期中复习（压轴16大类型52题）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（北师大版）

期中复习（压轴16大类型52题） 一．解一元一次不等式（共1小题） 1．若关于x，y的方程组的解满足x﹣y，则m的最小整数解为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0 【答案】C 【解答】解：， ①﹣②得：x﹣y＝3m+2， ∵关于x，y的方程组的解满足x﹣y， ∴3m+2， 解得：m， ∴m的最小整数解为﹣1， 故选：C． 二．解一元一次不等式组（共1小题） 2．对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.1]＝1，[3]＝3，[﹣2.2]＝﹣3，若[]＝5，则x的取值范围是　11≤x＜14　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由[]＝5，得， 解得11≤x＜14， 故答案为11≤x＜14． 三．一元一次不等式组的整数解（共4小题） 3．如果关于y的方程有非负整数解，且关于x的不等式组的解集为x≥1，则所有符合条件的整数a的和为（　　） A．﹣5 B．﹣8 C．﹣9 D．﹣12 【答案】B 【解答】解：， 解得：， ∵关于y的方程有非负整数解， ∴， 解得：a≥﹣5，且为整数， 关于x的不等式组整理得： ， ∵不等式组的解集为x≥1， ∴a+4≤1， 解得：a≤﹣3， ∴﹣5≤a≤﹣3且为整数， ∴a＝﹣5，﹣3， 于是符合条件的所有整数a的值之和为：﹣5﹣3＝﹣8． 故选：B． 4．若关于x的一元一次不等式组的解集是x≤k，且关于y的方程2y＝3+k有正整数解，则符合条件的所有整数k的和为（　　） A．5 B．8 C．9 D．15 【答案】B 【解答】解：， 解不等式①得x≤k， 解不等式②得x＜7， 由题意得k＜7， 解关于y的方程2y＝3+k得， y， 由题意得，1， 解得k≥﹣1， ∴k的取值范围为：﹣1≤k＜7，且k为整数， ∴k的取值为﹣1，0，1，2，3，4，5，6， 当k＝﹣1时，y1， 当k＝0时，y， 当k＝1时，y2， 当k＝2时，y， 当k＝3时，y3， 当k＝4时，y， 当k＝5时，y4， 当k＝6时，y， ∵为整数，且k为整数， ∴符合条件的整数k为﹣1，1，3，5， ∵﹣1+1+3+5＝8， ∴符合条件的所有整数k的和为8． 故选：B． 5．若不等式组有三个非负整数解，则m的取值范围是 　2＜m≤3　 ． 【答案】2＜m≤3． 【解答】解：， 解不等式①得：x＜m， 解不等式②得：x≥﹣3， ∵不等式组有三个非负整数解， ∴不等式组三个非负整数解是0，1，2， ∴2＜m≤3． 6．已知关于x的不等式组的整数解有且只有2个，则m的取值范围是 　﹣5≤m＜﹣4　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：， 解①得x， 解②得x＞m， 则不等式组的解集是m＜x． 不等式组有2个整数解，则整数解是﹣3，﹣4． 则﹣5≤m＜﹣4． 故答案为：﹣5≤m＜﹣4． 四．一元一次不等式组的应用（共1小题） 7．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是　42　 ，小朋友的人数是　6　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设有x位小朋友，则苹果为（5x+12）个， 依题意得：0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜5， 可化为：， 解得：5＜x， ∵x是正整数， ∴x＝6， 当x＝6时，5x+12＝42； ∴这一箱苹果有42个，小朋友有6位， 故答案为：42，6． 五．角平分线的性质（共3小题） 8．如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论： ①∠DAE＝∠F； ②2∠DAE＝∠ABD﹣∠ACE； ③S△AEB：S△AEC＝AB：AC； ④∠AGH＝∠BAE+∠ACB．其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：如图，AE交GF于M， ①∵AD⊥BC，FG⊥AE， ∴∠ADE＝∠AMF＝90°， ∵∠AED＝∠MEF， ∴∠DAE＝∠F；故①正确； ②∵AE平分∠BAC交BC于E， ∴∠EAC∠BAC， ∠DAE＝90°﹣∠AED ＝90°﹣（∠ACE+∠EAC）， ＝90°﹣（∠ACE∠BAC）， （180°﹣2∠ACE﹣∠BAC）， （∠ABD﹣∠ACE）， 即2∠DAE＝∠ABD﹣∠ACE， 故②正确； ③∵AE平分∠BAC交BC于E， ∴点E到AB和AC的距离相等， ∴S△AEB：S△AEC＝AB：CA；故③正确， ④∵∠DAE＝∠F，∠FDG＝∠FME＝90°， ∴∠AGH＝∠MEF， ∵∠MEF＝∠CAE+∠ACB， ∴∠AGH＝∠CAE+∠ACB， ∴∠AGH＝∠BAE+∠ACB；故④正确； 故选：D． 9．如图，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠EBC的平分线相交于点P，BE＝BC，D在AC延长线上，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF；⑤GF+FC＝GA．其中正确的有（　　） A．①②④ B．②③⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤ 【答案】D 【解答】解：∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBE， ∴， ∵∠CBE＝∠CAB+∠ACB，∠PBE＝∠PAB+∠APB， ∴∠ACB＝2∠APB；故①正确； 过P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S， ∴PM＝PN＝PS， ∴PC平分∠BCD， ∴，故②正确； ∵BE＝BC，BP平分∠CBE ∴BP垂直平分CE（三线合一），故③正确； ∵PG∥AD， ∴∠FPC＝∠DCP ∵PC平分∠DCB， ∴∠DCP＝∠PCF， ∴∠PCF＝∠CPF，故④正确， ∵AD平行PG，AP平分∠BAC， ∴∠DAP＝∠APG， ∴AG＝GP， ∵∠PCF＝∠CPF， ∴CF＝FP，GP＝PF+FG， ∴⑤正确， 故选：D． 10．如图，∠ABC＝∠ACB，△ABC的内角∠ABC的角平分线BD与∠ACB的外角平分线交于点D，△ABC的外角∠MBC的角平分线与CD的反向延长线交于点E，以下结论： ①AD∥BC；②DB⊥BE；③∠BDC+∠ABC＝90°；④BD平分∠ADC；⑤∠BAC+2∠BEC＝180°． 其中正确的结论有 　①②③⑤　 ．（填序号） 【答案】①②③⑤． 【解答】解：如图，过点D作DG⊥BF于G，DH⊥AB交BA的延长线于点H，DP⊥AC于P，过点A作AQ⊥BC于Q， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴DH＝DG， ∵CD是∠ACF的平分线， ∴DG＝DP， ∴DH＝DP， ∴AD是∠CAH的平分线， 即∠CAD＝∠HAD∠CAH， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∠CAD+∠HAD+∠BAC＝180°， ∴∠CAD＝∠ACB， ∴AD∥BC， 因此①正确； ∵BE平分∠CBM，BD平分∠ABC，∠CBM+∠ABC＝180°， ∴∠DBE∠ABC∠CBM180°＝90°， 即BD⊥BE， 因此②正确； ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠DBC， ∵CD是∠ACF的平分线， ∴∠ACD＝∠FCD， ∵∠ACF＝∠BAC+∠ABC，∠DCF＝∠BDC+∠DBC， ∴∠BDC∠BAC， ∵AQ⊥BC，AB＝AC， ∴∠BAQ＝∠CAQ∠BAC， ∵∠BAQ+∠ABC＝90°， ∴∠BDC+∠ABC＝90°， 因此③正确； ∵∠ADB∠ABC（）＝45，而∠BAC ∴∠ADB与∠BDC不一定相等， 因此④不正确； ∵BE⊥BD， ∴∠E+∠BDC＝90°， ∵∠BDC∠BAC， ∴∠E∠BAC＝90°， ∴2∠E+∠ABC＝180°， 因此⑤正确； 综上所述，正确的结论有：①②③⑤， 故答案为：①②③⑤． 六．线段垂直平分线的性质（共1小题） 11．如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】解：∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBE， ∴∠PAB∠CAB，∠PBE∠CBE， ∵∠CBE＝∠CAB+∠ACB， ∠PBE＝∠PAB+∠APB， ∴∠ACB＝2∠APB；故①正确； 过P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S， ∴PM＝PN＝PS， ∴PC平分∠BCD， ∵S△PAC：S△PAB＝（AC•PN）：（AB•PM）＝AC：AB；故②正确； ∵BE＝BC，BP平分∠CBE ∴BP垂直平分CE（三线合一），故③正确； ∵PG∥AD， ∴∠FPC＝∠DCP ∴PC平分∠DCB， ∴∠DCP＝∠PCF， ∴∠PCF＝∠CPF，故④正确． 