冲刺2025年中考数学之二次函数二倍角存在性

宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 冲刺2025年中考之二次函数二倍角存在性 【构造二倍角的方法】 1) 构造二倍角的三角函数，并通过勾股定理求解.（左图） 2) 等腰三角形的外角.（右图） 3）二倍角公式与夹角公式连用 二倍角公式，夹角公式 把二倍角转化为角相等的常用方法 1) 利用角平分线转化； 2) 利用等腰三角形顶角的外角转化； 3) 利用直角三角形斜边中线得等腰三角形转化. 例1、如图，抛物线y＝ax2+6x+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接AC．直线y＝x﹣5经过点B、C． （1）求抛物线的解析式； （2）P为抛物线上一点，连接AP，若AP将△ABC的面积分成相等的两部分，求P点坐标； （3）在直线BC上是否存在点M，使直线AM与直线BC形成的夹角（锐角）等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 例2、已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点． （1）抛物线的解析式为　 ，抛物线的顶点坐标为　 　； （2）如图1，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标； （4）如图3，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标． 例3、如图1，已知抛物线y＝x2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图2，点F是该抛物线的对称轴（x轴上方部分）上的一个动点，连接AF，将△ABF沿直线AF翻折，得到△AB'F，当点B′落在该抛物线的对称轴上时，求点F的坐标； （3）如图3，点D是该抛物线的顶点，点P（m，n）是第一象限内该抛物线上的一个点，分别连接AD、AC、AP，当∠PAB＝2∠CAD时，求m的值． 例4、如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（1，﹣1）、B（﹣3，3），与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）若点P为该抛物线上位于直线AB下方的一点，且点P的横坐标为m，过点P作PQ∥y轴，交线段AB于点Q． ①当△APQ为直角三角形时，求m的值； ②当﹣3＜m＜0时，若∠PCA＝3∠ACO，求m的值． 例5、如图，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，连接，当线段长度最大时，判断四边形的形状并说明理由； （3）如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线交抛物线于点，且．在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 模考专练 （2022•槐荫区二模）如图，抛物线与轴分别交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，若且． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图1，点是该抛物线的顶点，点是第二象限内抛物线上的一个点，分别连接、、，当时，求的值； （3）如图2，的角平分线交轴于点，过点的直线与射线，分别交于，，已知当直线绕点旋转时，为定值，请直接写出该定值． （2023年商河一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过两点，与x轴的另一个交点为C． （1）求抛物线的解析式． （2）D为直线上方抛物线上一动点． ①连接交于点E，若，求点D坐标； ②是否存在点D，使得的度数恰好是的2倍？如果存在，请求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由． （2023年天桥三模）如图，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，直线经过，两点． （1）求抛物线的解析式． （2）点是直线上方抛物线上一点，其横坐标为，过点作直线轴于点，交直线于点．当时，求点的坐标 （3）在（2）的条件下，在轴上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． （2024·四川资阳·中考真题）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点K．记，的面积分别为，，求的最大值； (3)如图2，连接，点E为线段的中点，过点E作交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． （2024·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，，对称轴为直线，将抛物线绕点旋转后得到新抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线． (1)分别求抛物线和的表达式； (2)如图，点的坐标为，动点在直线上，过点作轴与直线交于点，连接，．