第五单元三角形·单元复习篇（单元复习讲义）【四大篇章】-2024-2025学年四年级数学下册典型例题系列（原卷版+解析版+答案版）人教版

第 1 页 共 12 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年四年级数学下册典型例题系列「2025 版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 12 页 2024-2025 学年四年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第五单元三角形·单元复习篇【四大篇章】 知识点一：三角形的概念与表示。 1. 三角形的定义。 由 3条线段首尾相连围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。 2. 三角形的组成。 三角形有 3条边、3个角和 3个顶点。 第 3 页 共 12 页 3. 三角形的表示方法。 三角形的表示方法有多种，常用的方法包括顶点表示法、边长表示法和角度表示 法。 （1）顶点表示法。 顶点表示法是最常见的三角形表示方法，它用三个大写字母表示三角形的顶点。 例如，三角形 ABC表示由点 A、点 B和点 C组成的三角形。 （2）边长表示法。 边长表示法是通过表示三角形的三条边的长度来表示三角形。例如，三角形 ABC 的三条边分别为 AB、BC和 AC，可以用 a、b和 c表示。 （3）角度表示法。 角度表示法是通过表示三角形的三个内角的大小来表示三角形。例如，三角形 ABC的三个内角分别为∠A、∠B和∠C,可以用α、β和γ表示。 知识点二：三角形的性质。 三角形具有稳定性，不易变形，例如：三脚架、房梁加固、斜钉木条固定窗框等。 知识点三：三角形的高。 1. 三角形的高和底。 从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形 的高，这条对边叫做三角形的底（如图）。 注意事项： 三角形的底与高是相对应的，它们是一组互相垂直的线段，在哪一条边上作高， 这条边就是这条高所对应的底。 第 4 页 共 12 页 2. 三角形高的画法。 因为三角形有 3个顶点，过每个顶点都可以向对边作一条垂线段，所以任意一个 三角形都可以作 3条高，由于三角形的形状不同，因此三角形的高的位置也就不 同。（如下图） 知识点四：两点间线段最短与两点间的距离。 两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。 知识点五：三角形三边关系定理。 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 知识点六：三角形的分类。 1. 三角形按角分类。 （1）锐角三角形：三个角都是锐角（小于 90°）。 （2）直角三角形：有一个角是 90°，其余两个角为锐角。 （3）钝角三角形：有一个角是钝角（大于 90°且小于 180°），其余两个角为锐 角。 2. 三角形按边分类。 注意：等边三角形是特殊的等腰三角形。 知识点七：三角形和多边形的内角和。 1. 三角形的内角和是 180°。 2. 在三角形中，已知两个角的度数，求第三个角的度数，用 180°连续减去已知 第 5 页 共 12 页 的两个角的度数或用 180°减去这两个角的度数和。 3. 四边形的内角和是 360°。 4. 多边形的内角和公式。 （1）多边形的内角和是 180°×（边数－2）。 （2）通过分割的方法将求多边形内角和转化为求多个三角形内角和相加。 【第一部分】基本知识与基本应用 【高频考题 01】三角形的认识与性质。 1．下面哪些图形是三角形？ 【答案】③；⑥ 2．数一数，图中共有( )个三角形。 【答案】16 3．对照相要求比较高的时候，摄影师一般会使用一个三角支架，这是利用了三 角形的( )性。 【答案】稳定 第 6 页 共 12 页 【高频考题 02】三角形三边关系定理与应用。 1．在能拼成三角形的各组线段下面画“√”。（单位：厘米） 【答案】（1）（√）；（2）（√）；（3）（√）； 2．15厘米的铁丝剪成三段（每段的长度都是整厘米数），然后围成三角形，一 共可以围成( )个不同的三角形。 【答案】7 3．三角形的三条边都是整厘米数，其中两条边分别是 3厘米和 4厘米，另一条 边最长可以是( )厘米，最短可以是( )厘米。 【答案】 6 2 【高频考题 03】三角形的分类。 1．一个三角形的三个内角都是 60°，按角分，这是一个( )三角形，按边 分，是个( )三角形。 【答案】 锐角 等边 2．红领巾是我们少先队员佩戴的标志，如果按角分它是一个( )三角形， 按边分它又是一个( )三角形。 【答案】 钝角 等腰 【高频考题 04】等腰三角形与等边三角形的特征及应用。 1．王叔叔把一根 18分米长的铁丝正好折成了一个正三角形铁框，铁框一边长 ( )分米，若折成一条腰是 5分米的等腰三角形铁框，铁框底边长 ( )分米。 【答案】 6 8 2．一个等腰三角形的一条边是 5厘米，另一条边是 7厘米，围成这个等腰三角 形至少需要( )厘米长的绳子。 【答案】17 3．一个等腰三角形的周长是 60厘米，其中一条边长是 14厘米，它的另外两条 边长分别是( )厘米和( )厘米。 第 7 页 共 12 页 【答案】 23 23 【第二部分】综合应用与解决问题 【高频考题 01】三角形的内角和问题。 1．在一个三角形中，∠1＝58°，∠2＝42°，∠3＝( )°；在一个直角三角 形中，一个锐角是 25°，另一个锐角是( )°。 【答案】 80 65 2．一个等腰三角形的顶角是 40°，一个底角是( )°，它还是一个( ) 三角形；如果它的一个底角是 40°，它就是一个( )三角形。（按角分类） 【答案】 70 锐角 钝角 3．∠1＝( )°。 【答案】45 【高频考题 02】多边形的内角和问题。 1．图中，一副三角板叠放在一起，则∠1＝( )°，∠2＝( )°。 【答案】 15 120 2．观察下图，三角形 ABC按角分是一个( )三角形，如果沿着虚线剪下 C ， 那么剩下图形的内角和是( )度。 【答案】 直角 360 第 8 页 共 12 页 3．探究多边形的内角和与它的边数的关系，一个八边形的内角和是 °。 多边形 …… 边数 3 4 5 6 …… 内角和 180° 360° 540° 720° …… 【答案】1080 第 9 页 共 12 页 一、填空题。 1．（2023·四川乐山·期末）刘青有四根小棒，分别长 4dm、5dm、8dm、10dm， 她能围成( )个不同周长的三角形。 【答案】3 2．（2023·四川广元·期末）空调的室外机需要一个支架，王叔叔根据三角形的 ( )性决定将其做成三角形形状。已经有两根铝合金，它们的长度分别是 2分米和 3分米，第三根铝合金最长是( )分米。（取整数） 【答案】 稳定 4 3．（2023·四川南充·期末）取一根 15厘米长的铁丝折成一个等边三角形铁框， 铁框的一条边长为( )厘米，如果折成一个腰长 6厘米的等腰三角形铁框， 那么铁框的底边长为( )厘米。 【答案】 5 3 4．（2024·湖南株洲·期末）有一个直角梯形，如果它的一个角是 115°，那么除 了两个直角外的另一个角是( )°，属于( )角。 【答案】 65 锐 5．（2024·山东济宁·期末）剪掉等腰直角三角形的一个锐角后（如图），剩下 （涂色）图形的内角和是( )°。 【答案】360 二、选择题。 6．（2024·海南省直辖县级单位·期末）下图中三角形 ABC底边 BC上的高是 ( )。 第 10 页 共 12 页 A．AB B．FC C．BG D．AD 【答案】D 7．（2023·四川成都·期末）一个三角形被一张纸遮住了一部分（如图）。那么 在以下对这个三角形的判断中，正确的是( )。 A．一定是锐角三角形。 B．一定不是钝角三角形。 C．不是锐角三角形，就是直角三角形。 D．既可能是锐角三角形，也可能是直角三角形，还可能是钝角三角形。 【答案】D 8．（2023·四川凉山·期末）下面四组角中，是三角形三个内角的是( )。 A．16°，79°，95° B．80°，16°，84° C．80°，40°，50° D．25°，78°，86° 【答案】B 9．（2024·湖南株洲·期末）下面三角形中， 1 110  的是( )。 A． B． C． D． 【答案】B 三、计算题。 10．（2023·四川宜宾·期末）计算下面各未知角的度数。 第 11 页 共 12 页 【答案】（1）64°；（2）120° 四、作图题。 11．（2024·四川遂宁·期末）在下面点子图上作一个顶角是直角的等腰三角形， 并在图中标出两个底角的度数，再画出它底边上的高。 【答案】 （画法不唯一） 五、解答题。 12．（2024·广东肇庆·期末）如图是淘气测量的一个三角形花坛各边和长度。（单 位：米）你认为淘气测量的结果正确吗？请说明理由。 【答案】不正确；不满足三角形三边关系，不能围成三角形 13．（2024·重庆渝北·期末）小芳家有一个等腰三角形的相框，她打算用丝带沿 边围一周装饰这个相框。量得这个相框的腰长 18厘米，底边长 2分米，小芳至 少需要买多少厘米长的丝带？ 【答案】56厘米 14．（2024·广东阳江·期末）已知∠1＝80°，∠2＝48°，∠3、∠4的度数分别是 第 12 页 共 12 页 多少？ 【答案】∠3＝52°；∠4＝128° 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年四年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年四年级数学下册典型例题系列「2025版」 第五单元三角形·单元复习篇【四大篇章】 知识点一：三角形的概念与表示。 