故选：D． 七．等腰三角形的性质（共4小题） 12．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，点D是CA延长线上任意一点，作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：过点E作EN⊥BC于点N，设DF交AB于点R，过点R作RH⊥EH于点H， ∵∠BAC＝120°，∠C＝30°，DF⊥BC， ∴∠BRF＝60°，∠RDE＝30°，∠DAB＝180°﹣120°＝60°， 则∠ADE＝30°＝∠RDE， 设DA＝x，则AE＝REx， 则BE＝AB﹣AE＝4x， 在Rt△ERH中，∠ERH＝∠B＝30°， 则RH＝REcos30°x＝FN， 则FE2＝NE2+FN2＝（2）2+（x）2（x﹣2）2+3≥3， 故EF的最小值为， 故选：A． 13．如图，△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝48°，点O为△ABC内一点，∠OAB＝12°，∠OBC＝18°，则∠ACO+∠AOB＝（　　） A．190° B．195° C．200° D．210° 【答案】D 【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，延长BO交CD与点P，连接AP， ∵∠OBC＝18°，∠CBA＝48°， ∴∠ABP＝∠CBA﹣∠OBC＝30°， ∵∠CAB＝∠CBA＝48°， ∴CA＝CB， ∵CD⊥AB， ∴CD是AB的垂直平分线， ∴PA＝PB， ∴∠PAB＝∠PBA＝30°， ∴∠CAP＝∠CAB﹣∠PAB＝18°， ∵∠AOP是△AOB的一个外角， ∴∠AOP＝∠OAB+∠OBA＝42°， ∵∠CDA＝90°， ∴∠ACD＝90°﹣∠CAD＝42°， ∴∠AOP＝∠ACD， ∵∠PAB＝30°，∠OAB＝12°， ∴∠PAO＝∠PAB﹣∠OAB＝18°， ∴∠CAP＝∠OAP， ∵AP＝AP， ∴△ACP≌△AOP（AAS）， ∴AC＝AO， ∵∠CAO＝∠CAP+∠OAP＝36°， ∴∠ACO＝∠AOC＝72°， ∵∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝138°， ∴∠ACO+∠AOB＝210°， 故选：D． 14．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝40°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E．得到第3个△A2A3E…按此做法继续下去，则第n+1个三角形中以An+1为顶点的底角度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵在△CBA1中，∠B＝40°，A1B＝CB， ∴∠BA1C70°， ∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角， ∴∠DA2A1∠BA1C70°； 同理可得∠EA3A2＝（）2×70°，∠FA4A3＝（）3×70°， ∴第n+1个三角形中以An+1为顶点的底角度数是（） n×70°． 故选：A． 15．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝50°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是　（）n﹣1×65°　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵在△CBA1中，∠B＝50°，A1B＝CB， ∴∠BA1C65°， ∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角， ∴∠DA2A1∠BA1C65°； 同理可得， ∠EA3A2＝（）2×65°，∠FA4A3＝（）3×65°， … ∴第n个等腰三角形的底角度数是（）n﹣1×65°， ∴第n个三角形中以An为顶点的内角度数是（）n﹣1×65°， 故答案为：（）n﹣1•65°． 八．等腰三角形的判定与性质（共1小题） 16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB，过点B作BD⊥CD，垂足为点D，连接AD，若AB＝3，BC＝4，则△ADB的面积为　　 ． 【答案】． 【解答】解：解法一：延长BD交AC于点E， 在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4， ∴AC5， ∵CD平分∠ACB，且BD⊥CD， ∴BC＝CE＝4，AE＝AC﹣CE＝1，BD＝ED， ∴， ∴S△ABES△ABC， ∴S△ABDS△ABE， 故答案为：． 解法二：过点D作DE⊥AC于点E，作DF⊥BC于点F，作DG⊥AB于点G， ∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴AC5， ∵DE⊥AC，DF⊥BC，DG⊥AB，CD平分∠ACB， ∴四边形BFDG为矩形，DE＝DF， ∴设DF＝DE＝x，BF＝DG＝y， ∵∠DBF＝∠DBC，∠DFB＝∠BDC＝90°， ∴△BFD∽△BDC， ∴，即， 解得：y1＝2，y2＝2（舍去）， ∴S△ABD•AB•DG•3•（2）， ∵S△ABC＝S△DAB+S△DBC+S△DAC， ∴•3•4•3•（2）•4•x•5•x， 解得：x1，x2＝0（舍去）， 当x时，y＝2， ∴S△DAB•AB•DG•3•， 故答案为：． 九．等边三角形的性质（共6小题） 17．如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则B6B7的边长为（　　） A．6 B．12 C．32 D．64 【答案】C 【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形， ∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°， ∴∠2＝120°， ∵∠MON＝30°， ∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°， 又∵∠3＝60°， ∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°， ∵∠MON＝∠1＝30°， ∴OA1＝A1B1＝1， ∴A2B1＝1， ∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形， ∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°， ∵∠4＝∠12＝60°， ∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3， ∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°， ∴A2B2＝2B1A2＝2，B3A3＝2B2A3， ∴A3B3＝4B1A2＝4， A4B4＝8B1A2＝8， A5B5＝16B1A2＝16， 以此类推：A7B7＝26B1A2＝26＝64，B6A732，△B7B6A7是直角三角形，∠B7B6A7＝90°， ∴B6B732． 故选：C． 18．如图，边长为4cm的等边△ABC，P，Q分别是AB，AC上的动点，且满足AP＝2CQ，点M为PQ的中点，连接BM，则BM的最小值为（　　） A．3cm B．2cm C．2cm D．cm 【答案】D 【解答】解：过M点作EF∥AB交AC，BC分别于E，F两点，过M点作MH⊥BC于H， 设AP＝2a cm，则CQ＝a cm， ∵M是PQ的中点， ∴AE＝EQ， ∴MEAP＝a cm， ∵△ABC为等边三角形，且边长为4cm， ∴AE＝EQ（cm），∠EFC＝∠B＝60°，∠FEC＝∠A＝60°， ∴EC＝EQ+CQa（cm），△EFC是等边三角形， ∴EF＝CF＝CE（cm），BF＝AE（cm）， ∴FM＝EF﹣MEa（cm）， ∴FM＝BF， ∴∠FBM＝∠FMB， ∵∠EFC＝60°，∠MHF＝90°， ∴∠FBM＝30°，∠FMH＝30°， ∴FHFM（cm），MHFH（cm）， ∴BM＝2MH（cm）， ∵AP≤AB，即2a≤4， 解得a≤2， ∴当a＝2时，BM有最小值，最小值为：（cm）， 故选：D． 19．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以直角三角形的三条边为边，在直线AB同侧分别作正三角形，已知S甲＝8，S乙＝6，S丙＝3，则△ABC的面积是　11　 ． 【答案】11． 【解答】解：由图可知，S△ABC＝SABD﹣S丙﹣（S△ACE﹣S甲）﹣（S△BCF﹣S乙）， 设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则a2+b2＝c2． ∵△ACE，△ABD，△BCF是等边三角形， 则S△ACEb2，S△ABDc2，S△BCFa2， ∴S△ABCc2﹣3﹣（b2﹣8）﹣（a2﹣6）＝11． 故答案为：11． 