第3章 第8节 对数函数-【高考零起点】2025年新高考数学总复习学用word（艺考）

第八节　对数函数 1. 对数函数的概念 函数y＝logax(a>0且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，由于对数的真数都大于0，所以对数函数的定义域为(0，＋∞). 2. 对数函数及其性质 底数 a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 恒过点(1,0) 增函数 减函数 例1　求函数y＝log(x2－x－2)的定义域． ∵对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)，∴把x2－x－2看成一个整体，则x2－x－2>0，解得x>2或x<－1，∴该函数的定义域为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．　 例2　比较下列各组数的大小： (1)log21.5, log23, log24.1；　　　　　　(2)log2.7, log0.8, log1.1； (1)构造函数y＝log2x，这是一个增函数，∴y随x的增大而增大．于是log21.5<log23<log24.1. (2)构造函数y＝logx，这是一个减函数，∴y随x的增大而减小．于是log2.7 <log1.1<log0.8.　 (3)log54,0; (4)log2,0. (3)构造函数y＝log5x(如图1)，则log54是该函数当x＝4时的函数值，由图易知，该函数值大于0，故log54>0. 图1 (4)构造函数y＝logx(如图2)，则log2是该函数当x＝2时的函数值，由图易知，该函数值小于0，故log2<0. 图2 对于(3)(4)还可用以下方法求解：按对数函数中给底数a分类的标准，构造两个区间(0,1)，(1，＋∞)．如果一个对数的底数和真数位于这两个区间中的同一区间，则该对数的值大于0；如果一个对数的底数和真数位于这两个区间中的不同区间，则该对数的值小于0.在(3)中，∵5和4同位于区间(1，＋∞)，∴log5 4>0；在(4)中，∵和2位于两个不同区间，∴log2<0.　 1. 解下列对数不等式： (1)log5x>log53；,(2)log5x<log54；,(3)log2x>3； (1)∵函数y＝log5x在区间(0，＋∞)上为增函数，∴不等式的解集为. (2)∵函数y＝log5x在区间(0，＋∞)上为增函数，所以不等式的解集为. (3)∵函数y＝log2x在区间(0，＋∞)上为增函数，∴x>23＝8，∴不等式的解集为. 　 (4)logx>2；,(5)logx>0；,(6)ln x＜. (4)∵函数y＝logx在区间(0，＋∞)上为减函数，∴0＜x＜2＝，∴. (5)∵函数y＝logx在区间(0，＋∞)上为减函数，∴0＜x＜0，即0<x<1，∴不等式的解集为{x|0<x<1}. (6)∵函数y＝ln x在区间(0，＋∞)上为增函数，∴0<x<，不等式的解集为.　 2. 求下列函数的值域： (1)y＝log2 x，x∈[4，＋∞); (2) y＝log3x，x∈[1,9]； (1)∵函数y＝log2x在区间[4，＋∞)上为增函数，∴函数的值域为{y|y≥log24}，即{y|y≥2}. (2)∵函数y＝log3x在[1,9]上为增函数，∴函数的值域为{y|log3 1≤y≤log39}，即{y|0≤y≤2}. (3)y＝logx，x∈(9，＋∞)；　(4)y＝logx，x∈[1,4]． (3)∵函数y＝logx在区间(9，＋∞)上为减函数，∴函数的值域为{y|y＜log9}，即{y|y<－2}. (4)∵函数y＝logx在区间[1,4]上为减函数，∴函数的值域为{y|log4≤y≤ log1}，即{y|－2≤y≤0}. 3. 求下列函数的定义域： (1)y＝log(2x－3)；　　　　　(2)y＝log5(x－x2)． (1)函数应满足2x－3＞0，即定义域为. (2)函数应满足x－x2＞0，即x2－x＜0，∴x∈(0,1)． 4. 判断下列对数值的正负： (1)log2.10.8；　　　　　　　　　　　　　 (2)log0.20.3. (1)方法一：函数log2.1x在区间(0，＋∞)上是增函数，而0＜0.8＜1，∴log2.10.8＜log2.11＝0. 方法二：∵0.8与2.1分别位于区间(0,1)，(1，＋∞)上，故log2.10.8＜0. (2)方法一：函数log0.2x在区间(0，＋∞)上是减函数，而0＜0.3＜1，∴log0.20.3＞log0.21＝0. 方法二：∵0.2与0.3同位于区间(0,1)上，故log0.20.3＞0.　 学科网（北京）股份有限公司 $$