冲刺2025年中考数学之二次函数等角存在性

宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 冲刺2025年中考之二次函数等角存在性 【常见的构角方法】 1）平行线的同位角、内错角相等； 2）等腰三角形的等边对等角； 3）角平分线分的两个角相等； 4）全等（相似）三角形对应角相等； 5）若两角的三角函数值相等，则两角相等； 6）同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等. 角度转化的一般方法为： 1）利用锐角三角形函数、特殊角的三角函数值，常见为正切值相等。 2）构造等腰三角形 3）构造三垂直证全等或相似 4）利用夹角公式，和的夹角为a 例1、如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC、BC． （1）求抛物线的表达式； （2）D为抛物线上第一象限内一点，求△DCB面积的最大值； （3）点P是抛物线上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，求点P的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）过点D作DE∥y轴交BC于点E，利用三角形的面积公式即可求得结论； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当点P在BC上方时，利用平行线的判定与性质可得点C，P的纵坐标相等，利用抛物线的解析式即可求得结论；②当点P在BC下方时，设PC交x轴于点H，设HB＝HC＝m，利用等腰三角形的判定与性质和勾股定理求得m值，则点H坐标可求；利用待定系数法求得直线PC的解析式，与抛物线解析式联立即可求得点P坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4）， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为yx2x+4； （2）如图，过点D作DE∥y轴交BC于点E，交x轴于点F， ∵B（8，0），C（0，4）， ∴直线BC解析式为yx+4， 设D（m，m2m+4）， 则E（m，m+4）， ∵D为抛物线上第一象限内一点， ∴DE＝DF﹣EF＝（m2m+4）﹣（m+4）m2+2m， ∴△DCB面积8×DE＝4（m2+2m）＝﹣m2+8m＝﹣（m﹣4）2+16， ∴当m＝4时，△DCB面积最大，最大值为16； （3）①当点P在BC上方时，如图， ∵∠PCB＝∠ABC， ∴PC∥AB， ∴点C，P的纵坐标相等， ∴点P的纵坐标为4， 令y＝4，则x2x+4＝4， 解得：x＝0或x＝6， ∴P（6，4）； ②当点P在BC下方时，如图， 设PC交x轴于点H， ∵∠PCB＝∠ABC， ∴HC＝HB． 设HB＝HC＝m， ∴OH＝OB﹣HB＝8﹣m， 在Rt△COH中， ∵OC2+OH2＝CH2， ∴42+（8﹣m）2＝m2， 解得：m＝5， ∴OH＝3， ∴H（3，0）． 设直线PC的解析式为y＝kx+n， ∴， 解得：， ∴yx+4， ∴， 解得：，， ∴P（，）． 综上所述，点P的坐标为（6，4）或（，）． 【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，待定系数法，一次函数图象的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 例2、如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B点，C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）将△AOC绕坐标原点O顺时针旋转90°，点C的对应点为点C'，点C'是否落在抛物线上？说明理由． （3）P为抛物线上直线BC上方的一点，当四边形PCOB面积最大时，求点P的坐标； （4）点D（2，n）在抛物线上，连接BC，BD．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【分析】（1）把A、C两点坐标代入即可得解； （2）根据旋转可得点C（0，3）的对应点C'（3，0），坐标代入抛物线解析式即可检验是否在抛物线上； （3）设点P的坐标为（x，﹣x2+2x+3），根据S四边形OBPC＝S△OPC+S△OBP，即可得到关于x的二次函数解析式，化成顶点式就可以得到面积的最大值和此时x的值，即点Pd的横坐标，再把x值代入所设的点P的纵坐标﹣x2+2x+3中即可得解； （4）首先把D点坐标代入抛物线解析式得到D（2，3），所以CD∥OB，根据坐标易得△OBC是等腰直角三角形，设PB与y轴交于点D'，通过ASA证明△CD'B≌△CDB，所以CD'＝CD＝2，OD'＝OC﹣CD'＝1，得到点D'（0，1），从而计算出直线BD'解析式为，再与抛物线解析式构成方程组即可得解． 