20．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，D是线段AB上一个动点，以BD为边在△ABC外作等边△BDE．若F是DE的中点，当CF取最小值时，△BDE的周长为 　18　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：连接BF，过点C作CH⊥BF．交BF的延长线于H， ∵△BDE是等边三角形，点F是DE的中点， ∴∠ABF＝30°， ∴点F在射线BF上运动， 当点F与点H重合时，CF最小， ∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°， ∴∠A＝60°，AB＝2AC＝12， ∵∠ABF＝30°， ∴∠BD'H＝∠AD'C＝60°， ∴△ACD'是等边三角形， ∴AD'＝AC＝6， ∴BD'＝AB﹣AD'＝12﹣6＝6， ∴△BDE的周长为：18， 故答案为：18． 21．边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点顺次连接，又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图）…，按此方式依次操作，则第7个正六边形的边长是　（）6a　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图1，连接AD、DF、DB． ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠ABC＝∠BAF＝∠AFE，AB＝AF，∠E＝∠C＝120°，EF＝DE＝BC＝CD， ∴∠EFD＝∠EDF＝∠CBD＝∠BDC＝30°， ∵∠AFE＝∠ABC＝120°， ∴∠AFD＝∠ABD＝90°， 在Rt△ABD和RtAFD中， ∵， ∴Rt△ABD≌Rt△AFD（HL）， ∴∠BAD＝∠FAD120°＝60°， ∴∠FAD+∠AFE＝60°+120°＝180°， ∴AD∥EF， ∵G、I分别为AF、DE中点， ∴GI∥EF∥AD， ∴∠FGI＝∠FAD＝60°， ∵六边形ABCDEF是正六边形，△QKM是等边三角形， ∴∠EDM＝60°＝∠M， ∴ED＝EM， 同理AF＝QF， 即AF＝QF＝EF＝EM， ∵等边三角形QKM的边长是a， ∴第一个正六边形ABCDEF的边长是a，即等边三角形QKM的边长的， 如图2，过F作FZ⊥GI于Z，过E作EN⊥GI于N， 则FZ∥EN， ∵EF∥GI， ∴四边形FZNE是平行四边形， ∴EF＝ZNa， ∵GFAFaa，∠FGI＝60°（已证）， ∴∠GFZ＝30°， ∴GZGFa， 同理INa， ∴GIaaaa，即第二个等边三角形的边长是a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是a； 同理第三个等边三角形的边长是a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是a； 同理第四个等边三角形的边长是（）3a，第四个正六边形的边长是（）3a； 第五个等边三角形的边长是（）4a，第五个正六边形的边长是（）4a； … 第n个正六边形的边长是（）n﹣1a， ∴第七个正六边形的边长是（）6a． 故答案为：（）6a． 22．如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3、…在射线ON上，点B1、B2、B3、…在射线OM上，△A1B1B2、△A2B2B3、△A3B3B4、…均为等边三角形，若OB1＝1，则△A8B8B9的边长为　128　 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设等边三角形的边长一次为a1，a2，a3，…， ∵△A1B1B2是等边三角形， ∴B1A1＝B2A1，∠3＝∠4＝∠12＝60°， ∴∠2＝120°， ∵∠MON＝30°， ∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°， 又∵∠3＝60°， ∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°， ∵∠MON＝∠1＝30°， ∴OB1＝B1A1＝1， ∴B2A1＝1， ∵△B2A2B3、△B3A3B4是等边三角形， ∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°， ∵∠4＝∠12＝60°， ∴B1A1∥A2B2∥A3B3，A1B2∥A2B3， ∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°， ∴a2＝2a1，a3＝4a1＝4， a4＝8a1＝8，a5＝16a1， 以此类推：a8＝27＝128， 即△A8B8B9的边长为128， 故答案为：128． 一十．等边三角形的判定与性质（共1小题） 23．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论： ①AD＝BE；②PQ∥AE；③OP＝OQ；④△CPQ为等边三角形；⑤∠AOB＝60°．其中正确的有 　①②④⑤　 ．（注：把你认为正确的答案序号都写上） 【答案】①②④⑤． 【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，CD＝CE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，结论①正确． ∵△ACD≌△BCE， ∴∠CAD＝∠CBE， 又∵∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠ACP＝∠BCQ＝60°， 在△ACP和△BCQ中， ∠ACP＝∠BCQ，∠CAP＝∠CBQ，AC＝BC， ∴△ACP≌△BCQ（AAS）， ∴AP＝BQ，CP＝CQ， 又∵∠PCQ＝60°， ∴△PCQ为等边三角形，结论④正确； ∴∠PQC＝∠DCE＝60°， ∴PQ∥AE，结论②正确． ∵△ACD≌△BCE， ∴∠ADC＝∠AEO， ∴∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°， ∴结论⑤正确． 没有条件证出OP＝OQ，③错误； 综上，可得正确的结论有4个：①②④⑤． 故答案为：①②④⑤． 一十一．直角三角形的性质（共2小题） 24．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交直线BC于点D，若∠BAD﹣∠DAC＝22.5°，则∠B＝（　　） A．37.5° B．67.5° C．37.5°或67.5° D．30°或60° 【答案】C 【解答】解：如图1，当AB的垂直平分线交BC的延长线于点D时，连接DA， ∵D在线段AB的垂直平分线上， ∴DA＝DB， ∴∠B＝∠DAB， ∵∠BAD﹣∠DAC＝22.5°， ∴∠BAC＝∠BAD﹣∠DAC＝22.5°， 又∠ACB＝90°， ∴∠BAC+∠B＝90°， 即22.5°+∠B＝90°， 解得∠B＝67.5°； 如图2，当AB的垂直平分线交线段BC于点D时，连接DA， ∵D在线段AB的垂直平分线上， ∴DA＝DB， ∴∠B＝∠BAD， ∵∠BAD﹣∠DAC＝22.5°， ∴∠DAC＝∠B﹣22.5°， 又∠CDA＝2∠B，∠DAC+∠CDA＝90°， ∴∠B﹣22.5°+2∠B＝90°， 解得∠B＝37.5°； 综上可知∠B为37.5°或67.5°， 故选：C． 25．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是边AC和BC上的动点，连接DE、AE、BD．若BC﹣AC＝CD﹣EC＝2，AC+CE＝8，则AE+BD的最小值是 　　 ． 【答案】． 【解答】解：作点E关于AC对称点E1，作点D关于BC的对称点D1，连接E1D1，AE1， 把△ABE1沿AC方向向右平移至D1B1E2，使点A与D1重合，连接E1E2，BE2， 如下图所示： 由轴对称可知：AE＝AE1，BD＝BD1，CD＝CD1，CE＝CE1， ∵BC﹣AC＝CD﹣EC＝2，AC+CE＝2， ∴BC+CE＝CD+AC＝4， ∴BC+CE＝BC+CE1＝4，AC+CD＝AC+CD1＝4， ∴E1E2＝AD1＝AC+CD1＝4，BE1＝BC+CE1＝4． 由图形变化可知：AE+BD＝AE1+BD1＝D1E2+BD1， ∴当E2，D1，B三点共线时，D1E2+BD1最小， 由平移可知：∠BE1E2＝90°， 故在Rt△BE1E2中， BE2， 即AE+BD的最小值为． 故答案为：． 一十二．含30度角的直角三角形（共4小题） 26．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，若D，E是边AB上的两个动点，F是边AC上的一个动点，DE，则CD+EF的最小值为（　　） A．3 B． C．1 D．