1. 三角形的定义。 由3条线段首尾相连围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。 2. 三角形的组成。 三角形有3条边、3个角和3个顶点。 3. 三角形的表示方法。 三角形的表示方法有多种，常用的方法包括顶点表示法、边长表示法和角度表示法。 （1）顶点表示法。 顶点表示法是最常见的三角形表示方法，它用三个大写字母表示三角形的顶点。例如，三角形ABC表示由点A、点B和点C组成的三角形。 （2）边长表示法。 边长表示法是通过表示三角形的三条边的长度来表示三角形。例如，三角形ABC的三条边分别为AB、BC和AC，可以用a、b和c表示。 （3）角度表示法。 角度表示法是通过表示三角形的三个内角的大小来表示三角形。例如，三角形ABC的三个内角分别为∠A、∠B和∠C,可以用α、β和γ表示。 知识点二：三角形的性质。 三角形具有稳定性，不易变形，例如：三脚架、房梁加固、斜钉木条固定窗框等。 知识点三：三角形的高。 1. 三角形的高和底。 从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底（如图）。 注意事项： 三角形的底与高是相对应的，它们是一组互相垂直的线段，在哪一条边上作高，这条边就是这条高所对应的底。 2. 三角形高的画法。 因为三角形有3个顶点，过每个顶点都可以向对边作一条垂线段，所以任意一个三角形都可以作3条高，由于三角形的形状不同，因此三角形的高的位置也就不同。（如下图） 知识点四：两点间线段最短与两点间的距离。 两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。 知识点五：三角形三边关系定理。 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 知识点六：三角形的分类。 1. 三角形按角分类。 （1）锐角三角形：三个角都是锐角（小于90°）。 （2）直角三角形：有一个角是90°，其余两个角为锐角。 （3）钝角三角形：有一个角是钝角（大于90°且小于180°），其余两个角为锐角。 2. 三角形按边分类。 注意：等边三角形是特殊的等腰三角形。 知识点七：三角形和多边形的内角和。 1. 三角形的内角和是180°。 2. 在三角形中，已知两个角的度数，求第三个角的度数，用180°连续减去已知的两个角的度数或用180°减去这两个角的度数和。 3. 四边形的内角和是360°。 4. 多边形的内角和公式。 （1）多边形的内角和是180°×（边数－2）。 （2）通过分割的方法将求多边形内角和转化为求多个三角形内角和相加。 【第一部分】基本知识与基本应用 【高频考题01】三角形的认识与性质。 1．下面哪些图形是三角形？ 【答案】③；⑥ 2．数一数，图中共有( )个三角形。    【答案】16 3．对照相要求比较高的时候，摄影师一般会使用一个三角支架，这是利用了三角形的( )性。 【答案】稳定 【高频考题02】三角形三边关系定理与应用。 1．在能拼成三角形的各组线段下面画“√”。（单位：厘米） 【答案】（1）（√）；（2）（√）；（3）（√）； 2．15厘米的铁丝剪成三段（每段的长度都是整厘米数），然后围成三角形，一共可以围成( )个不同的三角形。 【答案】7 3．三角形的三条边都是整厘米数，其中两条边分别是3厘米和4厘米，另一条边最长可以是( )厘米，最短可以是( )厘米。 【答案】 6 2 【高频考题03】三角形的分类。 1．一个三角形的三个内角都是60°，按角分，这是一个( )三角形，按边分，是个( )三角形。 【答案】 锐角 等边 2．红领巾是我们少先队员佩戴的标志，如果按角分它是一个( )三角形，按边分它又是一个( )三角形。 【答案】 钝角 等腰 【高频考题04】等腰三角形与等边三角形的特征及应用。 1．王叔叔把一根18分米长的铁丝正好折成了一个正三角形铁框，铁框一边长( )分米，若折成一条腰是5分米的等腰三角形铁框，铁框底边长( )分米。 【答案】 6 8 2．一个等腰三角形的一条边是5厘米，另一条边是7厘米，围成这个等腰三角形至少需要( )厘米长的绳子。 【答案】17 3．一个等腰三角形的周长是60厘米，其中一条边长是14厘米，它的另外两条边长分别是( )厘米和( )厘米。 【答案】 23 23 【第二部分】综合应用与解决问题 【高频考题01】三角形的内角和问题。 1．在一个三角形中，∠1＝58°，∠2＝42°，∠3＝( )°；在一个直角三角形中，一个锐角是25°，另一个锐角是( )°。 【答案】 80 65 2．一个等腰三角形的顶角是40°，一个底角是( )°，它还是一个( )三角形；如果它的一个底角是40°，它就是一个( )三角形。（按角分类） 【答案】 70 锐角 钝角 3．∠1＝( )°。 【答案】45 【高频考题02】多边形的内角和问题。 1．图中，一副三角板叠放在一起，则∠1＝( )°，∠2＝( )°。 【答案】 15 120 2．观察下图，三角形按角分是一个( )三角形，如果沿着虚线剪下，那么剩下图形的内角和是( )度。    【答案】 直角 360 3．探究多边形的内角和与它的边数的关系，一个八边形的内角和是 °。 多边形 …… 边数 3 4 5 6 …… 内角和 180° 360° 540° 720° …… 【答案】1080 一、填空题。 1．（2023·四川乐山·期末）刘青有四根小棒，分别长4dm、5dm、8dm、10dm，她能围成( )个不同周长的三角形。 【答案】3 2．（2023·四川广元·期末）空调的室外机需要一个支架，王叔叔根据三角形的( )性决定将其做成三角形形状。已经有两根铝合金，它们的长度分别是2分米和3分米，第三根铝合金最长是( )分米。（取整数） 【答案】 稳定 4 3．（2023·四川南充·期末）取一根15厘米长的铁丝折成一个等边三角形铁框，铁框的一条边长为( )厘米，如果折成一个腰长6厘米的等腰三角形铁框，那么铁框的底边长为( )厘米。 【答案】 5 3 4．（2024·湖南株洲·期末）有一个直角梯形，如果它的一个角是115°，那么除了两个直角外的另一个角是( )°，属于( )角。 【答案】 65 锐 5．（2024·山东济宁·期末）剪掉等腰直角三角形的一个锐角后（如图），剩下（涂色）图形的内角和是( )°。 【答案】360 二、选择题。 6．（2024·海南省直辖县级单位·期末）下图中三角形ABC底边BC上的高是( )。 A．AB B．FC C．BG D．AD 【答案】D 7．（2023·四川成都·期末）一个三角形被一张纸遮住了一部分（如图）。那么在以下对这个三角形的判断中，正确的是( )。 A．一定是锐角三角形。 B．一定不是钝角三角形。 C．不是锐角三角形，就是直角三角形。 D．既可能是锐角三角形，也可能是直角三角形，还可能是钝角三角形。 【答案】D 8．（2023·四川凉山·期末）下面四组角中，是三角形三个内角的是( )。 A．16°，79°，95° B．80°，16°，84° C．80°，40°，50° D．25°，78°，86° 【答案】B 9．（2024·湖南株洲·期末）下面三角形中，的是( )。 A． B． C． D． 【答案】B 三、计算题。 10．（2023·四川宜宾·期末）计算下面各未知角的度数。 【答案】（1）64°；（2）120° 四、作图题。 11．（2024·四川遂宁·期末）在下面点子图上作一个顶角是直角的等腰三角形，并在图中标出两个底角的度数，再画出它底边上的高。 【答案】 （画法不唯一） 五、解答题。 12．（2024·广东肇庆·期末）如图是淘气测量的一个三角形花坛各边和长度。（单位：米）你认为淘气测量的结果正确吗？请说明理由。 【答案】不正确；不满足三角形三边关系，不能围成三角形 13．（2024·重庆渝北·期末）小芳家有一个等腰三角形的相框，她打算用丝带沿边围一周装饰这个相框。量得这个相框的腰长18厘米，底边长2分米，小芳至少需要买多少厘米长的丝带？ 【答案】56厘米 14．（2024·广东阳江·期末）已知∠1＝80°，∠2＝48°，∠3、∠4的度数分别是多少？ 【答案】∠3＝52°；∠4＝128° 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 22 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年四年级数学下册典型例题系列「2025 版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 22 页 2024-2025 学年四年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第五单元三角形·单元复习篇【四大篇章】 知识点一：三角形的概念与表示。 1. 三角形的定义。 由 3条线段首尾相连围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。 2. 三角形的组成。 三角形有 3条边、3个角和 3个顶点。 第 3 页 共 22 页 3. 三角形的表示方法。 三角形的表示方法有多种，常用的方法包括顶点表示法、边长表示法和角度表示 法。 （1）顶点表示法。 顶点表示法是最常见的三角形表示方法，它用三个大写字母表示三角形的顶点。 例如，三角形 ABC表示由点 A、点 B和点 C组成的三角形。 （2）边长表示法。 边长表示法是通过表示三角形的三条边的长度来表示三角形。例如，三角形 ABC 的三条边分别为 AB、BC和 AC，可以用 a、b和 c表示。 （3）角度表示法。 角度表示法是通过表示三角形的三个内角的大小来表示三角形。