第3章 第5节 函数的奇偶性-【高考零起点】2025年新高考数学总复习学用word（艺考）

第五节　函数的奇偶性 函数奇偶性的定义和图象特征 类别 定　义 图象特征 备注 奇函数 如对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 (1)如果一个奇函数f(x)在原点有定义，则有f(0)＝0 (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 例1　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝；　　　　　　　 (2)f(x)＝x3＋； (1)显然，函数的定义域为{x≠0}，∴定义域关于原点对称，又f(－x)＝＝＝f(x)，∴该函数为偶函数. (2)函数的定义域为{x≠0}，该定义域关于原点对称，又f(－x)＝(－x)3＋＝－x3－＝－＝－f(x)，∴该函数为奇函数．　 (3)f(x)＝5x＋3；　　 (4)y＝x2，x∈[－1,2]． (3)函数的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝－5x＋3， 如果f(－x)＝f(x)，则－5x＋3＝5x＋3，x＝0.……① 如果f(－x)＝－f(x)，则－5x＋3＝－(5x＋3)，x无解．……② 在①中，由于f(－x)＝f(x)仅在x＝0时成立，而不是对于任意x恒成立，∴该函数不是偶函数；在②中也易见该函数不是奇函数，∴该函数为非奇非偶函数. (4) 显然，函数的定义域关于原点不对称，∴该函数为非奇非偶函数．　 例2　已知函数f(x)＝x＋－1，f(a)＝2，则f(－a)＝　由已知得f(a)＝a＋－1＝2，即a＋＝3，所以f(－a)＝－a－－1＝－－1＝－3－1＝－4. 　. 一、判断下列函数的奇偶性 1. f(x)＝x4.　　　 　 2. f(x)＝x5.　　 3. f(x)＝x＋. 1．偶函数　f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)，又定义域关于原点对称，故为偶函数. 2. 奇函数　f(－x)＝(－x)5＝－x5＝－f(x)，又定义域关于原点对称，故为奇函数. 3. 奇函数　f(－x)＝(－x)＋＝－x－＝－＝－f(x)，又定义域关于原点对称，故为奇函数. 4. f(x)＝x－2＋x4.　 　　　　5. f(x)＝x4＋x. 6. f(x)＝. 4. 偶函数　函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，又∵f(－x)＝(－x)－2＋(－x)4＝x－2＋x4＝f(x)，故为偶函数. 5. 非奇非偶函数　函数的定义域为全体实数，关于原点对称. f(－x)＝(－x)4－x，如果f(－x)＝f(x)，则需要x＝0；如果f(－x)＝－f(x)，则仍需x＝0. 也就是说只有在x＝0这个点处才满足f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)，而不是对于定义域中的任意x都成立，∴该函数为非奇非偶函数. 6. 奇函数　f(－x)＝＝＝＝－＝－f(x)，又定义域关于原点对称，故为奇函数. 二、填空题 1. 若函数f(x)＝是奇函数，那么实数a＝__1__. 2. 设函数f(x)＝为奇函数，则a＝___－1__. 3．(2023新高考Ⅱ卷改编)若f＝ln为偶函数，则a＝__0__. 4. 已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＋b＝　　. 5. 设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝___－3__. 6. 已知f(x)＝x3－＋2，f(m)＝1，则f(－m)＝___3__. 7. (2022全国乙卷)若f＝ln＋b是奇函数，则a＝　－　，b＝__ln_2__. 三、选择题 1．(2020全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝x3－，则f(x)(　A　) A．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增 B．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减 C．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增 D．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减 2. 设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)．则f(－1)等于(　A　) A．－3　　 B．－1 C． 1 D． 3 3. (2021全国乙卷)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　B　) A． f(x－1)－1　 B． f(x－1)＋1 C． f(x＋1)－1　 D． f(x＋1)＋1 4. 已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于(　B　) A． 4　　 B． 3　 C． 2 D． 1 5. 已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝(　D　) A． 2　　　 B． 1　 C． 0　 D．－2 6. (多选)关于函数f(x)＝－x的下列说法正确的是(　BCD　) A．该函数是减函数 B．该函数图象关于原点对称 C．该函数图象一定不过原点 D．该函数不是单调函数 7. (多选)对于函数f(x)＝x|x|，下列说法正确的是(　AC　) A．该函数为增函数 B．该函数为减函数 C．该函数为奇函数 D．该函数为偶函数 8. (2024全国甲卷)函数f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x在区间[－2.8,2.8]的图象大致为(　B　) A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $$