2025年中考复习数学教材梳理第5章 四边形课件

nullnull第五章 四边形 第25课时　平行四边形 教材梳理篇 全章纵览 知识过关 1 课堂精讲——聚焦福建中考 2 当堂小练 3 教材梳理篇 （一） （二） (一)平行四边形的概念与性质 概念 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 性质 (1)边：两组对边分别平行且相等； (2)角：两组对角分别相等，四组邻角分别互补； (3)对角线：两条对角线互相平分； (4)对称性：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点 （一） （二） 面积 S＝ah(其中a是边长，h是该边上的高) *拓展 坐标系中的平行四边形，如图.   对角线AC、BD 互相平分，中点 坐标相同 1.如图①，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O. (1)若AB＝5，BC＝3，则▱ABCD的周长为________； (2)若∠BAD＝60°，则∠BCD＝__________，∠ADC＝___________； （一） （二） 16 60° 120° (3)若AC＝8，BD＝6，则AB的取值范围为________________； (4)若将△AOD绕点O旋转180°，则点A的对应点是点______； (5)如图②，若BD⊥AB，且BD＝AB＝2，则▱ABCD的面___. （一） （二） 1＜AB＜7　 C 4 （二） (二)平行四边形的判定 边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 （一） 2.如图，四边形ABCD的对角线BD，AC交于点O.下列条件能判定四边形ABCD为平行四边形的有______________.(填序号) ①AB＝DC，且AD＝BC； ②AB∥DC，且AD∥BC； ③AB＝DC，且AB∥DC； ④AB＝DC，且AD∥BC； ⑤O为AC，BD的中点； ⑥AB∥DC，且AC平分∠DAB. （二） （一） ①②③⑤ 考点 考点　平行四边形的性质与判定[8年8考] 例1：已知四边形ABCD的对角线相交于点O. (1)若AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形，可添加条件：____________________________(写出一个即可)； AB＝CD(答案不唯一) (2)若∠BAD＝∠BCD，要使四边形ABCD为平行四边形，可添加条件：___________________________(写出一个即可)； (3)若AO＝OC，要使四边形ABCD是平行四边形，可添加条件：______________________ (写出一个即可). 考点 ∠ABC＝∠ADC(答案不唯一) BO＝OD(答案不唯一) 例2：【一题多问】已知▱ABCD，BC＝5，E为边CD上一点.[2023福建中考、2024龙岩二模联合改编]   (1)若E是中点. ①如图①，连接AE并延长，交BC的延长线于点F，∠BAF＝90°，EF＝3，则CD的长是_______； ②如图②，AC，BD相交于点O，连接OE，若▱ABCD的周长为24，则OC的取值范围是________________. 考点 8 1＜OC＜6　 (2)如图②，若OE⊥AC，连接AE，△ADE的周长为12，则▱ABCD的周长为________. (3)如图③，若AE平分∠BAD，点F也在边CD上，且BF平分∠ABC，AE、BF交于点G，EF＝2，则AB的长为_______，AE2＋BF2＝_________. 考点 8 24 100 (4)如图④，AC，BD相交于点O，点F在AB边上， ①若EF过点O ，AF＝10，则CE的长为________； 考点 10 ②若AF＝CE，求证：E、O、F三点共线. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，OA＝OC，∴∠ECO＝∠FAO. ∵AF＝CE，∴△AOF≌△COE， ∴∠AOF＝∠COE.又∵∠AOE＋∠COE＝180°， ∴∠AOE＋∠AOF＝180°，∴E、O、F三点共线. 考点 例3：如图，在▱ABCD中，O是对角线AC的中点.某数学兴趣小组要在AC上找两个点E，F，使四边形BEDF为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 在AO，CO上分别取点E，F，使得AE＝CF 作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F 考点 请回答下列问题： (1)选择其中一种方案，并证明四边形BEDF为平行四边形； 解：选择甲方案，证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠DCF. 在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF，∴BE＝DF，∠AEB＝∠CFD. ∵∠BEF＝180°－∠AEB，∠DFE＝180°－∠CFD， ∴∠BEF＝∠DFE，∴BE∥DF，∴四边形BEDF是平行四边形.(选择乙方案也可以) 考点 (2)在(1)的基础上，若EF＝3AE，S△AED＝5，则▱ABCD的面积为________. 考点 50 例4：如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，BE，DF分别交AC于点G，H，连接DG，BH. (1)求证：四边形EBFD是平行四边形； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，DE∥BF. ∵E，F分别是AD，BC的中点，∴易得DE＝BF，∴四边形EBFD是平行四边形. 考点 (2)四边形GBHD是平行四边形吗？请说明理由. 解：是，理由：由(1)知AD∥BC，∴∠DAH＝∠BCG.又∵四边形EBFD是平行四边形，∴BE∥DF，∴∠AHD＝∠CGB. 在△ADH与△CBG中，∴△ADH≌△CBG， ∴DH＝BG.又∵DH∥BG，∴四边形GBHD是平行四边形. 考点 例5：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别是点D，E.若F是边AC的中点，求证：四边形BEDF是平行四边形. 考点 证明：连接AD，∵∠ABC＝90°，F是边AC的中点，∠ACB ＝30°， ∴BF＝CF＝AC，AB＝AC，∴BF＝CF＝AB. ∵△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC， ∴∠BCE＝∠ACD＝60°，CB＝CE，DE＝AB，DC＝AC， ∴DE＝BF，△ACD和△BCE均为等边三角形， 考点 ∴BE＝CB.∵F为等边三角形ACD的边AC的中点，∴DF⊥AC. ∴Rt△CFD≌Rt△ABC，∴DF＝BC，∴DF＝BE， 又∵BF＝DE，∴四边形BEDF是平行四边形. 在Rt△CFD和Rt△ABC中， 考点 1 2 3 4 5 1.如图，在▱ABCD中，AD＝6，E为AD上一动点，M，N分别为BE，CE的中点，则MN的长为 [2023三明一模4分]( ) A.4 B.3 C.2 D.6 B 1 2 3 4 5 2.如图，在▱ABCD中，O是对角线AC与BD的交点.若△AOB的面积是5，则▱ABCD的面积是________.[2024福州三模4分] 20 1 2 3 4 5 3.如图所示，在▱ABCD中，BC＝8，AB＝5，BE平分∠ABC交AD于点E，则DE＝_______.[2024厦门五缘实验学校二模4分] 3 1 2 3 4 5 4.在平面直角坐标系xOy中，平行四边形的三个顶点的坐标分别为O(0，0)、A(3，0)、B(4，2)，则其第四个顶点C的坐标为__________________________. (－1，－2)，(1，2)或(7，2)　 1 2 3 4 5 5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使AB＝2AD，连接AE，DF，EF. (1)求证：四边形ADFE为平行四边形； 证明：∵E，F分别为BC，AC的中点， ∴EF∥AD，AB＝2EF. ∵AB＝2AD，∴EF＝AD. ∴四边形ADFE是平行四边形. 1 2 3 4 5 (2)求证：∠DFA＝∠C. 证明：∵在Rt△ABC中，E为BC的中点， ∴AE＝BC＝EC，∴∠EAF＝∠C. ∵四边形ADFE是平行四边形，∴AE∥DF， ∴∠DFA＝∠EAF，∴∠DFA＝∠C. $$第五章 四边形 第26课时　矩形、菱形、正方形 教材梳理篇 知识过关 1 课堂精讲——聚焦福建中考 2 当堂小练 3 教材梳理篇 （一） （二） （三） （四） （五） (一)矩形的性质与判定 概念 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （一） （二） （三） （四） （五） 性质 (1)边：对边平行且相等； (2)角：四个角都是直角； (3)对角线：对角线互相平分且相等； (4)对称性：既是轴对称图形，也是中心对称图形 判定 (1)有一个角是直角的平行四边形是矩形； (2)有三个角是直角的四边形是矩形； (3)对角线相等的平行四边形是矩形； (4)对角线互相平分且相等的四边形是矩形 面积 S＝ab(a，b分别表示矩形的长和宽) 1.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.   (1)若AB＝2，∠AOD＝120°，则∠ACB＝________°，OB＝_______，BC＝______，矩形ABCD的面积为_______； （一） （二） （三） （四） （五） 30 2 2 4 (2)木工师傅要做一个矩形木框，做好以后测量得长AB＝CD＝80 cm，宽AD＝BC＝60 cm.若对角线AC的长为1 m，则这个木框______ (填“合格”或“不合格”)，判定的依据是________ _________________________. （一） （二） （三） （四） （五） 合格 是直角的平行四边形是矩形　 有一个角 （一） （二） （三） （四） （五） (二)菱形的性质与判定 概念 有一组邻边相等的平行四边形是菱形. （一） （二） （三） （四） （五） 性质 (1)边：对边平行，四条边都相等； (2)角：两组对角分别相等； (3)对角线：对角线互相平分且垂直，对角线平分一组对角； (4)对称性：既是轴对称图形，也是中心对称图形 判定 (1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形； (2)四条边相等的四边形是菱形； (3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形 （一） （二） （三） （四） （五） 面积 S＝底×高＝BC·h＝mn(m，n分别为对角线的长，h为BC边上的高). 拓展：对于对角线互相垂直的四边形，都适用菱形的面积公式S＝mn(m，n分别为对角线的长) 2.如图，将一张矩形纸片对折，再对折，然后沿着虚线剪下，打开剪下的部分得到四边形ABCD.     (1)你发现这个四边形一定是______ (填形状)，判定的依据是___________________________； （一） （二） （三） （四） （五） 菱形 四条边相等的四边形是菱形 (2)若∠BAD＝60°，则∠ACB＝____°，∠ABD＝_____°； (3)若BD＝6，AC＝8，则菱形ABCD的周长为________，面积为____，菱形ABCD的边AB上的高为________. （一） （二） （三） （四） （五） 30 60 20 24 （一） （二） （三） （四） （五） (三)正方形的性质与判定 概念 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. （一） （二） （三） （四） （五） 性质 (1)具有平行四边形、矩形和菱形的一切性质； (2)四个角都是直角，四条边都相等； (3)对角线互相垂直平分且相等，对角线平分一组对角； (4)对称性：既是轴对称图形，也是中心对称图形 （一） （二） （三） （四） （五） 判定 (1)有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形； (2)有一组邻边相等的矩形是正方形； (3)有一个角是直角的菱形是正方形； (4)对角线相等的菱形是正方形； (5)对角线互相垂直的矩形是正方形 面积 S＝a2＝l2(a为正方形的边长，l为正方形对角线的长) 3.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上一点，且AB＝AE＝2，连接BE，则∠ABE＝__________°，AC＝_____，OE＝_________ （一） （二） （三） （四） （五） 67.5 2 2－ . 4.将矩形纸片按如图所示的方式折叠，使点A恰好落在BC上的点F处，折痕为BE，将纸片沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其用到的判定方法是_____________________________. （一） （二） （三） （四） （五） 有一组邻边相等的矩形是正方形 （一） （二） （三） （四） （五） (四)特殊图形之间的关系 （一） （二） （三） （四） （五） (五)拓展 中点四边形结论：中点四边形的面积等于原图形面积的一半. 原图形 的形状 任意 四边形 对角线相等的四边形 对角线垂直的四边形 对角线垂直且相等的四边形 矩形 菱形 正方形 中点四边 形的形状 平行 四边形 菱形 矩形 正方形 菱形 矩形 正方形 考点1 考点2 考点3 考点1　矩形的性质与判定[8年4考] 例1：【一题多问】四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O. 考点1 考点2 考点3 (1)如图①，OA＝OB＝OC＝OD，①若过点O作OE⊥BD交BC于点E，AB＝5，BE＝7，则CE的长为______. ②若过点A作AE⊥BD，垂足为E，AE＝3，ED＝3BE，则AB的值为______. 2 2 考点1 考点2 考点3 (2)如图②，若对角线AC⊥BD，AC＝12，BD＝9，则四边形ABCD各边中点连线构成的四边形EFGH的面积为____.[2024漳州二模改编] 27 考点1 考点2 考点3 例2：如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°. (1)求证：四边形ABDF是矩形； 考点1 考点2 考点3 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BA∥CF，∴∠BAE＝∠FDE. ∵E是AD的中点，∴AE＝DE. 在△BEA和△FED中， ∴△BEA≌△FED，∴EF＝EB.又∵AE＝DE，∴四边形ABDF是平行四边形. ∵∠BDF＝90°，∴四边形ABDF是矩形. 考点1 考点2 考点3 (2)若AD＝10，BD＝8，求△BCF的面积. 解：由(1)得四边形ABDF是矩形，∴AB＝DF，BF＝AD＝10. ∵∠BDF＝90°，∴DF＝＝＝6， ∴AB＝6.∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝6， ∴CF＝CD＋DF＝6＋6＝12， ∴S△BCF＝×CF×BD＝×12×8＝48. 考点1 考点2 考点3 考点2　菱形的性质与判定[8年5考] 例3：已知四边形ABCD是菱形.[2022，2023福建中考，2024厦门三模联合改编] (1)如图①，AB＝10，∠B＝60°，则AC的长为____； ① 10 考点1 考点2 考点3 (2)如图②，AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连接OE， AC＝6，BD＝8，则OE＝____； ② 考点1 考点2 考点3 (3)如图③，将△ABC绕点C旋转到△DEC的位置，若AB＝AC，AB＞BC，CB平分∠ACD.求证：四边形ABDC是菱形. ③ 证明：由题意知△ABC≌△DEC，∴AC＝DC. ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，AB＝DC. ∵CB平分∠ACD，∴∠ACB＝∠DCB， ∴∠ABC＝∠DCB，∴AB∥CD. ∴四边形ABDC是平行四边形. 又∵AB＝AC，∴四边形ABDC是菱形. 考点1 考点2 考点3 例4：如图，菱形ABCD的边长为4，E，F分别是边BC，CD上的动点，∠BAC＝∠EAF＝60°， 连接EF，交AC于点G. (1)求证：AE＝AF； 几何画板视频 考点1 考点2 考点3 证明：∵∠BAC＝∠EAF＝60°， ∴∠BAC－∠EAC＝∠EAF－∠EAC， 即∠BAE＝∠CAF.∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC， ∵∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，AB＝AC. ∵AB∥CD，∴∠ACF＝∠BAC＝60°，∴∠ACF＝∠B，∴△BAE≌△CAF，∴AE＝AF. 考点1 考点2 考点3 (2)若BE＝1，则AG的值为____ .[2023三明二模节选] 考点1 考点2 考点3 考点3　正方形的性质与判定[8年3考] 例5：如图，正方形ABCD的面积为4，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH的面积为_______.[2024福建4分] 2 考点1 考点2 考点3 例6：已知正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.若AE＝2，则FM的长为_______. [2024南平二模改编] 5 考点1 考点2 考点3 △CDM △DMF 2 4 8 8－x (8－x)2　 5 5 考点1 考点2 考点3 例7：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，且AE⊥BF，AE＝BF.求证：矩形ABCD是正方形.[2024福州第十九中学模拟节选] 考点1 考点2 考点3 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ADE＝90°，∴∠ABF＋∠AFB＝90°. ∵AE⊥BF，∴∠DAE＋∠AFB＝90°.∴∠ABF＝∠DAE. 在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE， ∴AB＝AD， ∴矩形ABCD是正方形. 【变式题】如图，在正方形ABCD 中， E是BC上一点，连接AE，过点B作BH⊥AE，垂足为H，延长BH交CD于点F. (1)求证：AE＝BF； 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠C＝90°， ∴∠ABH＋∠CBF＝90°.∵AE⊥BF，∴∠AHB＝90°， ∴∠BAE＋∠ABH＝90°， ∴∠BAE＝∠CBF，∴△ABE≌△BCF，∴AE＝BF. 考点1 考点2 考点3 考点1 考点2 考点3 (2)若E是边BC的中点，连接DH，求证：DH＝AD. 证明：如图，延长AD， BF交于点M. ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD＝AD，AD∥BC. 由(1)知△ABE≌△BCF，∴BE＝CF.∵E是边BC的中点，∴BE＝BC＝CD＝CF， ∴DF＝CF.∵AD∥BC，∴∠CBF＝∠AMB.又∵∠DFM＝∠CFB，∴△MDF≌△BCF， ∴DM＝BC＝AD，∴D是AM的中点，又∵△AHM是直角三角形，∴DH＝AM＝AD. 例8：现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板两直角边所在直线分别与直线BC、CD交于点M、N. (1)如图①，若点O与点A重合， 则OM与ON的数量关系是 __________； 考点1 考点2 考点3 OM＝ON 几何画板视频 (2)如图②，若点O在正方形的中心(即两条对角线交点)，则(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由. 解：仍然成立. 理由：如图②，连接AC，BD. ∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOC＝90°，BO＝CO， ∠OBM＝∠OCN＝45°. 考点1 考点2 考点3 考点1 考点2 考点3 又∵∠MON＝90°，∴∠BOM＋∠MOC＝∠MOC＋∠CON＝90°， ∴∠BOM＝∠CON. 在△BOM和△CON中， ∵∠OBM＝∠OCN，BO＝CO，∠BOM＝∠CON， ∴△BOM≌△CON(ASA)，∴OM＝ON. 考点1 考点2 考点3 正方形常见的基本图形： 1 2 3 4 1.添加下列一个条件，能使如图所示的▱ABCD成为菱形的是( ) A.AB＝CD B.AC＝BD C.AB＝BC D.∠BAD＝90° C 1 2 3 4 2.如图，矩形ABCD的边BC上有一动点E，连接AE、DE，以AE、DE为边作▱AEDF.在点E从点B移动到点C的过程中，▱AEDF的面积[2024莆田砺志学校模拟8分]( ) A.先变大后变小 B.先变小后变大 C.一直变大 D.保持不变 D 1 2 3 4 3.如图，正方形ABCD的边长为2，F为对角线AC上的一点，当∠CBF＝22.5°时，AF的长是( ) A.2－2 B. C.2 D. C 1 2 3 4 4.如图，菱形ABCD的周长为20，面积为24，P是对角线BD上的一点，分别作点P到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE＋PF等于 _______. 4.8 EV录屏3.9.7软件录制 Lavf56.38.102 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn EV录屏3.9.7软件录制 Lavf56.38.102 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn $$