专题2 角平分线模型（内内模型，内外模型，外外模型，角高模型） 2024-2025学年北师大版七年级数学下册

三角形 专题2 角平分线模型（四大模型） 模型一：两内角平分线的夹角 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE, CF相交于点G,求∠BGC与∠A之间的关系 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点G， ∴∠GBC=∠ABC，∠GCB=∠ACB， ∴∠GBC+∠GCB=（∠ABC+∠ACB）， 在△BCG中，∠BGC=180°-（∠GBC+∠GCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）； 即：∠BGC=180°-（∠ABC+∠ACB）； 在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A， 所以，∠BGC=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A， 即：∠BGC=90°+∠A． 模型二：一个内角和一个外角平分线的夹角 如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，BP与CP相交于点p，求∠P与∠A之间的关系 解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线， ∴∠PBC=∠ABC，∠PCD=∠ACD． ∵∠ACD是△ABC的外角，∠PCD是△BPC的外角， ∴∠ACD=∠ABC+∠A，∠PCD=∠PBC+∠P， ∴∠ACP=∠ABC+∠A， ∴∠ABC+∠A=∠PBC+∠P， 即∠P=∠A． 模型三：两外角平分线的夹角 如图，在△ABC中，△ABC的外角平分线BO, CO相交于点O,求∠O与∠A之间的关系 解：∵BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的角平分线， ∴∠DBC=2∠1=∠ACB+∠A，∠ECB=2∠2=∠ABC+∠A， ∴2∠1+2∠2=2∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+180°， 又∵∠1+∠2+∠BOC=180°， ∴2∠BOC=180°-∠A， 即∠BOC=90°-∠A． 模型四：内角平分线和高线的夹角 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线(AE可能在AD的左侧或右侧)，求∠EAD与∠B、∠C 解：∵AD是BC边上的高， ∴∠ADC=∠ADE=90°， ∴∠CDA=90°-∠C， ∵AE是∠BAC的平分线， ∴∠CAE=∠BAC=（180°-∠B-∠C）=90°-（∠B+∠C）， ∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=90°-（∠B+∠C）-（90°-∠C）=（∠C-∠B）； 【巩固练习】 1．如图，已知直线AD∥BC，BE平分∠ABC交直线DA于点E，若∠DAB＝54°，则∠E等于（ ） A．25° B．27° C．29° D．45° 2．如图，，与，分别相交于点，，，与的平分线相交于点，且，则的度数（ ） A．70° B．65° C．60° D．55° 3．如图，已知，，平分，则（ ） A．32° B．60° C．58° D．64° 4．如图，，直线分别交于点E，F，是的平分线，交于点G，若，那么等于（ ） A． B． C． D． 5．如图，，平分交于点，，，，分别是，延长线上的点，和的平分线交于点．下列结论： ①； ②； ③平分； ④． 其中正确的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．如图，，平分，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 7．如图，已知，平分，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 8．如图，直线AB∥CD，EF分别交AB、CD于E、F两点，作∠BEF、∠DFE的平分线相交于点K；作∠BEK、∠DFK的平分线相交于点K1；依此类推，作∠BEK1、∠DFK2的平分线相交于点K2，…，作∠BEKn﹣1、∠DFKn﹣1的平分线相交于点Kn，则∠Kn的与∠K的关系为（　　） A． ∠Kn＝∠K B．∠Kn＝∠K B． C．∠Kn＝∠K D．∠Kn＝∠K 9．如图，直线AB∥CD，BE平分∠ABD，若∠DBE＝20°，∠DEB＝80°，求∠CDE的度数是（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 10．如图，AB∥CD，∠FGB＝146°，FG平分∠EFD，则∠AEF的度数等（　　） A．34° B．68° C．46° D．92° 11．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，FH平分∠EFD，若∠1＝110°，则∠2的度数为（　　） A．45° B．40° C．55° D．35° 12．如图，，直线分别交直线，于点，，平分，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 13．如图，，平分，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 14．如图，直线AB∥CD，点P在直线AB、CD之间，点E、Q分别在AB、CD上．连接PE、PQ，∠AEP＜90°，EF平分∠PEB交CD于点F，PQ∥EF．∠EPQ＝100°，则∠CQP的度数是（ ） A．80° B．70° C．60° D．50° 15．如图，已知，的两个顶点分别在直线，上，，交于点，若平分，．则的度数为（ ） A． B． C． D． 16．如图，ABCD，∠FEB=70°，∠EFD的角平分线FG交AB于点G，则∠GFD的度数为（ ） A．63° B．53° C．65° D．55° 二、填空题 17．如图，AC平分∠DAB，∠1＝∠2，试说明． 