2025年中考复习数学教材梳理第4章 三角形课件

第四章 三角形 第24课时　锐角三角函数与解直角三角形的应用 教材梳理篇 知识过关 1 课堂精讲——聚焦福建中考 2 当堂小练 3 教材梳理篇 （一） （二） (一)锐角三角函数 1. 定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°，如图， ∠A的正弦：sin A＝＝； ∠A的余弦：cos A＝＝； ∠A的正切：tan A＝＝. （一） （二） 2. 特殊角的三角函数值： （一） （二） α sin α cos α tan α 30° 45° 1 60° 1. 如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sin A＝____，cos A＝____，tan A＝_____. 　 　 　 （一） （二） 2. 计算： (1)tan 45°＋sin 60°＝_____； (2)2sin 30°cos 45°＝____； (3)若2cos A＝1，则锐角∠A＝____°. 　 　 60 （一） （二） （一） （二） (二)解直角三角形及实际应用 1. 解直角三角形中的边角关系(如图)： (1)三边关系：a2＋b2＝c2(勾股定理)； (2)两锐角关系：∠A＋∠B＝90°； (3)边角关系：sin A＝cos B＝， cos A＝sin B＝，tan A＝，tanB＝； (4)面积关系：S＝ab＝ch. （一） （二） （一） （二） 2. 解直角三角形的实际应用： 仰角、俯角 坡角、坡度(坡比) 方向角 （一） （二） 视线在水平线上方的角叫仰角； 视线在水平线下方的角叫俯角 坡角为α； 坡度(坡比)为i＝ ＝tan α 点A在点O的北偏东60°方向上； 点B在点O的北偏西20°方向上； 点C在点O的南偏东45°(东南)方向上 （一） （二） 3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边. (1)若a＝5 cm，∠A＝45°，则∠B＝_____，c＝________； 45° 5 cm (2)若c＝10 cm，∠B＝30°，则 a＝_________，b＝______； (3)若a＝4 cm，c＝8 cm，则cos A＝_____， tan A＝______，tan B＝_____； (4)若a＝b，则sin B＝___，tan A＝____，tan B＝____. （一） （二） 5 cm　 5 cm 　 　 　 　 　 　　 考点1 考点2 考点3 考点1　锐角三角函数[8年3考] 例1：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则sinA＝( )[2023厦门一中一模4分] A. B. C. D. D 例2：如图，在4×4的正方形网格中，小正方形的顶点称为格 点. 若△ABC的顶点都在格点上，则cos∠ABC的值是____. 考点1 考点2 考点3 　 考点1 考点2 考点3 例3：已知α是锐角，tan(15°＋α)＝1，则α＝____°. [2024厦门思明区槟榔中学模拟改编] 例4： 计算：(1)cos245°＋tan 60°cos 30°；　　 解：原式＝＋×＝＋＝2. 30 考点1 考点2 考点3 计算：(2)＋tan 30°. 解：原式＝÷＋＝×＋＝－1＋＝－1. 考点1 考点2 考点3 考点2　解直角三角形[8年6考] 例5：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90° ，点D在AC上，∠DBC＝∠A. 若AC＝4，cos A＝，则BD的长度为______. 　 【变式题】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是边AB上的一点，若AD＝AB，则tan∠DCB＝___. [2024泉州一模4分] 考点1 考点2 考点3 　 考点1 考点2 考点3 考点3　解直角三角形的应用[8年4考] 例6：如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44 cm，则高AD约为__________(参考数据：sin 27°≈0.45，cos 27°≈0.89，tan 27°≈0.51) 11.22 cm 例7：如图，某商场自动扶梯AB的坡度i＝1∶2. 5，过点B作BC⊥AD，垂足为C. 若AC的长为10米，则高度BC为__米. [2024泉州一模4分] 考点1 考点2 考点3 4 考点1 考点2 考点3 例8：如图，测绘飞机在同一高度沿直线BC由B向C飞行，且飞行路线经过观测目标A的正上方. 在第一观测点B处测得目标A的俯角为60°，航行1 000米后在第二观测点C处测得目标A的俯角为75°. [2023莆田霞林中学一模8分] (1)求∠A的度数； 解：∵∠B＝60°，∠ACB＝75°，∴∠A＝180°－∠B－∠ACB＝180°－60°－75°＝45°. 考点1 考点2 考点3 (2)求第二观测点C与目标A之间的距离. 解：如图，过点C作CD⊥AB于点D， ∵∠B＝60°，BC＝1 000米， ∴在Rt△BCD中，CD＝BC·sin 60°＝1 000×＝500(米)， 考点1 考点2 考点3 ∴在Rt△ACD中，AC＝＝＝500(米)，故第二观测点C与目标A之间的距离为500 米. 考点1 考点2 考点3 例9：如图，一艘海轮自西向东航行，在点B处 时测得海岛A位于其北偏东67°方向上，航行12 海里后到达C点，又测得小岛A在其北偏东45° 方向上. 已知位于海岛A的周围8海里内有暗礁， 如果海轮不改变航线继续向东航行，那么它有没有触礁的危险？请说明理由. [2023厦门一模8分] 考点1 考点2 考点3 解：没有触礁的危险. 理由如下：过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADC＝90°. 由题意，知∠ABD＝90°－67°＝23°，∠ACD＝90°－45°＝45°，BC＝12海里， 设AD＝x海里，在Rt△ADC中，∠ACD＝45°， ∴CD＝AD＝x海里， ∴BD＝BC＋CD＝(12＋x)海里， 考点1 考点2 考点3 在Rt△ADB中，∠BAD＝90°－∠ABD＝67°， ∴tan∠BAD＝＝≈，解得x≈ 海里. ∵＞8，∴没有触礁的危险. 考点1 考点2 考点3 例10：如图，某旅游风景区有一座海拔为680 m的山峰，游览路线为：从山脚下海拔为0 m的A处先步行爬山400 m到达登山缆车的起点B；再从B处乘坐登山缆车到达山顶C. 已知步行登山路线AB的坡角为30°，登山缆车的轨道与水平线的夹角为37°. 考点1 考点2 考点3 (1)求登山缆车起点B的高度； 解：如图，过点C作CF⊥水平线于点F，过点B作BD⊥AF于点D，过点B作BE⊥CF于点E，则四边形BDFE是矩形. 在Rt△ABD中，∠ADB＝90°， ∠A＝30°，AB＝400 m， ∴EF＝BD＝AB＝200 m. 答：登山缆车起点B的高度为200 m. 考点1 考点2 考点3 (2)若登山缆车的行驶速度为40 m/min，则从B处乘坐登山缆车到达山顶C大约需要多长时间？(参考数据：sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，tan 37°≈0.75)[2024厦门二模8分] 解：在Rt△BCE中，∠BEC＝90°，∠CBE＝37°， CE＝680－200＝480 (m)， ∴BC＝≈800， ∴＝20(min). 答：从B处乘坐缆车到达山顶C处大约需要20 min. 1 2 3 1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，则cos A的值是 [2024龙岩长汀二模4分]( ) A. B. 2 C. D. D 1 2 3 2. 某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度BC. 如图，无人机在P处测得正前方河流的点B处的俯角∠DPB＝α，点C处的俯角∠DPC＝45°，点A，B，C在同一条水平直线上. 若AP＝45 m，tan α＝3，则河流的宽度BC为 [2024福州格致中学模拟4分]( ) A. 30 m B. 25 m C. 20 m D. 15 m A 1 2 3 3. 如图，在一坡度为i＝1∶的斜面上，一木箱沿斜面向上推进了10米，则木箱升高了___米. 5 $$第四章 三角形 第17课时　线段、角、相交线与平行线 教材梳理篇 研究 维度 三角形 相交线与平行线 一般 三角形 全等、相似 三角形 数量 关系： 线(段)、 角 特殊 三角形 几何测量问题 三角形基本性质 等腰三角形 直角三角形 等边三角形 等腰直角三角形 关系 研究维度 角、边、重要线段、面积 全等三角形是特殊的相似三角形 两角一边两边一角三边 特殊三角形性质、全等和相似三角形、锐角三角函数 解决 问题 位置 关系： 平行、 垂直 判定 性质 全章纵览 知识过关 1 课堂精讲——聚焦福建中考 2 当堂小练 3 教材梳理篇 （一） （二） （三） （四） （五） (一)线段的相关概念及运算 两个基本事实 (1)两点确定一条直线； (2)两点之间，线段最短 （一） （二） （三） （四） （五） 线段的中点 如图，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点，则AM＝BM＝ AB 两点间的距离 连接两点间的线段的长度 （一） （二） （三） （四） （五） 线段的 和与差 如图，点B是线段AC上的一点，则有AB＝AC－BC，BC＝AC－AB， AC＝AB＋BC 1. 如图，从A地到B地，路径______最短，用数学原理解释是______________________. ② 两点之间，线段最短 （一） （二） （三） （四） （五） 2. 如图，点C在线段AB上，点M是AC的中点，点N是BC的中点. (1)若AC＝8 cm，BC＝4 cm，则MN的长为___cm； (2)若AB＝a cm，则MN的长为______cm. 6 a （一） （二） （三） （四） （五） （一） （二） （三） （四） （五） (二)角的有关概念及运算 1. 定义： ①有公共端点的两条射线组成的图形. ②一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. （一） （二） （三） （四） （五） 2. 相关概念及运算： 角的表示方法 角的分类 周角(360°)＞平角(180°)＞钝角＞直角(90°)＞锐角＞0° （一） （二） （三） （四） （五） 角的单位转化 1°＝60'，1'＝60″ 角平分线 如图，射线OB在∠AOC内部，若 ∠BOC＝∠AOB，则OB是∠AOC 的平分线 余角与补角 ①α的余角为90°－α； ②α的补角为180°－α. 性质：同角或等角的余角(补角)相等 3. 如图，O是直线AB上一点，OD是∠AOB的平分线，∠1＝∠2＝31°. (1)∠AOD＝∠______＝ ∠______＝____°； (2)∠AOE＝____°， ∠EOB＝_____°； BOD AOB 90 59 121 （一） （二） （三） （四） （五） 4. 如图，三条直线两两相交，∠1＝75°. (1)∠2＝_____°，∠3＝____°； (2)∠3与∠5是_____角，∠4与∠8是_____角，∠4与_____是同旁内角. 105 75 内错 同位 ∠5 （一） （二） （三） （四） （五） （一） （二） （三） （四） （五） (四)平行线的性质与判定 基本事实及推论 基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，即若a∥b，b∥c，则a∥c （一） （二） （三） （四） （五） 性质与判定 两直线平行 同位角相等 两直线平行 内错角相等 两直线平行 同旁内角互补 平行线间的距离 两条平行线间的距离处处相等. 注意：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 $$第四章 三角形 第21课时　全等三角形 教材梳理篇 知识过关 1 课堂精讲——聚焦福建中考 2 当堂小练 3 教材梳理篇 （一） （二） (一)全等三角形的概念及性质 1. 概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 2. 性质： (1)全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等； (2)全等三角形的对应线段(角平分线、高、中线、中位线)相等； (3)全等三角形的周长相等、面积相等. 1. 如图，把△ABC沿直线AC翻折，翻折后的图形与△ADC重合，则△ABC≌________，AB的对应边是_____，∠BCA的对应角是________. △ADC AD ∠DCA （一） （二） （一） （二） (二)全等三角形的判定 符号表示 判定依据 图形 SSS (边边边) 三边分别相等的两个三角形全等(基本事实) （一） （二） 符号表示 判定依据 图形 SAS (边角边) 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 (基本事实) ASA (角边角) 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 (基本事实) （一） （二） 符号表示 判定依据 图形 AAS (角角边) 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 HL(斜边、 直角边) 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 2. 如图，已知线段AB、CD相交于点O，OA＝OB，要使△OAC≌△OBD. (1)若利用SAS，需补充一个条件：_________； （一） （二） OC＝OD (2)若利用ASA，需补充一个条件：__________； (3)若利用AAS，需补充一个条件：__________； (4)当AB⊥CD时，若利用HL，需补充一个条件：___________. （一） （二） ∠A＝∠B ∠C＝∠D AC＝BD 重点拓展：全等三角形的常见模型 平移型 BE＋EC＝EC＋CF　 BC＝CF　　BE－CE＝CF－CE 轴对称型 　 （一） （二） 中心对称型 旋转型 　 　 　 （一） （二） 弦图型 内弦图→　 外弦图　　　 “一线三等角”模型 解题 思路 (1)找公共角、垂直、对顶角、等腰等条件得对应角相等； (2)找公共边、中点、等底角、相等边、线段的和差等条件得对应边相等 （一） （二） 考点1 考点2 考点3 考点1　全等三角形的性质 例1：如图，已知△ABC≌△DEF，则以下结论不正确的是( ) A. AB＝DE B. ∠A＝∠D C. AC＝EF D. BF＝CE C 考点1 考点2 考点3 考点2　全等三角形的判定 例2：小明用如图所示的方法测量小河的宽度，他利用适当的工具，使AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，BO＝OC，点A、O、D在同一直线上，就能保证△ABO≌△DCO，可作为证明△ABO≌△DCO的依据的是( ) A. SSS B. ASA C. SAS D. HL B 例3： 如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，与地面组成△ABC. 固定住长木棍AB，转动短木棍AC，得到△ABD(B，C，D三点共线). 这个试验说明了有两边和其中一边的对角分别相等的两个三边形_______全等. (填“一定”或“不一定”) 考点1 考点2 考点3 不一定 考点1 考点2 考点3 考点3　全等三角形的性质与判定[8年8考] 类型1：平移型 例4：如图，B、B'、C、C'四点共线，BB'＝CC'，AB＝A'B'，AC＝A'C'，求证：∠A＝∠A'. [2023福州一中模拟改编] 证明：∵BB'＝CC'，∴BB'＋B'C＝CC'＋B'C， ∴BC＝B'C'， 在△ABC和△A'B'C'中， ∴△ABC≌△A'B'C'，∴∠A＝∠A'. 考点1 考点2 考点3 【变式题】如图，∠ACB＝∠DFE，BC＝EF，AF＝DC. 求证：AB∥DE. [2024厦门一中二模8分] 考点1 考点2 考点3 证明：∵AF＝DC，∴AF＋CF＝DC＋CF，即AC＝DF. 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF，∴∠A＝∠D，∴AB∥DE. 