2025年九年级中考复习数学教材梳理第3章 函　数课件

第三章 函　数 第10课时　变量与函数 教材梳理篇 知识过关 1 课堂精讲——聚焦福建中考 2 当堂小练 3 教材梳理篇 （一） （二） (一)函数的相关概念 1.函数的概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们称y是x的函数. （一） （二） 2.自变量的取值范围：自变量的取值应使函数关系式有意义，同时在实际问题中，应使实际问题有意义. 类型 分式型 偶次根型 分式＋偶次根型 自变量需满足 分母≠0 被开方数≥0 分母≠0且被开方数≥0 示例 y＝ （x≠－1） y＝ （x≥－1） y＝ （x＞－1） （一） （二） 3.函数值：如果当x＝a时，y＝b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值. （一） （二） 1.求下列函数自变量的取值范围. (1)y＝x2； 解：x为任意实数. （一） （二） (2)y＝； 解：根据题意，得x－1≠0，解得x≠1. (3)y＝. 解：根据题意，得x－2≥0，解得x≥2. （一） （二） 2.(1)当x＝5时，y＝3x－5的函数值是____； (2)当x＝5时，y＝的函数值是___； (3)当x＝5时，y＝的函数值是___. 10 2 （一） （二） (二)函数的表示方法及图象 2.函数的画图步骤：列表→描点→连线. 1.函数的表示方法：①列表法；②解析式法；③图象法. 考点1 考点2 考点1　函数的相关概念 例1： 汽车油箱中有汽油50 L，汽车的耗油量为0.1 L/km，如果不再加油，那么油箱中的油量y(单位：L)与行驶路程x(单位：km)之间的函数关系式为______________，自变量x的取值范围是____________.当汽车行驶200 km时，油箱中还剩_____L汽油. y＝50－0.1x 0≤x≤500 30 考点1 考点2 考点2　函数的表示方法及图象 例2：观察表1和表2，下列判断正确的是[2023福州鼓楼区三模4分]( ) 　　　表1　　　　　　　　　　　　　表2　　 A.y1是x的函数，y2不是x的函数 B.y1和y2都是x的函数 C.y1不是x的函数，y2是x的函数 D.y1和y2都不是x的函数 x －2 1 y1 1 2 3 4 x －2 2 －1 1 y2 4 1 C 考点1 考点2 观察题中的表格可知，一个x的值有两个y1的值与之对应，故y1不是x的函数，一个x的值有唯一的y2的值与之对应，故y2是x的函数. 考点1 考点2 例3：小明向各种空水壶内匀速注水，壶内水的深度h(单位：cm)与注水时间t(单位：s)的函数关系如图所示，选项中是各种水壶竖直放置的截面图，则小明使用的水壶是( )[2024福州格致中学一模4分] A 考点1 考点2 例4：【思维可视化】如图，折线表示王爷爷骑车离家的距离y(千米)与时间x的关系.王爷爷9：00离开家，15：00回到家.请你根据折线图回答下列问题. (1)【看“意义”】观察时间看_______________，观察距离看___________； 横轴(x轴) 纵轴(y轴) 考点1 考点2 (2)【看趋势】图中表示休息阶段的是________，骑行阶段的是__________，返程阶段的是______；(填序号) ②④ ①③⑤⑥ ⑤⑥ 考点1 考点2 (3)【看细节】____________________时间段离家最远，最远距离为____千米，第一次休息的时间段是________________，休息了____分钟，这时离家_____千米，11：00～12：30骑行了____千米； 12：30－13：30 45 10：30－11：00 30 30 15 考点1 考点2 (4)【看“速度”】9：00～10：30的平均速度为_____千米/时，11：00～12：30的平均速度为______千米/时，返回家时的平均速度是____千米/时，14：00时离家_____千米，回家路上，________时离家9千米. 20 10 30 18 14：30 考点1 考点2 识图“四看” 1.看“意义”——看图象横、纵坐标的实际意义； 2.看趋势——从左到右看，图象是上升、下降还是水平； 3.看细节——看图象的特征点，如起点、终点、交点、最高点、最低点等； 4.看“速度”——看倾斜程度，变化快的线条陡，变化慢的线条缓. 考点1 考点2 例5：德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在新事物学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的.如果把学习后的时间记为x(h)，记忆留存率记为y(％)，则根据实验数据可绘制出曲线(如图所示)，即著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”.该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响. 考点1 考点2 (1)在这个变化过程中，自变量是__________________； 学习后的时间 考点1 考点2 (2)请说明点D的实际意义； 解：点D的实际意义是学习后第24 h，记忆留存率为33.7％. 考点1 考点2 (3)根据图中信息，对新事物学习提出一条合理的建议. 解：(答案不唯一)由题图知，知识记忆遗忘先快后慢，故建议学习新事物、新知识后要及时复习，做到温故而知新. 1 2 3 1. 某科研小组用石油醚做溶剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分别研究提取时间t(min)和提取温度x(℃)对青蒿素提取率y(％)的影响，其结果如图所示： 由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别为( ) A.100 min，50 ℃ B.120 min，50 ℃ C.100 min，55 ℃ D.120 min，55 ℃ B 1 2 3 2.根据图中的程序，当自变量x的值由10变化到5时，因变量y的值由_____变化到_____. 50 41 1 2 3 3.有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质.小华根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究.下面是小华的探究过程，请补充完整： (1)函数y＝的自变量x的取值范围是__________________； x≥－2且x≠0 1 2 3 (2)下表是y与x的几组对应值，其中m的值为____； x －2 － －1 － 1 2 3 4 … y 0 － m － 1 … －1 1 2 3 (3)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以表中各组对应值为坐标的点.根据描出的点，画出该函数的图象. 解：如图. $$第三章 函　数 第16课时　反比例函数 教材梳理篇 知识过关 1 课堂精讲——聚焦福建中考 2 当堂小练 3 教材梳理篇 （一） （二） (一)反比例函数的概念、图象及性质 1.概念：形如y＝(k≠0，k为常数)的函数，叫做反比例函数.还可以写成xy＝k或y＝kx－1(k≠0)的形式. （一） （二） 2.图象及性质： k的符号 k＜0 k＞0 大致图象 所在象限 第二、四象限 第一、三象限 （一） （二） 增减性 在每一象限内，y随x的增大而增大 在每一象限内，y随x的增大而减小 对称性 关于直线y＝x或直线y＝－x成轴对称，关于原点成中心对称 图象特征 图象无限接近坐标轴，但与坐标轴永不相交(x≠0，y≠0) （一） （二） 1.