证明：∵AC平分∠DAB（_______）， ∴∠1＝∠______（________）， 又∵∠1＝∠2（________）， ∴∠2＝∠______（________）， ∴AB______（________）． 18．如图，将一副三角板按如图所示放置，，，，且，则下列结论中：①；②若平分，则有；③将三角形绕点旋转，使得点落在线段上，则此时；④若，则．其中结论正确的选项有______．（写出所有正确结论的序号） 19．如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=40°，则∠AEC=_____度． 20．如图，，，BE平分交AD于点E，连接CE，AF交CD的延长线于点F，，若，，则的度数为______． 21．如图，已知ABCD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，若∠ABC =m°，∠ADC =n°，则∠E=_________°． 22．如图，BD平分，，，要使，则______°． 23．如图，正方形ABCD中，BD为对角线，且BE为∠ABD的角平分线，并交CD延长线于点E，则∠E＝______°． 24．如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝40°，则∠DAC的度数为____． 25．如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=6，则PD=___________． 26．如图①，已知，，的交点为，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为……第次操作，分别作和的平分线，交点为．如图②，若，则的度数是__________． 27．如图，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝40°，则下列结论：①∠BOE＝70°；②OF平分∠BOD；③∠1＝∠2；④∠POB＝2∠3．其中正确的结论有______．（填序号） 28．已知：AB∥CD，点C在点D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在直线交于点E，∠ADC＝70°． （1）∠CDE＝________度 ； （2）若∠ABC＝n°，则∠BED的度数是________（用含n的式子表示） 29．如图，，，为射线上一点，平分，、交于点，点在线段延长线上时，连接，若，，则的度数为__________． 30．如图，已知∠A＝（60﹣x）°，∠ADC＝（120+x）°，∠CDB＝∠CBD，BE平分∠CBF，若∠DBE＝59°，则∠DFB＝___． 31．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠BFD＝45°；③∠ADC＝∠GCD；④CA平分∠BCG．其中正确的结论是______（填序号）． 32．如图，已知AB∥CE，∠B＝50°，CE平分∠ACD，则∠ACD＝__° 33．已知，，，点，在上，平分，且，下列结论正确得是：__________． ①； ②； ③； ④若，则. 34．已知：如图，平分，，，，则___． 三、解答题 35.在△ABC中， （1）如图1，点E，F分别是AC，AB上一点，若BE，CF相交于点G，请说明∠BGC＝∠1+∠A+∠2； （2）如图2，若BE，CF分别是AC，AB上的高，请说明∠1＝∠2理由； （3）如图3，若∠ABC，∠ACB，∠BAC的角平分线BE，CF，AD相交于点G，则： ①∠1+∠2+∠3＝　　； ②若过点G作GH⊥BC于点H，发现∠BGD＝∠CGH，请说明理由． 36.已知△ABC （1）①如图1，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，探究∠P与∠A之间数量关系，并说明理由； ②如图2，若P点是∠ABC和∠ACE的角平分线的交点，∠P与∠A之间数量关系是　　； ③如图3，若P点是∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，∠P与∠A之间数量关系是　　． （2）运用所得到的结论，解决下面的问题： 如图4，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，连接AO，若∠BOC＝130°，则∠BAC＝　　°，∠BAO＝　　°． 37．如图，在△ABC中，∠CBD、∠BCE是△ABC的外角，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，BQ平分∠CBD，CQ平分∠BCE． （1）∠PBQ的度数是　　，∠PCQ的度数是　　； （2）若∠A＝70°，求∠P和∠Q的度数； （3）若∠A＝α，则∠P＝　　，∠Q＝　　（用含α的代数式表示）． 38．在△ABC中，∠A＝90°． （1）如图（1），BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠P＝　　；并猜想∠P与∠A之间的等量关系：　　； （2）如图（2），若BE和BF三等分∠ABC，CE和CF三等分∠ACB，则∠BFC═　　；猜想∠BFC与∠A之间的等量关系？并证明你的猜想． 39．（1）如图①，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠C＞∠B，试探索∠DAE与∠B、∠C的关系； （2）当图①变为图②时，（1）中的结论是否成立？为什么？ （3）当图②变为图③时，∠DFE与∠B、∠C的关系怎样？（直接写出结论） （4）当图③变为图④时，∠DFE与∠B、∠C的关系怎样？（直接写出结论） 专题2 角平分线模型 参考答案 1．B 【分析】 根据两直线平行，内错角相等可求∠ABC=54°，再根据角平分线的性质可求∠EBC=27°，再根据两直线平行，内错角相等可求∠E． 【详解】 解：∵AD∥BC， ∴∠ABC=∠DAB=54°，∠EBC=∠E， ∵BE平分∠ABC， ∴∠EBC=∠ABC=27°， ∴∠E=27°． 故选：B． 【点拨】本题考查了平行线的性质，角平分线，关键是求出∠EBC=27°． 2．