例如，三角形 ABC的三个内角分别为∠A、∠B和∠C,可以用α、β和γ表示。 知识点二：三角形的性质。 三角形具有稳定性，不易变形，例如：三脚架、房梁加固、斜钉木条固定窗框等。 知识点三：三角形的高。 1. 三角形的高和底。 从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形 的高，这条对边叫做三角形的底（如图）。 注意事项： 三角形的底与高是相对应的，它们是一组互相垂直的线段，在哪一条边上作高， 这条边就是这条高所对应的底。 第 4 页 共 22 页 2. 三角形高的画法。 因为三角形有 3个顶点，过每个顶点都可以向对边作一条垂线段，所以任意一个 三角形都可以作 3条高，由于三角形的形状不同，因此三角形的高的位置也就不 同。（如下图） 知识点四：两点间线段最短与两点间的距离。 两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。 知识点五：三角形三边关系定理。 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 知识点六：三角形的分类。 1. 三角形按角分类。 （1）锐角三角形：三个角都是锐角（小于 90°）。 （2）直角三角形：有一个角是 90°，其余两个角为锐角。 （3）钝角三角形：有一个角是钝角（大于 90°且小于 180°），其余两个角为锐 角。 2. 三角形按边分类。 注意：等边三角形是特殊的等腰三角形。 知识点七：三角形和多边形的内角和。 1. 三角形的内角和是 180°。 2. 在三角形中，已知两个角的度数，求第三个角的度数，用 180°连续减去已知 第 5 页 共 22 页 的两个角的度数或用 180°减去这两个角的度数和。 3. 四边形的内角和是 360°。 4. 多边形的内角和公式。 （1）多边形的内角和是 180°×（边数－2）。 （2）通过分割的方法将求多边形内角和转化为求多个三角形内角和相加。 【第一部分】基本知识与基本应用 【高频考题 01】三角形的认识与性质。 1．下面哪些图形是三角形？ 【答案】③；⑥ 【分析】由三条线段组成的封闭图形是三角形，依此解答。 【详解】答：图形③和⑥是三角形，其它的都不是三角形。 【点睛】熟练掌握三角形的特点，是解答本题的关键。 2．数一数，图中共有( )个三角形。 【答案】16 【分析】观察图形可知，先数单个三角形的个数有 6个，再数 2个图形合成的三 第 6 页 共 22 页 角形，共有 3个，再数 3个图形合成的三角形，共有 6个，最后再加上最大的三 角形共 1个，据此解答即可。 【详解】6＋3＋6＋1 ＝9＋6＋1 ＝15＋1 ＝16（个） 则图中共有 16个三角形。 【点睛】本题考查了组合图形的计数，数三角形的个数时，不能忽略了其中较大 的三角形。 3．对照相要求比较高的时候，摄影师一般会使用一个三角支架，这是利用了三 角形的( )性。 【答案】稳定 【分析】根据三角形的特性：三角形具有稳定性，进行解答即可。 【详解】对照相要求比较高的时候，摄影师一般会使用一个三角支架，这是利用 了三角形的稳定性。 【点睛】此题主要考查三角形的稳定性在实际生活中的运用。 【高频考题 02】三角形三边关系定理与应用。 1．在能拼成三角形的各组线段下面画“√”。（单位：厘米） 【答案】（1）（√）；（2）（√）；（3）（√）； 【分析】三角形 3条边的关系是：任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的 长度之差小于第三边，依此填空即可。 【详解】（1）3＋4＝7（厘米），7厘米＞5厘米，5－3＝2（厘米），2厘米＜ 4厘米，因此这组线段能拼成三角形。 （2）3＋3＝6（厘米），6厘米＞3厘米，3－3＝0（厘米），0厘米＜3厘米， 因此这组线段能拼成三角形。 （3）3＋3＝6（厘米），6厘米＞5厘米，5－3＝2（厘米），2厘米＜3厘米， 第 7 页 共 22 页 因此这组线段能拼成三角形。 （4）2＋2＝4（厘米），4厘米＜6厘米，6－2＝4（厘米），2厘米＜4厘米， 因此这组线段不能拼成三角形。 由此可知，填空如下： 【点睛】熟练掌握三角形三边的关系，是解答本题的关键。 2．15厘米的铁丝剪成三段（每段的长度都是整厘米数），然后围成三角形，一 共可以围成( )个不同的三角形。 【答案】7 【分析】已知铁丝的总长是 15厘米，即三角形三条边的和是 15厘米，且三条边 中最长的边最大只能是 7厘米，如果是 8厘米的话，就不符合任意两边之和大于 第三边的说法了。所以围绕着最长边是 7厘米来判定其他两边的长度即可。 【详解】由分析可知： 第一种：5厘米、5厘米、5厘米 第二种：4厘米、5厘米、6厘米 第三种：3厘米、5厘米、7厘米 第四种：4厘米、4厘米、7厘米 第五种：1厘米、7厘米、7厘米 第六种：3厘米、6厘米、6厘米 第七种：2厘米、6厘米、7厘米 则一共可以围成 7个不同的三角形。 【点睛】本题主要考查三角形三边的关系。三角形任意两条边的和大于第三边， 两边之差小于第三边。 3．三角形的三条边都是整厘米数，其中两条边分别是 3厘米和 4厘米，另一条 边最长可以是( )厘米，最短可以是( )厘米。 【答案】 6 2 【分析】三角形的三边关系为三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差 一定小于第三边；据此解答即可。 第 8 页 共 22 页 【详解】3＋4＝7（厘米） 4－3＝1（厘米） 则另一条边的长度比 7厘米短，比 1厘米长。最长可以是 6厘米，最短可以是 2 厘米。 【点睛】熟练掌握三角形的三边关系，灵活运用三角形的三边关系解决问题。 【高频考题 03】三角形的分类。 1．一个三角形的三个内角都是 60°，按角分，这是一个( )三角形，按边 分，是个( )三角形。 【答案】 锐角 等边 【分析】我们知道，角分三种，大于 90°的角是钝角，等于 90°的角是直角，小 于 90°的角是锐角，据此即可解答；按边分，每个角都是 60°，对应每个边都是 相等的，据此即可解答。 【详解】一个三角形的三个内角都是 60°，按角分，这是一个（锐角）三角形， 按边分，是个（等边）三角形。 【点睛】本题主要考查三角形的分类。 2．红领巾是我们少先队员佩戴的标志，如果按角分它是一个( )三角形， 按边分它又是一个( )三角形。 【答案】 钝角 等腰 【分析】根据三角形的分类标准，以及红领巾的特点进行填空即可； 三角形按角分为：钝角三角形、直角三角形和锐角三角形，有一个角是钝角的三 角形是钝角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，三个角都是锐角的 三角形是锐角三角形； 按边分为：等腰三角形、等边三角形，等腰三角形的两腰相等，两个底角也相等； 等边三角形的三条边都相等，三个角都相等。 【详解】红领巾的两腰相等，并且有一个角是钝角，因此红领巾如果按角分它是 一个钝角三角形，按边分它又是一个等腰三角形。 【点睛】熟练掌握三角形的分类标准是解答此题的关键。 【高频考题 04】等腰三角形与等边三角形的特征及应用。 1．王叔叔把一根 18分米长的铁丝正好折成了一个正三角形铁框，铁框一边长 第 9 页 共 22 页 ( )分米，若折成一条腰是 5分米的等腰三角形铁框，铁框底边长 ( )分米。 【答案】 6 8 【分析】等边三角形也叫正三角形，三条边相等，18分米长的铁丝是三角形的 周长，利用周长除以 3即可求出等边三角形的边长；等腰三角形的两条腰相等， 利用周长减去两条腰长即可求出底边长。 【详解】18÷3＝6（分米） 18－5×2 ＝18－10 ＝8（分米） 王叔叔把一根 18分米长的铁丝正好折成了一个正三角形铁框，铁框一边长 6分 米，若折成一条腰是 5分米的等腰三角形铁框，铁框底边长 8分米。 【点睛】熟练掌握等边三角形和等腰三角形的特征，是解答此题的关键。 2．一个等腰三角形的一条边是 5厘米，另一条边是 7厘米，围成这个等腰三角 形至少需要( )厘米长的绳子。 【答案】17 【分析】等腰三角形的两条腰相等，则第三条边长 5厘米或 7厘米，根据三角形 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可知 5＋5＞7，5＋7＞7， 则等腰三角形三条边的长分别为 5厘米，5厘米，7厘米或 7厘米，7厘米，5 厘米，要使围成这个等腰三角形需要的绳子最少，就要使它的腰比底边短，所以 要使它的腰长是 5厘米，5厘米，底边长是 7厘米，将这三条边长度相加求和即 可。 【详解】5＋5＋7 ＝10＋7 ＝17（厘米） 围成这个等腰三角形至少需要 17厘米长的绳子。 【点睛】本题主要考查了学生根据三角形的任意两边之和大于第三边来确定这个 等腰三角形的腰，进而求出它的周长。 3．一个等腰三角形的周长是 60厘米，其中一条边长是 14厘米，它的另外两条 第 10 页 共 22 页 边长分别是( )厘米和( )厘米。 【答案】 23 23 【分析】因为等腰三角形的两条腰是相等的，而当 14厘米是等腰三角形的腰时， 此时底边是 60－14－14＝32（厘米），因为 14＋14＜32，所以这种情况不存在； 而当底边是 14厘米时，此时腰是（60－14）÷2＝23（厘米），据此解答。 【详解】若 14厘米是等腰三角形的腰时， 底边是：60－14－14 ＝46－14 ＝32（厘米） 因为 14＋14＜32，所以这种情况不存在； 而当底边是 14厘米时，此时腰是： （60－14）÷2 ＝46÷2 ＝23（厘米） 一个等腰三角形的周长是 60厘米，其中一条边长是 14厘米，它的另外两条边长 分别是 23厘米和 23厘米。 【点睛】本题主要是利用等腰三角形的特点：两条腰相等进行解答。