【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），C（0，3）代入抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）得， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）将△AOC绕坐标原点O顺时针旋转90°，点C（0，3）的对应点为点C'，则点C'（3，0）， 当x＝3时，y＝﹣32+2×3+3＝0， ∴点C'落在抛物线上； （3）连接OP，设点P的坐标为（x，﹣x2+2x+3）， ∵S四边形OBPC＝S△OPC+S△OBP， ∴， 当，四边形PCOB面积最大，最大面积为， 此时：点P纵坐标， 即点P的坐标为（，）； （4）存在，P坐标为（，）．理由如下： 如图：∵点D（2，n）在抛物线y＝﹣x2+2x+3上， ∴代入得：n＝﹣22+2×2+3＝3， ∴D（2，3）， ∵点C（0，3）， ∴CD∥OB， 又∵点B坐标为（0，3），点C（0，3）， ∴OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC＝45°， ∴∠DCB＝∠OCB＝45°， 设PB与y轴交于点D'， 在△CD'B和△CDB中， ， ∴△CD'B≌△CDB（ASA）， ∴CD'＝CD＝2， ∴OD'＝OC﹣CD'＝1， 即点D'（0，1）所以直线BD'解析式为， 联立抛物线与直线解析式得：， 解得：，（不合题意舍去）， 故点P坐标为（，）． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、全等三角形的判定和性质、图形的旋转、面积的计算等，解题关键是化顶点式和待定系数法的运用． 例3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），该抛物线对称轴上的点P在x轴上方，线段PB绕着点P逆时针旋转90°至PC（点B对应点C），点C恰好落在抛物线上． （1）求抛物线的表达式并写出抛物线的对称轴； （2）求点P的坐标； （3）点Q在x轴下方抛物线上，连接AC．如果∠QAB＝∠ABC，求点Q的坐标． 解：将点A、B坐标代入抛物线表达式得：，解得：， 故抛物线的表达式为：；   函数的对称轴为：；   设点，则，点， 如图1，设抛物线对称轴交x轴于点N，过点C作交抛物线对称轴于点M， ，， ， ，， ≌， ，， ，解得：， 故点，点； 故点P的坐标为；   ∵ ∴CB∥ AQ BC：y=-3x+9 设AQ:y=3x+b把A(-1,0)代入∴y=-3x - 3       解得：x1=6 x2=-1(舍去) ∴Q(-6,-21) 例4、如图抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（B在A的右侧），且与直线y＝x+2交于A，C两点，已知B点的坐标为（6，0）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点E是线段AC上一点，且满足； ①若点P为直线AC上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t，当t为何值时，△PEA的面积最大； ②过点E向x轴作垂线，交x轴于点F，在抛物线上是否存在一点N，使得∠NAC＝∠FEB．若存在，直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 解：（1）当y＝0时，x+2＝0， ∴x＝﹣2 ∴A（﹣2，0）………………………………………………………1分 ∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣2，0），B（6，0） ∴ 解得 …………………… 3分 ∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x+12 …………………………………………… 4分 （2）①由题意得， 解得，或 ∴点C的坐标为（5，7）……………………………………………………………… 5分 如图，过点C作CH⊥x轴于H，过点E作EF⊥x轴于F ∴H（5，0） ∴AH＝7 ∵ ∴ ∴F（4，0） ∴E（4，6）…………………………………………… 6分 设P（t，﹣t2+4t+12） 过点P作PG∥y轴交直线AC于G， 则G（t，t+2）， ∴S△PEA＝（xE﹣xA）•PG＝（﹣t2+4t+12-t-2） ＝﹣3t2+9t+30 …………………………… ……………………7分 ∴当t＝时，△PEA的面积最大……………………………… ……………………8分 ②存在， …………………………… ………………………………………………9分 N点的坐标为（，）或（4，12） ………………………………… ………12分 （写对一个2分，写对两个3分） 理由：当点N在直线AC下方时 ∵EF⊥x轴，E（4，6），B（6，0） ∴EF＝6，BF＝2 在Rt△BEF中，tan∠BEF＝＝ 如图2，∵直线的解析式为y＝x+2 ∴∠BAC＝45° 过点F作FK⊥AE于K，交AN于M，过点K作KQ⊥x轴于Q，过点M作ML⊥x轴于L． ∴∠AKF＝90°C ∴∠AFK＝45°∴AK＝FK ∴KQ＝AQ＝FQ＝3 ∴K（1，3） ∵∠NAC＝∠FEB ∴tan∠KAM＝＝ ∴＝ ∴M（2，2） ∴直线AN的的解析式为y＝x+1 联立直线AN和抛物线解析式，解得，或 ∴N（，） 当点N在直线AC的上方时，点M（2，2）关于直线y＝x+2的对称点M'（0，4） ∴直线AN'的解析式为y＝2x+4， 联立直线AN'和抛物线解析式， 解得，或， ∴N'（4，12） 综上所述，存在点N，N点的坐标为（，）或（4，12） 模考题专练 （2023年章丘一模）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，连接． （1）求抛物线的解析式． （2）点P是第三象限抛物线上一点，直线与y轴交于点D，的面积为12，求点P的坐标． （3）抛物线上是否存在点Q使得？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）先由的面积求出的长，从而确定点坐标为，再由待定系数法求出直线的解析式，直线与抛物线的交点即为所求； （3）根据题意当点Q在第一象限时，利用二次函数的对称性求解；当点Q在第四象限时，设与x轴交于点E，首先根据勾股定理求出点E的坐标，然后求出的解析式，最后联立直线和抛物线即可求出点Q的坐标． 【小问1详解】 将，代入， ， 解得， ； 【小问2详解】 令，则， 解得或， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 联立方程组， 解得或， ； 【小问3详解】 如图所示，当点Q在第一象限抛物线上时， ∵ ∴ ∴点Q和点C关于对称轴对称 ∵， ∴抛物线的对称轴为 ∵ ∴点Q的坐标为； 如图所示，当点Q在第四象限的抛物线上时，设与x轴交于点E ∵ ∴ ∴设 ∵， ∴， ∴在中，，即 ∴解得 ∴ ∴ ∴设直线的解析式为 将，代入得， ∴解得 ∴ ∴联立直线和抛物线得， ∴解得 ∴将代入得， ∴点Q的坐标为． 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，勾股定理的应用是解题的关键 （2023年莱芜二模）抛物线的顶点坐标为，与x轴交于，B两点，与y轴交于点C． （1）求这条抛物线的函数表达式； （2）如图1，点M是直线上的一个动点，连接，求的最小值，并求出此时M点的坐标； （3）如图2，点P在第四象限的抛物线上，连接与相交于点Q，与x轴交于点G，是否存在点P，使．若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】 【分析】（1）设这条抛物线的函数表达式为，代入，即可求解； （2）作点O关于直线的对称点，连接交于点M，此时有最小值，求得直线和的解析式即可求解； （3）证明，设点，则 ，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设这条抛物线的函数表达式为， ∴，解得， ∴这条抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：作点O关于直线对称点，连接交于点M，此时有最小值， 令，则， 解得，， 令，则， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 同理得直线的解析式为， 解方程，得， ， ∴M点的坐标为； 【小问3详解】 解：存在，理由： ∵，，， ∴， ∴， 过点D作y轴的平行线交过点C与x轴的平行线于点G， ∵， ∴， 即，则， 则； 过点Q作轴于点M，则， 则， ∴， 过点P作轴交过点D与x轴的平行线于点N， ∴， ∴， 在中，， 设点， 则， 解得：（舍去）或4， 经检验，是方程的根， 则点． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、二次函数的性质、两点间的距离公式以及解直角三角形，运用转化思想是解题的关键 （2023年济阳二模）抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接，D是线段上一点，，作射线交抛物线与点E，H是抛物线上一点，连接，若平分，求H点的坐标； （3）在（2）的条件下，如图2，过点E作EF垂直于x轴于点F，在直线EF上存在点M，使得∠DMB=45°．请直接写出点M的坐标． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）先求出，过点D作轴于点G，证得，求出，得到过点D作，且，连接并延长交抛物线于点H，点H即为所求，过点D作x轴的平行线，交y轴于点P，过点作于Q，证明得到，求出直线解析式， 与抛物线联立得H点的坐标； （3）满足，可构造圆，利用圆周角定理求出答案． 