第3章 第3节 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)恒大于0和恒小于0的充要条件 第4节 函数的单调性-【高考零起点】2025年新高考数学总复习学用word（艺考）

第三节　函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 恒大于0和恒小于0的充要条件 1. ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ 2. ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔ 例　函数y＝x2＋2ax＋a的值恒大于0，求a的取值范围． 由于x2的系数为1，大于0，所以只需Δ<0即可，故(2a)2－4a<0. 从而a2－a<0, 解得0<a<1. 1. 下列各函数，值恒大于0的有(　D　) ①y＝x2－x＋1　②y＝x2＋x－1　③y＝x2－x－1　④y＝x2＋x＋1 A． ①③　　 B． ①②　　 C． ②③　 D． ①④ 2. 函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围是(　A　) A． [0,8]　　 B． (－∞，0]∪[8，＋∞)　 C． [0,2]　 D． (－∞，0)∪(2，＋∞) 3. 若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}，其中只有一个元素，则a＝(　A　) A． 4　　　　 B． 2　　 C． 0　 D． 0或4 4. 设函数f(x)是区间(－∞，＋∞)上的减函数，则(　C　) A． f(a)>f(2a)　 B． f(a2)<f(a) C． f(a2＋1)<f(a)　 D． f(a2＋a)<f(a) 5. 已知关于x的不等式x2－ax＋2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是__(0,8)__. 第四节　函数的单调性 1. 单调函数的概念 (1)从解析式分析，在函数y＝f(x)的定义域的某个区间上，如果y随x的增大而增大，则此函数在该区间上为增函数；如果y随x的增大而减小，则此函数在该区间上为减函数． (2)从图象分析，从左往右看，如果在函数f(x)的定义域的某个区间上函数图象是上升的，则此函数在该区间上是增函数；如果函数图象是下降的，则此函数在该区间上是减函数. 2. 增函数和减函数统称单调函数． 3. 由定义不难得到，如果函数f(x)在某个区间上为增函数，则对于该区间上的任意x1，x2，x1>x2⇔f(x1)>f(x2)；如果函数f(x)在某个区间上为减函数，则对于该区间内的任意x1，x2，x1>x2⇔f(x1)<f(x2)． 4. 单调区间的概念 单调区间包括单调递增区间和单调递减区间． 如果某个函数在定义域的某个区间上是单调增函数，就说该区间是该函数的一个单调递增区间；同样，如果某个函数在定义域的某个区间上是单调减函数，则该区间是该函数的一个单调递减区间．如上图所示是某函数的图象，则该函数的单调递增区间有(－∞，a]，[b，c]；单调递减区间有(a，b)，(c，＋∞)． 5. 单调函数的值域 如果能确定一个函数是单调函数，则可以把定义域的端点代进去求值域，使问题简化. 如果一个函数不是单调函数，则不能用代定义域端点的方法来求值域． 例1　 求一元二次函数y＝x2－4x＋1的单调区间． 画出该函数的草图，如图所示，由草图易知，该函数的单调递增区间为[2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，2)．　 例2　 已知函数y＝x2＋bx＋c在区间(－∞，1)上是减函数，求b的取值范围. 画出该函数的草图，如图所示，要满足题设条件，只需使－在x轴上的位置位于1的右边即可(可以重合)，即－≥1，解得b≤－2.　 例3　 求函数f(x)＝＋(x≥2)的最大值. 显然，当x≥2时，x增大，和的值均减小，故其和亦减小，于是原函数为减函数. ∴函数的最大值为f(2)＝＋＝1. 　 一、填空题 1. 若函数y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则m的取值范围是　　. 2. 函数f(x)＝－x2－2x的单调递增区间为__(－∞，－1]__. 3. 函数y＝2x2＋ax－1在区间(0,4)上是单调递增的，则a的取值范围是__[0，＋∞)__. 4. 已知f(x)是定义在R上的减函数，且满足f(2＋a)>f(2－a)，则a的取值范围是__(－∞，0)__. 二、选择题 1. 函数y＝3x－2x2＋1的单调递增区间是(　A　) A． B． C． D． 2. 函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是(　B　) A． a≥－3 B． a≤－3 C． a≥3 D． a≤5 3. 函数f(x)在R上单调递减，且f(m2)＜f(－m)，则m的取值范围是(　D　) A． (－∞，－1)　 B． (0，＋∞) C． (－1,0) D． (－∞，－1)∪(0，＋∞) 4. 函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是(　A　) A．[1,2] B．[－1,0] C．[0,2] D．[2，＋∞) 5. (多选) 对于函数f(x)＝下列说法正确的是(　ACD　) A．该函数的最大值为2 B．该函数的单调递增区间为 C．该函数的单调递减区间为 D．该函数不是单调函数 三、用函数单调性的有关知识求下列函数的值域 1. y＝＋x.　　　　 2. y＝2x－. 1.　对于，x增大，其值增大，x也是如此. 因此对于整个函数，y随x的增大而增大，故该函数为增函数. 又x≥，故其值域为. 2．(－∞，2]　对于，其值随x的增大而减小；而对于2x来说，其值随x的增大而增大. 故对于整个函数，y随x的增大而增大，该函数为增函数. 又x≤1，∴该函数的值域为(－∞，2]. 　 3. y＝3＋5x－ (x≥2)． 3．[12，＋∞)　当x≥2时，在y＝中，y随x的增大而减小；即在y＝－中，y随x的增大而增大，在y＝5x中，y随x的增大而增大. 故对于整个函数，y随x的增大而增大，该函数为增函数，∴值域为[12，＋∞). 　 学科网（北京）股份有限公司 $$