注意要结合 三角形三边关系解答。 第 11 页 共 22 页 【第二部分】综合应用与解决问题 【高频考题 01】三角形的内角和问题。 1．在一个三角形中，∠1＝58°，∠2＝42°，∠3＝( )°；在一个直角三角 形中，一个锐角是 25°，另一个锐角是( )°。 【答案】 80 65 【分析】（1）在一个三角形中，已知两个角的度数，依据三角形的内角和是 180°， 即可求出另外一个角的度数； （2）根据在直角三角形中，两个锐角的和是 90°解答即可。 【详解】∠3＝180°－（58°＋42°） ＝180°－100° ＝80° 90°－25°＝65° 在一个三角形中，∠1＝58°，∠2＝42°，∠3＝80°；在一个直角三角形中，一个 锐角是 25°，另一个锐角是 65°。 【点睛】解答此题的主要依据是：三角形的内角和定理以及直角三角形的特点。 2．一个等腰三角形的顶角是 40°，一个底角是( )°，它还是一个( ) 三角形；如果它的一个底角是 40°，它就是一个( )三角形。（按角分类） 【答案】 70 锐角 钝角 【分析】根据三角形的内角和是 180°，等腰三角形的两个底角相等，先用 180° 减去顶角的度数，求出两个底角的度数和，然后除以 2进行解答即可； 根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，用 180°减去 2个底角的度数，可 以求得其顶角的度数； 根据三角形按角分类：有一个角大于 90°小于 180°的三角形是钝角三角形，有一 个角是直角的三角形是直角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；进 行判断即可。 【详解】（180°－40°）÷2 ＝140°÷2 ＝70° 180°－40°×2 第 12 页 共 22 页 ＝180°－80° ＝100° 一个等腰三角形的顶角是 40°，一个底角是 70°，它还是一个锐角三角形；如果 它的一个底角是 40°，它就是一个钝角三角形。 【点睛】此题根据三角形内角和等于 180°和等腰三角形的特点进行解答；用到 的知识点：三角形的分类。 3．∠1＝( )°。 【答案】45 【分析】根据平角是 180°，求出 71°角的邻角，再根据三角形的内角和是 180° 求出∠1的度数。 【详解】180°－71°＝109° 180°－109°－26° ＝71°－26° ＝45° 所以，∠1是 45°。 【点睛】熟练掌握平角的度数和三角形的内角和是解题的关键。 【高频考题 02】多边形的内角和问题。 1．图中，一副三角板叠放在一起，则∠1＝( )°，∠2＝( )°。 【答案】 15 120 【分析】根据题图可知，∠1是由三角板中的 45°角与 30°角拼成的，是这两个角 的度数差，则∠1＝45°－30°。四边形的内角和是 360°，则∠2＝360°－90°－90° －60°。 第 13 页 共 22 页 【详解】∠1＝45°－30°＝15° ∠2＝360°－90°－90°－60°＝120° 2．观察下图，三角形 ABC按角分是一个( )三角形，如果沿着虚线剪下 C ， 那么剩下图形的内角和是( )度。 【答案】 直角 360 【分析】由图可知，AB和 BC垂直，这是一个直角三角形；剪去∠C，剩下图 形是一个四边形，四边形可以分为两个三角形，三角形的内角和是 180°，依此 计算。 【详解】如图所示： 180°＋180°＝360° 三角形 ABC按角分是一个直角三角形，如果沿着虚线剪下∠C，那么剩下图形 的内角和是 360度。 3．探究多边形的内角和与它的边数的关系，一个八边形的内角和是 °。 多边形 …… 边数 3 4 5 6 …… 内角和 180° 360° 540° 720° …… 【答案】1080 【分析】三角形的面积内角和是 180°，四边形可以分成 2个三角形，内角和是 360°；五边形可以分成 3个三角形，内角和是 540°，由此推导出多边形的内角和： （n－2）×180°；把数据代入公式解答。 【详解】三角形的内角和为：（3－2）×180°＝1×180°＝180°； 第 14 页 共 22 页 四边形的内角和为：（4－2）×180°＝2×180°＝360°； 五边形的内角和为：（5－2）×180°＝3×180°＝180°； 六边形的内角和为：（6－2）×180°＝4×180°＝180°； …… n边形的内角和为：（n－2）×180°； 八边形的内角和为：（8－2）×180°＝6×180°＝1080°。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握多边形内角和公式的推导方法及应用。 第 15 页 共 22 页 一、填空题。 1．（2023·四川乐山·期末）刘青有四根小棒，分别长 4dm、5dm、8dm、10dm， 她能围成( )个不同周长的三角形。 【答案】3 【分析】三角形的任意两边之和必须大于第三边，任意两边的差必须小于第三边， 据此即可解答。 【详解】4＋5＝9，9＞8，所以 4dm、5dm、8dm可以围成三角形； 4＋8＝12，12＞10，因此 4dm、8dm、10dm可以围成三角形； 5＋8＝13，13＞10，因此 5dm、8dm、10dm可以围成三角形。 所以她能围成 3个不同周长的三角形。 2．（2023·四川广元·期末）空调的室外机需要一个支架，王叔叔根据三角形的 ( )性决定将其做成三角形形状。已经有两根铝合金，它们的长度分别是 2分米和 3分米，第三根铝合金最长是( )分米。（取整数） 【答案】 稳定 4 【分析】三角形具有稳定性；三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边，任 意两边之差小于第三边。据此解答。 【详解】由题意得，要想空调室外机的支架稳定，需要做成三角形形状，因为三 角形具有稳定性。 两边之差＜第三条边＜两边之和 3－2＜第三条边＜3＋2 1＜第三条边＜5，第三条边的长度是整数，所以第三根铝合金最长是 4分米。 空调的室外机需要一个支架，王叔叔根据三角形的稳定性决定将其做成三角形形 状。已经有两根铝合金，它们的长度分别是 2分米和 3分米，第三根铝合金最长 是 4分米。 3．（2023·四川南充·期末）取一根 15厘米长的铁丝折成一个等边三角形铁框， 铁框的一条边长为( )厘米，如果折成一个腰长 6厘米的等腰三角形铁框， 那么铁框的底边长为( )厘米。 第 16 页 共 22 页 【答案】 5 3 【分析】等边三角形的三条边相等，用 15除以 3就是这个等边三角形的边长； 等腰三角形的两腰相等，用周长减去 2个腰长即可求出底边的长度。以此答题即 可。 【详解】根据分析计算如下： 15÷3＝5（cm） 15－6×2 ＝15－12 ＝3（cm） 取一根 15厘米长的铁丝折成一个等边三角形铁框，铁框的一条边长为 5厘米， 如果折成一个腰长 6厘米的等腰三角形铁框，那么铁框的底边长为 3厘米。 4．（2024·湖南株洲·期末）有一个直角梯形，如果它的一个角是 115°，那么除 了两个直角外的另一个角是( )°，属于( )角。 【答案】 65 锐 【分析】梯形的内角和为 360°。由题意得，有一个直角梯形（直角梯形有两个 直角），如果它的一个角是 115°，求除了两个直角外的另一个角的度数，直接 用 360°减去两个直角的度数再减去 115°即可解答。然后根据这个角的度数来判 断这个角的类型即可。 【详解】360°－90°－90°－115° ＝270°－90°－115° ＝180°－115° ＝65° 65°＜90°，所以这个角是锐角。 除了两个直角外的另一个角是 65°，属于锐角。 5．（2024·山东济宁·期末）剪掉等腰直角三角形的一个锐角后（如图），剩下 （涂色）图形的内角和是( )°。 第 17 页 共 22 页 【答案】360 【分析】已知三角形的内角和是 180°，把剩下的图形分成两个三角形，根据三 角形的内角和是 180°，据此得出剩下图形的内角和。 【详解】如图： 180°×2＝360° 剪掉等腰直角三角形的一个锐角后（如图），剩下（涂色）图形的内角和是（360）°。 二、选择题。 6．（2024·海南省直辖县级单位·期末）下图中三角形 ABC底边 BC上的高是 ( )。 A．AB B．FC C．BG D．AD 【答案】D 【分析】根据三角形高、底的意义，从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线， 顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底，据此解答。 【详解】三角形ABC底边BC的高就是从顶点A到底边BC作垂线段，因为∠ABC 是钝角，所以高在底边 CB的延长线上 BD上，所以三角形 ABC底边 BC上的 高是 AD。 故答案为：D 7．（2023·四川成都·期末）一个三角形被一张纸遮住了一部分（如图）。那么 在以下对这个三角形的判断中，正确的是( )。 第 18 页 共 22 页 A．一定是锐角三角形。 B．一定不是钝角三角形。 C．不是锐角三角形，就是直角三角形。 D．既可能是锐角三角形，也可能是直角三角形，还可能是钝角三角形。 【答案】D 【分析】 三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形， 有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。这个三角形被一张纸遮住了一个角，看 不出另外的两个角。这个三角形可能是锐角三角形，如图： ；也 可能是直角三角形，如图： ；还可能是钝角三角形，如图： 。 【详解】因此，这个三角形既可能是锐角三角形，也可能是直角三角形，还可能 是钝角三角形。 