(1)下列函数中，其图象位于第一、三象限的有_______(填序号)，在其图象所在每一象限内，y的值随x的值增大而增大的有_____(填序号)； ①y＝；②y＝； ③y＝；④y＝－. ①②③ ④ （一） （二） (2)已知点(2，y1)，(1，y2)在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2的大小关系为________(用“＜”号连接)； (3)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)在函数y＝－的图象上，若x1＜0＜x2＜x3，比较y1，y2，y3的大小，用“＜”号按从小到大的顺序排列为_____________. y1＜y2 y2＜y3＜y1 （一） （二） (二)反比例函数解析式的确定 1.利用k的几何意义确定反比例函数的解析式： k的几何意义：过双曲线y＝(k为常数，k≠0)上 任意一点P(x，y)分别作x轴、y轴的垂线段PA， PB，所得矩形PAOB的面积S＝｜xy｜＝｜k｜. （一） （二） 2.用待定系数法确定反比例函数的解析式： (1)设解析式为y＝(k≠0)； (2)找出反比例函数图象上的一点P(a，b)； (3)将P(a，b)代入解析式，得k＝ab； (4)确定反比例函数的解析式为y＝. （一） （二） 2.已知反比例函数y＝(k≠0)，点A在此函数图象上，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点B，点C. (1)若点M(－2，－3)在此函数图象上，则该反比例函数的解析式为_____； (2)若矩形ABOC的面积为5，则k的值为　 　. y＝ 5或－5 （一） （二） 3.填空. 一点一垂线(及变形)： S阴影＝_____ 一点两垂线(及变形)： S阴影＝_______ 两点一垂线： S阴影＝_____ 两点两垂线： S阴影＝______ ｜k｜ ｜k｜ ｜2k｜ ｜k｜ 2 考点1 考点2 考点3 考点4 考点1　反比例函数的概念、图象及性质[8年7考] 例1：反比例函数y＝在第一象限的图象如图所示，则k的值可能是[2023漳州模拟4分]( ) A.16 B.11 C.8 D.6 B 考点1 考点2 考点3 考点4 例2：若在反比例函数y＝的图象的每一支上，y都随x的增大而增大，则数m的取值范围是[2024福州一检4分]( ) A.m＞0 B.m＜0 C.m＞3 D.m＜3 D 考点1 考点2 考点3 考点4 例3：若反比例函数y＝的图象位于第一、三象限，A(－2，y1)、B(4，y2)、C(5，y3)是该图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是_____________(用“＜”连接).[2024莆田一检4分] y1＜y3＜y2 考点1 考点2 考点3 考点4 例4：如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝在第一象限的图象与☉O交于A，B两点，若点A(1，2)，则点B的坐标为________.[2024福建4分] (2，1) 考点1 考点2 考点3 考点4 考点2　反比例函数解析式的确定[8年3考] 例5：已知点A(1，2)，B(－2，a)在反比例函数的图象上，则a＝______.[2024宁德一检4分] －1 考点1 考点2 考点3 考点4 例6：在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝(x＞0)和反比例函数y＝(x＞0)的图象如图所示，一条垂直于x轴的直线分别交这两个反比例函数的图象于A，B两点，则△AOB的面积是[2024福州二检4分]( ) A. B. C. D. B 考点1 考点2 考点3 考点4 【变式题】如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y＝和y＝的图象的四个分支上，则实数n的值为[2023福建4分]( ) A.－3 B.－ C. D.3 A 考点1 考点2 考点3 考点4 例7：如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点A和C的坐标分别为(m，3)和(m＋2，9)，反比例函数y＝(x＞0)的图象同时经过点B与点D，则k的值为___.[2024厦门翔安区三模4分] 9 考点1 考点2 考点3 考点4 【变式题】如图，过原点的直线与反比例函数y＝和y＝的图象在第一象限内分别交于点A，B.过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥AC，交CA的延长线于点D.若△ABD的面积为，则k＝____.[2024莆田质检改编] 9 考点1 考点2 考点3 考点4 ◀思路引导▶ 考点1 考点2 考点3 考点4 考点3　反比例函数的实际应用 例8：在物理学中，电磁波(又称电磁辐射)是由同相振荡且互相垂直的电场与磁场在空间中衍生发射的振荡粒子波，随着5G技术的发展，依靠电磁波作为信息载体的电子设备被广泛应用于民用及军事领域.电磁波的波长λ(单位：m)会随着电磁波的频率f(单位：MHz)的变化而变化.下表是某段电磁波在同种介质中，波长λ与频率f的部分对应值： 考点1 考点2 考点3 考点4 该段电磁波的波长λ与频率f满足怎样的函数 关系？求出波长λ关于频率f的函数解析式. [2024漳州二检8分] 频率f(MHz) 5 10 15 20 波长λ(m) 60 30 20 15 考点1 考点2 考点3 考点4 解：由表格可知，频率f与波长λ的乘积为定值300，则电磁波的波长λ与频率f满足反比例函数关系， 且λ关于f的函数解析式为λ＝. 频率f(MHz) 5 10 15 20 波长λ(m) 60 30 20 15 考点1 考点2 考点3 考点4 考点4　反比例函数与一次函数的综合[8年1考] 例9：如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y1＝的图象与一次函数y2＝x－3的图象交于A，B两点，且点A的坐标为(4，m). 考点1 考点2 考点3 考点4 (1)求△AOB的面积； 解：∵一次函数y2＝x－3的图象过点A(4，m)， ∴m＝4－3＝1，∴A(4，1). 将点A(4，1)的坐标代入y1＝，得k＝4，∴y1＝. 考点1 考点2 考点3 考点4 设点B的坐标为(n，n－3)(n＜0)，将点B(n，n－3) 的坐标代入y1＝，得n－3＝，解得n1＝4(舍去)， n2＝－1，经检验，n＝－1是原方程的解. ∴B(－1，－4).设一次函数y2＝x－3的图象交y轴于点C，易得C(0，－3)， ∴S△AOB＝S△BOC＋S△AOC＝×3×1＋×3×4＝. 考点1 考点2 考点3 考点4 (2)若y1＞y2，结合图象，直接写出x的取值范围.[2023龙岩一检8分] 解：x＜－1或0＜x＜4. 1 2 1.公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了“杠杆原理”：杠杆平衡时，阻力×阻力臂＝动力×动力臂.当用撬棍撬动一块石头时，发现阻力和阻力臂分别为2 000 N和0.3 m，关于动力F和动力臂l，下列说法错误的是 ( ) A.F与l的积为定值 B.F随l的增大而减小 C.当l为1.2 m时，撬动石头至少需要500 N的力 D.F关于l的函数图象位于第一、三象限 D 1 2 2.如图，反比例函数y＝的图象的一支位于第一象限. (1)该函数图象的另一支在第____象限， k的取值范围是____； 三 k＞3 (2)点A在反比例函数的图象上，点A关于x轴 的对称点为点B，点A关于原点的对称点为点 C，若△ABC的面积为4，求k的值. 解：设A(m，n)， ∵点A与点B关于x轴对称，点A与点C关于原点O对称，∴B(m，－n)，C(－m，－n)，∴AB＝2n，BC＝2m. 易知BC∥x轴，AB⊥x轴，∴AB⊥BC. 1 2 ∵△ABC的面积为4， ∴S△ABC＝BC·AB＝·2m·2n＝2mn＝4， ∴mn＝2，∴k－3＝mn＝2，∴k＝5. 1 2 $$第三章 函　数 第12课时　一次函数的应用 教材梳理篇 课堂精讲——聚焦福建中考 1 当堂小练 2 教材梳理篇 考点1 考点2 考点3 考点4 考点1　从一次函数图象中获取信息 例1： 如图，l1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象填空： 考点1 考点2 考点3 考点4 (1)当销售量为2 t时，销售收入＝_____元，销 售成本＝_____元； (2)当销售量为6 t时，销售收入＝______元，销 售成本＝_____元； (3)当销售量等于____时，销售收入等于销售成本； 2 000 3 000 6 000 5 000 4 t 考点1 考点2 考点3 考点4 (4)当销售量_____时，该公司盈利(收入大于成本)，当销售量______时，该公司亏损(收入小于成本)； (5)l1对应的函数解析式是_______________，l2对应的函数解析式是____________________. ＞4 t ＜4 t y＝1 000x y＝500x＋2 000 考点1 考点2 考点3 考点4 例2：共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向3～10 km的出行市场.现有A，B两种品牌的共享电动车，收费y(元)与骑行时间x(min)之间的函数关系如图所示. (1)B品牌共享电动车骑行10 min后，每分钟收费 ___________； 0.1元 考点1 考点2 考点3 考点4 (2)求出A品牌共享电动车的收费y与骑行时间x之间的函数关 系式； 解：设A品牌共享电动车的收费y与骑行 时间x之间的函数关系式为y＝kx. ∵点(20，4)在该函数的图象上，∴20k＝4，解得k＝0.2， ∴A品牌共享电动车的收费y与骑行时间x之间的函数关系式为y＝0.2x. 考点1 考点2 考点3 考点4 (3)当两种收费相差1.4元时，求x的值.[2023漳 州质检10分] 解：当x＝10时，A品牌共享电动车的收费为0.2×10 ＝2(元)，B品牌共享电动车的收费为3元，此时两种收费相差3－2＝1(元)，结合题图可知，当两种收费相差1.4元时，可分为两种情况：在0～10 min内或20 min以后.①在0～10 min内时，3－0.2x＝1.4，解得x＝8.②在20 min以后时，易得B品牌共享电动车的收费y与骑行时间x之间的函数关系式为y＝0.1x＋2，则0.2x－(0.1x＋2)＝1.4，解得x＝34.因此x的值为8或34. 考点1 考点2 考点3 考点4 考点2　方案决策问题 例3：过去几年，某公司经历了重重考验，也在 挑战中不断成长，2024年该公司为促进生产，提 供了两种付给员工周报酬的方案，两种方案员工 得到的周报酬y(元)与员工生产的产品数量x(件)之间的关系如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同.结合图象解答下列 问题： 考点1 考点2 考点3 考点4 ◀思路引导▶ 在方案选择的应用题中，图象的______就是函数值大小比较的分界点(找______，分左右，谁高则谁大)，结合图象选择对应的取值范围，就是选择方案的依据. 交点 交点 (1)求方案二y关于x的函数解析式. 解：设方案二y关于x的函数解析式为y＝kx＋b 由题图可得该函数的图象经过点，， ∴把，代入y＝kx＋b，得 解得 ∴方案二y关于x的函数解析式为y＝20x＋600. 考点1 考点2 考点3 考点4 考点1 考点2 考点3 考点4 (2)如果你是该公司的员工，你该如何根据 自己的生产能力选择方案？ 解：由题图可得，若每周生产产品数量不足 30件，则选择方案二； 若每周生产产品数量为30件，两种方案报酬相同，可以任选 一种； 若每周生产产品数量超过30件，则选择方案一. 考点1 考点2 考点3 考点4 考点3　利用一次函数解决最值问题[8年3考] 例4：在爱心义卖活动中，厦门一中科创社团准备了小坦克模型(记作A)和工程车模型(记作B)共100台，已知售出3台A模型和2台B模型共收入130元，售出4台A模型和3台B模型共收入180元. (1)求两种模型每台的售价各是多少元； 考点1 考点2 考点3 考点4 解：设A、B模型每台的售价分别是x元和y元， 根据题意得解方程组得 答：A、B模型每台的售价分别是30元和20元. 考点1 考点2 考点3 考点4 (2)已知A模型的数量不超过B模型的2倍，在可以全部售出的情况下，准备两种模型各多少台时总收入最多，并求出总收入的最大值.[2024厦门一中模拟10分] 解：设准备A模型m台，总收入为w元，则 m≤2，解不等式得m≤66. 根据题意得w＝30m＋20＝10m＋2 000， 考点1 考点2 考点3 考点4 ∵10＞0，∴w随m的增大而增大， ∴当m＝66时，w有最大值，为10×66＋2 000＝2 660. 此时，100－m＝34， ∴准备A模型66台，B模型34台时总收入最多，总收入的最大值为2 660元. 考点1 考点2 考点3 考点4 考点4　在实际问题中建立函数模型 例5：综合与实践 某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识；第三小组负责汇报和交流.下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题. 考点1 考点2 考点3 考点4 【背景调查】 如图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观.榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示.板凳的结构设计体现了数学的对称美. 考点1 考点2 考点3 考点4 【收集数据】 小组收集了一些板凳并进行了测量.设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为x mm，凳面的宽度为y mm，记录如下： 以对称轴为基准向两边各取相同的长度x/mm 16.5 19.8 23.1 26.4 29.7 凳面的宽度y/mm 115.5 132 148.5 165 181.5 考点1 考点2 考点3 考点4 【分析数据】 如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点. 考点1 考点2 考点3 考点4 【建立模型】 请你帮助小组解决下列问题： (1)观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由. 考点1 考点2 考点3 考点4 解：在.设函数解析式为y＝kx＋b， ∵当x＝16.5时，y＝115.5，当x＝23.1时，y＝148.5， ∴解得 ∴函数解析式为y＝5x＋33， 经检验，其余点均在直线y＝5x＋33上， ∴这些点在同一条直线上，函数解析式为y＝5x＋33. 考点1 考点2 考点3 考点4 (2)当凳面宽度为213 mm时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？ 解：把y＝213代入y＝5x＋33，得 5x＋33＝213，解得x＝36， ∴当凳面宽度为213 mm时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度为36 mm. 1 2 1.某生物小组观察一植物生长，得到的植物高度y(单位：厘米)与观察时间x(单位：天)的关系如图所示(AC是线段，直线CD平行于x轴).