期中复习（解答题压轴16大类型50题）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（北师大版）

期中复习（压轴16大类型50题） 一．一元一次不等式的应用（共6小题） 1．郑州市雾霾天气趋于严重，丹尼斯商场根据民众健康需要，代理销售每台 进价分别为600元、560元的A、B两种型号的空气净化器，如表是近两周的销售情况： 　销售时段 　销售数量 　销售收入 　A种型号 　B种型号 　第一周 　4台 　5台 　7100元 　第二周 　6台 　10台 　12600元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本） （1）求A，B两种型号的空气净化器的销售单价； （2）若商场准备用不多于17200元的金额再采购这两种型号的空气净化器共30台，超市销售完这30台空气净化器能否实现利润为6200元的目标，若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 2．某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本） （1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价； （2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 3．疫情期间，政府积极组织各商家开通便民服务，甲乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案，在甲商场累计购物超过200元后，超出200元的部分按85%收费，在乙商店累计超过100元后，超出部分按照90%收费． （1）若小明妈妈准备用420元去采购物资，你建议小明妈妈去 　 　 商场花费少（直接写出“甲”或“乙”）； （2）设某顾客累计了购物花费x（x＞200）元，若在甲商场购物，则实际花费 　 　 元，若在乙商场购物，则实际花费 　 　 元．（均用含x的式子表示）； （3）某顾客计划采购一件商品，经过测算选择在乙商场更优惠，求该顾客购买该商品的标价范围． 4．小明同学在广饶某电器超市进行社会实践活动时发现，该超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，近两周的销售情况如表所示： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 5台 1800元 第二周 4台 10台 3100元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本） （1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价； （2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 5．“端午节”是中华民族古老的传统节日．甲、乙两家超市在“端午节”当天对一种原来售价相同的粽子分别推出了不同的优惠方案． 甲超市方案：购买该种粽子超过200元后，超出200元的部分按95%收费； 乙超市方案：购买该种粽子超过300元后，超出300元的部分按90%收费． 设某位顾客购买了x元的该种粽子． （1）补充表格，填写在“横线”上： x （单位：元） 实际在甲超市的花费 （单位：元） 实际在乙超市的花费 （单位：元） 0＜x≤200 x x 200＜x≤300 　 　 x x＞300 　 　 　 　 （2） 列式计算说明，如果顾客在“端午节”当天购买该种粽子超过200元，那么到哪家超市花费更少？ 6．雾霾天气持续笼罩我国大部分地区，困扰着广大市民的生活，口罩市场出现热销，小明的爸爸用12000元购进甲、乙两种型号的口罩在自家商店销售，销售完后共获利2700元，进价和售价如表： 品名 价格 甲型口罩 乙型口罩 进价（元/袋） 20 30 售价（元/袋） 25 36 （1）小明爸爸的商店购进甲、乙两种型号口罩各多少袋？ （2）该商店第二次以原价购进甲、乙两种型号口罩，购进甲种型号口罩袋数不变，而购进乙种型号口罩袋数是第一次的2倍，甲种口罩按原售价出售，而效果更好的乙种口罩打折让利销售，若两种型号的口罩全部售完，要使第二次销售活动获利不少于2460元，每袋乙种型号的口罩最多打几折？ 二．解一元一次不等式组（共5小题） 7．【定义新知】 给定两个不等式P和Q，若不等式P的任意一个解，都是不等式Q的一个解，则称不等式P为不等式Q的“子集”． 例如：不等式P：x＞4是Q：x＞2的子集． 同理，给定两个不等式组M和N，若不等式组M的任意一个解，都是不等式组N的一个解，则称不等式组M为不等式组N的“子集”． 例如：不等式组M：是不等式组N：的子集． 【新知应用】 （1）请写出不等式x＜2的一个子集 　 　 ； （2）若不等式组A：，不等式组B：，则其中不等式组 　 　 是不等式组M：的“子集”（填：A或B）； （3）若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是 　 　 ； （4）若a，b，c，d为互不相等的整数，a＜b，c＜d，下列三个不等式组D：a≤x≤b，E：c≤x≤d，F：4＜x＜9，满足：D是E的“子集”且E是F的“子集”，则a（b+c+d）的值为 　 　 ； （5）已知不等式组G：有解，且不等式组H：1＜x≤3是不等式组G的“子集”，且m，n为正整数，则的最大值为 　 　 ． 8．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程2x﹣7＝1的解为x＝4，不等式组的解集为2＜x＜5，因为2＜4＜5，所以称方程2x﹣7＝1是不等式组的相伴方程． （1）问方程2（x﹣1）+9＝1是不是不等式组的相伴方程？请说明理由； （2）若关于x的方程2x﹣a＝1是不等式组的相伴方程，求a的取值范围； （3）若方程5x+10＝0和都是关于x的不等式组（k≠﹣2）的相伴方程，求k的取值范围． 9．我们用[a]表示不大于a的最大整数，例如：[2.5]＝2，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3；用＜a＞表示大于a的最小整数，例如：＜2.5＞＝3，＜3＞＝4，＜﹣2.5＞＝﹣2．根据上述规定，解决下列问题： （1）[﹣4.5]＝　 　 ，＜3.01＞＝　 　 ； （2）若x为整数，且[x]+＜x＞＝2017，求x的值； （3）若x、y满足方程组，求x、y的取值范围． 10．如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程． （1）在方程①x﹣（3x+1）＝﹣5；②1＝0；③3x﹣1＝0中，不等式组的关联方程是　 　 （填序号）． （2）若不等式组的某个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是　 　 （写出一个即可） （3）若方程xx，3+x＝2（x）都是关于x的不等式组的关联方程，直接写出m的取值范围． 11．已知方程的解x为非正数，y为负数． （1）求a的取值范围； （2）在（1）的条件下，若不等式2ax+x＜2a+1的解为x＞1，求整数a的值． 三．一元一次不等式组的整数解（共3小题） 12．若一个不等式（组）A有解且解集为a＜x＜b（a＜b），则称为A的解集中点值，若A的解集中点值是不等式（组）B的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）B对于不等式（组）A中点包含． （1）已知关于x的不等式组A：，以及不等式B：﹣1＜x≤5，请判断不等式B对于不等式组A是否中点包含，并写出判断过程； （2）已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围． （3）关于x的不等式组E：（n＜m）和不等式组F：，若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之和为14，求n的取值范围． 13． 已知关于x的不等式组有三个整数解，求实数a的取值范围． 14．若一个不等式（组）A有解且解集为a＜x＜b（a＜b），则称为A的解集中点值，若A的解集中点值是不等式（组）B的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）B对于不等式（组）A中点包含． （1）已知关于x的不等式组A：，以及不等式B：﹣1＜x≤5，请判断不等式B对于不等式组A是否中点包含，并写出判断过程； （2）已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围． （3）关于x的不等式组E：（n＜m）和不等式组F：，若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之和为9，求n的取值范围． 四．一元一次不等式组的应用（共10小题） 15．“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1600元，20本文学名著比20本动漫书多400元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）． （1）求每本文学名著和动漫书各多少元？ （2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，而且文学名著不低于25本，总费用不超过2000，请求出所有符合条件的购书方案． 16．某商店需要购进甲、乙两种商品共180件，其进价和售价如表：（注：获利＝售价﹣进价） 甲 乙 进价（元/件） 14 35 售价（元/件） 20 43 （1）若商店计划销售完这批商品后能获利1240元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？ （2）若商店计划投入资金少于5040元，且销售完这批商品后获利多于1312元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案． 17．随着新能源汽车的发展，某公交公司将用新能源公交车淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的燃油公交车，计划购买A型和B型新能源公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需300万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需270万元， （1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？ （2）预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为80万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1000万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于900万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？ 18．计划将甲、乙两厂的生产设备运往A，B两地，甲厂设备有60台，乙厂设备有40台，A地需70台，B地需30台，每台设备的运输费（单位：元）如表格所示，设从甲厂运往A地的有x台设备（x为整数）． A地 B地 甲厂 700 1000 乙厂 1000 1500 （1）用含x的式子直接填空：甲厂运往B地 　 　 台，乙厂运往A地 　 　 台，乙厂运往B地 　 　 台； （2）请你设计一种调运的运输方案，使总费用最低，并求出最低费用为多少？ （3）因客观原因，从甲到A的运输费用每台增加了m元，从乙到B的运输费用每台减小了2m元，其它不变，若要使费用最低的调运方案不变，请直接写出m的取值范围． 19．某中学开学初到商场购买A，B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费5000元．已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球需要多花20元． （1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？ （2）为了响应习总书记“足球进校园”的号召，学校决定再次购进A，B两种品牌的足球50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球的售价比第一次购买时提高5元，B品牌足球按第一次购买时售价的九折出售．如果学校此次购买A，B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于33个，则这次学校有哪几种购买方案？ 20．为了实现区域教育均衡发展，我区计划对A，B两类学校分批进行改进，根据预算，改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230万元，改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元． （1）改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元？ （2）我区计划今年对A、B两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过380万元，地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元，请你通过计算求出有几种改造方案？哪种改造方案所需资金最少，最少资金为多少？ 21．如图所示的是一个运算程序． 