2025年九年级中考复习数学教材梳理第7章 图形的变化课件

第七章 图形的变化 第32课时　对　称 教材梳理篇 知识过关 1 课堂精讲——聚焦福建中考 2 当堂小练 3 教材梳理篇 (一)轴对称与中心对称 1.轴对称与轴对称图形 名称及图示 区别 性质 轴对称      两个图形，一条对称轴 (1)对应线段相等；对应角相等； (2)对应点所连的线段被对称轴垂直平分  （一） （二） （三） （四） 名称及图示 区别 性质 轴对称图形 一个图形，对称轴条数不确定 (1)对应线段相等；对应角相等； (2)对应点所连的线段被对称轴垂直平分 （一） （二） （三） （四） 2.中心对称与中心对称图形 名称及图示 区别 性质 中心对称 两个图形，对称中心位置不定  (1)中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分； (2)中心对称的两个图形是全等图形. 中心对称图形 一个图形，对称中心是图形自身或内部的点 （一） （二） （三） （四） 1.请画出如图所示的正多边形的一条对称轴，是中心对称图形的再画出对称中心. 解：如图.(所画实线为对称轴，对称轴不唯一) （一） （二） （三） （四） 2.如图，请画出△ABC关于x轴、y轴、原点对称的三角形. 解：如图，△A1B1C1，△A2B2C2和△A3B3C3分别是△ABC关于x轴、y轴、原点对称的三角形. （一） （二） （三） （四） (二)垂直平分线与角平分线   垂直平分线 角平分线 概 念 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线 性 质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 判 定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 （一） （二） （三） （四） 3.如图，已知在△ABC中，∠B＝90°. (1)若AD是△ABC的角平分线，BD＝，则点D到 AC的距离是________； (2)若线段AC的垂直平分线交BC于点D，BC＝8，AD＝5，则AB＝_______. 4 （一） （二） （三） （四） (三)最短路径问题 构图 原理 两点之间，线段最短 三角形两边之差小于第三边 类型 类型一 类型二 类型三 类型四 模型 当定点A，B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使得PA＋PB最小 当定点A，B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PA＋PB最小 在两条距离为d的平行线(l1和l2)上分别找点M，N，使得MN⊥l1，且AM＋MN＋BN最小，其中点A，B在l1，l2异侧 当定点A，B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得｜PA－PB｜最大 （一） （二） （三） （四） 构图 原理 两点之间，线段最短 三角形两边之差小于第三边 类型 类型一 类型二 类型三 类型四 图解 作法：连接AB交l于点P，点P即为所求 作法：作点B关于l的对称点B'，连接AB'交l于点P，点P即为所求 作法：将点A向下平移d到A'，连接A'B交l2于点N，过点N作MN⊥l1于点M，连接AM，点M，N即为所求 作法：连接AB并延长，交l于点P，点P即为所求 结论 PA＋PB的最小值为AB PA＋PB的最小值为AB' AM＋MN＋BN的最小值为A'B＋d ｜PA－PB｜的最大值为AB （一） （二） （三） （四） (四)图形的折叠 1.位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称； （一） （二） （三） （四） 3.折叠前后，对应点的连线均被折痕垂直平分. 2.折叠前后的两个图形全等，对应边、角、线段、周长、面积均相等； 考点1 考点2 考点3 考点4 考点1　轴对称与中心对称[8年3考] 类型1：概念及画图 例1：第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图所示的巴黎奥运会项目图标中，是轴对称图形的是 [2024漳州二模4分]( ) A B C D B 考点1 考点2 考点3 考点4 例2：下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A B C D C 考点1 考点2 考点3 考点4 例3：如图，在8×8的方格纸中，P，Q为格点，△ABC的顶点均在格点上，请按要求画图. 考点1 考点2 考点3 考点4 (1)在图①中画出格点△DEF，点A，B，C的对应点分别为D，E，F，使得△DEF与△ABC关于线段PQ成轴对称. 解：如图①，△DEF即为所求. 考点1 考点2 考点3 考点4 (2)在图②中画出△ABC平移后的格点△GHK，点A，B，C的对应点分别为G，H，K，使得线段PQ平分△GHK的面积. 解：如图②，△GHK即为所求(答案不唯一). 考点1 考点2 考点3 考点4 类型2：性质 例4：小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案.