故答案为：D 8．（2023·四川凉山·期末）下面四组角中，是三角形三个内角的是( )。 A．16°，79°，95° B．80°，16°，84° C．80°，40°，50° D．25°，78°，86° 【答案】B 【分析】三角形的内角和为 180°，将四个选项中每组角的度数相加，看其是否 等于 180°即可。 【详解】A．16°＋79°＋95°＝190° 190°＞180° 所以 16°，79°，95°不是三角形三个内角，不符合题意。 第 19 页 共 22 页 B．80°＋16°＋84°＝180° 180°＝180° 所以 80°，16°，84°是三角形三个内角，符合题意。 C．80°＋40°＋50°＝170° 170°＜180° 所以 80°，40°，50°不是三角形三个内角，不符合题意。 D．25°＋78°＋86°＝189° 189°＞180° 所以 25°，78°，86°不是三角形三个内角，不符合题意。 故答案为：B 9．（2024·湖南株洲·期末）下面三角形中， 1 110  的是( )。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和等于 180°，用 180°分别减去各选项中已知 2个角的 度数和，即可解答。 【详解】 A． ， 25°＋35°＝60°，180°－60°＝120°； B． ，30°＋40°＝70°，180°－70°＝110°； C． ，35°＋45°＝80°，180°－80°＝100°； D． ，40°＋50°＝90°，180°－90°＝90°。 第 20 页 共 22 页 三角形中， 1 110  的是 。 故答案为：B 三、计算题。 10．（2023·四川宜宾·期末）计算下面各未知角的度数。 【答案】（1）64° （2）120° 【分析】（1）三角形的内角和为 180°。由题意得，三角形的两个内角分别是 86° 和 30°，那么直接用 180°减去两个内角的度数即可算出第三个内角的度数。 （2）由图可知，三角形的两条边长度相等，那这个三角形为等腰三角形，等腰 三角形的两个底角的度数相等。一个底角的度数为 30°，那么另一个底角的度数 也为 30°，那么直接用 180°减去两个底角的度数即可算出顶角的度数。 【详解】（1）180°－30°－86°＝150°－86°＝64° （2）180°－30°－30°＝150°－30°＝120° 四、作图题。 11．（2024·四川遂宁·期末）在下面点子图上作一个顶角是直角的等腰三角形， 并在图中标出两个底角的度数，再画出它底边上的高。 【答案】见详解 【分析】等腰三角形：有两条边相等的三角形，在等腰三角形中，相等的两条边 叫做腰，另一条边叫做底，两腰的夹角叫做顶角，底边上的两个角叫做底角，等 腰三角形的两个底角相等；顶角是直角的等腰三角形，两条直角边相等，顶角是 第 21 页 共 22 页 一个直角； 三角形的内角和为 180°，直角为 90°，那么其中一个底角的度数为：（180°－90°） ÷2＝90°÷2＝45°； 从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形 的高；据此解答。 【详解】根据分析作图如下： （画法不唯一） 五、解答题。 12．（2024·广东肇庆·期末）如图是淘气测量的一个三角形花坛各边和长度。（单 位：米）你认为淘气测量的结果正确吗？请说明理由。 【答案】不正确；不满足三角形三边关系，不能围成三角形 【分析】根据三角形的三边关系，三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小 于第三边，据此解答即可。 【详解】答：不正确，因为 10＋14＝24，24＜25，不满足三角形三边关系，不 能围成三角形，所以，淘气测量的结果不正确。 13．（2024·重庆渝北·期末）小芳家有一个等腰三角形的相框，她打算用丝带沿 边围一周装饰这个相框。量得这个相框的腰长 18厘米，底边长 2分米，小芳至 少需要买多少厘米长的丝带？ 【答案】56厘米 【分析】根据题意，求丝带的长就是求三角形的周长。根据等腰三角形两腰相等 的特点，可知这个相框三边的长度为 18厘米，18厘米，2分米；先根据 1分米 ＝10厘米，把 2分米换算成厘米单位，即 20厘米，再把三条边的长度相加即可。 据此解答。 【详解】2分米＝20厘米 第 22 页 共 22 页 18＋18＋20 ＝36＋20 ＝56（厘米） 答：小芳至少需要买 56厘米长的丝带。 14．（2024·广东阳江·期末）已知∠1＝80°，∠2＝48°，∠3、∠4的度数分别是 多少？ 【答案】∠3＝52°；∠4＝128° 【分析】三角形的内角和是 180°，利用 180°减去∠1和∠2的度数即可求出∠3 的度数，∠3和∠4合起来是一个 180°的平角，利用 180°减去∠3的度数就是∠4 的度数。 【详解】∠3＝180°－80°－48° ＝100°－48° ＝52° ∠4＝180°－52°＝128° 答：∠3的度数是 52°，∠4的度数是 128°。 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年四年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年四年级数学下册典型例题系列「2025版」 第五单元三角形·单元复习篇【四大篇章】 知识点一：三角形的概念与表示。 1. 三角形的定义。 由3条线段首尾相连围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。 2. 三角形的组成。 三角形有3条边、3个角和3个顶点。 3. 三角形的表示方法。 三角形的表示方法有多种，常用的方法包括顶点表示法、边长表示法和角度表示法。 （1）顶点表示法。 顶点表示法是最常见的三角形表示方法，它用三个大写字母表示三角形的顶点。例如，三角形ABC表示由点A、点B和点C组成的三角形。 （2）边长表示法。 边长表示法是通过表示三角形的三条边的长度来表示三角形。例如，三角形ABC的三条边分别为AB、BC和AC，可以用a、b和c表示。 （3）角度表示法。 角度表示法是通过表示三角形的三个内角的大小来表示三角形。例如，三角形ABC的三个内角分别为∠A、∠B和∠C,可以用α、β和γ表示。 知识点二：三角形的性质。 三角形具有稳定性，不易变形，例如：三脚架、房梁加固、斜钉木条固定窗框等。 知识点三：三角形的高。 1. 三角形的高和底。 从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底（如图）。 注意事项： 三角形的底与高是相对应的，它们是一组互相垂直的线段，在哪一条边上作高，这条边就是这条高所对应的底。 2. 三角形高的画法。 因为三角形有3个顶点，过每个顶点都可以向对边作一条垂线段，所以任意一个三角形都可以作3条高，由于三角形的形状不同，因此三角形的高的位置也就不同。（如下图） 知识点四：两点间线段最短与两点间的距离。 两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。 知识点五：三角形三边关系定理。 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 知识点六：三角形的分类。 1. 三角形按角分类。 （1）锐角三角形：三个角都是锐角（小于90°）。 （2）直角三角形：有一个角是90°，其余两个角为锐角。 （3）钝角三角形：有一个角是钝角（大于90°且小于180°），其余两个角为锐角。 2. 三角形按边分类。 注意：等边三角形是特殊的等腰三角形。 知识点七：三角形和多边形的内角和。 1. 三角形的内角和是180°。 2. 在三角形中，已知两个角的度数，求第三个角的度数，用180°连续减去已知的两个角的度数或用180°减去这两个角的度数和。 3. 四边形的内角和是360°。 4. 多边形的内角和公式。 （1）多边形的内角和是180°×（边数－2）。 （2）通过分割的方法将求多边形内角和转化为求多个三角形内角和相加。 【第一部分】基本知识与基本应用 【高频考题01】三角形的认识与性质。 1．下面哪些图形是三角形？ 2．数一数，图中共有( )个三角形。    3．对照相要求比较高的时候，摄影师一般会使用一个三角支架，这是利用了三角形的( )性。 【高频考题02】三角形三边关系定理与应用。 1．在能拼成三角形的各组线段下面画“√”。（单位：厘米） 2．15厘米的铁丝剪成三段（每段的长度都是整厘米数），然后围成三角形，一共可以围成( )个不同的三角形。 3．三角形的三条边都是整厘米数，其中两条边分别是3厘米和4厘米，另一条边最长可以是( )厘米，最短可以是( )厘米。 【高频考题03】三角形的分类。 1．一个三角形的三个内角都是60°，按角分，这是一个( )三角形，按边分，是个( )三角形。 2．红领巾是我们少先队员佩戴的标志，如果按角分它是一个( )三角形，按边分它又是一个( )三角形。 【高频考题04】等腰三角形与等边三角形的特征及应用。 1．王叔叔把一根18分米长的铁丝正好折成了一个正三角形铁框，铁框一边长( )分米，若折成一条腰是5分米的等腰三角形铁框，铁框底边长( )分米。 2．一个等腰三角形的一条边是5厘米，另一条边是7厘米，围成这个等腰三角形至少需要( )厘米长的绳子。 3．一个等腰三角形的周长是60厘米，其中一条边长是14厘米，它的另外两条边长分别是( )厘米和( )厘米。 【第二部分】综合应用与解决问题 【高频考题01】三角形的内角和问题。 1．在一个三角形中，∠1＝58°，∠2＝42°，∠3＝( )°；在一个直角三角形中，一个锐角是25°，另一个锐角是( )°。 2．