A 【分析】 利用平行线的性质与垂直的性质求解 再利用角平分线的含义求解 再利用三角形的内角和定理可得答案. 【详解】 解： ， 平分， 故选A 【点拨】本题考查的是垂直的定义，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟悉以上知识，掌握基本的逻辑推理是解题的关键. 3．D 【分析】 先根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等），可得∠ADB=∠B，再利用角平分线的性质可得：∠ADE=2∠ADB=64°，最后再利用平行线的性质（两直线平行，内错角相等）即可求出答案． 【详解】 解：∵AD∥BC，∠B=32°， ∴∠ADB=∠B=32° ． ∵DB平分∠ADE， ∴∠ADE=2∠ADB=64°， ∵AD∥BC， ∴∠DEC=∠ADE=64°． 故选：D． 【点拨】题目主要考查了平行线的性质和角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，找出题中所需的角与已知角之间的关系． 4．C 【分析】 由，，即可求得的度数，又由是的平分线，即可求得的度数，然后由，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得的度数． 【详解】 解：∵ ∴ ∵， ∴， 是的平分线， ， ∵， ∴ ． 故选：C． 【点拨】本题考查了平行线的性质与邻补角的定义，角平分线的定义，掌握两直线平行，同旁内角互补定理的应用是解题的关键． 5．C 【分析】 根据，，可得∠CED=∠1，从而∠C=90°，可得①正确；由①可得∠BAD=∠AND，从而∠BAD+∠ADC=180°，又由∠AEB≠∠BAD，可得②错误；根据∠DAE+∠ADE=90°，，且平分，可得∠ADE=∠2，从而得到③正确；由，可得∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°，再由和的平分线交于点，可得∠EAF+∠EDF=135°，然后根据四边形的内角和，可得④正确． 【详解】 解：∵，， ∴∠AEB+∠CED=90°，∠1+∠AEB=90°， ∴∠CED=∠1， ∵， ∴∠CED+∠2=90°， ∴∠C=180°-（∠CED+∠2）=90°， 即DC⊥BC， ∴，故①正确； ∴∠BAD=∠ADN， ∵∠ADN+∠ADC=180°， ∴∠BAD+∠ADC=180°， ∵∠AEB≠∠BAD， ∴，故②错误； ∵∠DAE+∠ADE=90°，，且平分， ∴∠ADE=∠2， ∴平分，故③正确； ∵， ∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°， ∵和的平分线交于点， ∴∠EAF+∠EDF= （∠EAM+∠EDN）=135°， ∵， ∴∠AED=90°， ∴∠F=360°-（∠AED+∠EAF+∠EDF）=135°，故④正确； 故正确的有①③④，共3个， 故选：C． 【点拨】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义，三角形的内角和与四边形的内角和，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 6．B 【分析】 由两直线平行内错角相等求出，再由平分求出，最后由邻补角互补即可求出的度数． 【详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：B． 【点拨】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、邻补角的概念等，属于基础题，计算过程中细心即可． 7．D 【分析】 由题意易得，则有，然后根据平行线的性质可求解． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选D． 【点拨】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键． 8．A 【分析】 过K作KG//AB，可得KG//CD，可得出两队内错角相等，由EK、FK分别为∠BEF与∠EFD的平分线，再由AB//CD，可以求出∠BEK+∠DFK的度数，即可求出∠EKF的度数，由此类推即可得到∠Kn的度数. 【详解】 解：如图，过K作KG//AB，可得KG//CD， ∴∠BEK＝∠EKG，∠GKF＝∠KFD， ∵EK、FK分别为∠BEF与∠EFD的平分线， ∴∠BEK＝∠FEK，∠EFK＝∠DFK， ∵AB//CD， ∴∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK＝180°，即2（∠BEK+∠DFK）＝180°， ∴∠BEK+∠DFK＝90°， 则∠EKF＝∠EKG+∠GKF＝90°； ∵∠BEK、∠DFK的平分线相交于点K1， ∴∠BEK1＝∠KEK1，∠KFK1＝∠DFK1， ∵∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK＝180°，即2（∠BEK+∠KFD）＝180°， ∴∠BEK+∠KFD＝90°，即∠KEK1+∠KFK1＝45°， ∴∠K1＝180°﹣（∠KEF+∠EFK）﹣（∠KEK1+∠KFK1）＝×90°＝45°， 同理可得， 归纳总结得：∠Kn＝×90°＝∠EKF． 故选A． 【点拨】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质和角平分线的性质. 9．B 【分析】 延长，交于点,根据角平分线的定义以及已知条件可得，由三角形的外角性质可求，最后由平行线的性质即可求解． 【详解】 延长，交于点, BE平分∠ABD，, , ,∠DEB＝80°， , , , 故选B． 【点拨】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形的外角性质，掌握以上知识是解题的关键． 10．B 【分析】 先根据平行线的性质可得∠DFG=34°，再根据角平分线的定义可得∠EFD=2∠DFG=68°，然后根据平行线的性质即可得． 【详解】 ∵AB//CD,∠FGB=146°， ∴∠DFG=180°−∠FGB=34°， ∵FG平分∠EFD， ∴∠EFD=2∠DFG=68°， 又∵AB//CD， ∴∠AEF=∠EFD=68°， 故选：B． 【点拨】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 11．D 【分析】 根据对顶角相等求出∠3，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠DFE，然后根据角平分线的定义求出∠DFH，再根据两直线平行，内错角相等解答． 【详解】 解：∵∠1=110°， ∴∠3=∠1=110°， ∵AB∥CD， ∴∠DFE=180°-∠3=180°-110°=70°， ∵HF平分∠EFD， ∴∠DFH=∠DFE=×70°=35°， ∵AB∥CD， ∴∠2=∠DFH=35°． 故选：D． 【点拨】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，对顶角相等的性质，是基础题，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 12．C 【分析】 先由两直线平行得到，然后根据角平分线求出∠BEG，再根据两直线平行内交错相等即可得到∠2的值． 【详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 【点拨】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等是解题的关键． 13．A 【分析】 由平行线的性质，得到，由角平分线定义，得到，即可求出的度数． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴的度数是：； 故选：A． 【点拨】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，平角的定义，解题的关键是掌握平行线的性质，正确得到． 14．A 【分析】 延长QP交AB于点G．利用角平分线的性质和平行线的性质，得到∠GQC、∠BGP、∠PEF、∠BEF的相等关系，再利用三角形的外角与内角的关系及平角关系求出∠EGP即可． 【详解】 解：延长QP交AB于点G． ∵EF平分∠PEB， ∴2∠PEF＝2∠BEF＝∠PEB． ∵PQ∥EF， ∴∠BEF＝∠BGP． ∵2∠BEF＋∠GEP＝180°①， 又∵∠EPQ＝∠EGP＋∠GEP， 即∠BEF＋∠GEP＝100°②． ①﹣②，得∠BEF＝∠BGP＝80°． ∵AB∥CD， ∴∠CQP＝∠BGP＝80°． 故选：A． 【点拨】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质及三角形的外角与不相邻的内角间关系等知识点，利用2∠BEF＋∠GEP＝180°和∠BEF＋∠GEP＝100°求出∠BGP的度数是解题关键 15．B 【分析】 先利用平行线的性质得到，再根据角平分线得到，最后由直角三角形两锐角互余，即可求解． 【详解】 ∵，， ∴ ， ∵平分， ∴, ∵在中，， ∴， ∴ 故选：B 【点拨】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义及直角三角形两锐角的关系，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义及直角三角形两锐角互余． 16．D 【分析】 先根据平行线的性质求出∠DFE的度数，再根据角平分线的定义即可求解． 【详解】 解：∵ABCD，∠FEB=70°， ∴∠EFD=180°-∠FEB=110°， ∵FG是∠EFD的平分线， ∴∠GFD=∠EFD=55°． 故选D． 【点拨】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．平行线的性质：①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补．在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角． 17．已知 3 角平分线的定义 已知 3 等量代换 CD 内错角相等，两直线平行 【分析】 根据平行线证明对书写过程的要求和格式填写即可. 【详解】 证明：∵AC平分∠DAB(已知)， ∴∠1＝∠ 3 (角平分线的定义)， 又∵∠1＝∠2(已知)， ∴∠2＝∠ 3 (等量代换)， ∴AB∥CD (内错角相等，两直线平行)． 故答案为：已知；3；角平分线的定义；已知；3；等量代换；CD；内错角相等，两直线平行 【点拨】本题主要考查平行线证明的书写，正确的逻辑推理和书写格式是解题的关键. 18．②③④ 【分析】 ①根据同角的余角相等得∠1=∠3，但不一定得45°；②都是根据角平分线的定义、内错角相等，两条直线平行，可得结论；③根据对顶角相等和三角形的外角等于不相邻的两个内角得和，可得结论；④根据三角形内角和定理及同角的余角相等，可得结论． 【详解】 解：①如图， ∵∠CAB=∠DAE=90°， 即∠1+∠2=∠3+∠2+90°， ∴∠1=∠3≠45°， 故①不正确； ②∵AD平分∠CAB， ∴∠1=∠2=45°， ∵∠1=∠3， ∴∠3=45°， 又∵∠C=∠B=45°， ∴∠3=∠B， ∴BC∥AE， 故②正确； ③将三角形ADE绕点A旋转，使得点D落在线段AC上， 则∠4=∠ADE-∠ACB=60°-45°=15°， 故③正确； ④∵∠3=2∠2，∠1=∠3， ∴∠1=2∠2，∠1+∠2=90°， ∴3∠2=90°， ∴∠2=30°， ∴∠3=60°， 又∠E=30°， 设DE与AB交于点F，则∠AFE=90°， ∵∠B=45°， ∴∠4=45°， ∴∠C=∠4， 故④正确， 故答案为：②③④． 【点拨】本题主要考查了同角的余角相等、角平分线定义、平行线的判定的运用，解题关键是熟练掌握同角的余角相等及平行线的判定． 19．70 【分析】 根据平行线性质求出∠CAB的度数，根据角平分线求出∠EAB的度数，再根据平行线性质求出∠AEC的度数即可． 【详解】 解：∵ABCD， ∴∠C+∠CAB=180°， ∵∠C=40°， ∴∠CAB=180°-40°=140°， ∵AE平分∠CAB， ∴∠EAB=70°， ∵ABCD， ∴∠AEC=∠EAB=70°， 故答案为70． 