类型2：对称型 例5：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上，∠AEB＝∠AFD，求证：BE＝DF. [2024福建8分] 考点1 考点2 考点3 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D. 又∵∠AEB＝∠AFD，∴△ABE≌△ADF， ∴BE＝DF. 【变式题1】如图，OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB. 求证：AB＝CD. [2023福建8分] 考点1 考点2 考点3 证明：∵∠AOD＝∠COB，∴∠AOD－∠BOD＝∠COB－∠BOD，即∠AOB＝∠COD. ∴△AOB≌△COD，∴AB＝CD. 在△AOB和△COD中， 【变式题2】如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF. 求证：Rt△ABF≌Rt△DCE. 考点1 考点2 考点3 证明：∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF， 即BF＝CE. 考点1 考点2 考点3 ∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL). 在Rt△ABF和Rt△DCE中， 例6：如图，点D在AB边上(不与点A，B重合)，E在AC边上(不与点A，C重合)，连接BE，CD，BE与CD相交于点O，AB＝AC，∠B＝∠C. 有以下三个结论：①BE＝CD；②BO＝CO；③DO＝EO. 请选一个结论进行证明. [2024莆田城厢区一模8分] 考点1 考点2 考点3 解：选①，证明：在△ABE和△ACD中， ∴△ABE≌△ACD(ASA)， ∴BE＝CD. (或选②，证明：在△ABE和△ACD中， ∴△ABE≌△ACD(ASA)，∴AD＝AE. 又∵AB＝AC，∴AB－AD＝AC－AE，即BD＝CE，在△BOD和△COE中，， ∴△BOD≌△COE(AAS)，∴BO＝CO. 考点1 考点2 考点3 或选③，证明：在△ABE和△ACD中， ∴△ABE≌△ACD(ASA)，∴AD＝AE，BE＝CD，又∵AB＝AC，∴AB－AD＝AC－AE， 考点1 考点2 考点3 即BD＝CE，在△BOD和△COE中，，∴△BOD≌△COE(AAS)，∴BO＝CO， ∴CD－CO＝BE－BO，即DO＝EO) 考点1 考点2 考点3 类型3：旋转型 例7：数学活动课上，小亮同学用四根相同的火柴棒AB，BC，CD，DE在桌面上摆成如图所示的图形，其中点A，C，E在同一直线上，BC⊥CD，若AE＝10，则点B，D到直线AE的距离之和为 [2024厦门翔安区三模4分]( ) A. 5 B. 2 C. 5 D. 10 考点1 考点2 考点3 A 例8：如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为斜边AB上一点(不与点A，B重合)，AD＜BD，连接CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE，连接BE、DE. (1)求证：△ACD≌△BCE； 考点1 考点2 考点3 证明：由题意得CD＝CE，∠DCE＝90°. ∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DCE， ∴∠ACD＋∠DCB＝∠DCB＋∠BCE， ， ∴△ACD≌△BCE(SAS). 考点1 考点2 考点3 ∴∠ACD＝∠BCE. 在△ACD和△BCE中， (2)若AC＝4，AD＝1，求DE的长. [2024莆田城厢区砺成中学一模8分] 考点1 考点2 考点3 解：∵△ACD≌△BCE，∴BE＝AD＝1， ∠CBE＝∠A. ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠A＝∠ABC＝45°，∴∠CBE＝45°， ∴∠DBE＝∠CBE＋∠ABC＝90°. 由题易得 AB＝AC＝8，∴BD＝AB－AD＝7， ∴在Rt△DBE中，DE＝＝5 . 考点1 考点2 考点3 1 2 1. 如图，在△ABC中，∠BAC＝135°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E. 当点A、D、E在同一条直线上时，下列结论不正确的是[2023南平一模4分]( ) A. △ABC≌△DEC B. AE＝AB＋CD C. AD＝AC D. AB⊥AE B 1 2 2. 如图，在△ABC中，D是边BC上的点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE＝DF，CE＝BF. 求证：∠B＝∠C. [2021福建8分] 证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠DEC＝∠DFB＝90°. 在△DFB和△DEC中， ∴△DFB≌△DEC(SAS)，∴∠B＝∠C. $$第四章 三角形 第18课时　三角形、多边形 教材梳理篇 知识过关 1 课堂精讲——聚焦福建中考 2 当堂小练 3 教材梳理篇 （一） （二） （三） (一)三角形的有关概念及性质 1. 三角形的分类 ①按边分 ②按角分：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形. 2. 三角形的边角关系 （一） （二） （三） (2)角的关系： ①内角和定理：三角形三个内角的和等于180°. ②内、外角关系：任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，大于任何一个和它不相邻的内角. (1)三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. (3)边角关系：在同一个三角形中，等边对等角，等角对等边，长边对大角，短边对小角. （一） （二） （三） 3. 三角形具有稳定性. 1. 如图，已知△ABC. (1)若AB＝4，AC＝6，则BC长的取值范围是___________； 2＜BC＜10 （一） （二） （三） (2)若∠2＝75°，∠3＝30°，则∠1的度数为______，∠4的度数为_______，此时按边分类，△ABC的形状是___________； (3)若∠1∶∠2∶∠3＝1∶2∶3， 则△ABC的形状是__________. 75° 105° 等腰三角形 直角三角形 （一） （二） （三） （一） （二） （三） (二)与三角形有关的重要线段 图示 性质及重要结论 中线 (1)BD＝CD＝ BC，S△ABD＝S△ADC； (2)重心：三角形三条中线的交点； (3)重心到顶点的距离和到对边中点的距离之比为2∶1； (4)中线将三角形分割成面积相等(等底同高)的两个三角形 图示 性质及重要结论 高 (1)AD⊥BC，即∠ADB＝∠ADC＝90°； (2)垂心：三角形三条高的交点 角平分线 (1)∠1＝∠2＝∠BAC； (2)内心：三角形三条角平分线的交点； (3)内心到三角形三边的距离相等 （一） （二） （三） 图示 性质及重要结论 中位线 (1)AD＝BD，AE＝CE， DE∥BC且DE＝BC； (2)遇到中点时，常构造三角形的中位线，可以利用其证明线段平行或倍分问题 拓展：外心是三角形三条边的垂直平分线的交点. （一） （二） （三） 2. 如图，已知△ABC，AD是BC边上的中线. (1)若AB＝3，AC＝5，则△ACD与△ABD的周长差为___； (2)若△ABC的面积为12，则△ACD的面积为___. 2 6 （一） （二） （三） 3. 如图，AE是BC边上的高，AD是∠BAC的平分线，∠B＝30°，∠C＝70°，则∠DAE＝____°. 20 （一） （二） （三） 4. 如图，若D为AB的中点，E为AC 的中点，且∠ABC＝60°，BC＝4，则∠ADE＝____°，DE＝___； 60 2 （一） （二） （三） （一） （二） （三） (三)多边形 1. 内角和定理：n边形的内角和为(n－2)×180°. 3. 对角线：n边形共有条对角线. 2. 外角和定理：n边形的外角和为360°. 4. 正多边形：(1)正n边形的每个内角都相等且每一个内角为或180°－； (2)每一个外角为； (3)正n边形是轴对称图形，有n条对称轴；当n为偶数时，正n边形还是中心对称图形. （一） （二） （三） 5. 