下列说法正确的是( ) ①从开始观察时起，50天后该植物停止长高； ②直线AC的函数解析式为y＝x＋6； ③第40天时，该植物的高度为14厘米； ④该植物最高为15厘米. A.①②③　　　　　　 B.②④ C.②③　　　　　　 D.①②③④ A 1 2 2.每年5月份是白鹿原樱桃的成熟收获季，周末会有大量的游客前去采摘樱桃.某樱桃园推出两种收费方案，方案一：入园费25元，采摘的樱桃每千克15元；方案二：没有入园费，采摘的樱桃每千克20元. (1)分别写出方案一的费用y1(元)和方案二的费用y2(元)与采摘樱桃的质量x(千克)之间的函数关系式； 解：根据题意可得y1＝25＋15x，y2＝20x. 1 2 (2)请分析说明游客选择哪种方案更优惠. 解：当y1＞y2时，则有15x＋25＞20x，解得x＜5； 当y1＝y2时，则有15x＋25＝20x，解得x＝5； 当y1＜y2时，则有15x＋25＜20x，解得x＞5. 答：当x＞5时，方案一更优惠，当x＝5时，两种方案价格一样，当x＜5时，方案二更优惠. $$第三章 函　数 第15课时　二次函数的应用 教材梳理篇 考点1 考点2 考点3 考点1　抛物线形问题[8年8考] 例1： 如图是抛物线形拱桥，当 拱顶离水面2 m时，水面宽4 m.水面下降1 m， 水面宽度增加_________m. (例1图) (2－4) 考点1 考点2 考点3 例2：某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象如图所示.该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率P最大为_______W. 220 例3：某小组同学为了研究太阳照射下物体影长的变化规律，某日在学校操场上竖立一根直杆，经研究发现，当日该直杆的影长与时间的关系近似于二次函数，并在12：20，13：00，14：10这三个时刻，测得该直杆的影长分别约为0.49 m，0.35 m，0.44 m.根据该小组研究结果，下列关于当日该直杆影长的判断正确的是[2024厦门质检4分]( ) ◀思路引导▶ 描点画图 由图可知，二次函数的图象开口向上，对称轴在13：00～14：20之间. A.12：20前，直杆的影子逐渐变长 B.13：00后，直杆的影子逐渐变长 C.在13：00到14：10之间，还有某个时刻直杆的影长也为0.35 m D.在12：20到13：00之间，会有某个时刻直杆的影长达到当日最短 C 考点1 考点2 考点3 考点1 考点2 考点3 考点2　面积问题[8年1考] 例4：如图，用一段长为32 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，墙长为18 m，设这个苗圃园垂直于墙的一边AB的长为x m，苗圃园的面积为y m2.[2023厦门三模8分] (1)求y关于x的函数解析式. 考点1 考点2 考点3 解：由题意可知，平行于墙的一边BC的长为(32－2x) m， ∴y＝AB·BC＝x(32－2x)＝－2x2＋32x. ∵墙长为18 m，∴0＜32－2x≤18，∴7≤x＜16， ∴y关于x的函数解析式为y＝－2x2＋32x(7≤x＜16). 考点1 考点2 考点3 (2)当x为何值时，苗圃园的面积最大？最大面积为多少平方米？ 解：∵y＝－2x2＋32x＝－2(x－8)2＋128(7≤x＜16)， ∴当x＝8时，y取得最大值，此时y＝128， 即当x＝8时，苗圃园的面积最大，最大面积是128 m2. 考点1 考点2 考点3 例5：如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4 cm，BC＝8 cm，在△ABC的内部作一个矩形DBFE，其中DB，BF在两直角边上，设矩形的一边BF＝x cm. (1)AD＝________，BD＝___________； cm cm 考点1 考点2 考点3 (2)设矩形DBFE的面积为y cm2. ①求y与x的关系式； 解：由题意得0＜x＜8. ∵矩形DBFE的面积为y cm2，BF＝x cm，BD＝ cm， ∴y＝BF·BD＝x＝－x2＋4x， ∴y与x的关系式是y＝－x2＋4x. 考点1 考点2 考点3 ②当x取何值时，y的值最大？最大值是多 少？[2023宁德一检10分] 解：y＝－x2＋4x＝－＋8， 由二次函数的性质可知，在0＜x＜8的范围内，当x＝4时，y取得最大值，最大值为8. 考点1 考点2 考点3 考点3　利润最值问题 例6：某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，每涨价1元，月销售量就减少10千克. (1)写出月销售量y(单位：千克)与售价x(单位：元/千克)之间的函数关系式； 解：y＝500－10(x－50)＝1 000－10x. 考点1 考点2 考点3 (2)当售价x定为多少时，会获得最大月利润？并求出最大月利润. 解：设月利润为w元. ∴w＝ y(x－40)＝ (1 000－10x)(x－40)＝－10x2＋1 400x－40 000＝ －10(x－70)2＋9 000. 当x＝70时，w有最大值，此时w＝9 000. ∴当售价定为70元/千克时，会获得最大月利润，最大月利润为 9 000元. 考点1 考点2 考点3 例7：某水果店去年2至5月份销售甲、乙两种新 鲜水果，已知甲种水果每月售价y1(元/千克)与月 份x之间存在的反比例函数关系如下表所示. 时间x/月份 2 3 4 5 售价y1/(元/千克) 12 8 6 4.8 考点1 考点2 考点3 甲种水果进价为3元/千克，销售量P(千克)与月份x之间满足关系式P＝20x；乙种水果每月售价y2(元/千克)与月份x之间满足y2＝ax2＋bx＋4，对应的图象如图所示.乙种水果进价为3.5元/千克，平均每月销售160千克. (1)求y1与x之间的函数关系式； 考点1 考点2 考点3 解：设y1与x之间的函数关系式为y1＝， 把(2，12)代入，得12＝，解得k＝24， ∴y1与x之间的函数关系式为y1＝(2≤x≤5，x为整数). 考点1 考点2 考点3 (2)求y2与x之间的函数关系式； 解：把(2，6)，(4，4)代入y2＝ax2＋bx＋4，得 ∴y2与x之间的函数关系式为y2＝－x2＋2x＋4(2≤x≤5，且x为整数). 解得 考点1 考点2 考点3 (3)若水果店销售水果时需要缴纳0.2元/千克的税费，问该水果店哪个月销售甲、乙两种水果获得的总利润最大，最大利润是多少？[2024莆田一检10分] 解：设甲、乙两种水果获得的总利润为w元，则 w＝(y1－3－0.2)·P＋(y2－3.5－0.2)×160 ＝(－3－0.2)·20x＋(－x2＋2x＋4－3.5－0.2)×160 ＝－80x2＋256x＋528. 考点1 考点2 考点3 ∴该函数图象的对称轴为直线x＝－＝1.6. ∵－80＜0，∴当x＞1.6时，w随x的增大而减小. 又∵x为整数，∴当x＝2时，w有最大值，最大值为－80×4＋256×2＋528＝720. 答：水果店2月份销售甲、乙两种水果获得的总利润最大，最大利润是720元. $$第三章 函　数 第9课时　平面直角坐标系 教材梳理篇 全章纵览 变量之间的关系 建立数学模型 平面直角坐标系与函数 研究角度 概念 图象与性质 解析式的确定 图象的变换 实际问题 函数的实际应用 与方程(组)不等式的关系 数形 结合 一次函数 反比例函数 二次函数 知识过关 1 课堂精讲——聚焦福建中考 2 当堂小练 3 教材梳理篇 （一） （二） (一)平面直角坐标系中点的坐标特征 1.点的坐标的特征 (1)如图，点在象限内或坐 标轴上. （一） （二） (2)如图，点在各象限角平分线上. 第一、三象限角平分线上的点xA＝yA； 第二、四象限角平分线上的点xB＝ －yB. （一） （二） (3)如图，点在平行于坐标轴的直线上. （一） （二） 2.