例如：根据所给的运算程序可知，当x＝5时，5×5+2＝27＜37，再把x＝27代入，得5×27+2＝137＞37，则输出的值为137． （1）填空：当x＝10时，输出的值为 　 　 ；当x＝2时，输出的值为 　 　 ． （2）若需要经过两次运算才能输出结果，求x的取值范围． 22．销售有限公司到某汽车制造有限公司选购A、B两种型号的轿车，用300万元可购进A型轿车10辆，B型轿车15辆；用300万元可购进A型轿车8辆，B型轿车18辆． （1）求A、B两种型号的轿车每辆分别多少元？ （2）若该汽车销售公司销售一辆A型轿车可获利8000元，销售一辆B型轿车可获利5000元，该汽车销售公司准备用不超过400万元购进A、B两种型号轿车共30辆，且这两种轿车全部售出后总获利不低于20.4万元，问：有几种购车方案？在这几种购车方案中，哪种获利最多？ 23．星光橱具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其进价与售价如表： 进价（元/个） 售价（元/个） 电饭煲 200 250 电压锅 160 200 （1）一季度，橱具店购进这两种电器共30台，用去了5600元，并且全部售完，问橱具店在该买卖中赚了多少钱？ （2）为了满足市场需求，二季度橱具店决定用不超过9000元的资金采购电饭煲和电压锅共50个，且电饭煲的数量不少于23个，问橱具店有哪几种进货方案？并说明理由； （3）在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案橱具店赚钱最多？ 24．对于实数x，y我们定义一种新运算L（x，y）＝ax+by（其中a，b均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为L（x，y），其中x，y叫做线性数的一个数对．若实数x，y都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的x，y叫做正格线性数的正格数对． （1）若L（x，y）＝x+3y，则L（2，1）＝　 　 ，L（，）＝　 　 ； （2）已知L（1，﹣2）＝﹣1，L（，）＝2． ①a＝　 　 ，b＝　 　 ； ②若正格线性数L（m，m﹣2），求满足50＜L（m，m﹣2）＜100的正格数对有多少个； ③若正格线性数L（x，y）＝76，满足这样的正格数对有多少个；在这些正格数对中，有满足问题②的数对吗？若有，请找出；若没有，请说明理由． 五．一次函数与一元一次不等式（共2小题） 25．[问题提出]：如何解不等式|x﹣1|+|x﹣3|＞x+2？ 预备知识1：同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题． 图①中给出了函数y＝x+1和y＝2x+3的图象，观察图象，我们可以得到： 当x＞﹣2时，函数y＝2x+3的图象在y＝x+1图象上方，由此可知：不等式2x+3＞x+1的解集为 　 　 ． 预备知识2：函数y＝|x|，称为分段函数，其图象如图②所示，实际上对带有绝对值 的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号．比如化简|x﹣1|+|x﹣3|时，可令x﹣1＝0和x﹣3＝0，分别求得x＝1，x＝3（称1，3分别是|x﹣1|和|x﹣3|的零点值），这样可以就x＜1，1≤x＜3，x≥3三种情况进行讨论： （1）当x＜1时，|x﹣1|+|x﹣3|＝﹣（x﹣1）﹣（x﹣3） （2）当1≤x＜3时，|x﹣1|+|x﹣3|＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2； （3）当x≥3时，|x﹣1|+|x﹣3|＝（x﹣1）+（x﹣3）＝2x﹣4 所以|x﹣1+|x﹣3|就可以化简为 预备知识3：函数y＝b（b为常数）称为常数函数，其图象如图③所示． [知识迁移] 如图④，直线y＝x+1与直线y＝ax+b相交于点A（m，3），则关于x的不等式x+1≤ax+b的解集是 　 　 ． [问题解决]： 结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式|x﹣1|+x﹣3|＞x+2．在平面直角坐标系内作出函数y＝|x﹣1|+|x﹣3|的图象，如图⑤．在同一平面直角坐标系内再作出直线y＝x+2的图象，如图⑥，可以发现函数y＝|x﹣1|+|x﹣3|与y＝x+2的图象有两个交点，这两个交点坐标分别是 　 　 ，　 　 ； 通过观察图象，便可得到不等式|x﹣1|+|x﹣3|＞x+2的解集．这个不等式的解集为 　 　 ． 26．已知函数，其中m为常数，该函数的图象记为G． （1）当m＝﹣2时，若点D（3，n）在图象G上，求n的值； （2）当m＝2时，求函数的最大值； （3）当m﹣1≤x≤m+1时，求函数最大值与最小值的差； （4）已知点，，当图象G与线段AB只有一个公共点时，直接写出m的取值范围． 六．角平分线的性质（共3小题） 27．如图，△ABC与△AED中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，过A作AF⊥DE垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG． （1）求证：GA平分∠DGB； （2）若S四边形DGBA＝6，AF，求FG的长． 28．如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝110°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝55°． （1）求∠ACE的度数； （2）求证：AE平分∠CAF； （3）若AC+CD＝14，AB＝8.5，且S△ACD＝21，求△ABE的面积． 29．如图①，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，且FG⊥AB于G，FH⊥BC于H． （1）求证：∠BEC＝∠ADC； （2）请你判断并FE与FD之间的数量关系，并证明； （3）如图②，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 七．等腰三角形的性质（共4小题） 30．在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，BD＝AD． （1）如图1，求∠BAC的度数； （2）如图2，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF．求证：AF＝AB+BC． 31．综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知△ABC中AB＝AC，∠B＝30°．将△ABC从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE（点D，E分别是点B，C的对应点），旋转角为α（0°＜α＜100°，设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别交BC，AC于点O，N． 特例分析：（1）如图2，当旋转到AD⊥BC时，求旋转角α的度数为 　 　 ； 探究规律：（2）如图3，在△ABC绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段AM始终等于线段AN，请你证明这一结论． 拓展延伸：（3）①直接写出当△DOM是等腰三角形时旋转角α的度数． ②在图3中，作直线BD，CE交于点P，直接写出当△PDE是直角三角形时旋转角α的度数． 32．探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在底边BC上，AE＝AD，连接DE． （1）当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数； （2）当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系； （3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系． 33．已知，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D为射线CB上一点，过点D作DE⊥AC于点E． （1）如图1，当点D在线段BC上时，请直接写出∠BAC与∠EDC的数量关系：　 　 ． （2）如图2，当点D在CB的延长线上时，画出图形，探究∠BAC与∠EDC的数量关系，并说明理由． （3）在（2）的条件下，点F为线段BC上一点，过点F作FG⊥AC于点G，连接AF，且∠AFG＝∠CFG，∠BAF＝∠BFA，延长ED、AB交于点K，求∠EKA的度数． 八．等腰三角形的判定（共2小题） 34．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）BP＝　 　 （用t的代数式表示）． （2）当点Q在边BC上运动时，出发 　 　 秒后，△PQB是等腰三角形． （3）当点Q在边CA上运动时，出发几秒后，△BCQ是等腰三角形？ 35．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒． （1）当t＝1时，求△ACP的面积． （2）t为何值时，线段AP是∠CAB的平分线？ （3）请利用备用图2继续探索：当t为何值时，△ACP是以AC为腰的等腰三角形？（直接写出结论） 九．等腰三角形的判定与性质（共2小题） 36．（1）如图1，已知：在△ABC中，AB＝AC＝10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则图中共有 　 　 个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是 　 　 ，△AEF的周长是 　 　 （2）如图2，若将（1）中“△ABC中，AB＝AC＝10”改为“若△ABC为不等边三角形，AB＝8，AC＝10”其余条件不变，则图中共有 　 　 个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出△AEF的周长 （3）已知：如图3，D在△ABC外，AB＞AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则EF与BE、CF之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明． 37．（1）如图1，△ABC中，作∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB、AC于E、F． ①求证：OE＝BE； ②若△ABC 的周长是25，BC＝9，试求出△AEF的周长； （2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACB外角∠ACD的平分线相交于点P，连接AP，试探求∠BAC 与∠PAC的数量关系式． 一十．等边三角形的性质（共3小题） 38．等边△ABC的边长为2，P为△ABC内一点，连接BP，PC，延长PC到点D，使CD＝PC． （1）如图1，延长BC到点E，使CE＝BC，连接AE，DE． ①求证：BP∥DE； ②∠BAE＝　 　 ；若BP⊥AC，求∠AED的度数； （3） 如图2，连接AD，若BP⊥AD，BP＝1，求AD的长． 39．阅读材料： 如图，△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP＝S△ABC，即：，∴r1+r2＝h（定值）． （1）类比与推理 如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3＝h（定值）． （2）理解与应用 △ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？　 　 （填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r＝　 　 ．若不存在，请说明理由． 40．如图1，△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN． （1）探究BM、MN、NC之间的关系，并说明理由． （2）若△ABC的边长为2，求△AMN的周长． 一十一．等边三角形的判定与性质（共2小题） 41．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD． （1）求证：△OCD是等边三角形； （2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形． 42．如图△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为直线BC上任一动点，将一60°角的顶点置于点D处，它的一边始终经过点A，另一边与直线a交于点E． （1）若D恰好在BC的中点上（如图1）求证：△ADE是等边三角形； （2）若D为直线BC上任一点（如图2），其他条件不变，上述（1）的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 一十二．勾股定理（共2小题） 43．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，连接DC． （1）AB＝ 　 　 ； （2）已知，直线MN垂直平分AC分别交AB，AC于点D，点E，若点F从点C出发沿CB以每秒2个单位长度的速度向终点B匀速运动，设运动时间为t秒．连接DC，DF，在点F运动过程中，△DCF能否为以CF为腰的等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 44．