=|BE-AF|． ②所填的条件是：∠α+∠BCA=180°． 证明：在△BCE中，∠CBE+∠BCE=180°-∠BEC=180°-∠α． ∵∠BCA=180°-∠α， ∴∠CBE+∠BCE=∠BCA． 又∵∠ACF+∠BCE=∠BCA， ∴∠CBE=∠ACF， 又∵BC=CA，∠BEC=∠CFA， ∴△BCE≌△CAF（AAS） ∴BE=CF，CE=AF， 又∵EF=CF-CE， ∴EF=|BE-AF|． （2）猜想：EF=BE+AF． 证明过程： ∵∠BEC=∠CFA=∠α，∠α=∠BCA，∠BCA+∠BCE+∠ACF=180°，∠CFA+∠CAF+∠ACF=180°，∴∠BCE=∠CAF， 又∵BC=CA， ∴△BCE≌△CAF（AAS）． ∴BE=CF，EC=FA， ∴EF=EC+CF=BE+AF． 【巩固练习】 1.解：∵PE⊥l于E，QF⊥l于F， ∴当△PEC与△QFC全等时，PC=CQ，当P在AC上，Q在CB上时， ∵PC=AC-AP=6-t,CQ=BC-BQ=8-3t, ∴6-t=8-3t, ∴t=1（秒）； 当P、Q在AC上（P、Q重合）时， ∵PC=6-t,CQ=3t-8， ∴6-t=3t-8， ∴t=3.5（秒）； 当P在BC上，Q在AC上时，即A与Q重合时， ∴t=（6+6）÷1=12（秒）． ∴t的值为1秒或3.5秒或12秒． 故答案为：1秒或3.5秒或12秒． 2.5cm或10cm 3. 4.解：过点E作EF⊥AD， ∵DE平分∠ADC，EC⊥DC，且E是BC的中点， ∴CE=EB=EF，又∠B=90°，且AE=AE， ∴△ABE≌△AFE， ∴∠EAB=∠EAF． 又∵∠CED=35°，∠C=90°， ∴∠CDE=90°-35°=55°， 即∠CDA=110°，∠DAB=70°， ∴∠EAB=35°． 5.∵CF⊥AE ∴∠AFC=90° ∴∠CAE+∠ACF=90° ∵∠ACB=90° ∴∠BCD+∠ACF=90° ∴∠CAE=∠BCD ∵BD⊥BC ∴∠CBD=90° ∴∠CBD=∠ACB ∴△ACE≌△CBD(ASA) ∴AE=CD 6.∵∠ACB=90°，BF∥AC， ∴∠ACD=∠CBF=90°， ∠ADC+∠CAD=90°． ∵CE⊥AD， ∴∠FCB+∠ADC=90°， ∴∠CAD=∠FCB． 又∵AC=CB， ∴△ADC≌△CFB． ∴DC=FB． ∵D是BC的中点， ∴BC=2BF， 即AC=2BF． 7.根据条件，∠ACE、∠CBF都与∠BCF互余， ∴∠ACE=∠CBF． 在△ACE和△CBF中， AC=CB，∠AEC=∠CFB=90°， ∴△ACE≌△CBF． 则CE=BF，AE=CF， ∴EF=CE-CF=BF-AE． 8.∵FE⊥AC于点E，∠ACB=90°， ∴∠FEC=∠ACB=90°． ∴∠F+ECF=90°． 又∵CD⊥AB于点D， ∴∠A+∠ECF=90°． ∴∠A=∠F． 在△ABC和△FCE中， ∴△ABC≌△FCE． ∴AB=FC． 9.证明：(1)∵BD⊥MN，CE⊥MN， ∴∠BDA=∠AEC=90∘， ∵∠BAC=90∘， ∴∠1+∠2=90∘， 又∵∠3+∠2=90∘， ∴∠1=∠3， 在△ADB和△CEA中， ∴△ADB≌△CEA(AAS)， ∴BD=AE； (2)∵BD⊥MN，CE⊥MN， ∴∠BDA=∠CEA=90∘， ∵∠BAD+∠CAE=90∘， ∠ACE+∠CAE=90∘， ∴∠BAD=∠ACE， 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE(AAS)， ∴BD=AE； (3)过B作BP∥AC交MN于P， ∵BP∥AC， ∴∠PBA+∠BAC=180∘， ∵∠BAC=90∘， ∴∠PBA=∠BAC=90∘， 由(2)得：∠BAP=∠ACF， ∴在△ACF和△ABP中， ∴△ACF≌△ABP(ASA)， ∴∠AFC=∠BPA，AF=BP ∵BF=AF, ∴BF=BP， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ABC=45∘， 又∵∠PBA=90∘， ∴∠PBG=45∘， ∴∠ABC=∠PBG， 在△BFG和△BPG中， ∴△BFG≌△BPG(SAS)， ∴∠BPG=∠BFG， ∵∠BPG=∠AFE， ∴∠BFG=∠AFE. 10.