一个等腰三角形的顶角是40°，一个底角是( )°，它还是一个( )三角形；如果它的一个底角是40°，它就是一个( )三角形。（按角分类） 3．∠1＝( )°。 【高频考题02】多边形的内角和问题。 1．图中，一副三角板叠放在一起，则∠1＝( )°，∠2＝( )°。 2．观察下图，三角形按角分是一个( )三角形，如果沿着虚线剪下，那么剩下图形的内角和是( )度。    3．探究多边形的内角和与它的边数的关系，一个八边形的内角和是 °。 多边形 …… 边数 3 4 5 6 …… 内角和 180° 360° 540° 720° …… 一、填空题。 1．（2023·四川乐山·期末）刘青有四根小棒，分别长4dm、5dm、8dm、10dm，她能围成( )个不同周长的三角形。 2．（2023·四川广元·期末）空调的室外机需要一个支架，王叔叔根据三角形的( )性决定将其做成三角形形状。已经有两根铝合金，它们的长度分别是2分米和3分米，第三根铝合金最长是( )分米。（取整数） 3．（2023·四川南充·期末）取一根15厘米长的铁丝折成一个等边三角形铁框，铁框的一条边长为( )厘米，如果折成一个腰长6厘米的等腰三角形铁框，那么铁框的底边长为( )厘米。 4．（2024·湖南株洲·期末）有一个直角梯形，如果它的一个角是115°，那么除了两个直角外的另一个角是( )°，属于( )角。 5．（2024·山东济宁·期末）剪掉等腰直角三角形的一个锐角后（如图），剩下（涂色）图形的内角和是( )°。 二、选择题。 6．（2024·海南省直辖县级单位·期末）下图中三角形ABC底边BC上的高是( )。 A．AB B．FC C．BG D．AD 7．（2023·四川成都·期末）一个三角形被一张纸遮住了一部分（如图）。那么在以下对这个三角形的判断中，正确的是( )。 A．一定是锐角三角形。 B．一定不是钝角三角形。 C．不是锐角三角形，就是直角三角形。 D．既可能是锐角三角形，也可能是直角三角形，还可能是钝角三角形。 8．（2023·四川凉山·期末）下面四组角中，是三角形三个内角的是( )。 A．16°，79°，95° B．80°，16°，84° C．80°，40°，50° D．25°，78°，86° 9．（2024·湖南株洲·期末）下面三角形中，的是( )。 A． B． C． D． 三、计算题。 10．（2023·四川宜宾·期末）计算下面各未知角的度数。 四、作图题。 11．（2024·四川遂宁·期末）在下面点子图上作一个顶角是直角的等腰三角形，并在图中标出两个底角的度数，再画出它底边上的高。 五、解答题。 12．（2024·广东肇庆·期末）如图是淘气测量的一个三角形花坛各边和长度。（单位：米）你认为淘气测量的结果正确吗？请说明理由。 13．（2024·重庆渝北·期末）小芳家有一个等腰三角形的相框，她打算用丝带沿边围一周装饰这个相框。量得这个相框的腰长18厘米，底边长2分米，小芳至少需要买多少厘米长的丝带？ 14．（2024·广东阳江·期末）已知∠1＝80°，∠2＝48°，∠3、∠4的度数分别是多少？ 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年四年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年四年级数学下册典型例题系列「2025版」 第五单元三角形·单元复习篇【四大篇章】 知识点一：三角形的概念与表示。 1. 三角形的定义。 由3条线段首尾相连围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。 2. 三角形的组成。 三角形有3条边、3个角和3个顶点。 3. 三角形的表示方法。 三角形的表示方法有多种，常用的方法包括顶点表示法、边长表示法和角度表示法。 （1）顶点表示法。 顶点表示法是最常见的三角形表示方法，它用三个大写字母表示三角形的顶点。例如，三角形ABC表示由点A、点B和点C组成的三角形。 （2）边长表示法。 边长表示法是通过表示三角形的三条边的长度来表示三角形。例如，三角形ABC的三条边分别为AB、BC和AC，可以用a、b和c表示。 （3）角度表示法。 角度表示法是通过表示三角形的三个内角的大小来表示三角形。例如，三角形ABC的三个内角分别为∠A、∠B和∠C,可以用α、β和γ表示。 知识点二：三角形的性质。 三角形具有稳定性，不易变形，例如：三脚架、房梁加固、斜钉木条固定窗框等。 知识点三：三角形的高。 1. 三角形的高和底。 从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底（如图）。 注意事项： 三角形的底与高是相对应的，它们是一组互相垂直的线段，在哪一条边上作高，这条边就是这条高所对应的底。 2. 三角形高的画法。 因为三角形有3个顶点，过每个顶点都可以向对边作一条垂线段，所以任意一个三角形都可以作3条高，由于三角形的形状不同，因此三角形的高的位置也就不同。（如下图） 知识点四：两点间线段最短与两点间的距离。 两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。 知识点五：三角形三边关系定理。 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 知识点六：三角形的分类。 1. 三角形按角分类。 （1）锐角三角形：三个角都是锐角（小于90°）。 （2）直角三角形：有一个角是90°，其余两个角为锐角。 （3）钝角三角形：有一个角是钝角（大于90°且小于180°），其余两个角为锐角。 2. 三角形按边分类。 注意：等边三角形是特殊的等腰三角形。 知识点七：三角形和多边形的内角和。 1. 三角形的内角和是180°。 2. 在三角形中，已知两个角的度数，求第三个角的度数，用180°连续减去已知的两个角的度数或用180°减去这两个角的度数和。 3. 四边形的内角和是360°。 4. 多边形的内角和公式。 （1）多边形的内角和是180°×（边数－2）。 （2）通过分割的方法将求多边形内角和转化为求多个三角形内角和相加。 【第一部分】基本知识与基本应用 【高频考题01】三角形的认识与性质。 1．下面哪些图形是三角形？ 【答案】③；⑥ 【分析】由三条线段组成的封闭图形是三角形，依此解答。 【详解】答：图形③和⑥是三角形，其它的都不是三角形。 【点睛】熟练掌握三角形的特点，是解答本题的关键。 2．数一数，图中共有( )个三角形。    【答案】16 【分析】观察图形可知，先数单个三角形的个数有6个，再数2个图形合成的三角形，共有3个，再数3个图形合成的三角形，共有6个，最后再加上最大的三角形共1个，据此解答即可。 【详解】6＋3＋6＋1 ＝9＋6＋1 ＝15＋1 ＝16（个） 则图中共有16个三角形。 【点睛】本题考查了组合图形的计数，数三角形的个数时，不能忽略了其中较大的三角形。 3．对照相要求比较高的时候，摄影师一般会使用一个三角支架，这是利用了三角形的( )性。 【答案】稳定 【分析】根据三角形的特性：三角形具有稳定性，进行解答即可。 【详解】对照相要求比较高的时候，摄影师一般会使用一个三角支架，这是利用了三角形的稳定性。 【点睛】此题主要考查三角形的稳定性在实际生活中的运用。 【高频考题02】三角形三边关系定理与应用。 1．在能拼成三角形的各组线段下面画“√”。（单位：厘米） 【答案】（1）（√）；（2）（√）；（3）（√）； 【分析】三角形3条边的关系是：任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边，依此填空即可。 【详解】（1）3＋4＝7（厘米），7厘米＞5厘米，5－3＝2（厘米），2厘米＜4厘米，因此这组线段能拼成三角形。 （2）3＋3＝6（厘米），6厘米＞3厘米，3－3＝0（厘米），0厘米＜3厘米，因此这组线段能拼成三角形。 （3）3＋3＝6（厘米），6厘米＞5厘米，5－3＝2（厘米），2厘米＜3厘米，因此这组线段能拼成三角形。 （4）2＋2＝4（厘米），4厘米＜6厘米，6－2＝4（厘米），2厘米＜4厘米，因此这组线段不能拼成三角形。 由此可知，填空如下： 【点睛】熟练掌握三角形三边的关系，是解答本题的关键。 2．15厘米的铁丝剪成三段（每段的长度都是整厘米数），然后围成三角形，一共可以围成( )个不同的三角形。 【答案】7 【分析】已知铁丝的总长是15厘米，即三角形三条边的和是15厘米，且三条边中最长的边最大只能是7厘米，如果是8厘米的话，就不符合任意两边之和大于第三边的说法了。所以围绕着最长边是7厘米来判定其他两边的长度即可。 【详解】由分析可知： 第一种：5厘米、5厘米、5厘米 第二种：4厘米、5厘米、6厘米 第三种：3厘米、5厘米、7厘米 第四种：4厘米、4厘米、7厘米 第五种：1厘米、7厘米、7厘米 第六种：3厘米、6厘米、6厘米 第七种：2厘米、6厘米、7厘米 则一共可以围成7个不同的三角形。 【点睛】本题主要考查三角形三边的关系。三角形任意两条边的和大于第三边，两边之差小于第三边。 3．三角形的三条边都是整厘米数，其中两条边分别是3厘米和4厘米，另一条边最长可以是( )厘米，最短可以是( )厘米。 【答案】 6 2 【分析】三角形的三边关系为三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差一定小于第三边；据此解答即可。 【详解】3＋4＝7（厘米） 4－3＝1（厘米） 则另一条边的长度比7厘米短，比1厘米长。最长可以是6厘米，最短可以是2厘米。 【点睛】熟练掌握三角形的三边关系，灵活运用三角形的三边关系解决问题。 【高频考题03】三角形的分类。 1．一个三角形的三个内角都是60°，按角分，这是一个( )三角形，按边分，是个( )三角形。 