点的坐标的意义 (1)点到坐标轴及原点的距离(如图)： 点P到y轴的距离是｜x｜，即线段PM的长度. 点P到x轴的距离是｜y｜，即线段PN的长度. 点P到原点的距离是，即线段PO的长度. （一） （二） (2)两点间的距离及中点坐标： PH∥y轴，QH∥x轴，如图， 则PH＝｜yP－yH｜； QH＝｜xQ－xH｜；PQ＝； PQ中点G的坐标是. （一） （二） 1.填空： (1)点(－2，3)所在的象限是第___象限；点(0，－4)是_______上的点； (2)若P(6－3a，3a)在x轴上，则a＝___；若点P在第一象限，则a的取值范围是__________； 二 y轴 0 0＜a＜2 （一） （二） (3)若点E(a，2)在第一、三象限的角平分线上，则a＝____； (4)已知线段AB平行于x轴，且点A(－5，－10)，B(7，y)，则y＝______. (5)点B(2，－3)到x轴的距离为___，到y轴的距离为___； (6)P(1，2)，Q(－1，1)两点之间的距离为___，线段PQ的中点 坐标是_________. 2 －10 3 2 （一） （二） (二)点的坐标变换 1.点的平移变换(如图) （一） （二） 2.点的对称变换(如图) （一） （二） 2.已知点P(－1，2). (1)点P先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的点的坐标是_______； (2)点P关于x轴的对称点的坐标是__________； (3)点P关于原点的对称点的坐标是_________. (2，0) (－1，－2) (1，－2) 考点1 考点2 考点1　平面直角坐标系中点的坐标特征 例1：“凌波仙子生尘袜，水上轻盈步微月.”宋代诗人黄庭坚以水中仙女借喻水仙花.如图，将水仙花图置于正方形网格中，点A，B，C均在格点上.若点A(－2，3)，B(0，1)，则点C的坐标为[2024漳州二检4分]( ) A.(4，2) B.(2，2) C.(1，2) D.(2，1) C 考点1 考点2 例2：在平面直角坐标系中，点P所在的象限是[2023泉州泉港区模考4分]( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 B 考点1 考点2 例3：点M在第四象限，它到x轴的距离是1，到y轴的距离是4，则点M的坐标为__________.[2024福州一中模考4分] 例4：如图，在平面直角坐标系中，点A与原点O的连线OA与x轴正半轴的夹角为α，则sinα的值为_____.[2024三明二模4分] (4，－1) 考点1 考点2 例5：已知点A(a－2，2a＋6)在第二象限，则a的取值范围是____________.[2023福州杨桥中学三模4分] －3＜a＜2 考点1 考点2 考点2　点的坐标变换[8年1考] 例6：在平面直角坐标系中，矩形的三个顶点的坐标分别是 (－1，－1)，(－1，2)，(3，－1)，则第四个顶点的坐标是[2023福州一中一模4分]( ) A.(2，2) B.(3，2) C.(3，3) D.(2，3) B 考点1 考点2 【变式题】在平面直角坐标系xOy中，▱ABCD的对角线交于点O.若点A的坐标为(－2，3)，则点C的坐标为_________.[2024厦门一检4分] (2，－3) 考点1 考点2 例7：平面直角坐标系xOy中，A(1，0)，B(0，)，则坐标原 点O关于直线AB对称的点O'的坐标为__________. [2024龙岩二检改编] 考点1 考点2 例8：在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，1)，B(4，4)，C(5，1)，△A1B1C1是由△ABC绕点O顺时针旋转180°得到的(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形). (1)画出△A1B1C1； 解：如图，△A1B1C1即为所作. 考点1 考点2 (2)直接写出点B1，C1的坐标； 解：B1(－4，－4)，C1(－5，－1). 考点1 考点2 (3)将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB2C2，画出对应的图形，并直接写出B2，C2的坐标.[2024南平一检改编] 解：如图，△AB2C2即为所作. B2(－2，4)，C2(1，5). 1 2 3 1.如图，M是正六边形EFGHPQ的中心.在平面直角坐标系中，若点M的坐标为(0，0)，点E的坐标为(－1，0)，则点H的坐标为[2024厦门二检4分]( ) A.(－2，0) B.(1，1) C.(1，0) D.(2，0) C 1 2 3 2.点A(4，m)关于原点的对称点是B(－4，－2)，则m的值是___.[2024南平一检4分] 2 1 2 3 3.在平面直角坐标系中，已知点A(－2，a＋3)，B(b，b－3). (1)当点A在第二象限的角平分线上时，求a的值. 解：因为点A在第二象限的角平分线上，所以－2＋a＋3＝0，解得a＝－1，故a的值为－1. 1 2 3 (2)当点B到x轴的距离是它到y轴距离的2倍时，求点B的坐标. 解：因为点B到x轴的距离是它到y轴距离的2倍，所以｜b－3｜＝2｜b｜.当b－3＝2b时，b＝－3， 所以点B的坐标为(－3，－6)；当b－3＝－2b时，b＝1，所以点B的坐标为(1，－2). 综上所述，点B的坐标为(－3，－6)或(1，－2). 1 2 3 (3)当AB∥y轴，且AB＝4时，求a的值. 解：因为AB∥y轴，所以b＝－2，则b－3＝－5， 所以点B的坐标为(－2，－5).又因为AB＝4， 所以－5＋4＝－1或－5－4＝－9，则a＋3＝－1 或a＋3＝－9，解得a＝－4或a＝－12， 故a的值为－4或－12. $$第三章 函　数 第11课时　一次函数的图象和性质 教材梳理篇 知识过关 1 课堂精讲——聚焦福建中考 2 当堂小练 3 教材梳理篇 （一） （二） （三） （四） (一)一次函数的定义、图象与性质 1.定义：y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)，特别地，当b＝0时，y＝kx为正比例函数. （一） （二） （三） （四） 2.一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与性质： k＞0 k＜0 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 （一） （二） （三） （四） k决定直线的倾斜方向和倾斜程度，b决定直线与y轴的交点情况. （一） （二） （三） （四） 3.解析式与图象： y＝kx(k≠0)，图象是经过原点的一条直线. y＝kx＋b(k≠0)，图象是经过(0，b)，两点的一条 直线. （一） （二） （三） （四） 1.(1)在平面直角坐标系中画出y＝－5x，y＝2x－2两个函数的图象： 解：如图. （一） （二） （三） （四） (2)函数y＝－5x的图象过点(0，_______)与 点(1，_________)，经过第____________象 限，y随x的增大而______； (3)一次函数y＝2x－2的图象经过第______ __________象限，y随x的增大而_______； (4)函数y＝－5x与y＝2x－2的图象与x轴所围成的三角形的面积为_______. 0 －5 二、四 减小 一、 三、四 增大 （一） （二） （三） （四） (二)待定系数法求函数解析式 步骤 （一） （二） （三） （四） (三)一次函数图象的平移 平移情况 解析式变化情况 向左平移m个单位长度 y＝kx＋b⇒y＝k(x＋m)＋b 向右平移m个单位长度 y＝kx＋b⇒y＝k(x－m)＋b 向上平移n个单位长度 y＝kx＋b⇒y＝kx＋b＋n 向下平移n个单位长度 y＝kx＋b⇒y＝kx＋b－n （一） （二） （三） （四） 2.