【小问1详解】 把代入得， ，解得： ∴； 【小问2详解】 令得，， ∴， 过点D作轴于点G， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴ ∴ 过点D作，且，连接并延长交抛物线于点H，点H即为所求 过点D作x轴的平行线，交y轴于点P，过点作于Q ∵， ∴ ∴ 又∵，∴ ∴，∴， ∴， 设直线为，把点代入得，， ∴， ∴， 与抛物线联立得，解得：，（舍） ∴； 【小问3详解】 解方程组， 得（舍去），， ∴， 设，以为对角线作正方形，则，如图， 当M在上时，， 即， 解得（舍去），， 当M在上时，， 即， 解得（舍去），， ∴或． 【点睛】本题考查了二次函数，一次函数的性质，借助几何知识灵活应用角平分线，正方形及圆周角定理解决问题是解题的关键． （2024槐荫、莱芜、南山区）26．（12分）如图，二次函数y＝x2﹣2mx﹣2m﹣1（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC、BD． （1）若m＝1，求B点和C点坐标； （2）若∠ACO＝∠CBD，求m的值； （3）若在第一象限内二次函数y＝x2﹣2mx﹣2m﹣1（m＞0）的图象上，始终存在一点P，使得∠ACP＝75°．请结合函数的图象，直接写出m的取值范围． 【解答】解：（1）当m＝1 时，y＝x2﹣2x﹣3， 令y＝0，得x2﹣2x﹣3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3， ∵点A在点B的左侧， ∴B（3，0）， 令x＝0，得y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）； （2）当y＝0时，x2﹣2mx﹣2m﹣1＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝2m+1， ∵点A在点B的左侧，且m＞0， ∴A（﹣1，0），B（2m+1，0）， ∵当 x＝0时，y＝﹣2m﹣1， ∴C（0，﹣2m﹣1）， ∴OB＝OC＝2m+1， ∵∠BOC＝90°， ∴∠OBC＝45°， 如图1中，连接AE， ∵y＝x2﹣2mx﹣2m﹣1＝（x﹣m）2﹣（m2+2m+1）， ∴D（m，﹣m2﹣2m﹣1），F（m，0）， ∴DF＝m2+2m+1，OF＝m，BF＝m+1， ∵A、B关于对称轴直线x＝1对称， ∴AE＝BE， ∴∠EAB＝∠OBC＝45°， ∵∠ACO＝∠CBD，∠OCB＝∠OBC， ∴∠ACO+∠OCB＝∠CBD+∠OBC， 即∠ACE＝∠DBF， ∵EF∥OC， tan∠ACE＝＝＝＝， tan∠DBF＝＝＝m+1， ∵∠ACE＝∠DBF， ∴tan∠ACE＝tan∠DBF， ∴＝m+1， 解得：m＝1或﹣1， 经检验，m＝±1是方程＝m+1的根， ∵m＞0， ∴m＝1； （3）如图2，设PC交x轴于点Q， 当点P在第一象限时，点Q总是在点B的左侧，此时∠CQA＞∠CBA，即∠CQA＞45°． ∵∠ACQ＝75°， ∴∠CAO＜60°， ∴2m+1＜， 解得：m＜， 又∵∠CAQ＞15°， 同法可得m＞， ∵m＞0， ∴0＜m＜． （2024济阳一模）26．（12分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（5，0），B（4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点坐标为点D，与y轴交于点E． （1）求b，c的值； （2）直线EF与x轴交于点F，若∠FEO＝∠CEA，求直线EF与抛物线的另一个交点坐标； （3）该抛物线上是否存在点M，使得∠MBC＝∠BCD，若存在，直接出所有符合条件的点M坐标；若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）将A（5，0）B（4，﹣3）代入 y＝x2+bx+c得： ，解得：， 即b＝﹣6，c＝5； （2）过点C作 CM⊥AE于点M， ∵y＝x2﹣6x+5， 令y＝0得x：＝1，x＝5， ∴C（1，0）， 令x＝0得 y＝0， ∴E（0，5）， 由点A、E、C的坐标得：EC＝，AE＝5，AC＝4， S△ACE＝AE•CM＝AC×OE， 即5×CM＝4×5， 解得：CM＝2， 则sin∠CEM＝＝， 则tan∠CEM＝， ∵∠FEO＝∠CEA， ∴， ∴在Rt△OEF 中，， ∵OE＝5， ∴OF＝， ∴F ， 由点E、F的坐标得，直线EF的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：x2﹣6x+5＝x+5， 解得：x＝0（舍去）或， 则另一交点坐标为（，）； 当点F在y轴的右侧时， 同理可得：另一交点坐标为（4.5，﹣1.75）； 综上，另一交点坐标为：（，）或4.5，﹣1.75）； （3）存在，理由： 当点M在BO上方时，如下图， ∵∠MBC＝∠BCD， ∴MB∥CD， 