8.5.1 直线与直线平行 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章 立体几何初步 8.5空间直线、平面的平行 8.5.1直线与直线平行 1.会判断空间两直线的位置关系. 2.能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题． 3.了解空间中两条直线的位置关系，理解两异面直线的定义； 4.了解直线与平面的位置关系，并会用图形语言和符号语言表示 学习目标 复习回顾 直线在平面内 直线在平面外 直线与平面平行 直线与平面相交 直线与平面有无数个公共点 直线与平面有且只有一个公共点 直线与平面没有公共点 共面直线 异面直线 平行直线 相交直线 不同在任何一个平面内，没有公共点 在同一平面内，没有公共点 在同一平面内，有且只有一个公共点 两平面平行 两平面没有公共点 两平面相交 两平面有一条公共直线 复习回顾 在平面几何中，判断两直线平行的方法有哪些？ ①内错角相等，两直线平行； 同位角相等，两直线平行； 同旁内角互补，两直线平行。 ②平行四边形的对边平行、梯形的上下底平行 ③三角形的中位线、相似线段成比例 ④平行于同一条直线的两直线平行； 垂直于同一条直线的两直线平行。 高中立体几何 适用于？ 导入 在平面几何的学习中，我们研究过两条直线的位置关系，重点研究了两条直线平行，得到了这种特殊位置关系的性质，以及判定两条直线平行的定理． 类似地，空间中直线、平面间的平行关系在生产和生活中有着广泛的应用，也是我们要重点研究的内容． 本节我们研究空间中直线、平面的平行关系，重点研究这些平行关系的判定和性质． 观察 如图，在长方体ABCD-A'B'C'D' 中，DC//AB，A'B'//AB ，则DC 与A'B'平行吗？ 新知讲解 在同一平面内，若a∥b且b∥c，则a∥c，即平面直线的平行具有传递性。 思考：在空间中，是否也有类似的结论? 从右图中可以发现， // . 新知讲解——平行线的传递性 黑板边所在直线AA'和门框所在直线CC'都平行于墙与墙的交线BB'，那么CC'//AA'．这说明空间中的平行直线具有与平面内的平行直线类似的性质．我们把它作为基本事实． 观察你所在的教室，你能找到类似的实例吗？ A' A B B' C C' 新知讲解——平行线的传递性 问题：空间中的平行都具有传递性，那么你还能举出其他例子吗？ 活动：将一张长方形的纸，对折2次后打开，如图所示，观察这些折痕有怎样的位置关系？ 你能概括这个基本事实吗？ 基本事实4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 新知讲解——平行线的传递性 符号语言 简记为：空间中两直线平行的传递性 公理作用 判断空间两条直线平行的依据。 图形语言 a//b，b//c ⇒ a//c． 基本事实4.(空间中)平行于同一条直线的两条直线互相平行. 平行线的传递性 新知讲解——平行线的传递性 思考：在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，在空间中此结论仍成立吗？ A C B A′ C′ B′ D D′ A C B A′ C′ B′ D D′ A C B A′ C′ B′ D D′ 注意：平面几何中成立的结论，在立体几何不一定成立 (区分)空间中垂直于同一条直线的两条直线__________________. 平行或相交或异面 典例分析 例1： 如图8.5-3，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形． 【证明】 B C D E F G H 菱形 追问1：若AC=BD，则四边形EFGH是什么图形？ 菱形 追问2：若，则四边形EFGH是什么图形？ 梯形 典例分析 [变式]如图，正方体ABCD-A’B’C’D’中，E，F，E’，F’分别是AB，AD，B’C’，C’D’的中点，求证：FF’//EE’ 巩固练习 如图所示,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,若M，N分别是A′D′，C′D′的中点， 求证：四边形ACNM是梯形． 【练习】 方法总结 空间中证线线平行的方法 ①平行四边形的对边平行 (先证平行四边形) ②三角形的中位线 (找中点) ③棱柱的侧棱互相平行 ④相似线段成比例 ⑤平行线的传递性 新知讲解——等角定理 思考 在平面内，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补．在空间中，这一结论是否依然成立呢？ 与平面中的情况类似，当空间中两个角的两条边分别对应平行时，这两个角有如图所示的两种位置. 新知讲解——等角定理 如图，分别在∠BAC和∠B'A'C'的两边上截取AD，AE和A'D'，A'E'，使得AD=A'D'，AE=A'E'. 连接AA'，DD'，EE'，DE，D'E'， ∴四边形ADD'A'是平行四边形， 同理可证 ． ∴四边形DD'E'E是平行四边形， ∴DE=D'E'， ∴△ADE ≌△A'D'E'， ∴∠BAC=∠B'A'C'． 显然，当A'C'的方向与上述情形相反时，这时候∠BAC与∠B'A'C'互补． 符号语言 公理作用 证明空间中两角相等 图形语言 等角定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 或 新知讲解——等角定理 新知讲解——等角定理 若两等角的一组对应边平行，则（ ） A．另一组对应边平行； B．另一组对应边不平行； C．另一组对应边也可能垂直； D．以上皆有可能． 【练习】 新知讲解——等角定理 【练习】 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G分别为棱CC1，BB1，DD1的中点，试证明：∠BGC＝∠FD1E. 课堂总结 基本事实4 等角定理 直线与直线平行 平行于同一条直线的两条直线平行 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 符号语言：a//b，b//c ⇒ a//c． 或 作用：判断空间两条直线平行的依据. 作用：判断或证明两个角相等或互补. 课后练习 P135练习 1．如图，把一张矩形纸片对折几次，然后打开，得到的折痕互相平行吗？ 互相平行，因为所有的折痕都与矩形的边平行， 由基本事实4可知折痕互相平行． (第1题) 课后练习 P135练习 A B C D (第2题) 课后练习 P135练习 A B C (第3题) 3. 如图，AA′，BB′，CC′不共面，且AA′ BB′，BB′ CC′. 求证：△ABC≌△ A′B′C′. 课后练习 P135练习 A B C D E F G (第4题) 证明：在正方体中，MN∥A′C′， 且MN＝eq \f(1,2)A′C′，因为A′C′∥AC，且A′C′＝AC， 所以MN∥AC，且MN＝eq \f(1,2)AC． 又AM与CN不平行，故四边形ACNM是梯形． 【详解】在长方体 中， ，两组对应边分别是平行， ，一组对应边平行， 另一组对应边不平行，且垂直， 故选：D 证明：因为F为BB1的中点，所以BF＝eq \f(1,2)BB1. 因为G为DD1的中点，所以D1G＝eq \f(1,2)DD1. 又BB1∥DD1，BB1＝DD1，所以BF∥D1G，BF＝D1G. 所以四边形D1GBF为平行四边形． 所以D1F∥GB．同理可证D1E∥GC． 所以∠BGC与∠FD1E的对应边平行且方向相同， 所以∠BGC＝∠FD1E. $$