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）求BC边的长； （2）当△ABP为直角三角形时，求t的值； （3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值． 一十三．勾股定理的证明（共2小题） 45．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝0.8千米，HB＝0.6千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ （3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝10，BC＝17，AB＝21，设AH＝x，可以求CH的值，请帮小明写出求CH的过程． 46．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． （1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理． （2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积． （3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝　 　 ． 一十四．三角形综合题（共1小题） 47．（1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状并说明理由． 一十五．坐标与图形变化-平移（共2小题） 48．如图1，已知，点A（1，a），AH⊥x轴，垂足为H，将线段AO平移至线段BC，点B（b，0），其中点A与点B对应，点O与点C对应，a、b满足． （1）填空：①直接写出A、B、C三点的坐标A（ 　 　 ）、B（ 　 　 ）、C（ 　 　 ）； ②直接写出三角形AOH的面积 　 　 ． （2）如图1，若点D（m，n）在线段OA上，证明：4m＝n． （3）如图2，连OC，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点Q从点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，三角形AOP与三角形COQ的面积相等，试求t的值及点P的坐标． 49．在平面直角坐标系中，有点A（a，0），B（0，b），且a，b满足|b+2|＝0，B向上平移k个单位得到线段CD． （1）求点A，B的坐标； （2）如图，E为线段CD上任意一点，F为线段AB上任意一点，∠EOF＝120°．G为线段AB与线段CD之间一点，连接GE，GF，且∠DEG∠DEO，∠EGF＝80°．试写出∠AFG与∠GFO之间的数量关系，并证明你的结论． 一十六．几何变换的类型（共1小题） 50．小军同学在研究平面直角坐标系内三角形的面积时，意外发现利用三角形的面积可以求得一条直线与坐标轴的交点坐标，下面以求得与y轴的交点为例计算． 如图（1），在平面直角坐标系内，A（m，0），B（m，n），将线段AB向左平移2n个单位得到线段DC（点A对应点D），连接BC，已知（2m﹣n﹣8）2+|m﹣2n+2|＝0． （1）请计算点C、D的坐标； （2）如图（1），若点E是线段CD中点，连接BE交y轴于点F，请计算三角形BEO的面积并求出此时点F坐标； （3）如图（2），若点E（﹣2，1），点M是线段AB上的一个动点，连接ME交y轴于点F，设F（0，t），请求出t的取值范围． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中复习（压轴16大类型50题） 一．一元一次不等式的应用（共6小题） 1．郑州市雾霾天气趋于严重，丹尼斯商场根据民众健康需要，代理销售每台 进价分别为600元、560元的A、B两种型号的空气净化器，如表是近两周的销售情况： 　销售时段 　销售数量 　销售收入 　A种型号 　B种型号 　第一周 　4台 　5台 　7100元 　第二周 　6台 　10台 　12600元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本） （1）求A，B两种型号的空气净化器的销售单价； （2）若商场准备用不多于17200元的金额再采购这两种型号的空气净化器共30台，超市销售完这30台空气净化器能否实现利润为6200元的目标，若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设A型号空气净化器单价为x元，B型号空气净化器单价y元，则 ， 解得：， 答：A型号空气净化器单价为800元，B型号空气净化器单价780元； （2）设A型空气净化器采购a台，采购B种型号空气净化器（30﹣a）台．则 600a+560（30﹣a）≤17200， 解得：a≤10， 200a+220（30﹣a）≥6200， 解得：a≤20， 则最多能采购A型号空气净化器10台，即可实现目标． 2．某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本） （1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价； （2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元， 依题意得：， 解得：， 答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元． （2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（50﹣a）台． 依题意得：160a+120（50﹣a）≤7500， 解得：a≤37， ∵a是整数， ∴a最大是37， 答：超市最多采购A种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元． （3）设采购A种型号电风扇x台，则采购B种型号电风扇（50﹣x）台，根据题意得： （200﹣160）x+（150﹣120）（50﹣x）＞1850， 解得：x＞35， ∵x≤37，且x应为整数， ∴在（2）的条件下超市能实现利润超过1850元的目标．相应方案有两种： 当x＝36时，采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台； 当x＝37时，采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台． 3．疫情期间，政府积极组织各商家开通便民服务，甲乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案，在甲商场累计购物超过200元后，超出200元的部分按85%收费，在乙商店累计超过100元后，超出部分按照90%收费． （1）若小明妈妈准备用420元去采购物资，你建议小明妈妈去 　乙　 商场花费少（直接写出“甲”或“乙”）； （2）设某顾客累计了购物花费x（x＞200）元，若在甲商场购物，则实际花费 　（0.85x+30）　 元，若在乙商场购物，则实际花费 　（0.9x+10）　 元．（均用含x的式子表示）； （3）某顾客计划采购一件商品，经过测算选择在乙商场更优惠，求该顾客购买该商品的标价范围． 【答案】（1）乙；（2）（0.85x+30）；（0.9x+10）；（3）100﹣400乙商场购物花费较少． 【解答】解：（1）在甲商店购买420元的东西需要花费：200+（420﹣200）×85%＝387（元）， 在乙商场购买420元的东西需要花费： 100+（420﹣100）×90%＝388， ∵，388＞387， ∴建议小明妈妈去甲商场花费少； 故答案为：甲； （2）在甲商场购物：200+（x﹣200）×85%（或0.85x+30）， 在乙商场购物：100+（x﹣100）×90%（或0.9x+10）； 故答案为：（0.85x+30）；（0.9x+10）； （3）若到乙商场购物花费较少，则： 200+（x﹣200）×85%＞100+（x﹣100）×90%， 解得：x＜400， ∴当200＜x＜400时，到乙商场购物花费较少． 当100＜x＜200时，到乙商场购物花费较少． ∴100﹣400乙商场购物花费较少． 4．小明同学在广饶某电器超市进行社会实践活动时发现，该超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，近两周的销售情况如表所示： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 5台 1800元 第二周 4台 10台 3100元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本） （1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价； （2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元， 依题意得：， 解得：， 答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元； （2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30﹣a）台． 依题意得：200a+170（30﹣a）≤5400， 解得：a≤10． 答：超市最多采购A种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元； （3）依题意有：（250﹣200）a+（210﹣170）（30﹣a）＝1400， 解得：a＝20， ∵a≤10， ∴在（2）的条件下超市不能实现利润1400元的目标． 5．“端午节”是中华民族古老的传统节日．甲、乙两家超市在“端午节”当天对一种原来售价相同的粽子分别推出了不同的优惠方案． 甲超市方案：购买该种粽子超过200元后，超出200元的部分按95%收费； 乙超市方案：购买该种粽子超过300元后，超出300元的部分按90%收费． 设某位顾客购买了x元的该种粽子． （1）补充表格，填写在“横线”上： x （单位：元） 实际在甲超市的花费 （单位：元） 实际在乙超市的花费 （单位：元） 0＜x≤200 x x 200＜x≤300 　10+0.95x　 x x＞300 　10+0.95x　 　30+0.9x　 （2）列式计算说明，如果顾客在“端午节”当天购买该种粽子超过200元，那么到哪家超市花费更少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）200+（x﹣200）×95%＝10+0.95x； 200+（x﹣200）×95%＝10+0.95x； 300+（x﹣300）×90%＝30+0.9x． 填表如下： x （单位：元） 实际在甲超市的花费 （单位：元） 实际在乙超市的花费 （单位：元） 0＜x≤200 x x 200＜x≤300 10+0.95x x x＞300 10+0.95x 30+0.9x （2）200+（x﹣200）×95%＝300+（x﹣300）×90%， 解得 x＝400． 当200＜x＜400 时，顾客到甲超市花费更少． 当x＝400时，顾客到甲、乙超市的花费相同． 当x＞400时，顾客到乙超市花费更少． 故答案为：10+0.95x；10+0.95x；30+0.9x． 6．雾霾天气持续笼罩我国大部分地区，困扰着广大市民的生活，口罩市场出现热销，小明的爸爸用12000元购进甲、乙两种型号的口罩在自家商店销售，销售完后共获利2700元，进价和售价如表： 品名 价格 甲型口罩 乙型口罩 进价（元/袋） 20 30 售价（元/袋） 25 36 （1）小明爸爸的商店购进甲、乙两种型号口罩各多少袋？ （2）该商店第二次以原价购进甲、乙两种型号口罩，购进甲种型号口罩袋数不变，而购进乙种型号口罩袋数是第一次的2倍，甲种口罩按原售价出售，而效果更好的乙种口罩打折让利销售，若两种型号的口罩全部售完，要使第二次销售活动获利不少于2460元，每袋乙种型号的口罩最多打几折？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设小明爸爸的商店购进甲种型号口罩x袋，乙种型号口罩y袋， 则， 解得：， 答：该商店购进甲种型号口罩300袋，乙种型号口罩200袋； （2）设每袋乙种型号的口罩打m折，则 300×5+400（0.1m×36﹣30）≥2460， 解得：m≥9， 答：每袋乙种型号的口罩最多打9折． 二．解一元一次不等式组（共5小题） 7．【定义新知】 给定两个不等式P和Q，若不等式P的任意一个解，都是不等式Q的一个解，则称不等式P为不等式Q的“子集”． 例如：不等式P：x＞4是Q：x＞2的子集． 同理，给定两个不等式组M和N，若不等式组M的任意一个解，都是不等式组N的一个解，则称不等式组M为不等式组N的“子集”． 例如：不等式组M：是不等式组N：的子集． 【新知应用】 （1）请写出不等式x＜2的一个子集 　x＜1（答案不唯一）　 ； （2）若不等式组A：，不等式组B：，则其中不等式组 　A　 是不等式组M：的“子集”（填：A或B）； （3）若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是 　a≥2　 ； （4）若a，b，c，d为互不相等的整数，a＜b，c＜d，下列三个不等式组D：a≤x≤b，E：c≤x≤d，F：4＜x＜9，满足：D是E的“子集”且E是F的“子集”，则a（b+c+d）的值为 　120　 ； （5）已知不等式组G：有解，且不等式组H：1＜x≤3是不等式组G的“子集”，且m，n为正整数，则的最大值为 　　 ． 【答案】（1）x＜1．（答案不唯一）． （2）A． （3）a≥2． （4）120． （5）． 【解答】解：（1）∵x＜1的任意一个解都是不等式x＜2的一个解， ∴不等式x＜2的一个子集为：x＜1．（答案不唯一）． 故答案为：x＜1．