如图，其中△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点E，F分别是底边AB，CD的中点，OE⊥OF.下列推断错误的是 [2024福建4分]( ) A.OB⊥OD B.∠BOC＝∠AOB C.OE＝OF D.∠BOC＋∠AOD＝180° B 考点1 考点2 考点3 考点4 轴对称问题解题思路： 1.找“全等”——明确对应线段、对应角之间的相等关系； 2.看“对称轴”——基于“垂直平分线”与“角平分线”挖掘隐含信息； 3.分析“原图形”——将所得结论与原图形的性质相结合展开充分联想. 考点1 考点2 考点3 考点4 考点2　垂直平分线与角平分线[8年1考] 例5：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC＝______.[2023泉州石狮质检4分] 4 cm 考点1 考点2 考点3 考点4 例6：如图，已知AD垂直平分BC，D为垂足，DM⊥AC，DN⊥AB，M，N分别为垂足，求证：DM＝DN. 证明：∵AD垂直平分BC，∴CD＝BD，AC＝AB， ∴∠BAD＝∠CAD. ∵DM⊥AC，DN⊥AB，∴DM＝DN. 考点1 考点2 考点3 考点4 考点3　最短路径问题[8年1考] 例7：如图，在正方形ABCD中，AB＝8，点E在CD边上，且CE＝3DE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE＋PD的最小值是( ) A.8 B.8 C.9 D.10 D 考点1 考点2 考点3 考点4 【变式题1】如图，在等边三角形ABC中，AB＝2，线段AH是BC边上的高，点D，E分别在线段AC，AH上，则ED＋EC的最小值为____. 考点1 考点2 考点3 考点4 【变式题2】一次函数y＝kx＋b的图象交x轴、y轴分别于点A(2，0)，B(0，4)，点C，D分别是OA，AB的中点，点C的坐标为_______，若P是OB上一动点，当△DPC的周长最小时，点P的坐标是_______. (1，0)　 (0，1) 考点1 考点2 考点3 考点4 考点4　图形的折叠 例8：如图，将▱ABCD的两边AD与CD分别沿DE，DF翻折，点A，C恰好与点B重合，则∠EDF的大小为 ______.[2024漳州二模4分] 60° 考点1 考点2 考点3 考点4 例9：如图，正方形纸片的边长为2，先将正方形纸片对折，折痕为MN，展开后再把点B折叠到MN上，折痕为AE，点B的对应点为H，则线段HN的长度为________. [2024龙岩长汀一中模拟4分] 2－ 考点1 考点2 考点3 考点4 例10：已知，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E在BC边上，连接AE，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接CF. (1)若BE＝8，则四边形ABEF的形状为_________，CF长为_______； 正方形 4 考点1 考点2 考点3 考点4 (2)如图①，若E为BC的中点，则CF的长为_____ ； (3)如图②，若点C与点E重合，CF交AD于点G，则△ACG的面 积为______.[2023龙岩模拟改编] 1 2 3 1.对称性揭示了自然的秩序与和谐，是数学之美的体现.在数学活动课中，同学们利用画图工具绘制出下列图形，其中是中心对称图形的是 [2024福州二模4分]( ) A B C D D 1 2 3 2.如图，在Rt△ABC中，∠B＝30°，BC＝8，若将△ABC沿DE折叠，使点B与点A重合，则折痕DE的长为( ) A. B.3 C. D. A 1 2 3 3.如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB. (1)若∠ABC＝70°，则∠ABM＝________°. 40 (2)若AB＝8 cm，△MBC的周长是14 cm. ①求BC的长； 解：∵MN垂直平分线段AB，∴AM＝BM. ∵△MBC的周长是14 cm，∴MC＋BM＋BC＝14 cm， ∴MC＋AM＋BC＝14 cm，即AC＋BC＝14 cm. ∵AB＝AC，AB＝8 cm，∴BC＝14－8＝6 (cm). 1 2 3 ②在直线MN上是否存在点P，使PB＋CP的值最小，若存在，标出点P的位置并直接写出PB＋CP的最小值，若不存在，说明理由. 解：存在，当P与M点重合时，PB＋CP有最小值， 如图. PB＋CP的最小值为8 cm. 1 2 3 $$第七章 图形的变化 第30课时　投影与视图 教材梳理篇 图形的变化 视图与投影 图形的变化 投影 三视图 主视图 左视图 俯视图 立体图形 平面图形 展开 还原 图形的位似 平移 对称 旋转 全等 变化 尺规作图 五种基本尺规作图 全章纵览 知识过关 1 课堂精讲——聚焦福建中考 2 当堂小练 3 教材梳理篇 （一） （二） （三） (一)投影 平行投影 由平行光线形成的投影 中心投影 由同一点(点光源)发出的光线形成的投影 正投影 投影线垂直于投影面产生的投影 1.下列光线所形成的投影是平行投影的有_____；形成的投影是中心投影的有____________.(填序号) ①太阳的光线； ②台灯的光线； ③手电筒的光线； ④路灯的光线. （一） （二） （三） ① ②③④ （一） （二） （三） (二)三视图 1.