如图，六边形ABCDEF为正六边形. (1)它的内角和为______，每个内角的度数为______，每个外角的度数为_____； （一） （二） （三） 720° 120° 60° (2)∠α＝____°； (3)正六边形有___条对称轴. （一） （二） （三） 60 6 考点1 考点2 考点3 考点1　三角形的有关概念及性质[8年2考] 例1：若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是 [2023福建4分]( ) A. 1 B. 5 C. 7 D. 9 B 考点1 考点2 考点3 【变式题】若三角形的三边长分别为4，2x＋1，11，则x的取值范围是__________. [2024福州屏东中学二模改编] 例2：具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是 [2023南平一模4分]( ) A. ∠A＝∠B＝3∠C B. ∠A＋∠B＝∠C C. ∠A＝∠B＝∠C D. ∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 3＜x＜7 A 考点1 考点2 考点3 例3：将一把直尺与一块含有30°角的三角尺按如图所示的方式放置，若∠2＝125°，则∠1的度数为______. [2023漳浦一模改编] 25° 考点1 考点2 考点3 【变式题】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝45°，点D，E分别在边BC，AB上，∠AED＝105°，则∠EDC的度数为______. [2024福州屏东中学二模4分] 120° 考点1 考点2 考点3 考点2　与三角形有关的重要线段[8年6考] 例4： 如图，D是△ABC的边BC上任意一点，E是线段AD的中点，F是CE的中点，且△ABC的面积为40，则△BEF的面积为_____. 10 考点1 考点2 考点3 例5：如图，在△ABC中，AB＝18，BC＝16，CE⊥AB于点 E，CE＝12，点D在BC上移动，则AD的最小值是____ . 　 考点1 考点2 考点3 例6： 如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠A＝100°，则x的值为_____. 140 考点1 考点2 考点3 如图，BP是∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角∠ACM的平分线，若∠ABP＝20°，∠ACP＝60°，则∠A－∠P＝_____. 40° 考点1 考点2 考点3 如图，△ABC的两个外角的平分线交于点D，若∠D＝α，则∠C的度数为__________. [2023福州十六中三模改编] 180°－2α 考点1 考点2 考点3 例7：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O是△ABC的重心，延长CO交AB于点D，若OD＝1，则AB＝___. [2024泉州二模4分] 6 考点1 考点2 考点3 例8： 如图，A，B两地被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，怎样测算出A，B两地之间的实际距离？请说明理由. 考点1 考点2 考点3 解：如图，取AC的中点E，BC的中点F， 连接EF，量得EF的长，则A，B两地之间 的实际距离为EF的长的2倍. 理由：∵E，F分别是AC， BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝AB，即AB＝2EF. 考点1 考点2 考点3 考点3　多边形[8年7考] 例9：如果一个多边形的每一个外角都是30°，那么这个多边形的边数为____. [2024宁德二模4分] 例10：如图所示的六边形是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC＝____°. 12 30 考点1 考点2 考点3 【变式题】如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角形，则∠AFC的度数为_______. 126° 1 2 3 1. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，EF，BG分别是△ABC的中位线和中线，则下列结论不一定正确的是( ) A. AG＝EF B. BG＝EF C. CG＝BG D. AE＝CF D 1 2 3 2. 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图所示的正五边形ABCDE，则∠ABD的度数为______. [2024厦门第一中学二模4分] 72° 1 2 3 3. 如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE为∠ABC的平分线，若∠BFC＝110°，则∠BCF的度数为______. 50° $$第四章 三角形 第19课时　等腰三角形 教材梳理篇 知识过关 1 课堂精讲——聚焦福建中考 2 当堂小练 3 教材梳理篇 （一） （二） (一)等腰三角形的性质与判定 图示 性质 判定 等腰三角形 ①等腰三角形的两个底角相等(简述为“等边对等角”)； ②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简述为“三线合一”)； ③等腰三角形是轴对称图形 ①有两边相等的三角形是等腰三角形(定义)； ②有两个角相等的三角形是等腰三角形(简述为“等角对等边”) 常见结论： 1. 等腰三角形两腰上的高相等. （一） （二） 2. 等腰三角形两腰上的中线相等. 3. 等腰三角形的两底角平分线相等. 4. 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半. 5. 等腰三角形顶角的邻补角的平分线与底边平行. (1)若∠A＝110°，则∠C＝______； (2)若∠A＝80°，则∠C＝__________________； (3)若△ABC的两边长分别是3和6，则它的周长为____. 2. 在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝70°，则△ABC是______三角形. 35° 20°或80°或50° 15 等腰 （一） （二） （一） （二） (二)等边三角形的性质与判定 图示 性质 判定 等边三角形 ①三边相等； ②三个内角都相等，并且每一个角都等于60°； ③是轴对称图形，有3条对称轴； ④三线合一 ①三边都相等的三角形是等边三角形(定义)； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 3. 如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，垂足为D，则∠ABD ＝____°，AD与BC的数量关系为____________________________. （一） （二） 30 AD＝BC(或BC＝2AD) 4. 在△ABC中，AB＝AC＝1 cm，当BC＝__cm时，△ABC是等边三角形. （一） （二） 1 考点1 考点2 考点1　等腰三角形的性质与判定[8年9考] 例1：如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于 [2020福建4分]( ) A. 10 B. 5 C. 4 D. 3 B 例2：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转90° 得到△DEC，连接BE，则∠BED的度数为 [2024厦门思明区一模4分]( ) A. 45° B. 30° C. 22.5° D. 15° 考点1 考点2 D 例3：如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，∠A＝40°，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，则∠ABE＝____°. [2023莆田霞林学校一模4分] 考点1 考点2 30 例4：在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(0，1)和(－2，2)，以AB为腰作等腰三角形ABC，若该等腰三角形的对称轴垂直于x轴，则点C的坐标为________________. [2023厦门思明区三模4分] 考点1 考点2 (－4，1)或(2，2) 例5：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D. 若DE∥AB交AC于点E，求证：△ADE是等腰三角形. 考点1 考点2 证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD. ∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE， ∴∠CAD＝∠ADE， 即∠EAD＝∠ADE， ∴AE＝DE，∴△ADE是等腰三角形. 例6： 如图，在△ABC中，△ABC的周长为18，BC＝7，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF平行于BC，分别交AB，AC于点E，F. (1)求证：△DFC是等腰三角形； 考点1 考点2 证明：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCB. ∵EF∥BC，∴∠FDC＝∠DCB，∴∠ACD＝∠FDC， ∴FD＝FC，∴△DFC是等腰三角形. (2)求△AEF的周长. 考点1 考点2 解：∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠DBC， ∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠EDB， ∴EB＝ED. 由(1)知FC＝FD. ∵△ABC的周长为18，BC＝7， ∴AB＋AC＝18－7＝11. ∴AE＋BE＋AF＋CF＝11， ∴AE＋DE＋AF＋DF＝11， 即AE＋AF＋EF＝11，即△AEF的周长为11. 考点1 考点2 考点2　等边三角形的性质与判定[8年4考] 例7：如图，在等边三角形ABC中，AB＝2，BD⊥AC于点D，延长BC至点E，得CE＝CD，则∠E＝____°， BE的长为__，△ABC的面积为_____. [2024福州三模改编] 30 3 等边三角形的面积公式： h＝a S＝ah＝a2 考点1 考点2 【变式题】如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠EDC＝______. 考点1 考点2 15° 例8：如图，在一个池塘旁有一条笔直公 路MN，池塘对面有一个建筑物A，小明在 公路一侧点B处测得∠ABN＝60°，为了 得到他与建筑物A之间的距离，小明沿公 路MN继续向东走到点C处，测得∠ACB＝60°，并测得他走了48米，则AB＝___米. 考点1 考点2 48 【变式题】如图，将△ABC绕点A顺时针旋转 60°得到△AED，若AB＝4，AC＝3，BC＝2，则BE的长为___. 考点1 考点2 4 例9：【一题多问】如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC＝12 cm，M，N分别从点A，B同时出发，按顺时针方向沿三角形的边运动. 已知点M的运动速度为1 cm/s，点N的运动速度为2 cm/s. 当点N第一次到达点B时，M、N同时停止运动. 设运动时间为t(t＞0)s. 考点1 考点2 (1)当t＝____s时，M、N两点重合； (2)当t＝___s时，△AMN为等边三角形； (3)当t＝__________s时，点M、N与△ABC中的某一顶点构成等腰三角形. 考点1 考点2 12 4 4或8或16 例10： 如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使得AD＝BE＝CF. 求证：△DEF是等边三角形. 考点1 考点2 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC. ∵AD＝BE＝CF，∴AC－CF＝AB－AD，即AF＝BD. 在△ADF和△BED中， ∴△ADF≌△BED(SAS)，∴DF＝DE， 同理可证DE＝EF，∴DE＝DF＝EF. ∴△DEF是等边三角形. 考点1 考点2 1 2 3 4 5 1.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠ACD的度数为( ) A. 70° B. 100° C. 110° D. 140° C 1 2 3 4 5 2.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D. 若BC＝2，则AD的长为___. 2 1 2 3 4 5 3.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE的度数为______. 15° 1 2 3 4 5 4.如图，已知等边三角形ABC，O是 BC 上任意一点，OE、OF 分别与两边垂直，等边三角形的高为 1，则 OE＋OF 的值为___. 1 1 2 3 4 5 5.如图，飞机从A地向正北方向飞行1 400 km到达B地，再从B地沿东偏南30°的方向飞行1 400 km到达C地，则A、C两地的距离是多少千米？ 解：由题意得∠CBD＝30°，∠ABD＝90°， ∴∠ABC＝∠ABD－∠CBD＝60°. ∵AB＝1 400 km，BC＝1 400 km，∴AB＝BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝1 400 km. 即A、C两地的距离是1 400 km. $$第四章 三角形 第20课时　直角三角形 教材梳理篇 知识过关 1 课堂精讲——聚焦福建中考 2 当堂小练 3 教材梳理篇 直角三角形的性质与判定 图示 性质 判定 直角三角形 1. 直角三角形的两个锐角互余； 2. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 1. 有一个角是直角的三角形是直角三角形； 2. 有两个角互余的三角形是直角三角形； 图示 性质 判定 直角三角形 3. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 4. 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 3. 勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 面积： SRt△ABC＝ ch＝ ab(其中a，b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高) 1. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD为BC边上的高，AE为BC边上的中线. (1)若∠B＝50°，则∠C＝______； (2)若AE＝1，则BC＝___； 40° 2 (3)若∠C＝30°，AB＝2，则BC＝___，BD＝___； (4)若AB＝3，BC＝5，则AC＝___，S△ABC＝___，AD＝____. 2. 在△ABC中，∠A＝∠B＝45°，BC＝1，则AB的长为___. 4 1 4 6 　 考点1 考点2 考点3 考点1　直角三角形的性质[8年6考] 例1：如图，某同学将一副三角尺随意摆放在桌上，则图中∠1＋∠2的度数是( )[2024福州屏东中学模拟4分] A. 75° B. 80° C. 90° D. 105° C 例2：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CH，CM分别是斜边AB上的高和中线，则下列结论不正确的是 [2024福州第十九中模拟4分]( ) A. AM＝CM B. ∠AHC＝90° C. ∠ACH＝∠B D. MC＝BC 考点1 考点2 考点3 D 例3：如图，将含30°角的三角尺的直角顶 点C放在一把直尺的一边上，顶点B在直尺 的另一边上，AC与直尺的另一边交于点D， 当BD平分∠ABC时，B，D两点在直尺上的 读数分别为7 cm，1 cm，则直尺的宽为________cm. [2024厦门同安区三模4分] 考点1 考点2 考点3 　 例4：把两个同样大小的含45°角的三角 尺按如图所示的方式放置，其中一个三角 尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于 点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同 一直线上. 