（答案不唯一）． （2）解不等式组A得：3＜x＜6； 解不等式组B得：x＞1； 解不等式组M得：x＞2． ∵不等式组A的任意一个解，都是不等式组M的一个解， ∴不等式组A是不等式组M：的“子集”． 故答案为：A． （3）∵不等式组的解集为：x＞2，关于x的不等式组是不等式组的“子集”， ∴关于x的不等式组的解集为x＞a． ∴． ∴a≥2． 故答案为：a≥2． （4）∵E：c≤x≤d，F：4＜x＜9，E是F的“子集”，a，b，c，d为互不相等的整数， ∴5≤x≤8． ∴c＝5，d＝8． ∵D是E的“子集”，D：a≤x≤b， ∴6≤x≤7． ∴a＝6，b＝7． ∴a（b+c+d）＝6（7+8+5）＝120． 故答案为：120． （5）∵不等式组G：有解， ∴解集为：x． ∵不等式组H：1＜x≤3是不等式组G的“子集”， ∴． 解得：． ∵m，n为正整数，求的最大值， ∴m最大为2，n最小为10． ∴的最大值． 故答案为：． 8．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程2x﹣7＝1的解为x＝4，不等式组的解集为2＜x＜5，因为2＜4＜5，所以称方程2x﹣7＝1是不等式组的相伴方程． （1）问方程2（x﹣1）+9＝1是不是不等式组的相伴方程？请说明理由； （2）若关于x的方程2x﹣a＝1是不等式组的相伴方程，求a的取值范围； （3）若方程5x+10＝0和都是关于x的不等式组（k≠﹣2）的相伴方程，求k的取值范围． 【答案】（1）方程2（x﹣1）+9＝1是不等式组的相伴方程，理由见解析． （2）a的取值范围是0＜a≤5． （3）k的取值范围为﹣2＜k≤1． 【解答】解：（1）方程2（x﹣1）+9＝1是不等式组的相伴方程． 理由如下： 解不等式组，得：x≤﹣2， 解方程2（x﹣1）+9＝1，得：x＝﹣3， ∵﹣3＜﹣2， ∴方程2（x﹣1）+9＝1是不等式组的相伴方程． （2）解不等式组，得：x≤3， 解方程2x﹣a＝1，得：x， ∵关于x的方程2x﹣a＝1是不等式组的相伴方程， ∴3， 解得：0＜a≤5， 即a的取值范围是0＜a≤5． （3）解方程5x+10＝0，得：x＝﹣2， 解方程，得：x＝﹣1， ∵方程5x+10＝0和都是关于x的不等式组（k≠﹣2）的相伴方程， ∴分为两种情况： ①当k＜﹣2时，不等式为：，此时不等式组的解集为：x＞1，不符合题意，舍去； ②当k＞﹣2时，不等式为：，此时不等式组的解集为：k﹣3≤x＜1， ∴根据题意，得：， 解得：﹣2＜k≤1， 即k的取值范围为﹣2＜k≤1． 9．我们用[a]表示不大于a的最大整数，例如：[2.5]＝2，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3；用＜a＞表示大于a的最小整数，例如：＜2.5＞＝3，＜3＞＝4，＜﹣2.5＞＝﹣2．根据上述规定，解决下列问题： （1）[﹣4.5]＝　﹣5　 ，＜3.01＞＝　4　 ； （2）若x为整数，且[x]+＜x＞＝2017，求x的值； （3）若x、y满足方程组，求x、y的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题可得[﹣4.5]＝﹣5，＜3.01＞＝4， 故答案为：﹣5，4； （2）∵[x]≤x，且x为整数， ∴[x]＝x， ∵＜x＞＞x，且x为整数， ∴＜x＞＝x+1， ∵[x]+＜x＞＝2017， ∴x+（x+1）＝2017， 解得x＝1008； （3）解原方程组，得， 又∵[x]表示不大于x的最大整数，＜x＞表示大于x的最小整数， ∴﹣1≤x＜0，2≤y＜3． 10．如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程． （1）在方程①x﹣（3x+1）＝﹣5；②1＝0；③3x﹣1＝0中，不等式组的关联方程是　①　 （填序号）． （2）若不等式组的某个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是　x﹣2＝0　 （写出一个即可） （3）若方程xx，3+x＝2（x）都是关于x的不等式组的关联方程，直接写出m的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由不等式组得，， 由x﹣（3x+1）＝﹣5，解得，x＝2，故方程①x﹣（3x+1）＝﹣5是不等式组的关联方程， 由1＝0得，x，故方程②1＝0不是不等式组的关联方程， 由3x﹣1＝0，得x，故方程③3x﹣1＝0不是不等式组的关联方程， 故答案为：①； （2）由不等式组，解得，0.5＜x＜3，则它的关联方程的根是整数是一个方程是x﹣2＝0， 故答案为：x﹣2＝0； （3）由xx，得x＝0.5，由3+x＝2（x）得x＝2， 由不等式组，解得，m＜x≤2+m， ∵方程xx，3+x＝2（x）都是关于x的不等式组的关联方程， ∴，得0≤m＜0.5， 即m的取值范围是0≤m＜0.5． 11．已知方程的解x为非正数，y为负数． （1）求a的取值范围； （2）在（1）的条件下，若不等式2ax+x＜2a+1的解为x＞1，求整数a的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）， ①+②得，2x＝﹣6+2a， 解得：x＝a﹣3， ①﹣②得，2y＝﹣8﹣4a， 解得y＝﹣2a﹣4， ∵x为非正数，y为负数， ∴， 由①得，a≤3， 由②得，a＞﹣2， 所以a的取值范围是﹣2＜a≤3； （2）∵2ax+x＜2a+1的解为x＞1， ∴2a+1＜0， ∴a， 又∵﹣2＜a≤3， ∴整数a的值为﹣1． 三．一元一次不等式组的整数解（共3小题） 12．若一个不等式（组）A有解且解集为a＜x＜b（a＜b），则称为A的解集中点值，若A的解集中点值是不等式（组）B的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）B对于不等式（组）A中点包含． （1）已知关于x的不等式组A：，以及不等式B：﹣1＜x≤5，请判断不等式B对于不等式组A是否中点包含，并写出判断过程； （2）已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围． （3）关于x的不等式组E：（n＜m）和不等式组F：，若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之和为14，求n的取值范围． 【答案】（1）不等式B对于不等式组A中点包含； （2）﹣4＜m＜10； （3）1≤n＜2或﹣2≤n＜﹣1． 【解答】解：（1）不等式B对于不等式组A中点包含，判断过程如下： 解不等式组A：，得4＜x＜6， ∴A的中点值为x＝5， ∵x＝5在﹣1＜x≤5范围内， ∴不等式B对于不等式组A中点包含； （2）∵D对于不等式组C中点包含， ∴不等式组C和不等式组D有解， 解不等式组C：，得， 不等式组D：，得， ∴， 解得：m＞﹣4， ∴当m＞﹣4时，不等式组C的解集为m﹣3＜x＜3m+5，不等式组D的解集为m﹣4＜x， ∴C的中点值为2m+1， ∵D对于不等式组C中点包含， ∴m﹣4＜2m+1， 解得：﹣5＜m＜10， 又∵m＞﹣4， ∴﹣4＜m＜10． （3）解不等式组E得，2n＜x＜2m，解不等式组F得，， ∴E的中点值为n+m， ∵不等式组F对于不等式组E中点包含， ∴， 解得：n＜m＜6， ∵所有符合要求的整数m之和为14， ∴整数m可取2，3、4，5，或整数m可取﹣1、0、1、2、3、4，5． ∴1≤n＜2或﹣2≤n＜﹣1． 13．已知关于x的不等式组有三个整数解，求实数a的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解： ∵解不等式①，得x， 解不等式②，得x≤4+a， ∴原不等式组的解集为x≤4+a， ∵原不等式组有三个整数解：﹣2，﹣1，0， ∴0≤4+a＜1， ∴﹣4≤a＜﹣3． 14．若一个不等式（组）A有解且解集为a＜x＜b（a＜b），则称为A的解集中点值，若A的解集中点值是不等式（组）B的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）B对于不等式（组）A中点包含． （1）已知关于x的不等式组A：，以及不等式B：﹣1＜x≤5，请判断不等式B对于不等式组A是否中点包含，并写出判断过程； （2）已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围． （3）关于x的不等式组E：（n＜m）和不等式组F：，若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之和为9，求n的取值范围． 【答案】（1）不等式B对于不等式组A中点包含，判断过程见解析；（2）﹣4＜m＜10；（3）1≤n＜2或﹣2≤n＜﹣1． 【解答】解：（1）不等式B对于不等式组A中点包含，判断过程如下： 解不等式组A：，得4＜x＜6， ∴A的中点值为x＝5， ∵x＝5在﹣1＜x≤5范围内， ∴不等式B对于不等式组A中点包含； （2）∵D对于不等式组C中点包含， ∴不等式组C和不等式组D有解， 解不等式组C：，得， 不等式组D：，得， ∴， 解得：m＞﹣4， ∴当m＞﹣4时，不等式组C的解集为m﹣3＜x＜3m+5，不等式组D的解集为m﹣4＜x， ∴C的中点值为2m+1， ∵D对于不等式组C中点包含， ∴m﹣4＜2m+1， 解得：﹣5＜m＜10， 又∵m＞﹣4， ∴﹣4＜m＜10． （3）解不等式组E得，2n＜x＜2m，解不等式组F得，， ∴E的中点值为n+m， ∵不等式组F对于不等式组E中点包含， ∴， 解得：n＜m＜5， ∵所有符合要求的整数m之和为9， ∴整数m可取2、3、4，或整数m可取﹣1、0、1、2、3、4， ∴1≤n＜2或﹣2≤n＜﹣1． 四．一元一次不等式组的应用（共10小题） 15．“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1600元，20本文学名著比20本动漫书多400元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）． （1）求每本文学名著和动漫书各多少元？ （2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，而且文学名著不低于25本，总费用不超过2000，请求出所有符合条件的购书方案． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设每本文学名著x元，每本动漫书y元，根据题意可得： ， 解得：， 答：每本文学名著和动漫书各为40元和20元． （2）设学校要求购买文学名著x本，动漫书为（x+20）本，根据题意可得： ， 解得：25≤x≤26， 因为x取整数， 所以x取25，26； 方案一：文学名著25本，动漫书45本； 方案二：文学名著26本，动漫书46本． 16．某商店需要购进甲、乙两种商品共180件，其进价和售价如表：（注：获利＝售价﹣进价） 甲 乙 进价（元/件） 14 35 售价（元/件） 20 43 （1）若商店计划销售完这批商品后能获利1240元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？ （2）若商店计划投入资金少于5040元，且销售完这批商品后获利多于1312元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设甲种商品应购进x件，乙种商品应购进y件． 根据题意得：． 解得：． 答：甲种商品购进100件，乙种商品购进80件． （2）设甲种商品购进a件，则乙种商品购进（180﹣a）件． 根据题意得． 解不等式组，得60＜a＜64． ∵a为非负整数，∴a取61，62，63 ∴180﹣a相应取119，118，117 方案一：甲种商品购进61件，乙种商品购进119件． 方案二：甲种商品购进62件，乙种商品购进118件． 方案三：甲种商品购进63件，乙种商品购进117件． 答：有三种购货方案，其中获利最大的是方案一． 17．随着新能源汽车的发展，某公交公司将用新能源公交车淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的燃油公交车，计划购买A型和B型新能源公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需300万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需270万元， （1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？ （2）预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为80万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1000万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于900万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设购买A型新能源公交车每辆需x万元，购买B型新能源公交车每辆需y万元， 由题意得：， 解得， 答：购买A型新能源公交车每辆需80万元，购买B型新能源公交车每辆需110万元． （2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10﹣a）辆， 由题意得， 解得：， 因为a是整数， 所以a＝4，5； 则共有两种购买方案： ①购买A型公交车4辆，则B型公交车6辆：80×4+110×6＝980万元； ②购买A型公交车5辆，则B型公交车5辆：80×5+110×5＝950万元； 购买A型公交车5辆，则B型公交车5辆费用最少，最少总费用为950万元． 18．计划将甲、乙两厂的生产设备运往A，B两地，甲厂设备有60台，乙厂设备有40台，A地需70台，B地需30台，每台设备的运输费（单位：元）如表格所示，设从甲厂运往A地的有x台设备（x为整数）． A地 B地 甲厂 700 1000 乙厂 1000 1500 （1）用含x的式子直接填空：甲厂运往B地 　60﹣x　 台，乙厂运往A地 　70﹣x　 台，乙厂运往B地 　x﹣30　 台； （2）请你设计一种调运的运输方案，使总费用最低，并求出最低费用为多少？ （3）因客观原因，从甲到A的运输费用每台增加了m元，从乙到B的运输费用每台减小了2m元，其它不变，若要使费用最低的调运方案不变，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1）60﹣x，70﹣x，x﹣30；（2）甲厂运往A地30台、运往B地30台，乙厂将40台都运往A地使总费用最低，最低费用为91000元；（3）0＜m＜200． 【解答】解：（1）由题意可知，甲厂运往B地（60﹣x）台，乙厂运往A地（70﹣x）台，乙厂运往B地（x﹣30）台． 故答案为：60﹣x，70﹣x，x﹣30． （2）设运输费用为a百元．根据题意，a＝7x+10（60﹣x）+10（70﹣x）+15（x﹣30）＝2x+850． ∵，解得30≤x≤60， ∴a＝2x+850（30≤x≤60）． ∵a随x的减小而减小， ∴当x＝30时，a最小，a＝2×30+850＝910． ∴甲厂运往A地30台、运往B地30台，乙厂将40台都运往A地使总费用最低，最低费用为91000元． （3）设部分运输费用变动后运输费用为b元，由题意得b＝100a+mx﹣2m（x﹣30）＝（200﹣m）x+85000+60m． ∵b随x的减小而减小， ∴200﹣m＞0且m＞0，解得0＜m＜200． ∴若要使费用最低的调运方案不变，有0＜m＜200． 19．某中学开学初到商场购买A，B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费5000元．已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球需要多花20元． （1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？ （2）为了响应习总书记“足球进校园”的号召，学校决定再次购进A，B两种品牌的足球50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球的售价比第一次购买时提高5元，B品牌足球按第一次购买时售价的九折出售．如果学校此次购买A，B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于33个，则这次学校有哪几种购买方案？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元， 依题意得： ， 解得：． 答：购买一个A种品牌的足球需要60元，购买一个B种品牌的足球需要80元． （2）设第二次购买A种足球m个，则购买B种足球（50﹣m）个， 依题意得：， 解得：m≤17． 故这次学校购买足球有三种方案： 方案一：购买A种足球15个，B种足球35个； 方案二：购买A种足球16个，B种足球34个； 方案三：购买A种足球17个，B种足球33个． 20．为了实现区域教育均衡发展，我区计划对A，B两类学校分批进行改进，根据预算，改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230万元，改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元． （1）改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元？ （2）我区计划今年对A、B两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过380万元，地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元，请你通过计算求出有几种改造方案？哪种改造方案所需资金最少，最少资金为多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）解：设改造一所A类学校需资金a万元一所B类学校需资金b万元． ， 解得． 答：改造一所A类学校需资金60万元，一所B类学校需资金85万元； （2）解：设改造x所A类学校，（6﹣x）所B类学校，依题意得 ， 解得2≤x≤4， 又因为x是整数， ∴x＝2、3、4、6﹣x＝4、3、2． 所以共有三种方案：改造A类学校2所，B类学校4所； 改造A类学校3所，B类学校3所； 改造A类学校4所，B类学校2所． 设改造方案所需资金W万元 w＝60x+85（6﹣x）＝﹣25x+510． 所以当x＝4时，w最小＝410． 答：改造A类学校4所B类学校2所用资金最少为410万元． 21．如图所示的是一个运算程序． 例如：根据所给的运算程序可知，当x＝5时，5×5+2＝27＜37，再把x＝27代入，得5×27+2＝137＞37，则输出的值为137． （1）填空：当x＝10时，输出的值为 　52　 ；当x＝2时，输出的值为 　62　 ． （2）若需要经过两次运算才能输出结果，求x的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）当x＝10时，5×10+2＝52＞37，所以输出52； 当x＝2时，5×2+2＝12＜37，把x＝12代入， 得5×12+2＝62＞37，所以输出62． 故答案为：52；62； （2）由题意得：， 解得：1≤x＜7． 答：x的取值范围是1≤x＜7． 22．销售有限公司到某汽车制造有限公司选购A、B两种型号的轿车，用300万元可购进A型轿车10辆，B型轿车15辆；用300万元可购进A型轿车8辆，B型轿车18辆． （1）求A、B两种型号的轿车每辆分别多少元？ （2）若该汽车销售公司销售一辆A型轿车可获利8000元，销售一辆B型轿车可获利5000元，该汽车销售公司准备用不超过400万元购进A、B两种型号轿车共30辆，且这两种轿车全部售出后总获利不低于20.4万元，问：有几种购车方案？在这几种购车方案中，哪种获利最多？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设A型轿车每辆x万元，B型轿车每辆y万元． 根据题意，可得，解得：， 15万元＝150000元，10万元＝100000元． 答：所以A型轿车每辆150000元，B型轿车每辆100000元． （2）设购进A型轿车a辆，则B型轿车（30﹣a）辆． 根据题意，得，解这个不等式组，得18≤a≤20． 因为a为整数，所以a＝18，19，20． 30﹣a的值分别是12，11，10． 因此有三种购车方案：方案一：购进A型轿车18辆，B型轿车12辆；方案二：购进A型轿车19辆，B型轿车11辆；方案三：购进A型轿车20辆，B型轿车10辆． 方案一获利：18×0.8+12×0.5＝20.4（万元）； 方案二获利：19×0.8+11×0.5＝20.7（万元）； 方案三获利：20×0.8+10×0.5＝21（万元）． 23．星光橱具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其进价与售价如表： 进价（元/个） 售价（元/个） 电饭煲 200 250 电压锅 160 200 （1）一季度，橱具店购进这两种电器共30台，用去了5600元，并且全部售完，问橱具店在该买卖中赚了多少钱？ （2）为了满足市场需求，二季度橱具店决定用不超过9000元的资金采购电饭煲和电压锅共50个，且电饭煲的数量不少于23个，问橱具店有哪几种进货方案？并说明理由； （3）在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案橱具店赚钱最多？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设橱具店购进电饭煲x台，电压锅y台， 根据题意得：， 解得：， ∴20×（250﹣200）+10×（200﹣160）＝1400（元）． 答：橱具店在该买卖中赚了1400元． （2）设购买电饭煲a台，则购买电压锅（50﹣a）台， 根据题意得：， 解得：23≤a≤25． 又∵a为正整数， ∴a可取23，24，25． 故有三种方案：①购买电饭煲23台，购买电压锅27台；②购买电饭煲24台，购买电压锅26台；③购买电饭煲25台，购买电压锅25台． （3）设橱具店赚钱数额为w元， 当a＝23时，w＝23×50+27×40＝2230； 当a＝24时，w＝24×50+26×40＝2240； 当a＝25时，w＝25×50+25×40＝2250； 综上所述，当a＝25时，w最大， 即购进电饭煲、电压锅各25台时，橱具店赚钱最多． 24．对于实数x，y我们定义一种新运算L（x，y）＝ax+by（其中a，b均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为L（x，y），其中x，y叫做线性数的一个数对．若实数x，y都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的x，y叫做正格线性数的正格数对． （1）若L（x，y）＝x+3y，则L（2，1）＝　5　 ，L（，）＝　3　 ； （2）已知L（1，﹣2）＝﹣1，L（，）＝2． ①a＝　3　 ，b＝　2　 ； ②若正格线性数L（m，m﹣2），求满足50＜L（m，m﹣2）＜100的正格数对有多少个； ③若正格线性数L（x，y）＝76，满足这样的正格数对有多少个；在这些正格数对中，有满足问题②的数对吗？若有，请找出；若没有，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵L（x，y）＝x+3y， ∴L（2，1）＝2+3×1＝5，L（，）3＝3， 故答案为：5，3； （2）①∵L（x，y）＝ax+by，L（1，﹣2）＝﹣1，L（，）＝2， ∴，∴， 故答案为：3，2； ②由（2）知，L（m，m﹣2）＝3m+2（m﹣2）＝5m﹣4， ∵50＜L（m，m﹣2）＜100， ∴， 解得：m， ∵m和m﹣2均为为正整数， ∴满足50＜L（m，m﹣2）＜100的正格数对有10个； ③由L（x，y）＝3x+2y＝76得y， ∵x＞0，y＞0，即0， ∴0＜x＜25， ∵x，y均为为正整数， ∴x为偶数， ∴共有12个满足这样的正格数， 若x，y满足②，则x﹣y＝2，即x2， 解得：x＝16， ∴y＝x﹣2＝14， ∴在这些正格数对中，有满足问题②的数对，为． 五．一次函数与一元一次不等式（共2小题） 25．[问题提出]：如何解不等式|x﹣1|+|x﹣3|＞x+2？ 预备知识1：同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题． 图①中给出了函数y＝x+1和y＝2x+3的图象，观察图象，我们可以得到： 当x＞﹣2时，函数y＝2x+3的图象在y＝x+1图象上方，由此可知：不等式2x+3＞x+1的解集为 　x＞﹣2　 ． 预备知识2：函数y＝|x|，称为分段函数，其图象如图②所示，实际上对带有绝对值 的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号．比如化简|x﹣1|+|x﹣3|时，可令x﹣1＝0和x﹣3＝0，分别求得x＝1，x＝3（称1，3分别是|x﹣1|和|x﹣3|的零点值），这样可以就x＜1，1≤x＜3，x≥3三种情况进行讨论： （1）当x＜1时，|x﹣1|+|x﹣3|＝﹣（x﹣1）﹣（x﹣3） （2）当1≤x＜3时，|x﹣1|+|x﹣3|＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2； （3）当x≥3时，|x﹣1|+|x﹣3|＝（x﹣1）+（x﹣3）＝2x﹣4 所以|x﹣1+|x﹣3|就可以化简为 预备知识3：函数y＝b（b为常数）称为常数函数，其图象如图③所示． [知识迁移] 如图④，直线y＝x+1与直线y＝ax+b相交于点A（m，3），则关于x的不等式x+1≤ax+b的解集是 　x≤2　 ． [问题解决]： 结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式|x﹣1|+x﹣3|＞x+2．在平面直角坐标系内作出函数y＝|x﹣1|+|x﹣3|的图象，如图⑤．在同一平面直角坐标系内再作出直线y＝x+2的图象，如图⑥，可以发现函数y＝|x﹣1|+|x﹣3|与y＝x+2的图象有两个交点，这两个交点坐标分别是 　（）　 ，　（6，8）　 ； 通过观察图象，便可得到不等式|x﹣1|+|x﹣3|＞x+2的解集．这个不等式的解集为 　x或x＞6　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：[问题提出]，如图， ∵当＞﹣2时，函数y＝2x+3的图象在y＝x+1的图象上方， ∴不等式2x+3＞x+1的解集为：x＞﹣2， 故答案为：x＞﹣2； [知识迁移]，如图， ∵点A（m，3）在y＝x+1上， ∴m+1＝3， 解得：m＝2， ∴A（2，3）， ∵当x≤2时，直线y＝ax+b的图象在y＝x+1的图象的上方， ∴不等式ax+b≥x+1， 即x+1≤ax+b的解集为：x≤2， 故答案为：x≤2； [问题解决]，如图， 设y＝|x﹣1|+|x﹣3|， 根据题意得： y＝|x﹣1|+|x﹣3|， 由函数图象得： y＝4﹣2x与y＝x+2有交点， 则， 解得：， y＝2x﹣4与y＝x+2有交点， 则， 解得：， ∴y＝|x﹣1|+|x﹣3|与y＝x+2的两个交点坐标分别为：（）；（6，8）， 故答案为：（）；（6，8）； 由函数图象可知，当x时，y＝|x﹣1|+|x﹣3|的图象在y＝x+2的上方， 当x＞6时，y＝|x﹣1|+|x﹣3|的图象在y＝x+2的上方， 故不等式|x﹣1|+|x﹣3|＞x+2的解集为：x或x＞6， 故答案为：x或x＞6． 26．已知函数，其中m为常数，该函数的图象记为G． （1）当m＝﹣2时，若点D（3，n）在图象G上，求n的值； （2）当m＝2时，求函数的最大值； （3）当m﹣1≤x≤m+1时，求函数最大值与最小值的差； （4）已知点，，当图象G与线段AB只有一个公共点时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）n＝﹣5；（2）2；（3）1；（4）m＞3或． 【解答】解：（1）当m＝﹣2时，函数， ∵点D（3，n）在图象G上， ∴当x＝3时，n＝﹣3﹣2＝﹣5． （2）当m＝2时，函数， 当x＜2时，由k＝1＞0，则y随x的增大而增大，即当x＝2时，函数有最大值2； 当x≥2时，由k＝﹣1＜0，则y随x的增大而减小，即当x＝2时，函数有最大值2； 综上，函数的最大值为2． （3）函数， 所以当x＜m时，y随x的增大而增大；当x≥m时，则y随x的增大而减小； 当m﹣1≤x≤m时，y随x的增大而增大；m≤x≤m+1时，y随x的增大而减小； 当x＝m时，y有最大值； 当x＝m﹣1时，y有最小值； 当x＝m+1时，y有最小值； 当x＝m+1时，y有最小值； ∴当m﹣1≤x≤m+1时，y有最大值，最小值， ∴函数最大值与最小值的差为． （4）∵， ∴该分段函数图象大致为： ∵，， ∴线段AB在直线y＝﹣2上． 若图象G与线段AB只有一个公共点时，有如下几种情况： ①∵或， ∴如图：，解得：m＝﹣6； ②令，，分别解得：，， 当m＜0，如图：点A、B、C、D分别表示 ∴，解得不等式无解； 当m＝0，A、B同为（0，﹣2），与图形G无交点， 当m＞0，如图：点A、B、C、D分别表示， ∴，解得：m＞3； ③令，，分别解得：，， 当m＞0，如图：点A、B、C、D分别表示 ∴，解得方程组无解； 当m＝0，A、B同为（0，﹣2），与图形G无交点， 当m＜0，如图：点A、B、C、D分别表示， ∴，解得：． 综上，m＞3或． 六．角平分线的性质（共3小题） 27．如图，△ABC与△AED中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，过A作AF⊥DE垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG． （1）求证：GA平分∠DGB； （2）若S四边形DGBA＝6，AF，求FG的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC于H， ∵△ABC与△AED中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA， ∴△ABC≌△ADE（SAS）， ∴S△ABC＝S△AED， 又∵AF⊥DE， 即DE×AFBC×AH， ∴AF＝AH， 又∵AF⊥DE，AH⊥BC，AG＝AG， ∴Rt△AFG≌Rt△AHG（HL）， ∴∠AGF＝∠AGH， 即GA平分∠DGB； （注：由AF＝AH，AF⊥DE，AH⊥BC，也可以直接得到GA平分∠DGB．） （2）∵△ABC≌△ADE， ∴AD＝AB， 又∵AF⊥DE，AH⊥BC，AF＝AH， ∴Rt△ADF≌Rt△ABH（HL）， ∴S四边形DGBA＝S四边形AFGH＝6， ∵Rt△AFG≌Rt△AHG， ∴Rt△AFG的面积＝3， ∵AF， ∴FG3， 解得FG＝4． 28．如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝110°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝55°． （1）求∠ACE的度数； （2）求证：AE平分∠CAF； （3）若AC+CD＝14，AB＝8.5，且S△ACD＝21，求△ABE的面积． 【答案】（1）35°；（2）见详解；（3）． 【解答】（1）解：∵∠ACB＝110°， ∴∠ACD＝180°﹣110°＝70°， ∵EH⊥BD， ∴∠CHE＝90°， ∵∠CEH＝55°， ∴∠ECH＝90°﹣55°＝35°， ∴∠ACE＝180°﹣35°﹣110°＝35°； （2）证明：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N， ∵BE平分∠ABC， ∴EM＝EH， ∵∠ACE＝∠ECH＝35°， ∴CE平分∠ACD， ∴EN＝EH， ∴EM＝EN， ∴AE平分∠CAF； （3）解：∵AC+CD＝14，S△ACD＝21，EM＝EN＝EH， ∴S△ACD＝S△ACE+S△CEDAC•ENCD•EH（AC+CD）•EM＝21， 即， 解得EM＝3， ∵AB＝8.5， ∴S△ABEAB•EM． 29．如图①，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，且FG⊥AB于G，FH⊥BC于H． （1）求证：∠BEC＝∠ADC； （2）请你判断并FE与FD之间的数量关系，并证明； （3）如图②，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线， ∴∠DAC＝∠DAB∠BAC＝15°，∠ACE∠ACB＝45°， ∴∠CDA＝∠BAD+∠ABD＝75°，∠BEC＝∠BAC+∠ECA＝75°， ∴∠BEC＝∠ADC； （2）相等， 理由：如图①，过点F作FH⊥BC于H．作FG⊥AB于G，连接BF， ∵F是角平分线交点， ∴BF也是角平分线， ∴HF＝FG，∠DHF＝∠EGF＝90°， ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°， ∴∠BAC＝30°， ∴∠DAC∠BAC＝15°， ∴∠CDA＝75°， ∵∠HFC＝45°，∠HFG＝120°， ∴∠GFE＝15°， ∴∠GEF＝75°＝∠HDF， 在△DHF和△EGF中， ， ∴△DHF≌△EGF（AAS）， ∴FE＝FD； （3）成立． 理由：如图②，过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF， ∵F是角平分线交点， ∴BF也是角平分线， ∴MF＝FN，∠DMF＝∠ENF＝90°， ∴四边形BNFM是圆内接四边形， ∵∠ABC＝60°， ∴∠MFN＝180°﹣∠ABC＝120°， ∵∠CFA＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°（180°﹣∠ABC）＝180°（180°﹣60°）＝120°， ∴∠DFE＝∠CFA＝∠MFN＝120°． 又∵∠MFN＝∠MFD+∠DFN，∠DFE＝∠DFN+∠NFE， ∴∠DFM＝∠NFE， 在△DMF和△ENF中， ∴△DMF≌△ENF（ASA）， ∴FE＝FD． 七．等腰三角形的性质（共4小题） 30．在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，BD＝AD． （1）如图1，求∠BAC的度数； （2）如图2，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF．求证：AF＝AB+BC． 【答案】（1）∠BAC的度数为36°； （2）证明过程见解答． 【解答】（1）解：设∠ABD＝x°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC＝x°， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC＝2x°， 又∵BD＝AD， ∴∠A＝x°， 又∵∠BDC＝∠A+∠ABD，即2x°＝∠A+x°， ∴∠BDC＝∠C＝2x°， ∴BD＝BC， 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴x+2x+2x＝180， 解得x＝36， ∴∠A＝36°， ∴∠BAC的度数为36°； （2）∵E是AB的中点，BD＝AD， ∴EF是AB的垂直平分线， ∴AF＝BF， ∴∠FBA＝∠FAB＝72°， ∴∠AFB＝∠FAC＝36°， ∴CA＝CF， ∴AB＝AC＝CF， ∴AF＝BF＝BC+CF＝AB+BC． 31．综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知△ABC中AB＝AC，∠B＝30°．将△ABC从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE（点D，E分别是点B，C的对应点），旋转角为α（0°＜α＜100°，设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别交BC，AC于点O，N． 特例分析：（1）如图2，当旋转到AD⊥BC时，求旋转角α的度数为 　60　 ； 探究规律：（2）如图3，在△ABC绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段AM始终等于线段AN，请你证明这一结论． 拓展延伸：（3）①直接写出当△DOM是等腰三角形时旋转角α的度数． ②在图3中，作直线BD，CE交于点P，直接写出当△PDE是直角三角形时旋转角α的度数． 【答案】（1）60°； （2）见解答； （3）α＝30°或75°，60°． 【解答】（1）解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠C＝∠B＝30°，∠BAD∠BAC， ∴∠BAD60， ∴α＝60°， 故答案为：60°； （2）证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠MAN＝∠DAE﹣∠MAN， 即：∠BAM＝∠EAN， 在△BAM和△EAN中， ， ∴△BAM≌△EAN（ASA）， ∴AM＝AN； （3）解：①如图1， 当DM＝OM时，∠MOD＝∠D＝30°， ∵∠B＝∠D，∠AMB＝∠DMO， ∴∠BAD＝∠MOD＝30°， ∴α＝30°， 如图2， 当DM＝DO时，∠MDO＝∠DOM75°， ∴α＝∠DOM＝75°， 如图3， 当OM＝OD时，∠OMD＝∠D＝30°， ∴α＝∠DOM＝120°， 此时AD和AC重合，这种情形不存在． 综上所述：α＝30°或75°． ②如图： 当∠EDP＝90°时， ∵∠ABC＝ADE＝30°， ∴∠ADB＝90°﹣30°＝60°， ∴∠BAD＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∵0°＜α＜100°， ∴旋转角α为60°． 32．探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在底边BC上，AE＝AD，连接DE． （1）当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数； （2）当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系； （3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠C＝45°， ∵∠BAD＝60°， ∴∠DAE＝30°， ∵AD＝AE， ∴∠AED＝75°， ∴∠CDE＝∠AED﹣∠C＝30°； （2）设∠BAD＝x， ∴∠CAD＝90°﹣x， ∵AE＝AD， ∴∠AED＝45°， ∴∠CDEx， ∴∠BAD＝2∠CDE； （3）设∠CDE＝x，∠C＝y， ∵AB＝AC，∠C＝y， ∴∠B＝∠C＝y， ∵∠CDE＝x， ∴∠AED＝y+x， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED＝y+x， ∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE， ∴y+∠BAD＝y+x+x， ∴∠BAD＝2∠CDE． 33．已知，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D为射线CB上一点，过点D作DE⊥AC于点E． （1）如图1，当点D在线段BC上时，请直接写出∠BAC与∠EDC的数量关系：　∠BAC＝2∠EDC　 ． （2）如图2，当点D在CB的延长线上时，画出图形，探究∠BAC与∠EDC的数量关系，并说明理由． （3）在（2）的条件下，点F为线段BC上一点，过点F作FG⊥AC于点G，连接AF，且∠AFG＝∠CFG，∠BAF＝∠BFA，延长ED、AB交于点K，求∠EKA的度数． 【答案】（1）∠BAC＝2∠EDC，（2）∠BAC＝2∠EDC，（3）∠EKA＝18°． 【解答】（1）如图1中，作AH⊥BC于H． ∵AB＝AC，AH⊥BC， ∴∠BAH＝∠CAH， ∵DE⊥AC， ∴∠AHC＝∠CED＝90°， ∴∠C+∠CAH＝90°，∠C+∠EDC＝90°， ∴∠CAH＝∠EDC， ∴∠BAC＝2∠EDC． 故答案为∠BAC＝2∠EDC． （2）如图2中，结论：∠BAC＝2∠EDC． 理由：∵AB＝AC，AH⊥BC， ∴∠BAH＝∠CAH， ∵DE⊥AC， ∴∠AHC＝∠CED＝90°， ∴∠C+∠CAH＝90°，∠C+∠EDC＝90°， ∴∠CAH＝∠EDC， ∴∠BAC＝2∠EDC． （3）如图2中，设∠C＝∠FAC＝∠ABC＝x，则∠BAF＝∠BFA＝2x， ∴5x＝180°， ∴x＝36°， ∴∠EAK＝∠ABC+∠C＝72°， ∵KE⊥EC， ∴∠E＝90°， ∴∠EKA＝90°﹣72°＝18°． 八．等腰三角形的判定（共2小题） 34．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）BP＝　（16﹣t）cm　 （用t的代数式表示）． （2）当点Q在边BC上运动时，出发 　　 秒后，△PQB是等腰三角形． （3）当点Q在边CA上运动时，出发几秒后，△BCQ是等腰三角形？ 