求的最小值； (3)如图，点的坐标为，动点在抛物线上，试探究是否存在点，使？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 冲刺2025年中考之二次函数二倍角存在性 【构造二倍角的方法】 1) 构造二倍角的三角函数，并通过勾股定理求解.（左图） 2) 等腰三角形的外角.（右图） 3）二倍角公式与夹角公式连用 二倍角公式，夹角公式 把二倍角转化为角相等的常用方法 1) 利用角平分线转化； 2) 利用等腰三角形顶角的外角转化； 3) 利用直角三角形斜边中线得等腰三角形转化. 例1、如图，抛物线y＝ax2+6x+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接AC．直线y＝x﹣5经过点B、C． （1）求抛物线的解析式； （2）P为抛物线上一点，连接AP，若AP将△ABC的面积分成相等的两部分，求P点坐标； （3）在直线BC上是否存在点M，使直线AM与直线BC形成的夹角（锐角）等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解（1）由y＝x﹣5得点B坐标（5，0），点C坐标为（0，﹣5）， 把B（5，0），C（0，﹣5）代入抛物线y＝ax2+6x+c得， ， 解得a＝﹣1，c＝﹣5， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+6x﹣5； （2）作BC的中点N，连接AN并延长交抛物线于P，如图： ∵N为BC中点， ∴直线AN将△ABC的面积分成相等的两部分，即P是满足条件的点， ∵B（5，0），C（0，5），N为BC中点， ∴N（，）， 设y＝﹣x2+6x﹣5＝0， 解得：x1＝1，x2＝5， ∴A（1，0）， 设直线AN解析式为y＝mx+n， 将A（1，0），N（，）代入得：， 解得：， ∴直线AN解析式为yx， 解方程组， 解得：或， ∴P（，）； （3）存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍， 设抛物线的对称轴l与直线BC相交于点P， 分两种情况： ①点M在AP左边时， ∵∠AMB＝2∠ACB，∠AMB＝∠ACM+∠CAM， ∴∠ACM＝∠CAM， ∴AM＝CM， ∵点M在直线y＝x﹣5上， 设点M的坐标为（m，m﹣5）， 根据两点间距离公式， AM2＝（1﹣m）2+（0﹣m+5）2＝2m2﹣12m+26， CM2＝（0﹣m）2+（﹣5﹣m+5）2＝2m2， ∴2m2﹣12m+26＝2m2，解得m， ∴M点的坐标为（，）， ②点M在PO右边， 此时∠AM2C＝∠AM1B， ∴AM1＝AM2， ∵AP⊥BC， ∴点P是M1M2的中点， 根据中点坐标公式得M2（，）， ∴M点的坐标为（，）或（，）． 例2、已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点． （1）抛物线的解析式为　 ，抛物线的顶点坐标为　 　； （2）如图1，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标； （4）如图3，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标． 【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3）， 即：﹣3a＝3， 解得：a＝﹣1． 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3． 顶点坐标为（﹣1，4）； 故答案为：y＝﹣x2﹣2x+3；（﹣1，4）； （2）不存在，理由： 如答图1，连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H， 直线BC的表达式为：y＝x+3， 设点P（x，﹣x2﹣2x+3），点H（x，x+3）， 则S四边形BOCP＝S△OBC+S△PBC3×3（﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3）×3＝8， 整理得：3x2+9x+7＝0， 解得：Δ＜0，故方程无解， 则不存在满足条件的点P； （3）∵OB＝OC， ∴∠CBO＝45°， ∵S△CPD：S△BPD＝1：2， ∴BDBC32，yD＝BDsin∠CBO＝2， 则点D（﹣1，2）； （4）如答图2，设直线PE交x轴于点H， ∵∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°， ∴∠OHE＝45°， ∴OH＝OE＝1， 则直线HE的表达式为：y＝﹣x﹣1， 联立方程，得 解得：x（舍去正值）， 故点P（，）． 例3、如图1，已知抛物线y＝x2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图2，点F是该抛物线的对称轴（x轴上方部分）上的一个动点，连接AF，将△ABF沿直线AF翻折，得到△AB'F，当点B′落在该抛物线的对称轴上时，求点F的坐标； （3）如图3，点D是该抛物线的顶点，点P（m，n）是第一象限内该抛物线上的一个点，分别连接AD、AC、AP，当∠PAB＝2∠CAD时，求m的值． 