若AB＝，则CD＝________. [2018福建4分] 考点1 考点2 考点3 －1　 考点1 考点2 考点3 考点2　直角三角形的判定 例5：一个三角形三边的比是3∶4∶5，那么这个三角形是 [2024南平光泽一模4分]( ) A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 不能确定 C 【变式题】有下列条件：①∠A＋∠B＝∠C；②∠A∶∠B∶ ∠C＝1∶5∶6；③∠A＝90°－∠B；④∠A＝∠B＝∠C. 其中能确定△ABC是直角三角形的条件有 [2023漳浦县一模4分]( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 考点1 考点2 考点3 C 例6：阅读以下解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状. 上述解题过程，开始出现错误的步骤的序号为______， 考点1 考点2 考点3 ③ 错误的原因是___________________________，请写出正确的解题过程. [2023龙岩上杭模拟4分] 考点1 考点2 考点3 解：正确的解题过程： ∵a2c2－b2c2＝a4－b4， ∴c2＝， 则c2－＝0， 没有考虑到a2－b2＝0的情况 即＝0， ∴＝0或c2－＝0， ∴a＝b或c2＝a2＋b2， ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形. 考点1 考点2 考点3 考点1 考点2 考点3 考点3　勾股定理的应用 例7： 《九章算术》中有一道 “引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央， 出水一尺. 引葭赴岸，适与岸齐. 问水深、葭长各几 何？”题意是：有一个水池，其水面是边长为10尺的 正方形，一根芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺. 如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'(如图)，则水深为____尺. 12 例8：综合实践：阅读下列材料，解答问题. 任务：如图①，现要测量某校旗杆的高度(系在旗杆顶端的绳子垂到地面，并多出一小段). 工具：一把皮尺(测量长度不到旗杆高度的一半). 李明所在的学习小组测量过程和部分求解过程如下(如图②)： 考点1 考点2 考点3 测量过程： 步骤1：测得多出一小段绳子的长度为a m； 步骤2：将绳子拉直，绳子末端与地面接触点为A， 测得A点到旗杆底部C点的距离AC＝b m. 部分求解过程： 设旗杆的高度BC＝h m， ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴BC2＋AC2＝AB2. ∵AC＝b m，AB＝(h＋a)m，∴h2＋b2＝(h＋a)2. 考点1 考点2 考点3 (1)根据李明所在的学习小组的求解过程，请直接写出旗杆的 高度h＝________m(用含a，b的代数式表示)； (2)李明所在的学习小组的求解过程所用到的几何知识是___________； 考点1 考点2 考点3 　　 勾股定理 (3)请你利用所提供的工具，通过2次测量，设计另外一种方案，写出你的测量过程和求解过程. (测量得到的长度用字母m，n表示)[2024三明三模10分] 考点1 考点2 考点3 解：测量过程：如答图，将绳子末端拉至点D处，测得绳子末端到旗杆的距离为DE＝m m，到地面的距离为DF＝n m. 解答过程：设旗杆的高度BC＝h m，则BD＝h m，易知， CE＝DF＝n m，∴ BE＝BC－CE＝(h－n)m， 在Rt△DBE中， ∠DEB＝90°，DE＝m m， ∴(h－n)2＋m2＝h2，解得h＝ m. 考点1 考点2 考点3 1. 如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2 km. 据此，可求得学校与工厂之间的距离AB等于( ) A. 2 km B. 3 km C. 2 km D. 4 km D 1 2 3 4 5 6 2. 已知｜a－6｜＋(2b－16)2＋＝0，则以a、b、c为三边的三角形的形状是______________. 直角三角形 1 2 3 4 5 6 3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AC的中点. 若AB＝8，则DE的长是 _____. [2024厦门二模4分] 4 1 2 3 4 5 6 4. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，则点D到BC的距离是___. [2023长汀第四中学一检4分] 2 1 2 3 4 5 6 5. 出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建. 主要内容为“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝，BC＝12，D为BC边上的一动点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则根据出入相补原理，我们可 以发现，DE＋DF为定值，则DE＋DF的值为_____. [2024厦门金鸡亭中学二模改编] 　 1 2 3 4 5 6 如图，连接AD， 过点A作AH⊥BC于点H，∵AB＝AC＝，BC＝12，∴BH＝CH＝BC＝6，∴AH＝＝，∴S△ABC＝×12×＝15. ∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴S△ABC＝S△ABD＋S△ACD＝AB·DE＋AC·DF＝15，∴××＝15，∴DE＋DF＝. 1 2 3 4 5 6 6. 下面是用面积关系证明勾股定理的两种拼接图形的方法，请选择其中一种，完成证明. 方法一：如图①，大正方形的边长为(a＋b)，小正方形的边长为c. 证明如下： 由题图可得(a＋b)2＝4×ab＋c2， ∴a2＋2ab＋b2＝2ab＋c2， ∴a2＋b2＝c2. 1 2 3 4 5 6 方法二：如图②，大正方形的边长为c，小正方形的边长为(b－a). 证明如下：由题图可得4×ab＋(b－a)2＝c2， ∴2ab＋a2－2ab＋b2＝c2， ∴a2＋b2＝c2. $$第四章 三角形 第22课时　相似三角形的性质(不含位似) 教材梳理篇 知识过关 1 课堂精讲——聚焦福建中考 2 当堂小练 3 教材梳理篇 （一） （二） (一)比例线段 1. 比例的基本性质 ①基本性质：如果＝，那么ad＝bc(bd≠0). ②合比性质：如果＝，那么＝(bd≠0). ③等比性质：如果＝＝…＝(bd·…·n≠0且b＋d＋…＋n≠0)，那么＝. （一） （二） 2. 黄金分割：一般地，点C把线段AB分 成两条线段AC和BC(AC＞BC)，如果 ＝，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点(如图)， AC与AB的比叫做黄金比，即＝＝≈0.618. （一） （二） 3. 平行线分线段成比例 (1)定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. (2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例. （一） （二） 1. 已知＝＝≠0，则的值为___. 2. 如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相 交于点G，AG＝2，DG＝1，DF＝5， 则＝___，＝___. 　 2 　 （一） （二） （一） （二） (二)相似三角形和相似多边形 1. 