已知y与x成正比例，当x＝5时，y＝6，则y关于x的函数解析式为_________. 3.已知一次函数的图象经过点(3，0)，(0，2)，则这个函数的解析式为______________. y＝x 　y＝－x＋2 （一） （二） （三） （四） 4.将直线y＝5x向下平移1个单位长度，所得直线的解析式为____________，再向右平移4个单位长度，所得直线的解析式为_______________. 5.直线y＝5x－10可由直线_________向右平移2个单位长度得到，也可由直线___________向下平移10个单位长度得到. y＝5x－1 y＝5x－21 y＝5x y＝5x （一） （二） （三） （四） (四)一次函数与方程(组)、不等式的关系 1.基本思想：数形结合 （一） （二） （三） （四） 2.基本联系： (1)一个一次函数与方程、不等式的联系： 从函数图象看方程的解 从函数图象看不等式的解集 （一） （二） （三） （四） (2)两个一次函数与方程组、不等式的联系 从函数图象看方程的解 从函数图象看不等式的解集 （一） （二） （三） （四） 6.如图，先观察图象，然后填空： (1)当x________时，y1＝0； (2)当x________时，y2＜0； (3)当x________时，y1＝y2； (4)当______________时，y1＞0且y2＞0； ＝－4 ＞－1 ＝－2 －4＜x＜－1 （一） （二） （三） （四） (5)方程组的解是___________； (6)不等式x＋4＞－2x－2的解集是________. x＞－2 考点1 考点2 考点3 考点4 考点1　一次函数的概念、图象与性质[8年1考] 例1：已知一次函数y＝(k－3)x＋1，函数值y随自变量x的增大而减小，则k的取值范围是( )[2024泉州一检4分] A.k＞0　　　　　　　B.k＜0 C.k＞3　　　　　　　D.k＜3 D 考点1 考点2 考点3 考点4 【变式题】若直线y＝kx＋k＋1经过点(m，n＋3)和(m＋1，2n－1)，且0＜k＜2，则n的值可以是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 C 考点1 考点2 考点3 考点4 例2：光从空气进入水中的光路图如图所示，建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的解析式分别为y1＝k1x，y2＝k2x，则下列关于k1与k2的大小关系中，正确的是[2023漳州质检4分]( ) A.k2＜0＜k1 B.k1＜0＜k2 C.k1＜k2＜0 D.k2＜k1＜0 D 考点1 考点2 考点3 考点4 考点2　待定系数法求函数解析式[8年1考] 例3：若正比例函数y＝kx的图象过点(1，5)，则k的值为____.[2024厦门湖里区二模4分] 5 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 例4： 已知一次函数的图象过点A(3，5)与B(－4，－9). (1)求这个一次函数的解析式； 解：设这个一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0). ∵一次函数y＝kx＋b的图象过点A(3，5)与B(－4，－9)， ∴解方程组得 这个一次函数的解析式为y＝2x－1. 考点1 考点2 考点3 考点4 (2)若点C的坐标为(1，1)，求证：A，B，C三点共线. 证明：∵当x＝1时，y＝2×1－1＝1，∴点C在该一次函数的图象上， 又∵该一次函数的图象过点A，B，∴A，B，C三点共线. 考点1 考点2 考点3 考点4 考点3　一次函数图象的平移 例5：如图，已知A(1，0)、B(3，0)、M(4，3)， 动点P从点A出发，沿x轴以每秒2个单位长度 的速度向右移动，且过点P的直线l：y＝－x＋b 也随之平移，设移动的时间为t秒，若直线l与线段BM有公共点，则t的取值范围为________.[2024厦门外国语学校模拟4分] 1≤t≤3 考点1 考点2 考点3 考点4 考点4　一次函数与方程(组)、不等式的关系[8年1考] 例6：如图，函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点B(m，0)(m＞1)，与函数y＝2x的图象交于点A，则不等式kx＋b＜2x的解集为[2024厦门湖里中学二模4分]( ) A.x＜2 B.x＜1 C.x＞1 D.x＞2 C 考点1 考点2 考点3 考点4 【变式题】如图，一次函数y＝kx＋b(k＞0)的图象过点(－1，0)，则不等式k(x－1)＋b＞0的解集是_______.[2021福建改编] x＞0 1 2 3 1.已知一次函数y＝2x＋b的图象经过点(0，3)，则b的值为___.[2024龙岩模拟4分] 3 1 2 3 2.在平面直角坐标系中，将函数y＝x的图象绕坐标原点逆时针旋转90°，再向上平移1个单位长度，所得直线的解析式为____________.[2024福州第八中学三模4分] y＝－x＋1 1 2 3 3.如图，直线l1对应的函数解析式为y＝－3x＋3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A(4，0)，B，直线l1、l2交于点C. (1)求直线l2对应的函数解析式； 1 2 3 解：设直线l2对应的函数解析式是y＝kx＋b，根据题意得解得 则直线l2对应的函数解析式是y＝x－6. 1 2 3 (2)在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，则点P的坐标为　 　. (6，3) $$第三章 函　数 第13课时　二次函数的图象和性质(一) 教材梳理篇 知识过关 1 课堂精讲——聚焦福建中考 2 当堂小练 3 教材梳理篇 （一） （二） （三） (一)二次函数的概念 1.概念：形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数. 一般式 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0) 顶点式 y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中顶点坐标为(h，k) 交点式 y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2为函数图象与x轴交点的横坐标 2.二次函数解析式的三种形式： （一） （二） （三） 1.若关于x的函数y＝(a－2)x2－x是二次函数，则a的取值范围是__________. 2.(1)将二次函数y＝(x＋3)(x－1)化为一般式为____________. (2)将二次函数y＝x2＋2x－3化为顶点式为_______________. a≠2 y＝x2＋2x－3 y＝(x＋1)2－4 （一） （二） （三） (二)二次函数的图象与性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) a＞0 a＜0 图象 开口方向 向上 向下 （一） （二） （三） 对称轴 直线x＝－ 顶点坐标   增减性 在对称轴左侧 ， y随x的增大而减小； 在对称轴右侧 ， y随x的增大而增大 在对称轴左侧 ， y随x的增大而增大； 在对称轴右侧 ， y随x的增大而减小 （一） （二） （三） 最值 抛物线有最低点，当x＝－ 时，y有最小值， y最小值＝ 抛物线有最高点，当x＝ － 时，y有最大值， y最大值＝ （一） （二） （三） 3.在给出的平面直角坐标系中画出二次函数y＝－(x－1)2＋3的图象，并回答下列问题. 解：画出二次函数y＝－(x－1)2＋3的图象如图所示. （一） （二） （三） (1)函数图象的开口向_____； (2)函数图象的对称轴为直线______； (3)函数图象的顶点坐标为________； (4)当x______时，y随x的增大而增大， 当x______时，y随x的增大而减小； (5)当_______时，y有最大值，最大值为___. 下 x＝1 (1，3) ＜1 ＞1 x＝1 3 （一） （二） （三） (三)二次函数图象的特征与系数a，b，c的关系 系数 符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b b＝0 对称轴为y轴 ab＞0(b与a同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(b与a异号) 对称轴在y轴右侧 （一） （二） （三） 系数 符号 图象的特征 c c＝0 经过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2－4ac b2－4ac＝0 与x轴有唯一交点(顶点) b2－4ac＞0 与x轴有两个不同的交点 b2－4ac＜0 与x轴没有交点 （一） （二） （三） 4.填表： 图象(草图) 结论 a ____0 b____0 c____0 ab____0 b2－4ac_____0 2a－b_____0 a＋b＋c_____0 a－b＋c_____0 a____0 b_____0 c____0 abc___0 b2－4ac____0 2a＋b____0 4a－2b＋c___0 4a＋2b＋c____0 ＞ ＞ ＝ ＞ ＞ ＝ ＞ ＜ ＜ ＞ ＜ ＞ ＜ ＝ ＜ ＜ 考点1 考点2 考点1　二次函数的图象与性质[8年8考] 例1：对于二次函数y＝(x－1)2＋1的图象，下列说法正确的是[2023南平一检4分]( ) A.开口向下 B.对称轴是直线x＝－1 C.顶点坐标是(1，1) D.当x＝1时，y有最大值1 C 考点1 考点2 例2：已知二次函数y＝x2－bx＋c的图象经过A(1，n)，B(3，n)，则b的值为( ) [2024莆田一检4分] A.2 B.－2 C.4 D.－4 C 例3：在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点是(1，3)，当x＞1时，y随x的增大而增大，则该抛物线的解析式可以是 [2023厦门思明区三模4分]( ) A.y＝－2(x＋1)2＋3 B.y＝2(x＋1)2＋3 C.y＝－2(x－1)2＋3 D.y＝2(x－1)2＋3 D 考点1 考点2 例4：点M(x1，y1)，N(x2，y2)在二次函数y＝x2－2x＋1的图象上，若m－1＜x1＜m，m＋1＜x2＜m＋2时，都有y1≠y2，则m的取值范围是________________.[2024三明质检4分] m≥1或m≤0 考点1 考点2 例5：已知二次函数y＝ax2－2ax＋3(a≠0). (1)求此二次函数图象的对称轴； 解：二次函数图象的对称轴为直线x＝－＝1. 考点1 考点2 (2)当a＞0，且0≤x≤5时，求函数的最大值和最小值(用含a的式子表示).[2023漳州一检改编] 解：因为a＞0，所以二次函数图象开口向上.又因为0≤x≤5，二次函数图象的对称轴为直线x＝1，所以当x＝1时，y最小＝a－2a＋3＝3－a；当x＝5时，y最大＝25a－10a＋3＝15a＋3，所以当a＞0，且0≤x≤5时，函数的最大值为15a＋3，最小值为3－a. 考点1 考点2 考点2　二次函数图象的特征与系数a，b，c的关系 根据函数图象判断相关结论： 结论形式 解题思路 2a＋b 比较－和1的大小 2a－b 比较－和－1的大小 a＋b＋c 当x＝1时，看纵坐标的正负 a－b＋c 当x＝－1时，看纵坐标的正负 4a＋2b＋c 当x＝2时，看纵坐标的正负 4a－2b＋c 当x＝－2时，看纵坐标的正负 考点1 考点2 例6：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法错误的是_______(填序号). ①a＜0；②c＞0；③b＜0；④2a＋b＜0； ⑤b2－4ac＞0；⑥a＋b＋c＞am2＋bm＋c(m≠1). ③④ 考点1 考点2 例7：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，且a＜0，4a－2b＋c＞0，则一定有( ) A.b2－4ac＜0 B.b2－4ac≤0 C.b2－4ac＝0 D.b2－4ac＞0 D 1 2 1.垂直于y轴的直线l与抛物线y＝x2－2x＋4交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，则下列关于x1＋x2的关系式正确的是[2024南平二检4分]( ) A.x1＋x2＜2 B.x1＋x2＞2 C.x1＋x2＝2 D.x1＋x2≥3 C 1 2 2.请在如图所示的网格坐标系中画出二次函数y＝－x2＋2x的大致图象. (注：图中小正方形网格的边长为1) 观察所画图象，填空： (1)当x满足：__________时，y＞0. (2)当0≤x≤3时，y最大值＝___，y最小值＝____. 0＜x＜2 1 －3 1 2 解：∵抛物线y＝－x2＋2x＝－＋1， ∴其顶点坐标为(1，1)，开口向下，过原点. 列表如下. 描点、连线，画图如图. x … －1 0 1 2 3 … y … －3 0 1 0 －3 … $$第三章 函　数 第14课时　二次函数的图象和性质(二) 教材梳理篇 知识过关 1 课堂精讲——聚焦福建中考 2 当堂小练 3 教材梳理篇 （一） （二） (一)确定函数解析式 1.利用待定系数法求函数解析式： 一设：设相应的解析式； 二代：将已知点的坐标代入解析式，得到方程(组)； 三解：解方程(组)； 四写：将参数值代回所设解析式，写出解析式. （一） （二） 2.根据图象的变换确定新函数解析式： 第一步：将已知解析式化为顶点式：y＝a(x－h)2＋k； 第二步：利用平移、轴对称或旋转确定新函数解析式. （一） （二） (1)平移 平移方式(m＞0) 平移后二次函数的解析式 简记 向左平移m个单位长度 y＝a(x－h＋m)2＋k 左加右减 向右平移 m个单位长度 y＝a(x－h－m)2＋k 向上平移m个单位长度 y＝a(x－h)2＋k＋m 上加下减 向下平移m个单位长度 y＝a(x－h)2＋k－m （一） （二） (2)轴对称、旋转 变换方式 a 顶点坐标 解析式 轴对称 变换 关于x轴对称 －a (h，－k) y＝－a(x－h)2－k 关于y轴对称 a (－h，k) y＝a(x＋h)2＋k 旋转 变换 绕顶点旋转180° －a (h，k) y＝－a(x－h)2＋k 绕原点旋转180° －a (－h，－k) y＝－a(x＋h)2－k （一） （二） 1.已知二次函数y＝x2＋2x＋1. (1)把它化为y＝a(x－h)2＋k的形式为____________； (2)把它的图象向左平移1个单位长度，就得到了抛物线y＝________； (3)把它的图象向下平移1个单位长度，就得到了抛物线y＝____________； (4)把它的图象向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，就得到了抛物线y＝______. y＝(x＋1)2 (x＋2)2 (x＋1)2－1 x2＋3 （一） （二） 2.某抛物线的顶点坐标为(－1，3)，且过点(2，8)，求此抛物线的解析式. 解：因为抛物线的顶点坐标为(－1，3)，所以可设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)2＋3.