(1)证明：∵四边形CADF、CBEG是正方形， ∴AD=CA,∠DAC=∠ABC=90°， ∴∠DAD1+∠CAB=90°， ∵DD1⊥AB， ∴∠DD1A=∠ABC=90°， ∴∠DAD1+∠ADD1=90°， ∴∠ADD1=∠CAB， 在△ADD1和△CAB中， ∴△ADD1≌△CAB(AAS)， ∴DD1=AB； (2)AB=DD1+EE1. 证明：过点C作CH⊥AB于H， ∵DD1⊥AB， ∴∠DD1A=∠CHA=90∘， ∴∠DAD1+∠ADD1=90∘， ∵四边形CADF是正方形， ∴AD=CA,∠DAC=90∘， ∴∠DAD1+∠CAH=90∘， ∴∠ADD1=∠CAH， 在△ADD1和△CAH中， ∴△ADD1≌△CAH(AAS)， ∴DD1=AH； 同理：EE1=BH， ∴AB=AH+BH=DD1+EE1； (3)AB=DD1−EE1. 证明：过点C作CH⊥AB于H， ∵DD1⊥AB， ∴∠DD1A=∠CHA=90∘， ∴∠DAD1+∠ADD1=90∘， ∵四边形CADF是正方形， ∴AD=CA,∠DAC=90∘， ∴∠DAD1+∠CAH=90∘， ∴∠ADD1=∠CAH， 在△ADD1和△CAH中， ∴△ADD1≌△CAH(AAS)， ∴DD1=AH； 同理：EE1=BH， ∴AB=AH−BH=DD1−EE1. 11.解：（1）∵，∴； （2）分别过点D和点E作DH⊥FG于点H，EQ⊥FG于点Q，如图所示：∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴△ABF≌△DAH，∴AF=DH，同理可知AF=EQ，∴DH=EQ， ∵DH⊥FG，EQ⊥FG，∴， ∵，∴△DHG≌△EQG，∴DG=EG，即点G是DE的中点； （3），理由如下：如图所示，过点D作DO⊥AF交AF于O，过点E作EN⊥OD交OD延长线于N，过点C作CM⊥OD交OD延长线于M ∵四边形ABCD与四边形DEGF都是正方形，∴∠ADC=∠90°，AD=DC，DF=DE ∵DO⊥AF，CM⊥OD， ∴∠AOD=∠CMD=90°，∠OAD+∠ODA=90°，∠CDM+∠DCM=90°， 又∵∠ODA+∠CDM=90°，∴∠ADO=∠DCM，∴△AOD≌△DMC， ∴，OD=MC， 同理可以证明△FOD≌△DNE， ∴，OD=NE，∴MC =NE， ∵EN⊥OD，CM⊥OD，∠EPN=∠CMP，∴△ENP≌△CMP， ∴， ∵， ∴, ∴即 12.解：（1）由题意得t+3t=6+8， 解得t=（秒）， 当P、Q两点相遇时，t的值为秒； （2）由题意可知AP=t,则CP的长为； （3）当P在AC上，Q在BC上时， ∵∠ACB=90， ∴∠PCE+∠QCF=90°， ∵PE⊥l于E，QF⊥l于F． ∴∠EPC+∠PCE=90°，∠PEC=∠CFQ=90°， ∴∠EPC=∠QCF， ∴△PCE≌△CQF， ∴PC=CQ， ∴6-t=8-3t, 解得t=1， ∴CQ=8-3t=5； 当P在AC上，Q在AC上时，即P、Q重合时，则CQ=PC， 由题意得，6-t=3t-8， 解得t=3.5， ∴CQ=3t-8=2.5， 当P在BC上，Q在AC上时，即A、Q重合时，则CQ=AC=6， 综上，当△PEC与△QFC全等时，满足条件的CQ的长为5或2.5或6． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$