概念： 主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图. 左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图. 俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图. 2.画法： （一） （二） （三） 对应关系 三视图 主视图与俯视图长对正 主视图与左视图高平齐 左视图与俯视图宽相等 看得见的部分轮廓线画成实线 看不见的部分轮廓线画成虚线 2.如图是由几个相同的小立方块搭成的几何体，它的主视图是________，左视图是________，俯视图是________.(填序号) （一） （二） （三） ① ②　 ③ 3.如图是U型磁铁示意图，它的俯视图是( ) （一） （二） （三） A　　 B　 　C　 　D D （一） （二） （三） (三)立体图形的展开与折叠 1.常见几何体的展开图 2.正方体的展开图： （一） （二） （三） 1－4－1型 2－3－1型 3－3型  2－2－2型 4.如图所示的图形能折叠成什么图形？ （一） （二） （三） 圆柱 五棱柱 圆锥 四棱锥 5.将如图所示的直棱柱展开，所得的表面展开图不可能是( ) （一） （二） （三） D 考点1 考点2 考点3 考点1　投影 例1：在同一直线上直立着三根高度相同的木杆，它们在同一路灯下的影子如图所示.若光源与三根木杆在同一平面上，则光源所在位置是 [2024宁德一模4分]( ) A.A的左侧 B.A，B之间 C.C的右侧 D.B，C之间 B 考点1 考点2 考点3 考点2　三视图 例2：如图所示的五棱柱，其主视图是[2024福州二检4分]( ) A B C D A 考点1 考点2 考点3 例3：如图是由长方体和圆柱组成的几何体，其俯视图是 [2024福建4分]( ) A B C D C 考点1 考点2 考点3 【变式题】由8个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是( ) A B C D A 考点1 考点2 考点3 例4：下列图中，主视图和左视图形状一样的是 [2024南平二模4分]( ) A B C D D 考点1 考点2 考点3 例5：如图是一个几何体的三视图(单位：cm).   (1)这个几何体的名称是____________； (2)这个几何体的所有侧面的面积之和为___________. 三棱柱 84cm2 考点1 考点2 考点3 考点3　立体图形的展开与折叠 例6：如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“知”字相对的面上的字是 [2023漳州二模4分]( ) A.就 B.是 C.力 D.量 B 考点1 考点2 考点3 例7：把图中的纸片沿虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体的名称是( ) A.五棱锥 B.五棱柱 C.六棱锥 D.六棱柱 A 考点1 考点2 考点3 例8：如图，在无阴影的方格中选出两个画上阴影，使它们与图中四个有阴影的正方形一起构成正方体的展开图.(画出三种即可) 解：如图.(答案不唯一) 1 2 3 1.中国古建筑以木构架结构为主，各个构件之间的结点以榫卯相吻合，如图是某种榫构件的示意图，该几何体的俯视图是 [2024宁德一模4分]( ) A B C D B 1 2 3 2.将如图所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分恰好能折成一个正方体，则下列序号中不应剪去的是( )   A.6 B.3 C.2 D.1 B 1 2 3 3.如图，灯杆CD上挂有一盏灯，小颖和爸爸站在灯下，线段AB表示小颖的影子. (1)请通过画图，确定灯杆上灯泡O所在的位置； 解：过小颖影子的顶端A和小颖头部顶端作直线，交CD于点O， 则点O即为灯泡所在的位置，如图. 1 2 3 (2)请你在图中画出表示爸爸影子的线段. 解：过灯泡O和爸爸头部顶端作直线， 交直线AB于点F，设爸爸所在点为E， 则线段EF即为表示爸爸影子的线段，如图. $$第七章 图形的变化 第33课时　平移、旋转与位似 教材梳理篇 知识过关 1 课堂精讲——聚焦福建中考 2 当堂小练 3 教材梳理篇 （一） （二） （三） (一)平移 1.概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小.(如图) （一） （二） （三） 2.要素：①平移方向；②平移距离. 3.性质： ①对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等； ②对应线段平行(或在一条直线上)且相等； ③对应角相等. 1.如图，△ABC在方格纸上，向右平移4个单位得到△A1B1C1，则下列结论中成立的是___________. ①△ABC≌△A1B1C1； ②AA1∥BB1； ③AA1＝BB1＝4； ④∠ACB＝∠A1C1B1. （一） （二） （三） ①②③④ （一） （二） （三） (二)旋转 1.概念：把一个平面图形绕着平面内某一点转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，旋转不改变图形的形状和大小.