相似三角形的性质与判定 (1)性质： ①相似三角形的对应角相等，对应边成比例； ②相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比； ③相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. (2)判定： ①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； ②两角分别相等的两个三角形相似； ③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ④三边成比例的两个三角形相似. （一） （二） 2. 相似多边形的性质 (1)相似多边形的对应角相等，对应边成比例(对应边的比叫做相似比). (2)相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. （一） （二） 3. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，则△ADE∽________，当＝时，＝____，＝___， ＝_____. （一） （二） △ABC 　 　 　 4. 如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，则相似比为______，a＝____，∠D＝_____°. （一） （二） 1∶2 10 135 重点拓展：相似三角形的常见模型 A字型 特征：有一个公共角. (1)A字型 已知：DE∥BC 结论：＝＝ （一） （二） A字型 (2)反A字型 已知：∠AED＝∠B 结论：＝＝ （一） （二） A字型 (3)反A字型(共边共角)　 已知：∠ACD＝∠B 结论：①＝＝ ②AC2＝AD·AB （一） （二） A字型 (4)双垂直型 已知：△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AD⊥BC 结论：①AB2＝BD·BC ②AC2＝CD·BC ③AD2＝BD·CD （一） （二） 8字型 特征：有一组隐含的等角(即对顶角相等). (1)8字型 已知：AB∥CD 结论：＝＝ （一） （二） 8字型 (2)反8字型 已知：∠A＝∠D 结论：＝＝ （一） （二） 旋转型 特征：有一个公共顶点的一组角相等. (1)旋转不相交型 已知：∠BAC＝∠DAE (或∠BAD＝∠CAE)， ∠B＝∠D(或∠C＝∠E) 结论：△ABC∽△ADE　 （一） （二） 旋转型 (2)旋转相交型 已知：∠BAC＝∠DAE (或∠BAD＝∠CAE)， ∠B＝∠D(或∠C＝∠E) 结论：△ABC∽△ADE （一） （二） K字型 特征：两个三角形的一条边在一条直线上，并且有一个顶点重合. (1)一线三垂直型 已知：∠B＝∠ACE＝∠D＝90° 结论： ①△ABC∽△CDE ②AB·DE＝BC·CD　　 （一） （二） K字型 (2)一线三等角型 已知：∠B＝∠ACE＝∠D＝α 结论： ①△ABC∽△CDE ②AB·DE＝BC·CD （一） （二） 考点1 考点2 考点1　比例线段 例1：若3a＝4b，则下列比例式成立的是 [2023三明一模4分]( ) A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ A 例2：如图，已知l1∥l2∥l3，l4与l1，l2，l3分别交于A，B，C三点，l5与l1，l2，l3分别交于D，E，F三点. 若AB＝1，BC＝2，AD＝DE＝，则图中长度为3的线段是 [2024厦门二模4分]( ) A. EF B. DF C. BE D. FC 考点1 考点2 A 考点1 考点2 例3：如图，点C是线段AB的黄金分割点，即＝ ，若S1表示以CA为边的正方形的面积，S2表示长 为BD，宽为CB的矩形的面积，且BD＝AB，则S1与 S2的大小关系是( ) A. S1＞S2 B. S1＜S2 C. S1＝S2 D. 无法确定 C 考点1 考点2 考点2　相似三角形的性质与判定[8年8考] 例4：如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别为BC、CD的中点，BF、DE相交于点G，过点E作EH∥CD，交BF于点H，则线段GH的长度是[2024福州一模4分]( ) A. B. 1 C. D. A 例5：如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在AB边上，点E在AC边上且AD＜AE. 只需添加一个条件即可证明△ABC∽△AED，这个条件可以是________________________________(写出一个即可). [2023福州一检4分] 考点1 考点2 答案不唯一，如∠ADE＝∠C 例6：如图，在△ABC中，D是边AB上的一点，DE∥BC，连接BE. 从下列条件中，选择一个合适的条件：①∠E＝∠ABC；②＝；③＝，求证：△EDB∽△ABC. [2024福州华伦中学一模8分] 考点1 考点2 解：选择②. 证明：∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠ABC. ∵＝，∴△EDB∽△ABC. 例7：已知△ABC∽△DEF，它们的面积比为4∶9，AM是△ABC的角平分线，DN是△DEF的角平分线. (1)求证：△ABM∽△DEN； 考点1 考点2 证明：由题意得AM是∠BAC的平分线，DN是∠EDF的平分线， ∴∠BAM＝∠BAC，∠EDN＝∠EDF. ∵△ABC∽△DEF，∴∠ABM＝∠DEF，∠BAC＝∠EDF，∴∠BAM＝∠EDN，∴△ABM∽△DEN. (2)求的值. [2024福州四中模拟8分] 考点1 考点2 解：∵△ABC∽△DEF，且＝， ∴＝＝. ∵△ABM∽△DEN，∴＝＝. 例8：如图，在正三角形ABC中，D是边BC上任意一点，且∠ADE＝60°. (1)求证：△ABD∽△DCE； 考点1 考点2 证明：∵△ABC是正三角形， ∴∠B＝∠C＝60°. 又∵∠ADE＝60°，∴∠BAD＋∠BDA＝∠BDA＋∠EDC＝120°， ∴∠BAD＝∠CDE，∴△ABD∽△DCE. (2)若AB＝3，BD＝1，求AE的长. [2023厦门名校联考二模8分] 考点1 考点2 解：∵△ABC是正三角形，AB＝3， ∴BC＝AC＝AB＝3，∴CD＝BC－BD＝2， 由(1)知△ABD∽△DCE，∴＝，即＝， ∴CE＝，∴AE＝AC－CE＝3－＝. 考点1 考点2 例9：如图，在△ABC与△ADE中，∠ABC＝∠ADE，且∠BAD＝∠CAE. (1)△ABC与△ADE相似吗？如果相似，请说明理由； 解：相似，理由如下： ∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD＋∠DAC＝ ∠CAE＋∠DAC，即∠BAC＝∠DAE. 又∵∠ABC＝∠ADE，∴△ABC∽△ADE. 考点1 考点2 (2)连接BD，若B、D、E三点共线，记AC与DE的交点为H，AE＝2， BC＝5，△AEH的面积为1，试求△BCH的面积. 解：由(1)知△ABC∽△ADE，∴∠E＝∠C， 又∵∠AHE＝∠BHC，∴△AEH∽△BCH， ∴＝＝＝. ∵△AEH的面积为1，∴△BCH的面积为. 考点1 考点2 相似三角形判定的思路 1. 利用平行线、对顶角、公共角、公共边，找等角、对应边成比例. 2. 有一组等角，找：①另一组等角；②该角的两邻边对应成比例. 3. 有两组边对应成比例，找：①夹角相等；②第三组边对应成比例. 1 2 3 4 5 1. 如图，DE∥BC，BD∶CE＝3∶2，AD＝9，则AE的长为 [2023三明一检4分]( ) A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 C 1 2 3 4 5 2. 如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到的两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是( ) 2∶1 1∶2 C. 3∶2 D. ∶1 D 1 2 3 4 5 3. 若＝，则＝____ . 　 1 2 3 4 5 4. 如图，△ABC平移得到△A'B'C'，A'B'交AC于点M，B'C'交AC于点N，两个三角形重叠部分△MB'N的面积为△ABC面积的一半，则的值为_____. [2024莆田中学一模4分] 　 1 2 3 4 5 5. 