3 【答案】A 【解答】解：如图，过C作AB的对称点C1，连接CC1，交AB于N；过C1作C1C2∥AB，且C1C2，过C2作C2F⊥AC于F，交AB于E，C2F的长度即为所求最小值， ∵C1C2∥DE，C1C2＝DE， ∴四边形C1DEC2是平行四边形， ∴C1D＝C2E， 又∵C、C1关于AB对称， ∴CD＝C1D， ∴CD+EF＝C2F， ∵∠A＝30°，∠ACB＝90°， ∴ACBC＝2， ∴CN，AN＝3， 过C2作C2M⊥AB，则C2M＝C1N＝CN， ∴C2M∥C1N，C1C2∥MN， ∴MN＝C1C2， ∵∠MEC2＝∠AEF，∠AFE＝∠C2ME＝90°， ∴∠MC2E＝∠A＝30°， 在Rt△C2ME中，ME＝1，C2M，C2E＝2， ∴AE＝AN﹣MN﹣ME＝31＝2， ∴EF＝1， ∴C2F＝2+13． 故选：A． 27．在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，E为BC上一点，BE：BC＝1：4，DE∥AB，交AC于点D，点F为直线DE上一点，则△BAF 周长的最小值为　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：延长DE至G，使得BG⊥AB于点B，延长BG至点B′，使得BG＝B′G，如图所示． ∵DE∥AB， ∴DG⊥BB′．FB＝FB′． ∴FA+FB＝FA+FB′， 即当点A、F、B′三点共线时，由两点之间线段最短可知，FA+FB最短， 且最小值为AB′． ∵AB＝AC＝4，∠BAC＝120°． ∴∠ABC＝∠C＝30°． 过AN⊥BC于N，则， ∴， ∴． 又∵BE：BC＝1：4， ∴． 连接B′E，则∠EBB'＝90°﹣30°＝60°， ∴△EBB′为等边三角形，则， 在Rt△ABB′中，， ∴△BAF 周长的最小值为4， 故答案为：4． 28．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝8．如果在三角形内部有一条动线段MN∥BC，且MN，则AN+BM+CN的最小值为 　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：如图，在BC上取一点B′，使得BB′＝MN，连接B′N，将△ANC绕点C逆时针旋转60°得到△GCT，连接NG，过点T作TH⊥BC交BC的延长线于H． ∵MN∥BC，MN＝BB′， ∴四边形MNBB′是平行四边形， ∴BM＝B′N． 由旋转的性质可知，△CNG和△ACT都是等边三角形， ∴CN＝GN，AN＝GT． ∴AN+BM+CN＝TG+GN+B′N． 要使AN+BM+CN的值最小，需点B′、N、G、T四点共线．连接B′T，则其就是所求最小值． ∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝8． ∴BCAB•84，ACBC•412． 由旋转的性质可知：CT＝AC＝12，∠ACT＝60°， ∴∠TCH＝90°﹣60°＝30°， 在Rt△CTH中，THCT•12＝6，CHTH＝6， ∵B′C＝BC﹣BB′＝43． ∴B′H＝CH+CB′＝639， ∴B′T3． ∴AN+BM+CN的最小值是3． 故答案为：3． 29．如图，已知等边三角形ABC的边长为3，过AB边上一点P作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，取PA＝CQ，连接PQ，交AC于M，则EM的长为　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F，如图所示： ∵PF∥BC，△ABC是等边三角形， ∴∠PFM＝∠QCM，∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，∠A＝60°， ∴△APF是等边三角形， ∴AP＝PF＝AF， ∵PE⊥AC， ∴AE＝EF， ∵AP＝PF，AP＝CQ， ∴PF＝CQ， 在△PFM和△QCM中， ， ∴△PFM≌△QCM（AAS）， ∴FM＝CM， ∵AE＝EF， ∴EF+FM＝AE+CM， ∴AE+CM＝MEAC， ∵AC＝3， ∴ME， 故答案为：． 一十三．勾股定理（共10小题） 30．如图，在四边形ABCD中，已知AC⊥BD，AC＝4，BD＝5，则AD+BC的最小值是（　　） A．3 B．6 C． D． 【答案】D 【解答】解：方法一：设AC，BD的交点为O，AB，BC，CD，DA的中点分别是P，Q，R，S，连接PQ，QR，RS，SP，OQ，OS，QS，如图： ∵AC，BD互相垂直， ∴△AOD和△BOC为直角三角形，且AD，BC分别为斜边， ∴AD＝2OS，BC＝2OQ， ∴AD+BC＝2（OS+OQ）， ∴当OS+OQ为最小时，AD+BC为最小， 根据“两点之间线段最短”得：OQ+OS≥QS， ∴当点O在线段QS上时，OQ+OS为最小，最小值为线段QS的长， ∵点P，Q分别为AB，BC的中点， ∴PQ为△ABC的中位线， ∴PQAC＝2，PQ∥AC， 同理：QRBD，QR∥BD，RSAC＝2，RS∥AC，SPBD，SP∥BD， ∴PQ∥AC∥RS，QR∥BD∥SP， ∴四边形PQRS为平行四边形， ∵AC⊥BD，PQ∥AC，SP∥BD， ∴PQ⊥SP， ∴四边形PQRS为矩形， 在Rt△PQS中，PQ＝2，SP， 由勾股定理得：QS， ∴OQ+OS的最小值为， ∴AD+BC的最小值为． 故选：D． 方法二：以CA，CB为邻边构造平行四边形ACBE，连接DE， 则BE＝AC＝4，AE＝BC， ∴AD+BC＝AD+AE≥DE， ∴AD+BC的最小值为DE， ∵AC⊥BD， ∴EB⊥BD， 在Rt△DBE中， ∵BD＝5， ∴由勾股定理，得DE， ∴AD+BC的最小值为． 故选：D． 31．小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝1；再以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，那么点P表示的数是（　　） A．2.2 B． C． D． 【答案】B 【解答】解：在Rt△OAB中，OA＝2，AB＝1， ∴OB． ∴以点O为圆心，OB为半径与正半轴交点P表示的数为． 故选：B． 32．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABDE、正方形ACFG、正方形BHIC，点D在边IH上．若S△ABC＝6，则阴影部分的面积和为（　　） A．12 B．9 C．18 D．15 【答案】A 【解答】解：如图，连接EF，过点E作EK⊥AI于点K，设AE，CF交于点L，DE，AI交于点M， ∵∠ACB＝90°，四边形ABDE，四边形ACFG，四边形BHIC都是正方形， ∴AB＝BD＝DE＝EA，AC＝CF＝FG＝AG，BC＝CI＝IH＝BH， ∵∠BAC+∠EAM＝∠EAM+∠AEK＝90°， ∴∠BAC＝∠AEK， 又∵∠ACB＝∠EKA＝90°，AB＝EA， ∴△ABC≌△EAK（AAS）， ∴AC＝EK，S△ABC＝S△EAK， ∵∠LAC+∠AEK＝∠AEK+∠MEK＝90°， ∴∠LAC＝∠MEK， 又∵∠ACL＝∠EKM＝90°，AC＝EK， ∴△ACL≌△EKM（AAS）， ∴AL＝EM，AC＝EK，S△ACL＝S△EKM， ∵四边形ACFG是正方形， ∴AC＝AG＝CF，∠GFC＝90°， 易证四边形CKEF是矩形， ∴∠CFE＝90°， ∴∠CFE+∠CFG＝180°， ∴G，E，F三点共线， ∵AE＝ED，AL＝EM， ∴AE﹣AL＝ED﹣EM，即EL＝DM， ∵AC＝AG，∠ACB＝∠G＝90°，AB＝AE，∠CFG＝∠I＝90°， ∴△ABC≌△AEG（HL）， ∴∠ABC＝∠AEG，S△ABC＝S△AEG， ∵∠FEL+∠LEK＝∠LEK+∠KEM， 又EL＝DM，∠I＝∠EFL＝90°，∠KEM＝∠IDM， ∴△EFL≌△DIM（AAS）， ∴S△EFL＝S△DIM， ∴阴影部分的面积为＝2S△ABC＝2×6＝12， 故选：A． 33．如图①叫做一个基本的“勾股树”，也叫做第一代勾股树．让图①中两个小正方形各自长出一个新的勾股树（如图②），叫做第二代勾股树．从第二代勾股树出发，又可以长出第三代勾股树（如图③）．这样一生二、二生四、四生八，继续生长下去，则第五代勾股树图形中正方形的个数为（　　） A．31 B．51 C．53 D．63 【答案】D 【解答】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2＝3（个）， 第二代勾股树中正方形有1+2+22＝7（个）， 第三代勾股树中正方形有1+2+22+23＝15（个）， ∴第四代勾股树图形中正方形的个数有1+2+22+23+24＝31（个）； ∴第五代勾股树图形中正方形的个数有1+2+22+23+24+25＝63（个）； 故选：D． 34．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以其三边为边分别向外作正方形，延长EC，DB分别交GF，AH于点N，K，连接KN交AG于点M，若S1﹣S2＝2，AC＝4，则AB的长为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解答】解：（1）如图，根据条件得到“K”型△ABC≌△FNC，得到NF＝AB＝x． （2）连接GK，可以发现△GNK的面积＝GN×AG÷2＝2GN，同理△KAG的面积＝2AK． 利用条件S1﹣S2＝2，得到GN﹣AK＝1，即n﹣m＝1，又因为n+x＝4，所以m＝3﹣x． （3）在△KBC中，有射影定理AB2＝AC×AK． 这样可以得到方程：x2＝4×（3﹣x），解得x＝2，即AB＝2． 故选：A． 35．