第1章 第1节 集合-【高考零起点】2025年新高考数学总复习学用word（艺考）

第一章　集合、常用逻辑用语、充分条件与必要条件 第一节　集　合 无穷集合是现代数学的基础，本节内容是为将来学习无穷集合建立概念．在高考中，需要握的集合知识如下表所示： 类别 类别说明 举例 备注 概念 把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合. 集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示，元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示. 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A π∉{有理数} ∈{无理数} 集合中的元素有三个特征：确定性、互异性、无序性 表示 方法 列举法 把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合 {2,5, 7, 8, 10} 全体自然数、整数、有理数、实数的集合分别用大写字母N、Z、Q、R表示，正整数集用N*(或N＋)表示 描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合 {x|x＋2＜6} 集合间的关系 子集 如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称A为B的子集 记作 A⊆B(或B⊇A) {1,4}⊆{0,1,2,4}和{1,4}{0,1,2,4}均成立； 但{1,4}⊆{1,4}成立，{1,4}{1,4}不成立 ①如果一个集合有n个元素，则这个集合的子集有2n个，真子集有(2n－1)个 ②不含任何元素的集合叫做空集，记作∅. 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 ③“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间的关系；“⊆”和“”只能用于集合与集合之间的关系 读作 A包含于B (或B包含A) 真子集 A为B的子集，但集合B中至少有一个元素不是A中的元素 记作 AB (或BA) 读作 A真包含于B(或B真包含A) 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 如果A⊆B且B⊆A，则A＝B 集合的运算 交集 由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合 记作 A∩B {2,4,7,8}∩{1,4,8,5}＝{4,8} — 读作 A交B 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 记作 A∪B {2,9}∪{1,4,5}＝{1,2,4,5,9} 读作 A并B 分配律 A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C) {x|x＞1}∩ ({x|－1＜x＜2}∪{x|x＞3})＝{x|1＜x＜2}∪{x|x＞3} 解不等式组时常用 补集 全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集 记作 ∁UA U＝{x∈N|1＜x＜10}，A＝{2,7, 8,9}，∁UA＝{3, 4,5,6} 同一集合在不同全集中的补集是不同的 读作 A在U中的补集，简称A的补集 例1　已知全集U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x＜－1}，B＝{x|－2≤x＜1}. 求：(1)∁U(A∩B)；(2)∁U(A∪B)；(3)(∁UA)∩(∁UB)；(4)(∁UA)∪(∁UB). (1)A∩B＝{x|－2≤x＜－1}，故∁U(A∩B)＝{x|－5≤x＜－2}∪{x|－1≤x≤3}＝{x|－5≤x<－2或－1≤x≤3}. (2)A∪B＝{x|－5≤x＜1}，故∁U(A∪B)＝{x|1≤x≤3}. (3)∁UA＝{x|－1≤x≤3}，∁UB＝{x|－5≤x＜－2或1≤x≤3}，故(∁UA)∩(∁UB)＝{x|1≤x≤3}. (4)由(3)，(∁UA)∪(∁UB)＝{x|－5≤x＜－2}∪{x|－1≤x≤3}＝{x|－5≤x＜－2或－1≤x≤3}． 例2　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－4＜x≤2m＋3}，若A⊆B, 求实数m的取值范围. 依题意，A为B的子集，于是必有解得1≤m＜2.　 例3　 (1)已知U＝R，集合A＝，集合B＝{y|y＝x2}，求∁UA ∪∁UB； (2)已知集合A＝{(x，y)|x＋2y＝1}，集合B＝{(x，y)|y＝x}，求A∩B． (1)∵集合A表示函数y＝的定义域，集合B表示函数y＝x2的值域，∴A＝{x|x≠0}，B＝{y|y≥0}．于是 ∁UA＝{x|x＝0}，∁UB＝{y|y＜0}，故∁UA∪∁UB＝{x|x≤0}． (2)∵集合A表示直线x＋2y＝1上的点的集合，集合B表示直线y＝x上的点的集合，∴A∩B表示两条直线的交点，将两个直线方程联立解得x＝，y＝，于是A∩B＝. 【提示】　在集合中，竖线前面的部分(一般就是一个字母)是元素符号，元素的类别由元素符号确定. 在(1)中，集合A的竖线前面是字母x，竖线后面是等式y＝，所以该集合表示等式y＝中x能取到的所有值，即函数y＝的定义域. 与之类似，集合B竖线前面是字母y，它表示的是函数y＝x2的值域. 一个集合的内容由集合的元素决定，与元素符号无关，∴∁UA 和∁UB本质上都是数集，它们既能取并集又能取交集，不能因为它们元素符号不同就认为它们之间不能进行集合的运算，更不能认为它们的交集是空集. 在(2)中，竖线前面都是点的坐标，所以集合A和集合B分别表示对应直线上的点的集合．A∩B就表示两条直线的交点坐标. 1．(2023全国乙卷)设全集U＝，集合M＝，N＝，则M∪∁UN＝(　A　) A.　　　　 B． C． D．U 2. 设集合A＝{x|x＞3}，B＝{x|1＜x＜4}，则A∩B＝(　B　) A．{x|1＜x＜4} B．{x|3＜x＜4} C．{x|1＜x＜3} D．{x|x＜4} 3．(2024北京卷)已知集合M＝{x}，N＝{x}，则M∪N＝(　C　) A．{x} B．{x} C．{x} D．{x} 4. 已知集合A＝{2,1,3,4,6}，集合B＝{－2,1,4,6,9}，则A∩B的真子集个数为(　B　) A．6 B．7 C．8 D．9 5. 下列五个关系式中正确的有(　B　) ①0{0}　②0∈{0}　③0⊆{0}　④∅∈{0}　⑤∅{0} A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6. 已知集合A＝，B＝，则A∪B等于(　C　) A．{x|x＞0} B．{x|x＝0} C．{x|x≠0} D．∅ 7. 已知集合A＝{x|－2x＞a}，B＝{x|－1＜x＜4}，且A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是(　A　) A．a≤－8 B．a＜－8 C．a≥8 D．a＞8 8．(2023新高考Ⅰ卷)设集合A＝，B＝，若A⊆B， 则a＝(　B　) A．2 B．1 C． D．－1 9. 已知集合A＝{y＝2x＋1}，B＝，则A∩B等于(　A　) A．{(－2，－3)} B．{－2，－3} C．{x|－3≤x≤－2} D．∅ 学科网（北京）股份有限公司 $$