如图，一块直角三角尺的直角顶点P放在正方形ABCD的BC边上，并且使一条直角边经过点D，另一条直角边与AB交于点Q. 请写出一对相似三角形，并加以证明. (图中不添加字母和线段) 解：△BPQ∽△CDP， 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°， ∴∠QPB＋∠BQP＝90°. ∵∠QPD＝90°， ∴∠QPB＋∠DPC＝90°， ∴∠DPC＝∠PQB，∴△BPQ∽△CDP. $$第四章 三角形 第23课时　相似三角形的应用 教材梳理篇 课堂精讲——聚焦福建中考 1 当堂小练 2 教材梳理篇 考点　相似三角形的实际应用 类型1：测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决，常用方法： 平面镜测量法　　 影子测量法　 标杆测量法　　 手臂测量法 例1：如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小明同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退(保持脚、镜子和旗杆底端在同一直线上)，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶端. 已知小明的眼睛离地面的高度为1.6 m，同时量得小明与镜子的水平距离为2 m，镜子与旗杆的水平距离为10 m，则旗杆的高度为( ) A. 6.4 m B. 8 m C. 9.6 m D. 12.5 m B 例2：如图，小明在A时测得某树的影长为8 m，B时又测得该树的影长为2 m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为( ) A. 2 m B. 4 m C. 6 m D. 8 m B 例3：福建省会福州拥有“三山两塔一条江”，其中报恩定光多宝塔(别名白塔)，位于于山风景区. 利用标杆可以估算白塔的高度. 如图，标杆BE高2 m，测得AB＝1.6 m，BC＝34.68 m，白塔的高CD为_______m. 45.35 例4：某旅游景点内有一座塔，小亮打算测量 它的高度. 如图，小亮拿着一部长为16 cm的 手机(图中CD＝16 cm)站在广场上离该塔121 m 的点F处(即FB＝121 m)，他把手机竖直并将手 臂向前伸(即CD∥AB)，手机上下两端恰好挡住他观察该塔的视线(即点A、C、E在一条直线上，点B、D、E在一条直线上)，已知点E到手机CD的距离为30 cm，AB⊥BF，EF⊥BF，图中所有的点都在同一平面内，求该塔的高度AB. (精确到0.1 m) 解：如图，过点E作EM⊥CD，垂足为M，延长EM交AB于点H， ∵CD∥AB，∴EH⊥AB，△ECD∽△EAB， ∴＝. 由题知CD＝16 cm，EM＝30 cm， EH＝BF＝121 m＝12 100 cm， ∴＝，∴AB≈6 453 cm≈64.5 m. 答：该塔的高度AB约为64.5 m. 类型2：测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离， 常构造如下两种相似三角形求解： 1. 如甲图所示，通常可先测量图中 的线段DC、BD、CE的距离(长度)，根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2. 如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 例5：在一次测量活动中，为了测量河两岸A地与B地之间的距离，某研究性学习小组建立了如图所示的数学模型，∠ABD＝∠CDE＝90°，测得DE＝50 m，DC＝20 m，BC＝40 m，则A地与B地之间的距离为( ) A. 80 m B. 50 m C. 100 m D. 100 m C 例6：下表是小明填写的综合实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度AB. [2023三明一模8分] 题目 测量河流宽度AB 目标示意图 测量数据 BC＝1.5 m，BD＝10 m，DE＝1.8 m 解：由示意图知CB⊥AD，ED⊥AD， ∴∠ABC＝∠ADE＝90°. 又∵∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE， ∴＝. ∵BC＝1.5 m，BD＝10 m，DE＝1.8 m， ∴＝， ∴AB＝50 m，即河流的宽度AB为50 m. 类型3：三角形内接矩形问题 例7：有一块三角形铁片ABC，BC＝12，高AH ＝8，按图①②两种设计方案把它加工成一块矩 形铁片DEFG，且要求矩形的长是宽的2倍，为 了减少浪费，加工成的矩形铁片的面积应尽量 大些. 请你通过计算判断两种设计方案哪个更好. 解：方案一更好. 设方案一中DE＝x，易得△ADG∽△ABC， ∴＝， ∴＝，解得x＝，∴2x＝， ∴矩形铁片的面积为； 设方案二中DE＝2y，同上易得＝，解得y＝3， ∴矩形铁片的面积为18. ∵＞18， ∴方案一更好. 【变式题】某数学探究小组以“设计矩形生态农业观光园”为主题开展数学实践活动. 如图所示的是一块三角形田地，数学探究小组沿着道路BC设计矩形生态农业观光园，观光园的顶点P、N分别在边AB、AC上. (1)若AP＝52，BP＝28，BC＝60，请求出矩形生态农业观光园PN边的长； 解：在矩形观光园PEFN中，PN∥EF， ∴PN∥BC， ∴△APN∽△ABC，∴＝. ∵AP＝52，BP＝28，BC＝60， ∴PN＝·BC＝39. (2)设BC＝a，点A到道路BC的距离为h，矩形观光园PEFN的面积是否存在最大值？若存在，请用含a，h的代数式表示其最大面积；若不存在，请说明理由. [2024泉州泉港区三模改编] 解：矩形观光园PEFN的面积存在最大值. 设PE＝x，则点A到PN的距离为h－x， ∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC， ∴＝，即＝，∴PN＝a－x， ∴S矩形PEFN＝PE·PN＝x＝－x2＋ax＝－＋， ∴当PE＝时，S矩形PEFN取得最大值，为. 1 2 3 1. 小明做“小孔成像”实验. 如图，蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离是带“小孔”的纸板与光屏之间距离的一半，当蜡烛火焰的高度AB为1.6 cm时，所成的像A'B'的高度为( )[2024三明一模4分] A. 0.8 cm B. 2.4 cm C. 3.2 cm D. 4.8 cm C 1 2 3 2. 台球是用球杆在台上击球，依靠计算得 分确定比赛胜负的室内体育运动. 如图是一 张宽为m米，长为2m米的矩形台球桌ABCD， 某球员击位于AB的中点E处的球，球沿EF射 向边AD，然后反弹到C点的球袋，球的反弹规律满足光的反射 定律. 若球的速度为v米/秒，则球从击出到入袋的时间为____ 秒(用含m和v的式子表示). [2024厦门双十中学二模4分] 　 1 2 3 3. 手影游戏利用的物理原理：光是沿直线传播的，图①中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏. 在一次游戏中，小明距离墙壁2米，爸爸拿着的光源与小明的距离为4米，如图②所示，若在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，请问小明与光源的距离应如何调整？ 1 2 3 解：如答图①，点O为光源，AB表示小明的手，CD表示小狗手影，则AB∥CD，过点O作OE⊥AB，延长OE交CD于点F，则OF⊥CD. 1 2 3 ∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC， ∴△AOB∽△COD，∴＝. ∵EF＝2米，OE＝4米，则OF＝6米， ∴＝＝， 可设AB＝2k，CD＝3k， 1 2 3 在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，如答图②， 则有AB＝2k，C'D'＝6k，△C'O'D'∽△AO'B， ∴＝＝. ∵O'F'＝6米，则O'E'＝2米， ∴OE－O'E'＝4－2＝2(米)， ∴小明与光源的距离应减少2米. $$