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，连结CF，作GM⊥CF于点M，BJ⊥GM于点J，AK⊥BJ于点K，交CF于点L．若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，CE，则CH的长为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解答】解：设CF交AB于点P，过C作CN⊥AB于点N，如图： 设正方形JKLM边长为m， ∴正方形JKLM面积为m2， ∵正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5， ∴正方形ABGF的面积为5m2， ∴AF＝ABm， 由已知可得：∠AFL＝90°﹣∠MFG＝∠MGF，∠ALF＝90°＝∠FMG，AF＝GF， ∴△AFL≌△FGM（AAS）， ∴AL＝FM， 设AL＝FM＝x，则FL＝FM+ML＝x+m， 在Rt△AFL中，AL2+FL2＝AF2， ∴x2+（x+m）2＝（m）2， 解得x＝m或x＝﹣2m（舍去）， ∴AL＝FM＝m，FL＝2m， ∵tan∠AFL， ∴， ∴AP， ∴FPm，BP＝AB﹣APm， ∴AP＝BP，即P为AB中点， ∵∠ACB＝90°， ∴CP＝AP＝BP， ∵∠CPN＝∠APF，∠CNP＝90°＝∠FAP， ∴△CPN∽△FPA， ∴，即， ∴CN＝m，PNm， ∴AN＝AP+PNm， ∴tan∠BAC， ∵△AEC和△BCH是等腰直角三角形， ∴△AEC∽△BCH， ∴， ∵CE， ∴， ∴CH＝2， 故选：C． 36．如图，在△DEF中，∠D＝90°，DG：GE＝1：3，GE＝GF，Q是EF上一动点，过点Q作QM⊥DE于M，QN⊥GF于N，，则QM+QN的长是（　　） A．4 B．3 C．4 D．2 【答案】C 【解答】解：连接QG． ∵DG：GE＝1：3， ∴可以假设DG＝k，EG＝3k， ∵GF＝EG，∠D＝90°， ∴FG＝3k，DF2k， ∵EF＝4，EF2＝DE2+DF2， ∴48＝16k2+8k2， ∴k或（舍弃）， ∴DF＝4， ∵S△EFG•EG•DF•EG•QM•GF•QN， ∴QM+QN＝DF＝4， 故选：C． 37．如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使得∠CDE＝15°，连接BE并延长BE到F，使CF＝CB，BF与CD相交于点H，若AB，有下列四个结论：①∠CBE＝15°；②AE1；③S△DEC；④CE+DE＝EF．则其中正确的结论有 　①②④　 ．（填序号） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠BCE＝∠DCE＝45°． 在△BCE和△DCE中，， ∴△BCE≌△DCE（SAS）， ∴∠CBE＝∠CDE＝15°，故①正确； ②过D作DM⊥AC于M， ∵∠CDE＝15°，∠ADC＝90°， ∴∠ADE＝75°， ∵∠DAE＝45°， ∴∠AED＝60°， ∵AD＝AB， ∴AM＝DM， ∴MEDM1， ∴AE1，故②正确； ③根据勾股定理求出AC＝2， ∵DM，EM＝1， ∵∠DCA＝45°，∠AED＝60°， ∴CM， ∴CE＝CM﹣EM1， ∴S△DEC（1），故③错误； ④在EF上取一点G，使EG＝EC，连接CG， ∵BC＝CF， ∴∠CBE＝∠F， ∴∠CBE＝∠CDE＝∠F＝15°． ∴∠CEG＝60°． ∵CE＝GE， ∴△CEG是等边三角形． ∴∠CGE＝60°，CE＝GC， ∴∠GCF＝45°， ∴∠ECD＝GCF． 在△DEC和△FGC中，， ∴△DEC≌△FGC（SAS）， ∴DE＝GF． ∵EF＝EG+GF， ∴EF＝CE+ED，故④正确； 故答案为：①②④． 38．如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，D为直线BC上的动点．过点B作BE⊥射线AD于点E，若，则BE的长为 　或　 ． 【答案】或． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3， ∴AC； 分三种情况：①点D在BC的延长线上，如图： ∵， ∴AE＝DE， ∵BE⊥AD， ∴BD＝AD＝4， ∴CD＝BD﹣BC＝4﹣3＝1， 在Rt△ACD中，由勾股定理可得，AD＝2； ∴AEAB； 在Rt△BED中，由勾股定理可得，BE； ②点D在线段AC上时，如图： ∵， ∴此情况不存在； ③点D在线段CB的延长线上时，如图： ∵， ∴AE＝DE， ∵BE⊥AD， ∴BD＝AB＝4， ∴CD＝BD+BC＝4+3＝7， 在Rt△ACD中，由勾股定理可得，AD＝2； ∴AEAD； 在Rt△BED中，由勾股定理可得，BE； 综上，BE的长为或． 故答案为：或． 39．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：△ABD、△ACE、△BCF，若图中阴影部分的面积S1＝6.5，S2＝3.5，S3＝5.5，则S4＝　2.5　 ． 【答案】2.5． 【解答】解：∵△ABD、△ACE、△BCF均是等腰直角三角形， ∴AB＝BD，AC＝CE，BC＝CF， 设AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，S△ABG＝m，S△ACH＝n， ∵a2+b2＝c2， ∴S△ABD+S△ACE＝S△BCF， ∴S1+m+n+S4＝S2+S3+m+n， ∴S4＝3.5+5.5﹣6.5＝2.5 故答案为：2.5． 一十四．勾股定理的证明（共3小题） 40．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形MNPQ，记空隙处正方形ABCD，正方形EFGH的面积分别为S1，S2（S1＞S2），则下列四个判断：①S1+S2S四边形MNPQ；②DG＝2AF；③若∠EMH＝30°，则S1＝3S2；④若点A是线段GF的中点，则3S1＝4S2，其中正确的序号是（　　） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】D 【解答】解：设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边是a，较长直角边是b，斜边是c，则小正方形的边长是b﹣a， ∴正方形ABCD的面积S1＝b2，正方形EFGH的面积S2＝a2， ∴S1+S2＝a2+b2＝c2， ∵正方形MNPQ的边长是2c， ∴正方形MNPQ的面积＝（2c）2＝4c2， ∴S1+S2S四边形MNPQ， 故①符合题意； ∵AF＝b﹣a， ∴AG＝FG﹣AF＝a﹣（b﹣a）＝2a﹣b， ∴DG＝AD﹣AG＝b﹣（2a﹣b）＝2（b﹣a）， ∴DG＝2AF， 故②符合题意； ∵∠HME＝30°，∠MHE＝90°， ∴MHHE， ∴ba， ∴b2＝3a2， ∴S1＝3S2， 故③符合题意； ∵A是FG中点， ∴AG＝FA， ∴a﹣（b﹣a）＝b﹣a， ∴2b＝3a， ∴4b2＝9a2， ∴4S1＝9S2， 故④不符合题意． ∴正确的是①②③， 故选：D． 41．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连结EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是（　　） A．1 B．2 C．5 D． 【答案】B 【解答】解：∵四边形EFGH为正方形， ∴∠EGH＝45°，∠FGH＝90°， ∵OG＝GP， ∴∠GOP＝∠OPG＝67.5°， ∴∠PBG＝22.5°， ∵∠DBC＝45°， ∴∠GBC＝22.5°， ∴∠PBG＝∠GBC， ∵∠BGP＝∠BGC＝90°， 在△BPG和△BCG中， ， ∴△BPG≌△BCG（ASA）， ∴PG＝CG． 设OG＝PG＝CG＝x， ∵O为EG，BD的交点， ∴EG＝2x，FGx， ∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”， ∴BF＝CG＝x， ∴BG＝xx， ∴BC2＝BG2+CG2＝x2（1）2+x2＝（4+2）x2， ∴2． 故选：B． 42．如图所示为“赵爽弦图”，其中△ABE、△CBF、△CDG、△ADH是四个全等的直角三角形，且两条直角边之比为1：2，连接BG、DE，分别交AE、CG于点M、N，则四边形GBED和四边形GMEN的面积比为（　　） A．5：2 B．2：1 C．：1 D．：1 【答案】B 【解答】解：∵△ABE、△CBF、△CDG、△ADH是四个全等的直角三角形，且两条直角边之比为1：2， ∴∠AHD＝∠AEB＝∠BFC＝∠CGD＝90°，DH＝AE＝BF＝CG，AH＝BE＝CF＝DG， ∴GH＝EH＝EF＝FG， ∴四边形EFGH是菱形， ∵∠EHG＝90°， ∴四边形EFGH是正方形， ∴DG∥BE， ∵DG＝BE， ∴四边形DGBE是平行四边形， ∵DH＝2AH，AH＝DG， ∴GH＝DG， ∴BE＝GH， ∵GH∥BE， ∴∠MGH＝∠MBE， 在△MGH和△MBE中， ， ∴△MGH≌△MBE（AAS）， ∴GM＝BM， 同法可证DN＝NE， ∵BG＝DE，BG∥DE， ∴MG＝EN，GM∥EN， ∴四边形GMEN是平行四边形， ∵BG＝2GM， ∴S平行四边形GBED＝2S平行四边形GMEN， 故选：B． 