(如图) 2.要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角. （一） （二） （三） 3.性质： ①对应线段相等，对应角相等； ②对应点到旋转中心的距离相等； ③任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角. 2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝40°，点D在斜边AB上，若△ABC经过顺时针旋转后与△EBD重合，则这一旋转的旋转中心为点____，最小的旋转角的度数是____. （一） （二） （三） B 40° （一） （二） （三） (三)位似 1.概念：如果两个图形不仅相似，而且每组对应点所在直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，此时相似比又称位似比.(如图) 2.性质： (1)位似图形是相似图形，具备相似图形的所有性质； (2)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比； (3)位似图形中的对应边互相平行(或在同一条直线上)； (4)位似图形中的对应点的连线交于一点(位似中心). （一） （二） （三） 3.如图，把△AOB缩小后得到△COD，则△AOB与△COD的相似比为__________. （一） （二） （三） 2∶1 考点1 考点2 考点3 考点1　平移[8年3考] 例1：如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中∠ABC＝90°，∠CAB＝60°，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到△A'B'C'，点A'对应直尺的刻度为0，则四边形ACC'A'的面积是[2022福建4分]( ) A.96 B.96 C.192 D.160 B 考点1 考点2 考点3 例2：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.线段EF是由线段AB平移得到的，点F在边BC上，△EFD是以EF为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在AC的延长线上. (1)求证：∠ADE＝∠DFC； 证明：在等腰直角三角形EDF中，∠EDF＝90°， ∴∠ADE＋∠ADF＝90°.∵∠ACB＝90°， ∴∠DFC＋∠ADF＝∠ACB＝90°.∴∠ADE＝∠DFC. 考点1 考点2 考点3 (2)求证：CD＝BF.[2021福建8分] 证明：如图，连接AE.由平移的性质得AE∥BF，AE＝BF， ∴∠EAD＝∠ACB＝90°. 又∵∠DCF＝180°－∠ACB＝90°， ∴∠EAD＝∠DCF. ∵△EDF是等腰直角三角形，∴DE＝DF. 由(1)得∠ADE＝∠DFC，∴△AED≌△CDF， ∴AE＝CD，∴CD＝BF. 考点1 考点2 考点3 考点2　旋转[8年6考] 例3：在平面直角坐标系中，若将点P(－2，3)绕原点O顺时针旋转90°得到点Q，则点Q的坐标是 [2023龙岩一模4分]( ) A.(2，3) B.(－2，－3) C.(3，2) D.(－3，－2) C 考点1 考点2 考点3 例4：如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转80°，得到△AB'C'，若点B'在线段BC的延长线上，则∠BB'C'的大小为 [2024泉州惠安模拟4分]( ) A.95° B.98° C.100° D.102° C 考点1 考点2 考点3 例5：如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形FECG，当AB的对应边EF恰好经过点D时，连接BE，则BE＝__________.[2024宁德一检4分] 考点1 考点2 考点3 例6：如图，点D是等边三角形ABC外部的一点，把△BCD绕点C顺时针旋转60°得到△ACE，其中点A，E分别是点B，D的对应点. (1)利用无刻度的直尺和圆规作出△ACE；(保留痕迹，不写作法) 解：如图，△ACE即为所求. 考点1 考点2 考点3 (2)在(1)的条件下，在线段BD上取点P，且PB＝PC，若∠ABD＝∠DBC＋∠AEC，求证：P，C，E三点共线.[2023福州屏东中学模拟8分] 证明：如图，∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB.∵PB＝PC，∴∠PBC＝∠PCB， ∴∠ABP＝∠ACP.由旋转的性质可知 △BCD≌△ACE，∴∠DBC＝∠EAC. ∵∠EAC＋∠AEC＋∠ACE＝180°，∠ABD＝ ∠DBC＋∠AEC，∴∠ABD＋∠ACE＝180°， ∴∠ACP＋∠ACE＝180°，∴P， C， E三点共线. 考点1 考点2 考点3 例7：如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α，得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，且点A，B，E在同一条直线上. (1)求证：DA平分∠BDE； 证明：如图.