由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为：y＝﹣2x+2， 则直线BM的表达式为：y＝﹣2（x﹣4）﹣3， 联立上式和抛物线的表达式得：x2﹣6x+5＝﹣2（x﹣4）﹣3， 解得：x＝4（舍去）或0， 即点M（0，5）； 当点M在OB下方时， 设BM（M′）交CD于点N， ∵∠MBC＝∠BCD， ∵△CBN为等腰三角形，则BN＝CN， 设点N（m，﹣2m+2）， 由BN＝CN得：（m﹣4）2+（﹣2m+5）2＝（m﹣1）2+（2﹣2m）2， 解得：m＝2， 则点N的坐标为：（2，﹣2）， 由点B、N的坐标得，直线BN的表达式为：y＝﹣（x﹣4）﹣3， 联立上式和抛物线的表达式得：x2﹣6x+5＝﹣（x﹣4）﹣3， 解得：x＝4（舍去）或， 即点M或 ， 综上，点M的坐标为：（0，5）或 ． （2024历下一模）26．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线M：y＝ax2+bx+c经过点A，且顶点在直线AB上． （1）如图，当抛物线的顶点在点B时，求抛物线M的表达式； （2）在（1）的条件下，抛物线M上是否存在点C，满足∠ABC＝∠ABO．若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由； （3）定义抛物线N：y＝bx2+ax+c为抛物线M的换系抛物线，点P（t，p），点Q（t+3，q）在抛物线N上，若对于2≤t≤3，都有p＜q＜1，求a的取值范围． 【解答】解：（1）在y＝x+1中，当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x＝﹣2； ∴A（0，1），B（﹣2，0）， ∵抛物线的顶点为点B， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x+2）2，把A（0，1）代入，得4a＝1， 解得：a＝， ∴y＝（x+2）2＝x2+x+1， ∴抛物线M的表达式为y＝x2+x+1； （2）存在点C，满足∠ABC＝∠ABO． 理由如下：设直线BC交y轴于点D，如图，过点A作AE⊥BC于点E， 设直线BC的解析式为y＝kx+n，把B（﹣2，0）代入得：﹣2k+n＝0， 解得：n＝2k， ∴直线BC的解析式为y＝kx+2k， 当x＝0时，y＝2k， ∴D（0，2k）， ∴OD＝2k，AD＝2k﹣1，OA＝1， 在Rt△BDO中，BD＝＝＝2， ∵∠ABC＝∠ABO，AO⊥BO，AE⊥BC， ∴AE＝AO， ∵∠DEA＝∠DOB＝90°，∠ADE＝∠BDO， ∴△DAE∽△DBO， ∴＝， ∴＝，即＝， 解得：k＝0（舍去）或k＝， ∴直线BC的解析式为y＝x+， 联立方程组得， 解得：，， ∴点C的坐标为（，）； （3）抛物线M的顶点在直线AB上且过点A，设顶点坐标为（m，m+1），则抛物线表达式可设为y＝a（x﹣m）2+m+1， 将A（0，1）代入得am2+m+1＝1， 解得：m＝0或m＝﹣， 若m＝0，则抛物线表达式为y＝ax2+x+1，则抛物线N的二次项系数为0，不符合题意； 若m＝﹣，代入y＝a（x﹣m）2+m+1，可得y＝a（x+）2﹣+1＝ax2+x+1， ∴抛物线N的表达式为y＝x2+ax+l，对称轴为直线x＝﹣a， ∵抛物线开口向上，所以距离对称轴越近y值越小， 对于2≤t≤3，都有p＜q＜l， 当点P（t，p），点Q（t+3，q）都在抛物线对称轴x＝﹣a右侧时， ∴，此不等式组无解； 当点P（t，p），点Q（t+3，q）分别在抛物线对称轴x＝﹣a两侧时， ∴， ∴﹣7＜a＜﹣6． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 冲刺2025年中考之二次函数等角存在性 【常见的构角方法】 1）平行线的同位角、内错角相等； 2）等腰三角形的等边对等角； 3）角平分线分的两个角相等； 4）全等（相似）三角形对应角相等； 5）若两角的三角函数值相等，则两角相等； 6）同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等. 角度转化的一般方法为： 1）利用锐角三角形函数、特殊角的三角函数值，常见为正切值相等。 2）构造等腰三角形 3）构造三垂直证全等或相似 4）利用夹角公式，和的夹角为a 例1、如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC、BC． （1）求抛物线的表达式； （2）D为抛物线上第一象限内一点，求△DCB面积的最大值； （3）点P是抛物线上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，求点P的坐标． 例2、如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B点，C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）将△AOC绕坐标原点O顺时针旋转90°，点C的对应点为点C'，点C'是否落在抛物线上？