【答案】 锐角 等边 【分析】我们知道，角分三种，大于90°的角是钝角，等于90°的角是直角，小于90°的角是锐角，据此即可解答；按边分，每个角都是60°，对应每个边都是相等的，据此即可解答。 【详解】一个三角形的三个内角都是60°，按角分，这是一个（锐角）三角形，按边分，是个（等边）三角形。 【点睛】本题主要考查三角形的分类。 2．红领巾是我们少先队员佩戴的标志，如果按角分它是一个( )三角形，按边分它又是一个( )三角形。 【答案】 钝角 等腰 【分析】根据三角形的分类标准，以及红领巾的特点进行填空即可； 三角形按角分为：钝角三角形、直角三角形和锐角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形； 按边分为：等腰三角形、等边三角形，等腰三角形的两腰相等，两个底角也相等；等边三角形的三条边都相等，三个角都相等。 【详解】红领巾的两腰相等，并且有一个角是钝角，因此红领巾如果按角分它是一个钝角三角形，按边分它又是一个等腰三角形。 【点睛】熟练掌握三角形的分类标准是解答此题的关键。 【高频考题04】等腰三角形与等边三角形的特征及应用。 1．王叔叔把一根18分米长的铁丝正好折成了一个正三角形铁框，铁框一边长( )分米，若折成一条腰是5分米的等腰三角形铁框，铁框底边长( )分米。 【答案】 6 8 【分析】等边三角形也叫正三角形，三条边相等，18分米长的铁丝是三角形的周长，利用周长除以3即可求出等边三角形的边长；等腰三角形的两条腰相等，利用周长减去两条腰长即可求出底边长。 【详解】18÷3＝6（分米） 18－5×2 ＝18－10 ＝8（分米） 王叔叔把一根18分米长的铁丝正好折成了一个正三角形铁框，铁框一边长6分米，若折成一条腰是5分米的等腰三角形铁框，铁框底边长8分米。 【点睛】熟练掌握等边三角形和等腰三角形的特征，是解答此题的关键。 2．一个等腰三角形的一条边是5厘米，另一条边是7厘米，围成这个等腰三角形至少需要( )厘米长的绳子。 【答案】17 【分析】等腰三角形的两条腰相等，则第三条边长5厘米或7厘米，根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可知5＋5＞7，5＋7＞7，则等腰三角形三条边的长分别为5厘米，5厘米，7厘米或7厘米，7厘米，5厘米，要使围成这个等腰三角形需要的绳子最少，就要使它的腰比底边短，所以要使它的腰长是5厘米，5厘米，底边长是7厘米，将这三条边长度相加求和即可。 【详解】5＋5＋7 ＝10＋7 ＝17（厘米） 围成这个等腰三角形至少需要17厘米长的绳子。 【点睛】本题主要考查了学生根据三角形的任意两边之和大于第三边来确定这个等腰三角形的腰，进而求出它的周长。 3．一个等腰三角形的周长是60厘米，其中一条边长是14厘米，它的另外两条边长分别是( )厘米和( )厘米。 【答案】 23 23 【分析】因为等腰三角形的两条腰是相等的，而当14厘米是等腰三角形的腰时，此时底边是60－14－14＝32（厘米），因为14＋14＜32，所以这种情况不存在；而当底边是14厘米时，此时腰是（60－14）÷2＝23（厘米），据此解答。 【详解】若14厘米是等腰三角形的腰时， 底边是：60－14－14 ＝46－14 ＝32（厘米） 因为14＋14＜32，所以这种情况不存在； 而当底边是14厘米时，此时腰是： （60－14）÷2 ＝46÷2 ＝23（厘米） 一个等腰三角形的周长是60厘米，其中一条边长是14厘米，它的另外两条边长分别是23厘米和23厘米。 【点睛】本题主要是利用等腰三角形的特点：两条腰相等进行解答。注意要结合三角形三边关系解答。 【第二部分】综合应用与解决问题 【高频考题01】三角形的内角和问题。 1．在一个三角形中，∠1＝58°，∠2＝42°，∠3＝( )°；在一个直角三角形中，一个锐角是25°，另一个锐角是( )°。 【答案】 80 65 【分析】（1）在一个三角形中，已知两个角的度数，依据三角形的内角和是180°，即可求出另外一个角的度数； （2）根据在直角三角形中，两个锐角的和是90°解答即可。 【详解】∠3＝180°－（58°＋42°） ＝180°－100° ＝80° 90°－25°＝65° 在一个三角形中，∠1＝58°，∠2＝42°，∠3＝80°；在一个直角三角形中，一个锐角是25°，另一个锐角是65°。 【点睛】解答此题的主要依据是：三角形的内角和定理以及直角三角形的特点。 2．一个等腰三角形的顶角是40°，一个底角是( )°，它还是一个( )三角形；如果它的一个底角是40°，它就是一个( )三角形。（按角分类） 【答案】 70 锐角 钝角 【分析】根据三角形的内角和是180°，等腰三角形的两个底角相等，先用180°减去顶角的度数，求出两个底角的度数和，然后除以2进行解答即可； 根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，用180°减去2个底角的度数，可以求得其顶角的度数； 根据三角形按角分类：有一个角大于90°小于180°的三角形是钝角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；进行判断即可。 【详解】（180°－40°）÷2 ＝140°÷2 ＝70° 180°－40°×2 ＝180°－80° ＝100° 一个等腰三角形的顶角是40°，一个底角是70°，它还是一个锐角三角形；如果它的一个底角是40°，它就是一个钝角三角形。 【点睛】此题根据三角形内角和等于180°和等腰三角形的特点进行解答；用到的知识点：三角形的分类。 3．∠1＝( )°。 【答案】45 【分析】根据平角是180°，求出71°角的邻角，再根据三角形的内角和是180°求出∠1的度数。 【详解】180°－71°＝109° 180°－109°－26° ＝71°－26° ＝45° 所以，∠1是45°。 【点睛】熟练掌握平角的度数和三角形的内角和是解题的关键。 【高频考题02】多边形的内角和问题。 1．图中，一副三角板叠放在一起，则∠1＝( )°，∠2＝( )°。 【答案】 15 120 【分析】根据题图可知，∠1是由三角板中的45°角与30°角拼成的，是这两个角的度数差，则∠1＝45°－30°。四边形的内角和是360°，则∠2＝360°－90°－90°－60°。 【详解】∠1＝45°－30°＝15° ∠2＝360°－90°－90°－60°＝120° 2．观察下图，三角形按角分是一个( )三角形，如果沿着虚线剪下，那么剩下图形的内角和是( )度。    【答案】 直角 360 【分析】由图可知，AB和BC垂直，这是一个直角三角形；剪去∠C，剩下图形是一个四边形，四边形可以分为两个三角形，三角形的内角和是180°，依此计算。 【详解】如图所示：     180°＋180°＝360° 三角形ABC按角分是一个直角三角形，如果沿着虚线剪下∠C，那么剩下图形的内角和是360度。 3．探究多边形的内角和与它的边数的关系，一个八边形的内角和是 °。 多边形 …… 边数 3 4 5 6 …… 内角和 180° 360° 540° 720° …… 【答案】1080 【分析】三角形的面积内角和是180°，四边形可以分成2个三角形，内角和是360°；五边形可以分成3个三角形，内角和是540°，由此推导出多边形的内角和：（n－2）×180°；把数据代入公式解答。 【详解】三角形的内角和为：（3－2）×180°＝1×180°＝180°； 四边形的内角和为：（4－2）×180°＝2×180°＝360°； 五边形的内角和为：（5－2）×180°＝3×180°＝180°； 六边形的内角和为：（6－2）×180°＝4×180°＝180°； …… n边形的内角和为：（n－2）×180°； 八边形的内角和为：（8－2）×180°＝6×180°＝1080°。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握多边形内角和公式的推导方法及应用。 一、填空题。 1．（2023·四川乐山·期末）刘青有四根小棒，分别长4dm、5dm、8dm、10dm，她能围成( )个不同周长的三角形。 【答案】3 【分析】三角形的任意两边之和必须大于第三边，任意两边的差必须小于第三边，据此即可解答。 【详解】4＋5＝9，9＞8，所以4dm、5dm、8dm可以围成三角形； 4＋8＝12，12＞10，因此4dm、8dm、10dm可以围成三角形； 5＋8＝13，13＞10，因此5dm、8dm、10dm可以围成三角形。 所以她能围成3个不同周长的三角形。 2．（2023·四川广元·期末）空调的室外机需要一个支架，王叔叔根据三角形的( )性决定将其做成三角形形状。已经有两根铝合金，它们的长度分别是2分米和3分米，第三根铝合金最长是( )分米。（取整数） 【答案】 稳定 4 【分析】三角形具有稳定性；三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。据此解答。 【详解】由题意得，要想空调室外机的支架稳定，需要做成三角形形状，因为三角形具有稳定性。 两边之差＜第三条边＜两边之和 3－2＜第三条边＜3＋2 1＜第三条边＜5，第三条边的长度是整数，所以第三根铝合金最长是4分米。 空调的室外机需要一个支架，王叔叔根据三角形的稳定性决定将其做成三角形形状。已经有两根铝合金，它们的长度分别是2分米和3分米，第三根铝合金最长是4分米。 3．（2023·四川南充·期末）取一根15厘米长的铁丝折成一个等边三角形铁框，铁框的一条边长为( )厘米，如果折成一个腰长6厘米的等腰三角形铁框，那么铁框的底边长为( )厘米。 【答案】 5 3 【分析】等边三角形的三条边相等，用15除以3就是这个等边三角形的边长；等腰三角形的两腰相等，用周长减去2个腰长即可求出底边的长度。