∵△ADE是由△ABC旋转得到的， ∴∠1＝∠B，AD＝AB，∴∠2＝∠B，∴∠1＝∠2， ∴DA平分∠BDE. 考点1 考点2 考点3 (2)若AC⊥DE，求旋转角α的度数.[2023龙岩上杭质检8分] 解：如图，由旋转可知∠3＝∠4＝α，∠C＝∠E. ∵AC⊥DE，∴∠C＝∠E＝90°－α. ∵在△ABD中，AB＝AD， ∴∠B＝＝90°－α. ∵点A，B，E在同一条直线上，∴∠4＝∠B＋∠C， 即α＝90°－α＋90°－α，解得α＝72°. 考点1 考点2 考点3 考点3　位似[8年6考] 例8：如图，△ABO与△A'B'O是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为2∶1，点A'的坐标为(2，－1)，则点A的坐标为___________.[2023三明一模4分] (－4，2) 考点1 考点2 考点3 【变式题】在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为A(－6，8)，B(－4，0).以原点O为位似中心，将△ABO缩小为原来的一半，得到△CDO，则点A的对应点C的坐标是_______ _________.[2024 南平质检4分] 或　 考点1 考点2 考点3 例9：如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形.若OA∶AD＝2∶3，则△ABC与△DEF的周长比是_______. [2024福州一模4分] 2∶5　 1 2 3 1.如图，将△ABC绕点B顺时针旋转至△DBE.下列角中，是旋转角的是[2024厦门二模4分]( ) A.∠ABD B.∠DBC C.∠ABC D.∠ABE A 1 2 3 2.如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移得到直角三角形DEF，已知BE＝4，EF＝8，CG＝2，则图中阴影部分的面积为 [2023福州第三十二中学模拟4分]( ) A.12 B.16 C.28 D.32 C 1 2 3 3.《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学之美.如图，以面积为4的正方形ABCD的中心O为位似中心，作它的位似图形A'B'C'D'，若A'B'∶AB＝2∶1，则四边形A'B'C'D'的外接圆的半径为_______. 2　 $$第七章 图形的变化 第31课时　尺规作图 教材梳理篇 知识过关 1 课堂精讲——聚焦福建中考 2 当堂小练 3 教材梳理篇 (一)基础尺规作图 类型 图示 步骤 作图依据 作一条线 段等于已 知线段(已 知线段a) 1.作射线OP； 2.以点O为圆心，a为半径作弧，交OP于点A，OA即为所求作的线段 圆上的点到圆心的距离等于半径 （一） （二） 类型 图示 步骤 作图依据 作一个角等于已知角(已知∠α) 1.以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交∠α的两边于点P，Q； 2.作一条射线O'A，以点O'为圆心，OP的长为半径作弧，交O'A于点M； 3.以点M为圆心，PQ的长为半径作弧交前弧于点N； 4.过点N作射线O'B，∠AO'B即为所求作的角 三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等 （一） （二） 类型 图示 步骤 作图依据 作一个角 的平分线 1.以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点N，M； 2.分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB内相交于点P； 3.作射线OP，OP即为所求作的角的平分线 三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等 （一） （二） 类型 图示 步骤 作图依据 作线段 的垂直 平分线 1.分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点； 2.作直线MN，MN即为所求作的线段的垂直平分线 到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 （一） （二） 类型 图示 步骤 作图依据 过直线上一点P作已知直线 l的垂线 1.以点P为圆心，任意长为半径向点P两侧作弧，交直线l于点A，B； 2.分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点； 3.作直线MN，直线MN即为所求作的垂线 等腰三角形“三线合一” （一） （二） （一） （二） 类型 图示 步骤 作图依据 过直线外 一点P作 已知直线 l的垂线 1.任取一点M，使点M和点P在直线l的两侧； 2.以点P为圆心，PM长为半径作弧，交直线l于点A，B； 3.分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点N； 4.