说明理由． （3）P为抛物线上直线BC上方的一点，当四边形PCOB面积最大时，求点P的坐标； （4）点D（2，n）在抛物线上，连接BC，BD．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由． 例3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），该抛物线对称轴上的点P在x轴上方，线段PB绕着点P逆时针旋转90°至PC（点B对应点C），点C恰好落在抛物线上． （1）求抛物线的表达式并写出抛物线的对称轴； （2）求点P的坐标； （3）点Q在x轴下方抛物线上，连接AC．如果∠QAB＝∠ABC，求点Q的坐标． 例4、如图抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（B在A的右侧），且与直线y＝x+2交于A，C两点，已知B点的坐标为（6，0）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点E是线段AC上一点，且满足； ①若点P为直线AC上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t，当t为何值时，△PEA的面积最大； ②过点E向x轴作垂线，交x轴于点F，在抛物线上是否存在一点N，使得∠NAC＝∠FEB．若存在，直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 模考题专练 （2023年章丘一模）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，连接． （1）求抛物线的解析式． （2）点P是第三象限抛物线上一点，直线与y轴交于点D，的面积为12，求点P的坐标． （3）抛物线上是否存在点Q使得∠QCB=∠CBO？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。 （2023年莱芜二模）抛物线的顶点坐标为，与x轴交于，B两点，与y轴交于点C． （1）求这条抛物线的函数表达式； （2）如图1，点M是直线上的一个动点，连接，求的最小值，并求出此时M点的坐标； （3）如图2，点P在第四象限的抛物线上，连接CD，PD与BC相交于点Q，与x轴交于点G，是否存在点P，使∠PQC=∠ACD．若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． （2023年济阳二模）抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接，D是线段上一点，，作射线交抛物线与点E，H是抛物线上一点，连接，若平分，求H点的坐标； （3）在（2）的条件下，如图2，过点E作EF垂直于x轴于点F，在直线EF上存在点M，使得∠DMB=45°．请直接写出点M的坐标． （2024槐荫、莱芜、南山区）如图，二次函数y＝x2﹣2mx﹣2m﹣1（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC、BD． （1）若m＝1，求B点和C点坐标； （2）若∠ACO＝∠CBD，求m的值； （3）若在第一象限内二次函数y＝x2﹣2mx﹣2m﹣1（m＞0）的图象上，始终存在一点P，使得∠ACP＝75°．请结合函数的图象，直接写出m的取值范围． （2024济阳一模）26．（12分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（5，0），B（4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点坐标为点D，与y轴交于点E． （1）求b，c的值； （2）直线EF与x轴交于点F，若∠FEO＝∠CEA，求直线EF与抛物线的另一个交点坐标； （3）该抛物线上是否存在点M，使得∠MBC＝∠BCD，若存在，直接出所有符合条件的点M坐标；若不存在，说明理由． （2024历下一模）26．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线M：y＝ax2+bx+c经过点A，且顶点在直线AB上． （1）如图，当抛物线的顶点在点B时，求抛物线M的表达式； （2）在（1）的条件下，抛物线M上是否存在点C，满足∠ABC＝∠ABO．若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由； （3）定义抛物线N：y＝bx2+ax+c为抛物线M的换系抛物线，点P（t，p），点Q（t+3，q）在抛物线N上，若对于2≤t≤3，都有p＜q＜1，求a的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$