【答案】（1）（16﹣t）cm； （2）； （3）当t为11或12或时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形． 【解答】解：（1）由题意可知AP＝t，BQ＝2t， ∵AB＝16cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm， 故答案为：（16﹣t）cm； （2）当点Q在边BC上运动，△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ， 即16﹣t＝2t，解得t， ∴出发秒后，△PQB能形成等腰三角形； 故答案为：； （3）①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ＝BQ，如图1所示， 则∠C＝∠CBQ， ∵∠ABC＝90°， ∴∠CBQ+∠ABQ＝90°． ∠A+∠C＝90°， ∴∠A＝∠ABQ， ∴BQ＝AQ， ∴CQ＝AQ＝10（cm）， ∴BC+CQ＝22（cm）， ∴t＝22÷2＝11； ②当△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ＝BC，如图2所示， 则BC+CQ＝24（cm）， ∴t＝24÷2＝12； ③当△BCQ是以CQ为底边的等腰三角形时：BQ＝BC，如图2所示， ∵， ∴， ∴BD， ∴CD， ∴CQ＝2CD， BC+CQ＝12， t2， 综上所述：当t为11或12或时，△BCQ是等腰三角形． 35．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒． （1）当t＝1时，求△ACP的面积． （2）t为何值时，线段AP是∠CAB的平分线？ （3）请利用备用图2继续探索：当t为何值时，△ACP是以AC为腰的等腰三角形？（直接写出结论） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）把t＝1得出CP＝2，所以△ACP的面积； （2）过P作PE⊥AB，如图1： CP＝2t，BP＝（8﹣2t）cm，AE＝AC＝6cm，PE＝CP＝2t，BE＝10﹣6＝4， 可得：（8﹣2t）2＝（2t）2+42 解得：t； （3）如图2，3，4： 因为△ACP是以AC为腰的等腰三角形， 当AC＝CP＝6时，t1＝6÷2＝3s； 当AC＝CP＝6时，； 当AC＝AP＝6时，s． 九．等腰三角形的判定与性质（共2小题） 36．（1）如图1，已知：在△ABC中，AB＝AC＝10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则图中共有 　5　 个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是 　BE+CF＝EF　 ，△AEF的周长是 　20　 （2）如图2，若将（1）中“△ABC中，AB＝AC＝10”改为“若△ABC为不等边三角形，AB＝8，AC＝10”其余条件不变，则图中共有 　2　 个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出△AEF的周长 （3）已知：如图3，D在△ABC外，AB＞AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则EF与BE、CF之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）BE+CF＝EF． 理由如下： ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB， ∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD， ∴∠DBC＝∠DCB， ∴DB＝DC ∵EF∥BC， ∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB，∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD， ∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD， ∴BE＝DE，CF＝DF，AE＝AF， ∴等腰三角形有△ABC，△AEF，△DEB，△DFC，△BDC共5个， ∴BE+CF＝DE+DF＝EF， 即BE+CF＝EF， △AEF的周长＝AE+EF+AF＝AE+BE+AF+FC＝AB+AC＝20． 故答案为：5；BE+CF＝EF；20； （2）BE+CF＝EF， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB， ∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD， ∵EF∥BC， ∴∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD， ∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD， ∴BE＝DE，CF＝DF， ∴等腰三角形有△BDE，△CFD， ∴BE+CF＝DE+DF＝EF，即BE+CF＝EF． 可得△AEF的周长为18． （3）BE﹣CF＝EF， 由（1）知BE＝ED， ∵EF∥BC， ∴∠EDC＝∠DCG＝∠ACD， ∴CF＝DF， 又∵ED﹣DF＝EF， ∴BE﹣CF＝EF． 37．（1）如图1，△ABC中，作∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB、AC于E、F． ①求证：OE＝BE； ②若△ABC 的周长是25，BC＝9，试求出△AEF的周长； （2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACB外角∠ACD的平分线相交于点P，连接AP，试探求∠BAC 与∠PAC的数量关系式． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）①∵BO平分∠ABC， ∴∠EBO＝∠OBC， ∵EF∥BC， ∴∠EOB＝∠OBC， ∴∠EOB＝∠EBO， ∴OE＝BE； ②△AEF的周长＝AE+AF+EF＝AE+AF+EB+FC＝AB+AC＝25﹣9＝16； （2）解：延长BA，做PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC， ∵CP平分∠ACD， ∴∠ACP＝∠PCD，PM＝PN， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN， ∴PF＝PM， ∴∠FAP＝∠PAC， ∴∠FAC＝2∠PAC， ∵∠FAC+∠BAC＝180°， ∴2∠PAC+∠BAC＝180°． 一十．等边三角形的性质（共3小题） 38．等边△ABC的边长为2，P为△ABC内一点，连接BP，PC，延长PC到点D，使CD＝PC． （1）如图1，延长BC到点E，使CE＝BC，连接AE，DE． ①求证：BP∥DE； ②∠BAE＝　90°　 ；若BP⊥AC，求∠AED的度数； （2）如图2，连接AD，若BP⊥AD，BP＝1，求AD的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）①证明：在△PCB与△DCE中， ， ∴△PCB≌△DCE（SAS）， ∴∠PBC＝∠DEC， ∴BP∥DE． ②∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AC＝BC， ∴∠ACE＝120°， 又∵BC＝CE， ∴AC＝CE， ∴， ∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝60°+30°＝90°． 分别延长AC，ED，交于点F，如图， ∵BP∥DE，且BP⊥AC， ∴ED⊥AC， ∴∠F＝90°． ∵∠FAE＝30°， ∴∠AED＝60°． 故答案为：90°； （2）延长BC到点E，使CE＝BC，连接AE，DE． 由（1）②得∠BAE＝90°， 又△ABC是等边三角形，AB＝2， ∴CE＝BC＝2，即BE＝4， 由勾股定理得，． ∵△PCB≌△DCE， ∴PB＝DE＝1，∠PBC＝∠DEC， ∴PB∥ED． 又∵BP⊥AD， ∴ED⊥AD，即∠ADE＝90°， ∴． 39．阅读材料： 如图，△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP＝S△ABC，即：，∴r1+r2＝h（定值）． （1）类比与推理 如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3＝h（定值）． （2）理解与应用 △ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？　存在　 （填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r＝　2　 ．若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）连接AP，BP，CP． 则S△ABP+S△BCP+S△ACP＝S△ABC， 即， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC， ∴r1+r2+r3＝h（定值）； （2）存在． r＝2． 40．如图1，△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN． （1）探究BM、MN、NC之间的关系，并说明理由． （2）若△ABC的边长为2，求△AMN的周长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）MN＝BM+NC．理由如下： 延长AC至E，使得CE＝BM，连接DE，如图所示： ∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形， ∴BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，∠MBC＝∠ACB＝60°， 又∵BD＝DC，且∠BDC＝120°， ∴∠DBC＝∠DCB＝30°， ∴∠ABC+∠DBC＝∠ACB+∠DCB＝60°+30°＝90°， ∴∠MBD＝∠ECD＝90°， 在△MBD与△ECD中， ， ∴△MBD≌△ECD（SAS）， ∴MD＝DE，∠BDM＝∠CDE，BM＝CE， 又∵∠BDC＝120°，∠MDN＝60°， ∴∠BDM+∠NDC＝∠BDC﹣∠MDN＝60°， ∴∠CDE+∠NDC＝60°，即∠NDE＝60°， ∴∠MDN＝∠NDE＝60°， 在△DMN与△DEN中， ， ∴△DMN≌△DEN（SAS）， ∴MN＝EN， 又∵NE＝NC+CE，BM＝CE， ∴MN＝BM+NC； （2）∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝2， 利用（1）中的结论得出：BM＝CE，MN＝EN， △AMN的周长＝AM+MN+AN ＝AM+NE+AN＝AM+AN+NC+CE＝AM+AN+NC+BM ＝（AM+BM）+（NC+AN） ＝AB+AC＝2+2＝4． 一十一．等边三角形的判定与性质（共2小题） 41．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD． （1）求证：△OCD是等边三角形； （2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）∵△BOC≌△ADC， ∴OC＝DC， ∵∠OCD＝60°， ∴△OCD是等边三角形． 解： （2）△AOD是直角三角形． 理由如下： ∵△OCD是等边三角形， ∴∠ODC＝60°， ∵△BOC≌△ADC，α＝150°， ∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°， ∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°， ∴△AOD是直角三角形． （3）∵△OCD是等边三角形， ∴∠COD＝∠ODC＝60°． ∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α， ∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α， ∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°， ∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°． ①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°， ∴α＝125°． ②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°， ∴α＝140°． ③当∠ADO＝∠OAD时， α﹣60°＝50°， ∴α＝110°． 综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形． 42．