【点拨】本题考查角平分线的定义和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补． 20．80° 【分析】 先根据，，得出，可证AD∥BC，再证∠BAD=∠BCD，得出∠AEB=∠F，然后证∠ABC=2∠CBE=2∠F，得出∠ADC=2∠F，利用三角形内角和得出∠CED=180°-∠EDC-∠ECD=180°-2∠F-3∠F=180°-5∠F，根据平角得出∠AEB+∠CED=180°-∠BEC=180°-80°=100°，列方程∠F+180°-5∠F=100°求出∠F=20°即可． 【详解】 解：∵， ∴∠ABC+∠BCD=180°， ∵ ∴， ∴AD∥BC， ∵， ∴∠BAD+∠ADC=180°，∠BAF+∠F=180°， ∵∠ADC+∠BCD=180°， ∴∠BAD=∠BCD， ∵， ∴， ∵∠BAF=∠BAD+∠DAF， ∴∠BAF+∠AEB=180°， ∴∠AEB=∠F， ∵AD∥BC， ∴∠CBE=∠AEB， ∵BE平分， ∴∠ABC=2∠CBE=2∠F， ∴∠ADC=2∠F， ∵， 在△CED中，∠CED=180°-∠EDC-∠ECD=180°-2∠F-3∠F=180°-5∠F， ∵， ∴∠AEB+∠CED=180°-∠BEC=180°-80°=100°， ∴∠F+180°-5∠F=100°， 解得∠F=20°， ∴， 故答案为80°． 【点拨】本题考查平行线的判定与性质，三角形内角和，角平分线定义，平角，解一元一次方程，掌握平行线的判定与性质，三角形内角和，角平分线定义，平角，解一元一次方程，关键是证出∠ADC=2∠F． 21． 【分析】 作EF∥AB，证明AB∥ EF∥CD，进而得到∠BED=∠ABE+∠CDE，根据角平分线定义得到，即可求出． 【详解】 解：如图，作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥ EF∥CD， ∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF， ∴∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠CDE， ∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC， ∴， ∴ ． 故答案为： 【点拨】本题考查了平行线性质，角平分线的定义，熟知角平分线的性质和平行公理的推论，根据题意添加辅助线是解题关键． 22．20 【分析】 利用角平分线的定义求解再由可得再列方程求解即可. 【详解】 解： BD平分，， 由， 而， 解得： 所以当时，， 故答案为： 【点拨】本题考查的是角平分线的定义，平行线的判定与性质，一元一次方程的应用，掌握平行线的判定与性质是解本题的关键. 23．22.5 【分析】 由平行线的性质可知，由角平分线的定义得，进而可求∠E的度数． 【详解】 解：为正方形， ，， ， 平分， ， 又， ， 故答案为：22.5． 【点拨】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握正方形的性质是解答本题的关键． 24．40° 【分析】 根据平行线的性质可得∠EAD=∠B，根据角平分线的定义可得∠DAC=∠EAD，即可得答案． 【详解】 ∵AD∥BC，∠B＝40°， ∴∠EAD=∠B=40°， ∵AD是∠EAC的平分线， ∴∠DAC=∠EAD=40°， 故答案为：40° 【点拨】本题考查平行线的性质及角平分线的定义，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；熟练掌握平行线的性质是解题关键． 25．3 【分析】 过点P作PE⊥OB，垂足为E，根据平行线性质，角的平分线性质，得到PE=PD，∠PCE=30°，运用30°角的所对直角边等于斜边的一半计算即可． 【详解】 过点P作PE⊥OB，垂足为E， ∵OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PD⊥OA， ∴PD=PE，∠BOP=15°， ∵PC∥OA， ∴∠CPO=∠AOP =15°， ∴∠PCE=30°， ∵PC=6， ∴PE=3， ∴PD=3， 故答案为：3． 【点拨】本题考查了角的平分线定义与性质，平行线的性质，三角形外角和性质，直角三角形的性质，熟练掌握平行线，直角三角形的性质是解题的关键． 26． 【分析】 先过作，根据，得出，再根据平行线的性质，得出，，进而得到；先根据和的平分线交点为，运用图①的结论，得出；同理可得；根据和的平分线，交点为，得出；据此得到规律，最后求得的度数即可． 【详解】 解：如图①，过作， ， ， ，， ， ， 由此可得： 如图②，和的平分线交点为， ， 和的平分线交点为， ， 和的平分线，交点为， ， 以此类推，， ∴， 当时，． 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了角平分线的定义以及平行线性质：两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线． 27．①②③ 【分析】 根据平行线的性质和∠ABO=40°，由两直线平行，同旁内角互补，可计算出∠BOC的度数，再根据角平分线的性质，可计算出∠BOC的度数，根据角平分线的性质可得出∠BOE的度数，可判断①是否正确．根据OF⊥OE，由∠BOE的度数计算出∠BOF的度数，根据两直线平行，内错角相等的性质，得到∠BOD的度数，可计算出∠3的度数，可得出结论②是否正确，由②中的结论可判断③是否正确．根据平行线的性质，可得到∠OPB=90°，可计算出∠POB的度数，可得出④结论是否正确． 【详解】 解：∵AB∥CD，∠ABO＝40°， ∴∠BOC＝180°﹣∠ABO＝180°﹣40°＝140°， ∵OE平分∠BOC， ∴∠B0E＝∠BOC＝＝70°， 故结论①正确； ∵OF⊥OE，∠B0E＝70°， ∴∠BOF＝90°﹣70°＝20°， ∵AB∥CD，∠ABO＝40°， ∴∠BOD＝∠ABO＝40°， ∴∠FOD＝∠BOD﹣∠BOF＝20°， ∴∠BOF＝∠DOF， ∴OF平分∠BOD， 故结论②正确； 由②的结论可得， ∴∠1＝∠2＝20°， 故结论③正确； ∵OP⊥CD， ∴∠OPB＝90°， ∴∠POB＝90°﹣∠ABO＝50°， ∵2∠3＝2×20°＝40°， ∴∠POB≠2∠3， 故结论④错误． 故答案为：①②③． 【点拨】本题考查了平行线的性质、角平分线性质的应用，合理应用平行线的性质是解决本题关键． 28．35° n°＋35° 【分析】 （1）直接根据角平分线的定义解答即可； （2）如图，过点E作EF∥AB，然后说明AB∥CD∥EF，再根据平行的性质可得∠BED＝∠FEB＋∠FED＝n°＋35°，最后根据角的和差即可解答． 【详解】 （1）∵DE平分∠ADC，∠ADC＝70°， ∴∠CDE＝∠ADC＝35°， 故填：35°； （2）如图，过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠FEB＝∠ABE＝n°，∠FED＝∠CDE＝35°， ∴∠BED＝∠FEB＋∠FED＝n°＋35°， 故填：n°＋35°． 【点拨】本题主要考查了角平分线的定义、平行公理、平行线的性质等知识点，灵活应用平行线的性质成为解答本题的关键． 29．66° 【分析】 先求出∠CDE=12°，再证明AD//BC，求出∠ADC=156°，然后根据角平分线的性质得出∠DAE的度数，即可求得∠DEF的度数． 【详解】 解：∵， ∴∠DCE=∠B=24°， ∵，， ∴∠DCE=2∠CDE=24°， ∴∠CDE=12°， ∵， ∴， ∴AD//BC， ∴∠ADC=∠DCE=24°，∠BAD=180°-24°=156°， ∴∠ADE=24°+12°=36°， ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE=78°， ∴∠DEF=180°-∠DAE-∠ADE=180°-78°-36°=66°． 故答案为：66°． 【点拨】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，能运用平行线的性质进行推理是解此题的关键． 30． 【分析】 根据题意可得，设，分别表示出，进而根据平行线的性质可得∠DFB． 【详解】 ∠A＝（60﹣x）°，∠ADC＝（120+x）°， ， ， ， ， ， BE平分∠CBF， ， 设， ∠DBE＝59°， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，证明是解题的关键． 31．①②③． 【分析】 由EG∥BC，且CG⊥EG于G，可得∠GEC＝∠BCA，由CD平分∠BCA，可得∠GEC＝∠BCA＝2∠DCB，可判定①；由CD，BE平分∠BCA，∠ABC，根据外角性质可得∠BFD＝∠BCF+∠CBF＝45°，可判定②；根据同角的余角性质可得∠GCE＝∠ABC，由角的和差∠GCD＝∠ABC+∠ACD=∠ADC，可判定③；由∠GCE+∠ACB＝90°，可得∠GCE与∠ACB互余，可得CA平分∠BCG不正确，可判定④． 【详解】 解:∵EG∥BC，且CG⊥EG于G， ∴∠BCG+∠G＝180°， ∵∠G＝90°， ∴∠BCG＝180°﹣∠G＝90°， ∵GE∥BC， ∴∠GEC＝∠BCA， ∵CD平分∠BCA， ∴∠GEC＝∠BCA＝2∠DCB， ∴①正确． ∵CD，BE平分∠BCA，∠ABC ∴∠BFD＝∠BCF+∠CBF＝（∠BCA+∠ABC）＝45°， ∴②正确． ∵∠GCE+∠ACB＝90°，∠ABC+∠ACB＝90°， ∴∠GCE＝∠ABC， ∵∠GCD＝∠GCE+∠ACD＝∠ABC+∠ACD，∠ADC＝∠ABC+∠BCD， ∴∠ADC＝∠GCD， ∴③正确． ∵∠GCE+∠ACB＝90°， ∴∠GCE与∠ACB互余， ∴CA平分∠BCG不正确， ∴④错误． 故答案为：①②③． 【点拨】本题考查平行线的性质，角平分线定义，垂线性质，角的和差，掌握平行线的性质，角平分线定义，垂线性质，角的和差是解题关键． 32．100 【分析】 根据平行线的性质和角平分线的性质计算即可； 【详解】 解：∵AB∥CE，∠B＝50°， ∴∠ECD＝∠B＝50°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACD＝2∠ECD＝2×50°＝100°， 故答案为：100． 【点拨】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的性质，准确计算是解题的关键． 33．①④ 【分析】 ①由BC∥OA，∠B=∠A=100°，∠AOB=∠ACB=180°-100°=80°，得到∠A+∠AOB=180°，得出OB∥AC．②OE平分∠BOF，得出∠FOE=∠BOE=∠BOF，∠FOC=∠AOC=∠AOF，从而计算出∠EOC=∠FOE+∠FOC=40°．③由∠OCB=∠AOC，∠OFB=∠AOF=2∠AOC，得出∠OCB：∠OFB=1：2．④由∠OEB=∠OCA=∠AOE=∠BOC，得到∠AOE-∠COE=∠BOC-∠COE，∠BOE=∠AOC，再得到∠BOE=∠FOE=∠FOC=∠AOC=∠AOB=20°，从而计算出∠OCA=∠BOC=3∠BOE=60°． 【详解】 解：∵BC∥OA，∠B=∠A=100°， ∴∠AOB=∠ACB=180°-100°=80°， ∴∠A+∠AOB=180°， ∴OB∥AC．故①正确； ∵OE平分∠BOF， ∴∠FOE=∠BOE=∠BOF， ∴∠FOC=∠AOC=∠AOF， ∴∠EOC=∠FOE+∠FOC=（∠BOF+∠AOF）=×80°=40°．故②错误； ∵∠OCB=∠AOC，∠OFB=∠AOF=2∠AOC， ∴∠OCB：∠OFB=1：2．故③错误； ∵∠OEB=∠OCA=∠AOE=∠BOC， ∴∠AOE-∠COE=∠BOC-∠COE， ∴∠BOE=∠AOC， ∴∠BOE=∠FOE=∠FOC=∠AOC=∠AOB=20°， ∴∠OCA=∠BOC=3∠BOE=60°．故④正确． 故答案为：①④． 【点拨】本题考查了平行线的性质及判定，以及角的计算，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键． 34．100° 【分析】 先由同位角相等，证得，进而证得，再由平行线的性质得出与的数量关系，然后由已知条件求得，最后用减去，即可求得答案． 【详解】 解：， 平分， 故答案为：． 【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关判定定理与性质定理 35.在△ABC中， （1）如图1，点E，F分别是AC，AB上一点，若BE，CF相交于点G，请说明∠BGC＝∠1+∠A+∠2； （2）如图2，若BE，CF分别是AC，AB上的高，请说明∠1＝∠2理由； （3）如图3，若∠ABC，∠ACB，∠BAC的角平分线BE，CF，AD相交于点G，则： ①∠1+∠2+∠3＝　90°　； ②若过点G作GH⊥BC于点H，发现∠BGD＝∠CGH，请说明理由． 【分析】（1）根据三角形的外角性质，求得∠BGC＝∠BGP+∠CGP，据此进行计算即可； （2）根据BE，CF分别是AC，AB上的高，可得△ABE和△ACF是直角三角形，进而得出∠1+∠A＝∠2+∠A＝90°，据此可得∠1＝∠2； （3）根据∠ABC，∠ACB，∠BAC的角平分线BE，CF，AD相交于点G，可得∠1+∠2+∠3＝（∠ABC+∠ACB+∠BAC），据此进行计算即可；②根据∠BGD是△ABG的外角，得出∠BGD＝∠1+∠3＝∠ABC+∠BAC＝90°﹣∠ACB，再根据CF平分∠ACB，GH⊥BC，可得Rt△CHG中，∠CGH＝90°﹣∠GCH＝90°﹣∠ACB，进而得到∠BGD＝∠CGH． 【解答】解：（1）∵如图1，连接AG并延长至P， ∵∠BGP是△ABG的外角， ∴∠BGP＝∠1+∠BAP， 同理可得，∠CGP＝∠2+∠CAP， ∴∠BGC＝∠BGP+∠CGP＝∠1+∠BAP+∠2+∠CAP＝∠1+∠A+∠2； （2）∵如图2，BE，CF分别是AC，AB上的高， ∴△ABE和△ACF是直角三角形， ∴∠1+∠A＝∠2+∠A＝90°， ∴∠1＝∠2； （3）①如图3，∵∠ABC，∠ACB，∠BAC的角平分线BE，CF，AD相交于点G， ∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，∠3＝∠BAC， ∴∠1+∠2+∠3＝（∠ABC+∠ACB+∠BAC）＝×180°＝90°， 故答案为：90°； ②∵∠BGD是△ABG的外角， ∴∠BGD＝∠1+∠3＝∠ABC+∠BAC ＝（180°﹣∠ACB）＝90°﹣∠ACB， ∵CF平分∠ACB， ∴∠GCH＝∠ACB， ∵GH⊥BC， ∴Rt△CHG中，∠CGH＝90°﹣∠GCH＝90°﹣∠ACB， ∴∠BGD＝∠CGH． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是掌握：三角形内角和等于180°．解决第（3）问的难点在于将∠BGD和∠CGH都用90°﹣∠ACB表示出来． 36.已知△ABC （1）①如图1，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，探究∠P与∠A之间数量关系，并说明理由； ②如图2，若P点是∠ABC和∠ACE的角平分线的交点，∠P与∠A之间数量关系是　∠P＝∠A　； ③如图3，若P点是∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，∠P与∠A之间数量关系是　∠P＝90°﹣∠A　． （2）运用所得到的结论，解决下面的问题： 如图4，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，连接AO，若∠BOC＝130°，则∠BAC＝　80　°，∠BAO＝　40　°． 【分析】（1）根据三角形的外角性质、内角和定理、角平分线的定义探求并证明． （2）求出∠OBC+∠OCB，根据角平分线性质求出∠ABC+∠ACB，根据三角形内角和定理求出∠BAC，即可求出答案． 【解答】解：（1）①如图1：∠P＝90°+∠A； 理由：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠PBC＝∠ABC，∠BCP＝∠ACB． ∵∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP， ∴∠P＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB ＝180°﹣（∠ABC+∠ACB） ＝180°﹣（180°﹣∠A） ＝90°+∠A． ②如图2：∠P＝∠A； ③如图3：∠P＝90°﹣∠A； 故答案为：∠P＝∠A，∠P＝90°﹣∠A； （2）∵BO、CO分别为∠ABC与∠ACB的角平分线， ∴OA是∠BAC的角平分线， ∴∠BAO＝∠BAC， ∵∠BOC＝130°， ∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣130°＝50°， ∵BO、CO分别为∠ABC与∠ACB的角平分线， ∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB， ∴∠ABC+∠ACB＝2×50°＝100°， ∴∠BAC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝80°， ∴∠BAO＝∠BAC＝40°， 故答案为：80，40． 【点评】本题考查了角平分线性质，三角形内角和定理的应用，此题是一道比较典型的题目，难度适中，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等． 37．如图，在△ABC中，∠CBD、∠BCE是△ABC的外角，BP平分∠ABC，CP 平分∠ACB，BQ平分∠CBD，CQ平分∠BCE． （1）∠PBQ的度数是　90°　，∠PCQ的度数是　90°　； （2）若∠A＝70°，求∠P和∠Q的度数； （3）若∠A＝α，则∠P＝　90°+α　，∠Q＝　90°﹣α　（用含α的代数式表示）． 【分析】（1）由角平分线知∠PBC＝∠ABC、∠QBC＝∠DBC，由∠ABC+∠DBC＝180°知∠PBQ＝∠PBC+∠QBC＝（∠ABC+∠DBC）＝90°，同理可得∠PCQ的度数； （2）由∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）可得∠P度数，由∠Q＝180°﹣∠QBC﹣∠QCB＝180°﹣（180°﹣∠ABC）﹣（180°﹣∠ACB）＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）可得∠Q度数； （3）与（2）同理可得． 