一十五．坐标与图形变化-平移（共1小题） 43．如图，在平面直角坐标系中，AB∥DC，AC⊥BC，CD＝AD＝5，AC＝6，将四边形ABCD向左平移m个单位后，点B恰好和原点O重合，则m的值是（　　） A．11.4 B．11.6 C．12.4 D．12.6 【答案】A 【解答】解：如图，过点D作DT⊥AC交AC于J，交AB于T，连接CT． ∵AD＝DC＝5，DJ⊥AC， ∴AJ＝JC＝3， ∴DJ4， ∵CD∥AT． ∴∠DCJ＝∠TAJ， ∵∠DJC＝∠TJA， ∴△DCJ≌△TAJ（ASA）， ∴CD＝AT＝5，DJ＝JT＝4， ∵∠AJT＝∠ACB＝90°， ∴JT∥BC， ∵AJ＝JC， ∴AT＝TB＝5， 设OA＝x，∵OD2＝AD2﹣OA2＝DT2﹣OT2， ∴52﹣x2＝82﹣（x+5）2， 解得x＝1.4， ∴OB＝OA+AB＝1.4+10＝11.4， ∵将四边形ABCD向左平移m个单位后，点B恰好和原点O重合， ∴m＝OB＝11.4， 故选：A． 一十六．旋转的性质（共9小题） 44．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，P是BC边上一动点，连接AP，把线段AP绕点A逆时针旋转60°到线段AQ，连接CQ，则线段CQ的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【解答】解：如图，在AB上取一点E，使AE＝AC＝2，连接PE，过点E作EF⊥BC于F， 由旋转知，AQ＝AP，∠PAQ＝60°， ∵∠ABC＝30°， ∴∠EAC＝60°， ∴∠PAQ＝∠EAC， ∴∠CAQ＝∠EAP， ∴△CAQ≌△EAP（SAS）， ∴CQ＝EP， 要使CQ最小，则有EP最小，而点E是定点，点P是BC上的动点， ∴当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小， 即：点P与点F重合，CQ最小，最小值为EP， 在Rt△ACB中，∠ACB＝30°，AC＝2， ∴AB＝4， ∵AE＝AC＝2， ∴BE＝AB﹣AE＝2， 在Rt△BFE中，∠EBF＝30°，BE＝2， ∴EFBE， 故线段CQ长度最小值是， 故选：D． 45．如图，直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，点E是边AC上一点，将BE绕点B顺时针旋转60°到点F，则CF长的最小值是（　　） A． B． C． D．3 【答案】D 【解答】解：取AB的中点为点D，连接DE，过点D作DH⊥AC，垂足为H， ∴∠AHD＝90°， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6， ∴AB＝2BC＝12，∠ABC＝90°﹣∠A＝60°， ∵点D是AB的中点， ∴AD＝BDAB＝6， ∴DHAD＝3， 由旋转得：BE＝BF，∠EBF＝60°， ∴∠EBF＝∠ABC＝60°， ∴∠EBF﹣∠EBC＝∠ABC﹣∠EBC， ∴∠ABE＝∠CBF， ∵BD＝BC＝6， ∴△BDE≌△BCF（SAS）， ∴DE＝CF， 当DE⊥AC时，即当点E和点H重合时，DE有最小值，且最小值为3， ∴CF长的最小值是3， 故选：D． 46．如图，O是等边△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB＝150°；④；⑤．其中正确的结论是（　　） A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③ 【答案】A 【解答】解：如图所示： ∵△ABC为正三角形， ∴∠ABC＝60°，AB＝BC， ∵线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′， ∴∠OBO′＝60°，BO＝BO′， ∴∠2+∠3＝∠1+∠2＝60°， ∴∠1＝∠3， 又∵AB＝BC，BO＝BO′， ∴△BO′A≌△BOC， 又∵∠OBO′＝60°， ∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确； 连接OO′， ∵BO＝BO′，∠OBO′＝60°， ∴△O′BO是等边三角形， ∴OO′＝OB＝4，故结论②正确； ∵△BO′A≌△BOC， ∴O′A＝OC＝5， 在△AOO′中，AO′2＝25，AO2+OO′2＝16+9＝25， ∴AO′2＝AO2+OO′2， ∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°， ∴∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，故结论③正确； 四边形AOBO′的面积为：S△AOO′+S△OBO′， 过点O作OD⊥BO′， ∵△O′BO是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ， ∴四边形AOBO′的面积为，故结论④不正确； 如图所示：将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″，连接OO″， ∴AO＝AO″＝3，∠OAO″＝60°，CO″＝BO＝4， ∴△AOO″是等边三角形， ∴OO″＝3， ∵CO2＝25，OO″2+CO″2＝9+16＝25， ∴OC2＝CO″2+OO″2， ∴△COO″是直角三角形，且∠CO″O＝90°， 同结论④证明过程可求得：，， ∴，故结论⑤正确； 综上所述：结论①②③⑤正确，故A正确． 故选：A． 47．如图，已知直线y＝kx+2k交x、y轴于A、B两点，以AB为边作等边△ABC（A、B、C三点逆时针排列），D、E两点坐标分别为（﹣6，0）、（﹣1，0），连接CD、CE，则CD+CE的最小值为（　　） A．6 B．5 C．6.5 D．7 【答案】D 【解答】解：∵点B在直线y＝kx+2k上， ∴k（x+2）＝0， ∵k≠0， ∴x+2＝0．， ∴x＝﹣2 ∴A（﹣2，0）， ∵E（﹣1，0），D（﹣6，0）， 在x轴上方作等边△AOF， ∵∠CAB＝∠FAO＝60°， ∴∠CAB+∠BAF＝∠BAF+∠FAO，即∠CAF＝∠BAO， 又∵CA＝BA，AF＝AO， ∴△AOB≌△AFC（SAS）， ∴∠AFC＝∠AOB＝90°， ∴点C的轨迹为定直线CF， 作点E关于直线CF的对称点E'，连接CE'，CE＝CE'， ∴CD+CE＝CD+CE'， ∴当点D、C、E'在同一条直线上时，DE'＝CD+CE的值最小， ∵AF＝AO＝2，∠FAO＝60°，∠AFG＝90°， ∴AG＝4，EG＝3，EE'＝2AF＝3，即E'（，）， ∴（CD+CE）的最小值＝DE'7 故选：D． 48．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为BC边上一点，CD＝1，E为AC边上一动点，连接DE，以DE为边并在DE的右侧作等边△DEF，连接BF，则BF的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【解答】解：以BD为边，在BD右侧作等边三角形BDM，连接EM，如图： ∵△BDM和△DEF是等边三角形， ∴DE＝DF，DM＝BD，∠BDM＝∠FDE＝60°， ∴∠BDM﹣∠MDF＝∠FDE﹣∠MDF，即∠BDF＝∠MDE， ∴△BDF≌△MDE（SAS）， ∴BF＝ME， ∴当ME最小时，BF最小，此时ME⊥AC，如图： 过M作MN⊥BC于N， ∵BC＝3，CD＝1， ∴BD＝2， ∴NDBD＝1，NC＝2， 而∠MNC＝∠NCE＝∠CEM＝90°， ∴四边形MNCE是矩形， ∴ME＝NC＝2， 而BF＝ME， ∴BF最小值是2． 故选：B． 49．如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM＝PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【解答】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F． ∵∠PEO＝∠PFO＝90°， ∴∠EPF+∠AOB＝180°， ∵∠MPN+∠AOB＝180°， ∴∠EPF＝∠MPN， ∴∠EPM＝∠FPN， ∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F， ∴∠PEO＝∠PFO＝90°， 在△POE和△POF中， ， ∴△POE≌△POF（AAS）， ∴OE＝OF，PE＝PF， 在△PEM和△PFN中， ， ∴△PEM≌△PFN（ASA）， ∴EM＝NF，PM＝PN，故①正确， ∴S△PEM＝S△PNF， ∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故④正确， ∵OM+ON＝OE+ME+（OF﹣NF）＝2OE，是定值，故②正确， 在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，形状是相似的，因为PM的长度是变化的，所以MN的长度是变化的，故③错误， 故选：B． 50．已知两直角重合的两块直角三角板，其中∠DCE＝∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∠DEC＝45°，AC＝DC＝2．若将△DEC绕着点C顺时针旋转60°后，点D恰好落在AB边上，DE与BC交于F，如图所示，则△CEF的面积为（　　） A．3 B． C．2 D．3 【答案】A 【解答】解：如图，过点E作EG⊥BC于G， ∵∠DCE＝∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∠DEC＝45°，AC＝DC＝2． ∴∠A＝60°，∠CED＝∠CDE＝45°， ∴CE＝CD＝2，AB＝2AC＝4，△ACD是等边三角形， ∴AD＝AC＝2，DE＝AB﹣AD＝2，∠ACD＝∠ADC＝60°， ∴∠DCB＝30°， ∵∠BDF＝180°﹣∠ADC﹣∠CDE＝180°﹣60°﹣45°＝75°， ∠BFD＝∠DCB+∠CDE＝30°+45°＝75°， ∴∠BDF＝∠BFD， ∴BF＝BD＝2， ∵BC2， ∴CF＝BC﹣BF＝22， ∵∠ECG＝90°﹣30°＝60°，∠CGE＝90°， ∴∠CEG＝30°， ∴CGCE＝1， ∴EG， ∴S△CEF•CF•EG（22）3． 故选：A． 51．如图，边长为24的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（　　） A．12 B．6 C．3 D．1 【答案】B 【解答】解：如图，取BC的中点G，连接MG， ∵旋转角为60°， ∴∠MBH+∠HBN＝60°， 又∵∠MBH+∠MBC＝∠ABC＝60°， ∴∠HBN＝∠GBM， ∵CH是等边△ABC的对称轴， ∴HBAB， ∴HB＝BG， 又∵MB旋转到BN， ∴BM＝BN， 在△MBG和△NBH中， ， ∴△MBG≌△NBH（SAS）， ∴MG＝NH， 根据垂线段最短，当MG⊥CH时，MG最短，即HN最短， 此时∠BCH60°＝30°，CGAB24＝12， ∴MGCG12＝6， ∴HN＝6， 故选：B． 52．如图，△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，BC＝2，D是AB上的动点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接BE，则BE的最小值是（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解答】解：如图，过点C作CK⊥AB于K，将线段CK绕点C逆时针旋转90°得到CH，连接HE，延长HE交AB的延长线于J． ∵∠DCE＝∠KCH＝90°， ∴∠DCK＝∠ECH， ∵CD＝CE，CK＝CH， ∴△CKD≌△CHE（SAS）， ∴∠CKD＝∠H＝90°， ∵∠CKJ＝∠KCH＝∠H＝90°， ∴四边形CKJH是矩形， ∵CK＝CH， ∴四边形CKJH是正方形， ∴点E在直线HJ上运动，当点E与J重合时，BE的值最小， 在Rt△CBK中，∵BC＝2，∠ABC＝60°， ∴CK＝BC•sin60°，BK＝BC•cos60°＝1， ∴KJ＝CK ∴BJ＝KJ﹣BK1， ∴BE的最小值为1， 补充方法：AC上截取CF＝2，得三角形CFD全等于三角形CBE，DF在DF垂直AB时最小． 故选：A． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中复习（压轴16大类型52题） 一．解一元一次不等式（共1小题） 1．若关于x，y的方程组的解满足x﹣y，则m的最小整数解为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0 二．解一元一次不等式组（共1小题） 2．对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.1]＝1，[3]＝3，[﹣2.2]＝﹣3，若[]＝5，则x的取值范围是　 　 ． 三．一元一次不等式组的整数解（共4小题） 3．如果关于y的方程有非负整数解，且关于x的不等式组的解集为x≥1，则所有符合条件的整数a的和为（　　） A．﹣5 B．﹣8 C．﹣9 D．﹣12 4．若关于x的一元一次不等式组的解集是x≤k，且关于y的方程2y＝3+k有正整数解，则符合条件的所有整数k的和为（　　） A．5 B．8 C．9 D．15 5．若不等式组有三个非负整数解，则m的取值范围是 　 　 ． 6．已知关于x的不等式组的整数解有且只有2个，则m的取值范围是 　 　 ． 四．一元一次不等式组的应用（共1小题） 7．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是　 　 ，小朋友的人数是　 　 ． 五．角平分线的性质（共3小题） 8．如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论： ①∠DAE＝∠F； ②2∠DAE＝∠ABD﹣∠ACE； ③S△AEB：S△AEC＝AB：AC； ④∠AGH＝∠BAE+∠ACB．其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠EBC的平分线相交于点P，BE＝BC，D在AC延长线上，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF；⑤GF+FC＝GA．其中正确的有（　　） A．①②④ B．②③⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤ 10．如图，∠ABC＝∠ACB，△ABC的内角∠ABC的角平分线BD与∠ACB的外角平分线交于点D，△ABC的外角∠MBC的角平分线与CD的反向延长线交于点E，以下结论： ①AD∥BC；②DB⊥BE；③∠BDC+∠ABC＝90°；④BD平分∠ADC；⑤∠BAC+2∠BEC＝180°． 其中正确的结论有 　 　 ．（填序号） 六．线段垂直平分线的性质（共1小题） 11．如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 七．等腰三角形的性质（共4小题） 12．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，点D是CA延长线上任意一点，作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为（　　） A． B． C． D． 13．如图，△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝48°，点O为△ABC内一点，∠OAB＝12°，∠OBC＝18°，则∠ACO+∠AOB＝（　　） A．190° B．195° C．200° D．210° 14．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝40°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E．得到第3个△A2A3E…按此做法继续下去，则第n+1个三角形中以An+1为顶点的底角度数是（　　） A． B． C． D． 15．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝50°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是　 　 ． 八．等腰三角形的判定与性质（共1小题） 16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB，过点B作BD⊥CD，垂足为点D，连接AD，若AB＝3，BC＝4，则△ADB的面积为　 　 ． 九．等边三角形的性质（共6小题） 17．如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则B6B7的边长为（　　） A．6 B．12 C．32 D．64 18．如图，边长为4cm的等边△ABC，P，Q分别是AB，AC上的动点，且满足AP＝2CQ，点M为PQ的中点，连接BM，则BM的最小值为（　　） A．3cm B．2cm C．2cm D．cm 19．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以直角三角形的三条边为边，在直线AB同侧分别作正三角形，已知S甲＝8，S乙＝6，S丙＝3，则△ABC的面积是　 　 ． 20．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，D是线段AB上一个动点，以BD为边在△ABC外作等边△BDE．若F是DE的中点，当CF取最小值时，△BDE的周长为 　 　 ． 21．边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点顺次连接，又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图）…，按此方式依次操作，则第7个正六边形的边长是　 　 ． 22．如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3、…在射线ON上，点B1、B2、B3、…在射线OM上，△A1B1B2、△A2B2B3、△A3B3B4、…均为等边三角形，若OB1＝1，则△A8B8B9的边长为　 　 一十．等边三角形的判定与性质（共1小题） 23．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论： ①AD＝BE；②PQ∥AE；③OP＝OQ；④△CPQ为等边三角形；⑤∠AOB＝60°．其中正确的有 　 　 ．（注：把你认为正确的答案序号都写上） 一十一．直角三角形的性质（共2小题） 24．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交直线BC于点D，若∠BAD﹣∠DAC＝22.5°，则∠B＝（　　） A．37.5° B．67.5° C．37.5°或67.5° D．30°或60° 25．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是边AC和BC上的动点，连接DE、AE、BD．若BC﹣AC＝CD﹣EC＝2，AC+CE＝8，则AE+BD的最小值是 　 　 ． 一十二．含30度角的直角三角形（共4小题） 26．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，若D，E是边AB上的两个动点，F是边AC上的一个动点，DE，则CD+EF的最小值为（　　） A．3 B． C．1 D．3 27．在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，E为BC上一点，BE：BC＝1：4，DE∥AB，交AC于点D，点F为直线DE上一点，则△BAF 周长的最小值为　 　 ． 28．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝8．如果在三角形内部有一条动线段MN∥BC，且MN，则AN+BM+CN的最小值为 　 　 ． 29．如图，已知等边三角形ABC的边长为3，过AB边上一点P作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，取PA＝CQ，连接PQ，交AC于M，则EM的长为　 　 ． 一十三．勾股定理（共10小题） 30．如图，在四边形ABCD中，已知AC⊥BD，AC＝4，BD＝5，则AD+BC的最小值是（　　） A．3 B．6 C． D． 31．小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝1；再以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，那么点P表示的数是（　　） A．2.2 B． C． D． 32．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABDE、正方形ACFG、正方形BHIC，点D在边IH上．若S△ABC＝6，则阴影部分的面积和为（　　） A．12 B．9 C．18 D．15 33．如图①叫做一个基本的“勾股树”，也叫做第一代勾股树．让图①中两个小正方形各自长出一个新的勾股树（如图②），叫做第二代勾股树．从第二代勾股树出发，又可以长出第三代勾股树（如图③）．这样一生二、二生四、四生八，继续生长下去，则第五代勾股树图形中正方形的个数为（　　） A．31 B．51 C．53 D．63 34．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以其三边为边分别向外作正方形，延长EC，DB分别交GF，AH于点N，K，连接KN交AG于点M，若S1﹣S2＝2，AC＝4，则AB的长为（　　） A．2 B． C． D． 35．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，连结CF，作GM⊥CF于点M，BJ⊥GM于点J，AK⊥BJ于点K，交CF于点L．若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，CE，则CH的长为（　　） A． B． C．2 D． 36．如图，在△DEF中，∠D＝90°，DG：GE＝1：3，GE＝GF，Q是EF上一动点，过点Q作QM⊥DE于M，QN⊥GF于N，，则QM+QN的长是（　　） A．4 B．3 C．4 D．2 37．如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使得∠CDE＝15°，连接BE并延长BE到F，使CF＝CB，BF与CD相交于点H，若AB，有下列四个结论：①∠CBE＝15°；②AE1；③S△DEC；④CE+DE＝EF．则其中正确的结论有 　 　 ．（填序号） 38．如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，D为直线BC上的动点．过点B作BE⊥射线AD于点E，若，则BE的长为 　 　 ． 39．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：△ABD、△ACE、△BCF，若图中阴影部分的面积S1＝6.5，S2＝3.5，S3＝5.5，则S4＝　 　 ． 一十四．勾股定理的证明（共3小题） 40．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形MNPQ，记空隙处正方形ABCD，正方形EFGH的面积分别为S1，S2（S1＞S2），则下列四个判断：①S1+S2S四边形MNPQ；②DG＝2AF；③若∠EMH＝30°，则S1＝3S2；④若点A是线段GF的中点，则3S1＝4S2，其中正确的序号是（　　） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 41．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连结EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是（　　） A．1 B．2 C．5 D． 42．如图所示为“赵爽弦图”，其中△ABE、△CBF、△CDG、△ADH是四个全等的直角三角形，且两条直角边之比为1：2，连接BG、DE，分别交AE、CG于点M、N，则四边形GBED和四边形GMEN的面积比为（　　） A．5：2 B．2：1 C．：1 D．：1 一十五．坐标与图形变化-平移（共1小题） 43．如图，在平面直角坐标系中，AB∥DC，AC⊥BC，CD＝AD＝5，AC＝6，将四边形ABCD向左平移m个单位后，点B恰好和原点O重合，则m的值是（　　） A．11.4 B．11.6 C．12.4 D．12.6 一十六．旋转的性质（共9小题） 44．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，P是BC边上一动点，连接AP，把线段AP绕点A逆时针旋转60°到线段AQ，连接CQ，则线段CQ的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 45．如图，直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，点E是边AC上一点，将BE绕点B顺时针旋转60°到点F，则CF长的最小值是（　　） A． B． C． D．3 46．如图，O是等边△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB＝150°；④；⑤．其中正确的结论是（　　） A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③ 47．如图，已知直线y＝kx+2k交x、y轴于A、B两点，以AB为边作等边△ABC（A、B、C三点逆时针排列），D、E两点坐标分别为（﹣6，0）、（﹣1，0），连接CD、CE，则CD+CE的最小值为（　　） A．6 B．5 C．6.5 D．7 48．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为BC边上一点，CD＝1，E为AC边上一动点，连接DE，以DE为边并在DE的右侧作等边△DEF，连接BF，则BF的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 49．如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM＝PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 50．已知两直角重合的两块直角三角板，其中∠DCE＝∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∠DEC＝45°，AC＝DC＝2．若将△DEC绕着点C顺时针旋转60°后，点D恰好落在AB边上，DE与BC交于F，如图所示，则△CEF的面积为（　　） A．3 B． C．2 D．3 51．如图，边长为24的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（　　） A．12 B．6 C．3 D．1 52．如图，△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，BC＝2，D是AB上的动点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接BE，则BE的最小值是（　　） A．1 B． C． D．2 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$