如图△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为直线BC上任一动点，将一60°角的顶点置于点D处，它的一边始终经过点A，另一边与直线a交于点E． （1）若D恰好在BC的中点上（如图1）求证：△ADE是等边三角形； （2）若D为直线BC上任一点（如图2），其他条件不变，上述（1）的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵a∥AB，且△ABC为等边三角形， ∴∠ACE＝∠BAC＝∠ABD＝60°，AB＝AC， ∵BD＝CD， ∴AD⊥BC ∵∠ADE＝60°， ∴∠EDC＝30°， ∴∠DOC＝180°﹣∠EDC﹣∠ACB＝90°， ∴∠DEC＝∠DOC﹣∠ACE＝30°， ∴∠EDC＝∠DEC， ∴EC＝CD＝DB， ∴△ABD≌△ACE． ∴AD＝AE，且∠ADE＝60°， ∴△ADE是等边三角形； （2）在AC上取点F，使CF＝CD，连接DF， ∵∠ACB＝60°， ∴△DCF是等边三角形， ∵∠ADF+∠FDE＝∠EDC+∠FDE＝60°， ∴∠ADF＝∠EDC， ∵∠DAF+∠ADE＝∠DEC+∠ACE， ∴∠DAF＝∠DEC， ∴△ADF≌△EDC（AAS）， ∴AD＝ED， 又∵∠ADE＝60°， ∴△ADE是等边三角形． 一十二．勾股定理（共2小题） 43．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，连接DC． （1）AB＝ 　10　 ； （2）已知，直线MN垂直平分AC分别交AB，AC于点D，点E，若点F从点C出发沿CB以每秒2个单位长度的速度向终点B匀速运动，设运动时间为t秒．连接DC，DF，在点F运动过程中，△DCF能否为以CF为腰的等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）10； （2）t的值为或． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8， AB10． 故答案为：10； （2）在点F运动过程中，△DCF能否为以CF为腰的等腰三角形． 由题意得CF＝2t， ∵直线MN垂直平分AC， ∴DA＝DC， ∴∠DCA＝∠A， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°，∠BCD+∠DCA＝90°， ∴∠B＝∠BCD， ∴BD＝DC， ∴BD＝DC＝ADAB＝5， ①当CF＝CD时，2t＝5， 解得t； ②当CF＝DF＝2t时， 过点D作DH⊥BC于H，则四边形DHCF是矩形， ∴DH＝CEAC＝4， 在Rt△CDH中，CH3， 则FH＝2t﹣3， 在Rt△CDH中，DF2＝FH2+DH2， ∴（2t）2＝（2t﹣3）2+42， 解得t； 综上所述：t的值为或． 44．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）求BC边的长； （2）当△ABP为直角三角形时，求t的值； （3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝102﹣62＝64， ∴BC＝8（cm）； （2）由题意知BP＝2tcm， ①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝8cm，即t＝4； ②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t﹣8）cm，AC＝6cm， 在Rt△ACP中， AP2＝62+（2t﹣8）2， 在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2， 即：102+[62+（2t﹣8）2]＝（2t）2， 解得：t， 故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t； （3）①当AB＝BP时，t＝5； ②当AB＝AP时，BP＝2BC＝16cm，t＝8； ③当BP＝AP时，AP＝BP＝2tcm，CP＝|2t﹣8|cm，AC＝6cm， 在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2， 所以（2t）2＝62+（2t﹣8）2， 解得：t， 综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t． 一十三．勾股定理的证明（共2小题） 45．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝0.8千米，HB＝0.6千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ （3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝10，BC＝17，AB＝21，设AH＝x，可以求CH的值，请帮小明写出求CH的过程． 【答案】（1）推导过程见解答； （2）新路CH比原路CA少约0.03千米； （3）8． 【解答】解：（1）梯形ABCD的面积为（a+b）（a+b）a2+abb2， 也可以表示为ababc2， ∴ababc2a2+abb2， 即a2+b2＝c2； （2）设AB＝AC＝x千米， ∴AH＝AB﹣BH＝（x﹣0.6）千米， 在Rt△ACH中，根据勾股定理得：CA2＝CH2+AH2， ∴x2＝0.82+（x﹣0.6）2， 解得x≈0.83， 即CA≈0.83千米， ∴CA﹣CH≈0.83﹣0.8≈0.03（千米）， 答：新路CH比原路CA少约0.03千米； （3）∵AH＝x， ∴BH＝AB﹣AH＝21﹣x， ∵CH⊥AB，AC＝10，BC＝17，AB＝21， 根据勾股定理： 在Rt△ACH中，CH2＝CA2﹣AH2， 在Rt△BCH中，CH2＝CB2﹣BH2， ∴CA2﹣AH2＝CB2﹣BH2， 即102﹣x2＝172﹣（21﹣x）2， 解得：x＝6， ∴AH＝6， ∴CH8． 46．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． （1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理． （2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积． （3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）S小正方形＝（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，另一方面S小正方形＝c2﹣4ab＝c2﹣2ab， 即b2﹣2ab+a2＝c2﹣2ab， 则a2+b2＝c2． （2）24÷4＝6， 设AC＝x，依题意有 （x+3）2+32＝（6﹣x）2， 解得x＝1， （3+1）×3×4 4×3×4 ＝24． 故该飞镖状图案的面积是24． （3）将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y， ∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3＝40， ∴得出S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x， ∴S1+S2+S3＝3x+12y＝40， ∴x+4y， ∴S2＝x+4y． 故答案为：． 一十四．三角形综合题（共1小题） 47．（1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1，∵BD⊥直线m，CE⊥直线m， ∴∠BDA＝∠CEA＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE＝90° ∵∠BAD+∠ABD＝90°， ∴∠CAE＝∠ABD， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （2）如图2，∵∠BDA＝∠BAC＝α， ∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α， ∴∠DBA＝∠CAE， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （3）如图3，由（2）可知，△ADB≌△CEA， ∴BD＝AE，∠DBA＝∠CAE， ∵△ABF和△ACF均为等边三角形， ∴∠ABF＝∠CAF＝60°，BF＝AF， ∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF， ∴∠DBF＝∠FAE， ∵在△DBF和△EAF中， ， ∴△DBF≌△EAF（SAS）， ∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE， ∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°， ∴△DEF为等边三角形． 一十五．坐标与图形变化-平移（共2小题） 48．如图1，已知，点A（1，a），AH⊥x轴，垂足为H，将线段AO平移至线段BC，点B（b，0），其中点A与点B对应，点O与点C对应，a、b满足． （1）填空：①直接写出A、B、C三点的坐标A（ 　1，4　 ）、B（ 　3，0　 ）、C（ 　2，﹣4　 ）； ②直接写出三角形AOH的面积 　2　 ． （2）如图1，若点D（m，n）在线段OA上，证明：4m＝n． （3）如图2，连OC，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点Q从点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，三角形AOP与三角形COQ的面积相等，试求t的值及点P的坐标． 【答案】（1）①1，4；3，0；2，﹣4． ②2． （2）证明见解析部分． （3）t＝1.2时，P（0.6，0），t＝2时，P（﹣1，0）． 【解答】（1）解：①∵， 又∵0，（b﹣3）2≥0， ∴a＝4，b＝3， ∴A（1，4），B（3，0），C（（2，﹣4）， 故答案为：1，4；3，0；2，﹣4． ②△AOH的面积1×4＝2， 故答案为：2． （2）证明：如图，连接DH． ∵△ODH的面积+△ADH的面积＝△OAH的面积， ∴1×n4×（1﹣m）＝2， ∴4m＝n． （3）解：①当点P在线段OB上，（3﹣2t）×42t， 解得t＝1.2． 此时P（0.6，0）． ②当点P在BO的延长线上时，（2t﹣3）×42×t， 解得t＝2， 此时P（﹣1，0）， 综上所述，t＝1.2时，P（0.6，0），t＝2时，P（﹣1，0）． 49．在平面直角坐标系中，有点A（a，0），B（0，b），且a，b满足|b+2|＝0，B向上平移k个单位得到线段CD． （1）求点A，B的坐标； （2）如图，E为线段CD上任意一点，F为线段AB上任意一点，∠EOF＝120°．G为线段AB与线段CD之间一点，连接GE，GF，且∠DEG∠DEO，∠EGF＝80°．试写出∠AFG与∠GFO之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）点A（4，0），点B（0，﹣2）； （2）点A（4，0），点B（0，﹣2），理由见解答过程． 【解答】解：（1）∵|b+2|＝0， ∴a＝4，b＝﹣2， ∴点A（4，0），点B（0，﹣2）； （2）∠AFG∠GFO，理由如下： 延长FG、CD交于点N，延长EO、AB交于点H，如图所示： 设∠DEG＝α，∠GFA＝β， ∵∠DEG∠DEO， 则∠DEO＝3α， ∵CD∥AB， ∴∠ENG＝∠GFA＝β，∠DEO+∠EHF＝180°， ∴∠EHF＝180°﹣3α， ∵∠EOF＝∠EHF+∠OFH＝120°，∠EGF＝∠GEN+∠ENF＝80°， ∴∠OFH＝120°﹣∠EHF＝120°﹣180°+3α＝3α﹣60°，α+β＝80°， ∵∠GFO＝180°﹣∠OFH﹣∠GFA＝180°﹣3α+60°﹣β＝240°﹣3α﹣β＝240°﹣80°﹣2α＝2（80°﹣α）＝2β， ∴∠AFG∠GFO． 一十六．几何变换的类型（共1小题） 50．小军同学在研究平面直角坐标系内三角形的面积时，意外发现利用三角形的面积可以求得一条直线与坐标轴的交点坐标，下面以求得与y轴的交点为例计算． 如图（1），在平面直角坐标系内，A（m，0），B（m，n），将线段AB向左平移2n个单位得到线段DC（点A对应点D），连接BC，已知（2m﹣n﹣8）2+|m﹣2n+2|＝0． （1）请计算点C、D的坐标； （2）如图（1），若点E是线段CD中点，连接BE交y轴于点F，请计算三角形BEO的面积并求出此时点F坐标； （3）如图（2），若点E（﹣2，1），点M是线段AB上的一个动点，连接ME交y轴于点F，设F（0，t），请求出t的取值范围． 【答案】（1）D（﹣2，0），C（﹣2，4）； （2）F（0，2.5）； （3）t． 【解答】解：（1）∵（2m﹣n﹣8）2+|m﹣2n+2|＝0， ∴， 解得， ∴A（6，0），B（6，4）， ∵将线段AB向左平移8个单位得到线段DC， ∴D（﹣2，0），C（﹣2，4）； （2）∵A（6，0），B（6，4），D（﹣2，0），C（﹣2，4）， ∴AB＝4＝CD，AD＝8＝BC， ∵E为CD中点， ∴DECD＝2， ∴S梯形ABED24，S△DEO2×2＝2，S△AOB6×4＝12， ∴S△BEO＝S梯形ABED﹣S△DEO﹣S△AOB＝24﹣2﹣12＝10，即△BEO的面积为10； 设F（0，k），则OF＝k， ∵S△BEO＝S△EOF+S△BOF， ∴2k6k＝10， 解得k＝2.5， ∴F（0，2.5）； （3）连接OE，OM，如图： 设AM＝a， ∵E（﹣2，1）， ∴DO＝2，DE＝1， ∵S梯形ABED＝S△DEO+S△AOM+S△EOM， ∴2×16a2t6t， ∴a＝4t﹣3， ∵0≤a≤4， ∴0≤4t﹣3≤4， ∴t． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/4/7 15:46:52；用户：傲雪寒松；邮箱：15296527686；学号：19441978 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$