第3章 第1节 函数的概念-【高考零起点】2025年新高考数学总复习学用word（艺考）

第三章　函　　数 第一节　函数的概念 1. 区间的概念 区间是在研究函数时常用到的概念. 设a，b是两个实数，且a<b，我们规定： (1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]； (2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a，b)； (3)满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b)，(a，b]． 在引进正无穷大的符号“＋∞”和负无穷大的符号“－∞”后，又把满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合分别表示为[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b). 2. 函数的概念 设f(x)是关于x的一个代数式，在等式y＝f(x)中，如果x取某一数集A中的任意一个值，y都能得到唯一的值，则称y是关于x的函数. 其中x叫做自变量，数集A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域， 如y＝2x－1，y＝x2＋1都是函数，而y＝±x不是函数，因为给定一个x的值，y有两个值与它对应；又如，下图中的曲线不能作为一个函数的图象，因为存在一个x0∈[0，＋∞)，使y有两个值(y1和y2)和它对应. 3. 分段函数的概念 在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的解析式，这样的函数叫做分段函数. 例1　将下列x的取值范围用区间表示： (1)－5<x<2; (2)≤x≤； (3)x>4； (1)(－5,2) (2) (3)(4，＋∞)　 (4)x≥－； (5)x≤－9; (6)x<23. (4) (5)(－∞，－9] (6)(－∞，23) 例2　求下列函数的定义域： (1) y＝3x＋5；　　　(2)y＝；　　　(3) y＝；　　　(4)f(x)＝＋. (1)∵无论x取什么值，都能得到对应的y值，∴定义域为R. (2)由于负数不能开平方，∴定义域为[0，＋∞)． (3)由于分式的分母不能为零，∴定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． (4)由(2)和(3)易得x＋1≥0,2－x≠0，∴x≥－1且x≠2，定义域可表示为[－1,2)∪(2，＋∞)．　 例3　求下列函数的值域(x∈R)： (1)y＝x2; (2)y＝2x＋1. (1)由于任何实数的平方都是大于零或等于零的，∴该函数的值域为[0，＋∞)． (2)当x∈R时，y＝2x＋1的值也能取遍所有的实数，∴该函数的值域为R. 例4　(1)已知f(x)＝2x－3x＋1，分别求f(2)和f(4)的值； (2)已知f(x)＝3x2＋2x－4，求f(－a)的表达式． (1)f(2)＝22－3×2＋1＝－1，　f(4)＝24－3×4＋1＝5. (2)f(－a)＝3·(－a)2＋2·(－a)－4＝3a2－2a－4. 例5　设f(x)＝求f(f(f(－1)))的值. 在高考中，对分段函数的考查主要通过对其函数值的求解进行. 解答此类题的关键是代值时对具体选择哪一个解析式作出正确的判断. ∵－1<0，求f(－1)时只能使用第三个解析式，从而得f(－1)＝0，∴f(f(－1))＝f(0)＝π，∴f(f(f(－1)))＝f(π)＝π＋1. 　 例6　画出下列分段函数的图象． y＝ 先在坐标系中画出y＝的图象，但这支图象不能取整支，只能取定义在上的部分，其余部分要擦掉. 再画出y＝x的图象，取定义在之间的部分，最后把y＝x＋2的图象画出来，截取上的部分. 这三段图象一起构成该分段函数的图象，如上图所示． 【注意】对于①、②两段函数，二者定义域在x＝1处连接，而当x＝1时，两段函数的值相等，所以二者图象在x＝1处能实现连接，即在A点连续. 而对于②、③两段函数，它们定义域的连接点是x＝0，当x＝0时，它们的值不相等，∴两段函数图象不能连续. 此分段函数的图象不连续，不能因此否认它是一个函数，因为它仍然满足知识梳理2对函数的定义，即从定义域中任取一个值，都有唯一的函数值和它对应. 一、选择题 1. 设f(x)＝则f(f(－2))＝(　C　) A．－1 B． C． D． 2. 设f(x)＝ g(x)＝则f(g(π))的值为(　B　) A．1　　　　 B．0　　 C．－1　 D．π 3．设函数f＝ 若f＝4 ，则b＝(　D　) A．1 B． C． D． 4. (多选)已知f(x)＝若f(x)＝1，则x的值是(　AD　) A．－1 B． C．－ D．1 二、画出下列分段函数的图象 1. y＝ 2. y＝ 1. 2.　 3. y＝ 4. y＝x|x|. 3. 4.　 学科网（北京）股份有限公司 $$