【分析】（1）运用待定系数法把点A，C的坐标代入抛物线y＝x2+bx+c，解方程组即可； （2）根据抛物线对称轴公式可求出x＝﹣1，则AB＝4，AE＝2，由翻折的性质可得：AB′＝AB＝4，AF＝FB＝FB′，设点F（﹣1，a），运用三角函数定义即可求得答案； （3）连接CD，过点P作PH⊥x轴于点H，作∠PAB的平分线AG交PH于点G，过点G作GM⊥AP于点M，证明△PMG∽△PHA，运用相似三角形性质及三角函数、勾股定理建立方程求解即可． 解：（1）把点A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入抛物线y＝x2+bx+c， 得：， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣3； （2）如图2，由（1）可得抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣3，A（﹣3，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1， ∴当y＝0时，x2+2x﹣3＝0， 解得：x1＝﹣3，x2＝1， ∴B（1，0）， ∴AB＝1﹣（﹣3）＝4，AE＝2，AF＝BF， 由翻折的性质可得：AB′＝AB＝4，AF＝FB＝FB′， ∴AE＝AB′， ∵∠AEB′＝90°， ∴∠AB′E＝30°， ∴∠AFE＝2∠AB′E＝60°， 设点F（﹣1，a）， ∴EF＝a， ∵tan∠AFE＝， ∴EF＝＝＝， ∴a＝， ∴F（﹣1，）； （3）如图3，连接CD，过点P作PH⊥x轴于点H，作∠PAB的平分线AG交PH于点G，过点G作GM⊥AP于点M， 由（1）（2）可得：抛物线y＝x2+2x﹣3，对称轴为直线x＝﹣1， ∴D（﹣1，﹣4）， ∵A（﹣3，0），C（0，﹣3）， ∴AD＝＝2，CD＝＝，AC＝＝3， ∵AD2＝（2）2＝20，CD2+AC2＝（）2+（3）2＝20， ∴AD2＝CD2+AC2， ∴△ACD是直角三角形， ∴tan∠CAD＝＝， ∵AG平分∠PAB，GM⊥AP，GH⊥AB， ∴∠PAB＝2∠MAG＝2∠GAH，GH＝GM，∠PMG＝∠PHA＝90°， ∵∠PAB＝2∠CAD， ∴∠MAG＝∠GAH＝∠CAD， ∴tan∠MAG＝tan∠GAH＝tan∠CAD＝， ∵P（m，n），A（﹣3，0）， ∴AH＝3+m，PH＝n， ∴GH＝GM＝AH•tan∠GAH＝， ∵∠PMG＝∠PHA＝90°，∠APH＝∠APH， ∴△PMG∽△PHA， ∴＝，即＝， ∴PM＝， ∴PG＝PH﹣GH＝n﹣， 在Rt△PMG中，PM2+GM2＝PG2， ∴（）2+（）2＝（n﹣）2， ∴n＝m+①， ∵点P在抛物线y＝x2+2x﹣3上， ∴n＝m2+2m﹣3②， 联立①②式可得：4m2+5m﹣21＝0， 解得：m1＝﹣3，m2＝， ∵点P（m，n）是第一象限内该抛物线上的一个点， ∴m＝． 例4、如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（1，﹣1）、B（﹣3，3），与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）若点P为该抛物线上位于直线AB下方的一点，且点P的横坐标为m，过点P作PQ∥y轴，交线段AB于点Q． ①当△APQ为直角三角形时，求m的值； ②当﹣3＜m＜0时，若∠PCA＝3∠ACO，求m的值． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（1，﹣1）、B（﹣3，3）， ∴， ∴a＝1，b＝1， ∴抛物线的解析式为：y＝x2+x﹣3， （2）①∵PQ∥y轴， ∴∠APQ＝90°或∠QAP＝90°， 当∠APQ＝90°时， 点P的纵坐标为﹣1， ∴点P（﹣2，﹣1）， ∴m＝﹣2， 当∠QAP＝90°时， 直线PA的解析式为y＝x﹣2， 由， 解得或， ∴P（﹣1，﹣3）， ∴m＝﹣1 综上所述：m＝﹣1或﹣2， （2）②连接AC、BC交x轴于F，延长CP交x轴于M，作FH⊥CM于H， ∵A（1，﹣1）、B（﹣3，3）、C（0，﹣3）， ∴tan∠ACO＝tan∠BCO， ∴∠ACO＝∠BCO， ∵∠PCA＝3∠ACO， ∴∠MCF＝∠FCO， ∵FH⊥CH， ∴△HCF≌△OCF（AAS）， ∴FH＝OF＝，CH＝CO＝3， ∵△MHF∽△MOC， ∴， ∴设MH＝x，则MO＝2x， 在△MHF中， 由勾股定理得：， 解得x＝0或2， ∴M（﹣4，0）， ∴直线MC的函数关系式为：y＝﹣， 直线MC与抛物线表达式联立得： ﹣， ∴x1＝0，x2＝﹣， ∴m的值为﹣． 例5、如图，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，连接，当线段长度最大时，判断四边形的形状并说明理由； （3）如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线交抛物线于点，且．在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）将点代入， 得， 对称轴为直线， ， ， ， ， ， 抛物线的解析式为； （2）令，则， ， 令，则， 或， ，， 设直线的解析式为， ， ， ， 设，则， ， 当时，的长度最大， ，， ，， ， 四边形是平行四边形； （3）存在点，使得为等腰三角形，理由如下： 过点作轴的垂线，过点作轴交于点，过点作轴的垂线， 轴， ， ， ， ，是的中点， ， ， ， ， 设， ， 解得（舍或， ， ， 设， ①当时，， ， 或； ②当时，， 此时无解； ③当时，的中点，， ， ， ， 综上所述：点的坐标为或或． 模考专练 （2022•槐荫区二模）如图，抛物线与轴分别交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，若且． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图1，点是该抛物线的顶点，点是第二象限内抛物线上的一个点，分别连接、、，当时，求的值； （3）如图2，的角平分线交轴于点，过点的直线与射线，分别交于，，已知当直线绕点旋转时，为定值，请直接写出该定值． （2022•槐荫区二模）如图，抛物线与轴分别交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，若且． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图1，点是该抛物线的顶点，点是第二象限内抛物线上的一个点，分别连接、、，当时，求的值； （3）如图2，的角平分线交轴于点，过点的直线与射线，分别交于，，已知当直线绕点旋转时，为定值，请直接写出该定值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）， ， ， ， ， 将点、代入， ， 解得， ； （2）， ， 令，则， 解得或， ， ，，， ， 是直角三角形， ， 在中，取， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 联立方程组， 解得（舍或， ； （3）过点作交于点，过点作轴交于点， 平分， ， ，， ，， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ，， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 联立方程组， 解得， ，， ， 设，则，， ， ， ， ． （2023年商河一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过两点，与x轴的另一个交点为C． （1）求抛物线的解析式． （2）D为直线上方抛物线上一动点． ①连接交于点E，若，求点D坐标； ②是否存在点D，使得的度数恰好是的2倍？如果存在，请求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由． 【解析】 【分析】（1）分别令和代入中可得点和点的坐标,利用待定系数法求抛物线的函数解析式； （2）①过点作轴于，交于点，证明，设点，，根据相似三角形性质建立方程求解即可； ②过点作轴，交抛物线于点，过点作轴，交于点，先证明，然后设点，应用三角函数定义建立方程求解． 【小问1详解】 在中，令时，， ， 令时，， ， , 把，代入中得： ， 解得：， 抛物线的函数解析式为：； 【小问2详解】 ①如图1，过点作轴于，交于点， 设点，， ， 轴， ， ， ， ， ， ， 即：， ， 解得：，， 点为直线上方抛物线上的点， 的坐标为或； ②存在点，使得，理由如下： 如图2，过点作轴，交抛物线于点，过点作轴，交于点， ， ， ， 在中，，， ， ， 设点，则，， ， 解得：， 点的坐标为； 存在点，使得，此时点． （2023年天桥三模）如图，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，直线经过，两点． （1）求抛物线的解析式． （2）点是直线上方抛物线上一点，其横坐标为，过点作直线轴于点，交直线于点．当时，求点的坐标 （3）在（2）的条件下，在轴上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】 【分析】（1）将、代入，得，求得，进而可得二次函数解析式； （2），，解得，，则，待定系数法求直线的解析式为，设，则，则，，由，可得，计算求出满足要求的解即可，进而可得点坐标； （3）如图，记与轴的交点为，过作于，由，可知是的平分线，则，由，解得，设，则，，，证明，则，即，计算求出满足要求的，进而可得点坐标，根据对称性求解另一点坐标即可． 【小问1详解】 解：将、代入，得， 解得， ∴， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：，，解得，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，，解得， ∴， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴，， ∵， ∴， 解得，， 当时，与重合，舍去， 当时，； 【小问3详解】 解：存在，点的坐标为或． 