因为抛物线过点(2，8)， 所以8＝9a＋3，解得a＝， 所以抛物线的解析式为y＝(x＋1)2＋3. （一） （二） (二)二次函数与方程、不等式、一次函数的关系 1.与方程的关系： 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标的值. （一） （二） b2－4ac值的正负 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的个数 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况 b2－4ac＞0 两个交点 有两个不相等的实数根：x1，x2 b2－4ac＝0 一个交点 有两个相等的实数根：x1＝x2 b2－4ac＜0 没有交点 没有实数根 （一） （二） 2.与不等式的关系： a＞0 ax2＋bx＋c＞0的解集为x＜x1或x＞x2 ax2＋bx＋c＜0的解集为x1＜x＜x2 a＜0 ax2＋bx＋c＞0的解集为x1＜x＜x2 ax2＋bx＋c＜0的解集为x＜x1或x＞x2 （一） （二） 3.与一次函数图象的交点问题： (1)联立 (3)计算判别式的值来判断交点个数. (2)得到一元二次方程ax2＋(b－m)x＋c－n＝0. （一） （二） 序号 Δ值的正负 抛物线与直线的交点个数 图示 ① Δ＜0 没有交点 ② Δ＝0 有唯一交点 ③ Δ＞0 有两个交点 （一） （二） 3.在平面直角坐标系中，抛物线y1＝x2＋bx＋c与直线y2＝kx＋m如图所示，请你观察图象并回答下列问题： (1)方程x2＋bx＋c＝0的解是______________； (2)当_____________时，y1＞0； x1＝0，x2＝4 x＜0或x＞4 （一） （二） (3)当___________时，y1＜0； (4)当____________时，y1＝y2； (5)当_______________时，y1＞y2； (6)当___________时，y1＜y2； (7)方程组的解是________________. 0＜x＜4 x＝－1或3 x＜－1或x＞3 －1＜x＜3 或 考点1 考点2 考点1　确定函数解析式 例1：抛物线y＝(x－2)2＋3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是( )[2024年龙岩一检4分] A.先向右平移2个单位，再向上平移3个单位　 B.先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 C.先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 D.先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 A 考点1 考点2 例2：已知抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－2，0)，C(0，－2)两点，则抛物线的解析式为_____________.[2024福建改编] y＝x2＋x－2 考点1 考点2 【变式题】已知抛物线y＝ax2＋bx＋3交x轴于A(1，0)，B(3，0)两点，求抛物线的解析式. 解：因为抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(1，0)，B(3，0)，[2023福建节选] 所以解得所以抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3. 考点1 考点2 例3：如图，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx ＋c(a≠0)过点C(0，－4)，交x轴于A，B两点，OC＝2OB， 请求出a，b满足的关系式.[2023泉州三模8分] 解：∵C(0，－4)，∴OC＝4.∵OC＝2OB，∴OB＝2， ∴B(2，0).将点B(2，0)，C(0，－4)的坐标代入y＝ax2＋bx＋c，得 ∴2a＋b＝2. 考点1 考点2 例4：已知抛物线y＝ax2－2ax＋c(a＜0)与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，AB＝4.若该抛物线上到x轴距离为4的点恰有三个，求该抛物线的解析式.[2024福州一检节选] 解：∵y＝ax2－2ax＋c＝a(x－1)2－a＋c，∴抛物线的对称轴为直线x＝1.∵该抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，AB＝4， ∴解得∴A(－1，0)，B(3，0). 考点1 考点2 ∵抛物线上到x轴距离为4的点恰有三个，且a＜0， ∴该抛物线顶点的纵坐标为4， ∴该抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋4. 将A(－1，0)的坐标代入，得4a＋4＝0，解得a＝－1. ∴该抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋4. 考点1 考点2 考点2　二次函数与方程、不等式、一次函数的关系[8年8考] 例5：如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，则不等式ax2＋c＞mx＋n的解集为[2023宁德一检4分]( ) A.x＞－1 B.x＜3 C.－1＜x＜3 D.x＜－1或x＞3 D 考点1 考点2 例6：已知二次函数y＝x2－2x－3，将该二次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图象(如图所示)，当直线y＝－x＋m与新图象有3个交点时，m的值为[2023泉州石狮质检4分]( ) A. B. C.3或 D.3或 D 考点1 考点2 例7：已知点A为抛物线y＝x2－3对称轴右侧上一动点.直线AB：y＝kx＋b与抛物线有且只有一个交点A，且与y轴交于点B，点C的坐标为(0，－2). (1)用含k的代数式表示b； 解：令x2－3＝kx＋b，则x2－4kx－12－4b＝0， ∵直线AB与抛物线有且只有一个交点， ∴Δ＝16k2＋4(12＋4b)＝0，即b＝－k2－3. 考点1 考点2 (2)求证：AC＝BC.[2024宁德二检节选] 证明：联立解得 ∴点A的坐标是(2k，k2－3). ∵点B的坐标是(0，－k2－3)，点C的坐标是(0，－2)， ∴BC＝1＋k2. 由勾股定理，得AC＝＝＝k2＋1，∴AC＝BC. 1 2 1.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象可得，方程 ax2＋bx＋c＝2的两个根为___________，不等式 ax2＋bx＋c≥0的解集为___________. x1＝x2＝2 1≤x≤3 1 2 2.已知二次函数y＝2x2＋bx＋c(a≠0). (1)若该函数图象的对称轴为x＝1，且过点(0，3)，求该函数的解析式； 解：∵对称轴为x＝1，∴－＝－＝－＝1， ∴b＝－4.把点(0，3)代入y＝2x2－4x＋c，得c＝3， ∴该函数的解析式为y＝2x2－4x＋3. 1 2 (2)若方程2x2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，求证：2b＋8c≥－1.[2024福州十九中学模拟节选] 证明：∵方程2x2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2－4ac＝b2－8c＝0，∴b2＝8c， ∴2b＋8c＝2b＋b2＝b2＋2b＋1－1＝(b＋1)2－1. ∵(b＋1)2≥0，∴(b＋1)2－1≥－1，∴2b＋8c≥－1. $$