【解答】解：（1）∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，BQ平分∠CBD，CQ平分∠BCE． ∴∠PBC＝∠ABC、∠QBC＝∠DBC、∠PCB＝∠ACB、∠QCB＝∠BCE， ∵∠ABC+∠DBC＝180°、∠ACB+∠BCE＝180°， ∴∠PBQ＝∠PBC+∠QBC＝（∠ABC+∠DBC）＝90°， ∠PCQ＝∠PCB+∠QCB＝（∠ACB+∠BCE）＝90°， 故答案为：90°、90°； （2）∵∠PBC＝∠ABC、∠PCB＝∠ACB， ∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB ＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB ＝180°﹣（∠ABC+∠ACB） ＝180°﹣（180°﹣∠A） ＝180°﹣（180°﹣70°） ＝125°； ∵∠QBC＝∠ABC、∠QCB＝∠ACB， ∴∠Q＝180°﹣∠QBC﹣∠QCB ＝180°﹣（180°﹣∠ABC）﹣（180°﹣∠ACB） ＝（∠ABC+∠ACB） ＝（180°﹣∠A） ＝（180°﹣70°） ＝55°． （3）与（2）同理知∠P＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝90°+α， ∠Q＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A＝90°﹣α， 故答案为：90°+α、90°﹣α． 【点评】本题主要考查三角形外角性质与三角形的内角和定理，解题的关键是掌握三角形的外角性质、三角形的内角和为180°及角平分线的性质． 38．在△ABC中，∠A＝90°． （1）如图（1），BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠P＝　135°　；并猜想∠P与∠A之间的等量关系：　∠P＝180°﹣　； （2）如图（2），若BE和BF三等分∠ABC，CE和CF三等分∠ACB，则∠BFC═　150°　；猜想∠BFC与∠A之间的等量关系？并证明你的猜想． 【分析】（1）根据三角形的内角和和角平分线的定义解答即可； （2）设∠ABE＝∠EBF＝∠CBF＝α，∠ACE＝∠ECF＝∠FCB＝β；求出α+β＝35°，进而求出∠F＝145°，问题即可解决． 【解答】解：（1）∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠PBC＝∠ABC，∠ACB， ∵∠A＝90°， ∴∠ABC+∠ACB＝2（∠PBC+∠PCB）＝90°， ∴∠P＝180°﹣45°＝135°； ∴∠P＝180°﹣； 故答案为：135°；∠P＝180°﹣； ∵BE和BF三等分∠ABC，CE和CF三等分∠ACB， ∴∠ABE＝∠EBF＝∠CBF（设为α），∠ACE＝∠ECF＝∠FCB（设为β）； ∵∠A＝90°， ∴3α+3β＝180°﹣90°＝90°，α+β＝30°； ∴∠F＝180°﹣30°＝150°， ∴∠F＞∠A； 故答案为：150°． 【点评】该题主要考查了三角形的内角和定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答；对分析问题解决问题的能力提出了一定的要求． 39．（1）如图①，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠C＞∠B，试探索∠DAE与∠B、∠C的关系； （2）当图①变为图②时，（1）中的结论是否成立？为什么？ （3）当图②变为图③时，∠DFE与∠B、∠C的关系怎样？（直接写出结论） （4）当图③变为图④时，∠DFE与∠B、∠C的关系怎样？（直接写出结论） 【分析】（1）由三角形高的定义得到∠CDA＝90°﹣∠C，再由角平分线定义得到∠CAE＝∠BAC，接着根据三角形内角和得∠CAE＝（180°﹣∠B﹣∠C）＝90°﹣（∠B+∠C），然后计算∠CAE﹣∠CAD即可得到∠DAE＝（∠C﹣∠B）； （2）利用互余得到∠CAD＝∠ACB﹣90°，与（1）一样可得∠CAE＝90°﹣（∠B+∠ACB），然后计算∠CAE+∠CAD即可得到∠DAE＝（∠ACB﹣∠B）； （3）作AH⊥BC于H，如图③，由（2）得∠HAE＝（∠ACB﹣∠B），然后根据平行线的性质易得∠DFE＝∠HAE＝（∠ACB﹣∠B）； （4）AH⊥BC于H，如图④，和（3）方法一样可得∠DFE＝（∠ACB﹣∠B）． 【解答】解：（1）∵AD是BC边上的高， ∴∠ADC＝∠ADE＝90°， ∴∠CDA＝90°﹣∠C， ∵AE是∠BAC的平分线， ∴∠CAE＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠C）＝90°﹣（∠B+∠C）， ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝90°﹣（∠B+∠C）﹣（90°﹣∠C）＝（∠C﹣∠B）； （2）成立． 理由如下：∠ADC＝90°， ∴∠ACB＝90°+∠CDA， ∴∠CAD＝∠ACB﹣90°， ∵AE是∠BAC的平分线， ∴∠CAE＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠ACB）＝90°﹣（∠B+∠ACB）， ∴∠DAE＝∠CAE+∠CAD＝90°﹣（∠B+∠ACB）+（∠ACB﹣90°）＝（∠ACB﹣∠B）； （3）作AH⊥BC于H，如图③，由（2）得∠HAE＝（∠ACB﹣∠B）； ∵FD⊥BC， ∴FD∥AH， ∴∠DFE＝∠HAE＝（∠ACB﹣∠B）； （4）AH⊥BC于H，如图④，与（3）一样可得∠DFE＝∠HAE＝（∠ACB﹣∠B）． 【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了平行线的性质．准确识别图形是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$