如图，记与轴的交点为，过作于， ∵， ∴是的平分线， ∴， ∵， ∴， 设，则，，， ∵，， ∴， ∴，即，解得（舍去），， ∴， 由对称的性质可得， 综上，存在，点的坐标为或． （2024·四川资阳·中考真题）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点K．记，的面积分别为，，求的最大值； (3)如图2，连接，点E为线段的中点，过点E作交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）先求点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出的解析式，设，则：，将转化为二次函数求最值即可； （3）易得垂直平分，设，勾股定理求出点坐标，三线合一结合同角的余角相等，推出，分别作点关于轴和直线的对称点，直线，与抛物线的交点即为所求，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 把，，代入函数解析式得： ∴，解得：； ∴； （2）∵，， ∴设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴， 设，则：， ∴，，， ∴， ∴ ， ∴当时，的最大值为； （3）存在： 令， 解得：， ∴， ∵，点为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ①取点关于轴的对称点，连接，交抛物线与点，则：，， 设的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：（舍去）或， ∴； ②取关于的对称点，连接交于点，连接交抛物线于点， 则：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点作轴，则：，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：（舍去）或， ∴； 综上：或． （2024·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，，对称轴为直线，将抛物线绕点旋转后得到新抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线． (1)分别求抛物线和的表达式； (2)如图，点的坐标为，动点在直线上，过点作轴与直线交于点，连接，．求的最小值； (3)如图，点的坐标为，动点在抛物线上，试探究是否存在点，使？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】（1）先求出点A、B、C坐标，再用待定系数法求出抛物线的表达式，求出其顶点坐标，由旋转可知抛物线的二次项系数为原来的相反数，顶点坐标与抛物线的顶点坐标关于原点对称，即可求解； （2）将点F向右平移2个单位至，则，，过点D作直线的对称点为，连接，则四边形为平行四边形，则，，因此，即可求解； （3）当点P在直线右侧抛物线上时，可得，作H关于直线的对称点，则点在直线上，可求直线的表达式为，联立， 解得：或（舍），故；当点P在直线左侧抛物线上时，延长交y轴于点N，作的垂直平分线交于点Q，交y轴于点M，过点E作轴于点K，则，可得，可证明出，由，得，设，则，，在和中，由勾股定理得，解得：或（舍），所以，可求直线表达式为：，联立，解得：或（舍），故． 【详解】（1）解：设对称轴与x轴交于点G， 由题意得， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 将A、B、C分别代入， 得：， 解得：， ∴， ∴，顶点为 ∵抛物线绕点旋转后得到新抛物线， ∴抛物线的，顶点为， ∴的表达式为：，即 （2）解：将点F向右平移2个单位至，则，，过点D作直线的对称点为，连接， ∴， ∵， ∴直线为直线， ∵轴， ∴， 对于抛物线，令，则， ∴， ∵点D与点关于直线对称， ∴点， ∵轴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 当点三点共线时，取得最小值， 而， ∴的最小值为； （3）解：当点P在直线右侧抛物线上时，如图： ∵抛物线， ∴ ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 作H关于直线的对称点，则点在直线上， ∵点的坐标为，直线：， ∴， 设直线的表达式为：， 代入，, 得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 联立，得：， 解得：或（舍）， ∴； ②当点P在直线左侧抛物线上时，延长交y轴于点N，作的垂直平分线交于点Q，交y轴于点M，过点E作轴于点K，则，如图： ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 由点 得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，， 在和中，由勾股定理得， ∴， 解得：或（舍） ∴， ∴， ∴， 设直线表达式为：， 代入点N，E， 得：， 解得： ∴直线表达式为：， 联立， 得：， 整理得： 解得：或（舍）， ∴， 综上所述，或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$