作直线PN，直线PN即为所求作的垂线 到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 （一） （二） (二)与圆有关的尺规作图 尺规作圆 过不在同一直线上的三点作圆 作三角形的外接圆 作三角形的内切圆 要求 已知：不在同一条直线上的三点A，B，C，求作过点A，B，C的☉O 已知：△ABC，求作ABC的外接圆☉O 已知：△ABC，求作△ABC的内切圆☉O 图示 考点1 考点2 考点1　判断作图痕迹及推理计算 例1：如图，在△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝3，则点D到AB的距离是 [2024泉州南安模拟4分]( ) A.2 B.3 C.4 D.5 B 考点1 考点2 例2：如图，点P在直线l外，请阅读以下作图步骤：①以点P为圆心，以大于点P到直线l的距离的长为半径作弧，交l于点A和点B；②分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于点Q，如图所示；③作射线PQ，连接PA，PB，AQ，BQ.根据以上作图，下列结论正确的是 [2024泉州二模4分]( ) A.∠1＝∠2且PB∥AQ B.∠1＝∠3且PA∥BQ C.∠2＝∠3且PQ⊥AB D.∠1＝∠2且PQ⊥AB D 考点1 考点2 考点2　尺规作图的操作与应用 例3：如图，已知四边形ABCD是平行四边形. 请用尺规作图的方法在BC上作一点E，使得∠DAE＝∠D(保留作图痕迹，不写作法). 解：如答图，点E即为所求作. 考点1 考点2 例4：如图，在△ABC中，D是BC上一点，在AB上确定一点O，使得OA＝OD(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法).[2024厦门翔安区三模节选] 解：如图，O为所求作的点. 考点1 考点2 例5：如图，在△ABC中， (1)求作△ABC的内心E；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) 解：如图. 考点1 考点2 (2)在(1)的条件下，若∠ACB＝78°，求∠AEB的度数. 解：连接AE，如图.∵∠CAB＋∠CBA＋∠ACB＝180°， ∴∠CAB＋∠CBA＝180°－∠ACB. ∵点E是△ABC的内心， ∴AE平分∠CAB，BE平分∠CBA， ∴∠EAB＝∠CAB，∠EBA＝∠CBA， 考点1 考点2 ∴∠EAB＋∠EBA＝(∠CAB＋∠CBA)＝(180°－∠ACB).∵∠ACB＝78°， ∴∠EAB＋∠EBA＝(180°－78°)＝51°. ∵∠AEB＝180°－(∠EAB＋∠EBA)， ∴∠AEB＝180°－51°＝129°. 考点1 考点2 例6：如图，已知☉O经过A，C，D三点，点D在BA边上，CD⊥AC，∠A＝∠BCD. (1)求作☉O；(请保留尺规作图痕迹，不写作法) 解：☉O即为所作. 考点1 考点2 (2)求证：BC是☉O的切线.[2024福州屏东中学模拟8分] 证明：连接OC，如图.∵OA＝OC， ∴∠A＝∠OCA.∵CD⊥AC，∴∠ACD＝90°， ∴∠OCA＋∠OCD＝∠A＋∠OCD＝90°. ∵∠A＝∠BCD， ∴∠BCD＋∠OCD＝90°，即∠OCB＝90°. ∵OC为☉O的半径， ∴BC是☉O的切线. 考点1 考点2 例7：如图，已知Rt△MON，∠MON＝90°，OM＝ON，A为斜边MN上的一点. (1)求作：以点O为中心，A为一个顶点的正方形ABCD(点A，B，C，D按顺时针排列)；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) 解：如图，四边形ABCD即为所作. 考点1 考点2 (2)在(1)的条件下，连接DN，求证：DN⊥MN.[2024三明二模8分] 证明：∵∠MON＝90°，OM＝ON， ∴∠OMN＝∠ONM＝45°. 由作图可得OA＝OD，∠AOD＝90°＝∠MON， ∴∠MOA＝∠NOD， ∴△OAM≌△ODN， ∴∠OND＝∠OMA＝45°， ∴∠AND＝∠OND＋∠ONM＝45°＋45°＝90°， ∴DN⊥MN. 3 1 2 1.阅读以下作图步骤：①在OA和OB上分别截取OC，OD，使OC＝OD；②分别以C，D为圆心，大于 CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点M；③作射线OM，连接CM，DM，如图所示.根据以上作图，一定可以推得的结论是 [2023福建4分]( ) A.∠1＝∠2且CM＝DM B.∠1＝∠3且CM＝DM C.∠1＝∠2且OD＝DM D.∠2＝∠3且OD＝DM A 1 2 3 2.如图是一块木板下脚料，小明想用这块木板做一个菱形学具，请你帮他在木板上画出以∠A为一个内角且面积最大的菱形(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹). 解：如图，四边形ABCD即为所求作的菱形. 1 2 3 3.在▱ABCD中，E为AD的中点，请用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹. (1)如图①，在BC上找出一点M，使M是BC的中点； 解：如图①，点M就是所求作的点； 1 2 3 (2)如图②，在BD上找出一点N，使N是BD的一个三等分点. 解：如图②，点N就是所求作的点. $$