以此答题即可。 【详解】根据分析计算如下： 15÷3＝5（cm） 15－6×2 ＝15－12 ＝3（cm） 取一根15厘米长的铁丝折成一个等边三角形铁框，铁框的一条边长为5厘米，如果折成一个腰长6厘米的等腰三角形铁框，那么铁框的底边长为3厘米。 4．（2024·湖南株洲·期末）有一个直角梯形，如果它的一个角是115°，那么除了两个直角外的另一个角是( )°，属于( )角。 【答案】 65 锐 【分析】梯形的内角和为360°。由题意得，有一个直角梯形（直角梯形有两个直角），如果它的一个角是115°，求除了两个直角外的另一个角的度数，直接用360°减去两个直角的度数再减去115°即可解答。然后根据这个角的度数来判断这个角的类型即可。 【详解】360°－90°－90°－115° ＝270°－90°－115° ＝180°－115° ＝65° 65°＜90°，所以这个角是锐角。 除了两个直角外的另一个角是65°，属于锐角。 5．（2024·山东济宁·期末）剪掉等腰直角三角形的一个锐角后（如图），剩下（涂色）图形的内角和是( )°。 【答案】360 【分析】已知三角形的内角和是180°，把剩下的图形分成两个三角形，根据三角形的内角和是180°，据此得出剩下图形的内角和。 【详解】如图： 180°×2＝360° 剪掉等腰直角三角形的一个锐角后（如图），剩下（涂色）图形的内角和是（360）°。 二、选择题。 6．（2024·海南省直辖县级单位·期末）下图中三角形ABC底边BC上的高是( )。 A．AB B．FC C．BG D．AD 【答案】D 【分析】根据三角形高、底的意义，从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底，据此解答。 【详解】三角形ABC底边BC的高就是从顶点A到底边BC作垂线段，因为∠ABC是钝角，所以高在底边CB的延长线上BD上，所以三角形ABC底边BC上的高是AD。 故答案为：D 7．（2023·四川成都·期末）一个三角形被一张纸遮住了一部分（如图）。那么在以下对这个三角形的判断中，正确的是( )。 A．一定是锐角三角形。 B．一定不是钝角三角形。 C．不是锐角三角形，就是直角三角形。 D．既可能是锐角三角形，也可能是直角三角形，还可能是钝角三角形。 【答案】D 【分析】 三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。这个三角形被一张纸遮住了一个角，看不出另外的两个角。这个三角形可能是锐角三角形，如图：；也可能是直角三角形，如图：；还可能是钝角三角形，如图：。 【详解】因此，这个三角形既可能是锐角三角形，也可能是直角三角形，还可能是钝角三角形。 故答案为：D 8．（2023·四川凉山·期末）下面四组角中，是三角形三个内角的是( )。 A．16°，79°，95° B．80°，16°，84° C．80°，40°，50° D．25°，78°，86° 【答案】B 【分析】三角形的内角和为180°，将四个选项中每组角的度数相加，看其是否等于180°即可。 【详解】A．16°＋79°＋95°＝190° 190°＞180° 所以16°，79°，95°不是三角形三个内角，不符合题意。 B．80°＋16°＋84°＝180° 180°＝180° 所以80°，16°，84°是三角形三个内角，符合题意。 C．80°＋40°＋50°＝170° 170°＜180° 所以80°，40°，50°不是三角形三个内角，不符合题意。 D．25°＋78°＋86°＝189° 189°＞180° 所以25°，78°，86°不是三角形三个内角，不符合题意。 故答案为：B 9．（2024·湖南株洲·期末）下面三角形中，的是( )。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和等于180°，用180°分别减去各选项中已知2个角的度数和，即可解答。 【详解】 A．， 25°＋35°＝60°，180°－60°＝120°； B．，30°＋40°＝70°，180°－70°＝110°； C．，35°＋45°＝80°，180°－80°＝100°； D．，40°＋50°＝90°，180°－90°＝90°。 三角形中，的是。 故答案为：B 三、计算题。 10．（2023·四川宜宾·期末）计算下面各未知角的度数。 【答案】（1）64° （2）120° 【分析】（1）三角形的内角和为180°。由题意得，三角形的两个内角分别是86°和30°，那么直接用180°减去两个内角的度数即可算出第三个内角的度数。 （2）由图可知，三角形的两条边长度相等，那这个三角形为等腰三角形，等腰三角形的两个底角的度数相等。一个底角的度数为30°，那么另一个底角的度数也为30°，那么直接用180°减去两个底角的度数即可算出顶角的度数。 【详解】（1）180°－30°－86°＝150°－86°＝64° （2）180°－30°－30°＝150°－30°＝120° 四、作图题。 11．（2024·四川遂宁·期末）在下面点子图上作一个顶角是直角的等腰三角形，并在图中标出两个底角的度数，再画出它底边上的高。 【答案】见详解 【分析】等腰三角形：有两条边相等的三角形，在等腰三角形中，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底，两腰的夹角叫做顶角，底边上的两个角叫做底角，等腰三角形的两个底角相等；顶角是直角的等腰三角形，两条直角边相等，顶角是一个直角； 三角形的内角和为180°，直角为90°，那么其中一个底角的度数为：（180°－90°）÷2＝90°÷2＝45°； 从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高；据此解答。 【详解】根据分析作图如下： （画法不唯一） 五、解答题。 12．（2024·广东肇庆·期末）如图是淘气测量的一个三角形花坛各边和长度。（单位：米）你认为淘气测量的结果正确吗？请说明理由。 【答案】不正确；不满足三角形三边关系，不能围成三角形 【分析】根据三角形的三边关系，三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此解答即可。 【详解】答：不正确，因为10＋14＝24，24＜25，不满足三角形三边关系，不能围成三角形，所以，淘气测量的结果不正确。 13．（2024·重庆渝北·期末）小芳家有一个等腰三角形的相框，她打算用丝带沿边围一周装饰这个相框。量得这个相框的腰长18厘米，底边长2分米，小芳至少需要买多少厘米长的丝带？ 【答案】56厘米 【分析】根据题意，求丝带的长就是求三角形的周长。根据等腰三角形两腰相等的特点，可知这个相框三边的长度为18厘米，18厘米，2分米；先根据1分米＝10厘米，把2分米换算成厘米单位，即20厘米，再把三条边的长度相加即可。据此解答。 【详解】2分米＝20厘米 18＋18＋20 ＝36＋20 ＝56（厘米） 答：小芳至少需要买56厘米长的丝带。 14．（2024·广东阳江·期末）已知∠1＝80°，∠2＝48°，∠3、∠4的度数分别是多少？ 【答案】∠3＝52°；∠4＝128° 【分析】三角形的内角和是180°，利用180°减去∠1和∠2的度数即可求出∠3的度数，∠3和∠4合起来是一个180°的平角，利用180°减去∠3的度数就是∠4的度数。 【详解】∠3＝180°－80°－48° ＝100°－48° ＝52° ∠4＝180°－52°＝128° 答：∠3的度数是52°，∠4的度数是128°。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$四下第五单元 三角形 1.三角形特性 2.三角形的分类 3.三角形的内角和 （1）定义 （2）特性 由三条线段首尾连接而成的图形 三边三角三顶点 （3）高的画法 （4）三角形具有稳定性 （5）三边关系 （1）按角分 （2）按边分 A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 不等边三角形 等腰三角形 等腰三角形 等边三角形 （1）三角形内角和是180度 （2）应用 A.已知三角形中两个角的度数， 求第三个角的度数 B.已知等腰三角形中一个角的度数， 求另外两个角的度数 (3)多边形的内角和 （n-2）x180 两边相等 三边相等 三个角都是锐角 一个角是钝角 一个角是直角 任意两边之和大于第三边 任意两边之差小于第三边 第 1 页 共 10 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年四年级数学下册典型例题系列「2025 版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 10 页 2024-2025 学年四年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第五单元三角形·单元复习篇【四大篇章】 知识点一：三角形的概念与表示。 1. 三角形的定义。 由 3条线段首尾相连围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。 2. 三角形的组成。 三角形有 3条边、3个角和 3个顶点。 第 3 页 共 10 页 3. 三角形的表示方法。 三角形的表示方法有多种，常用的方法包括顶点表示法、边长表示法和角度表示 法。 （1）顶点表示法。 顶点表示法是最常见的三角形表示方法，它用三个大写字母表示三角形的顶点。 例如，三角形 ABC表示由点 A、点 B和点 C组成的三角形。 （2）边长表示法。 边长表示法是通过表示三角形的三条边的长度来表示三角形。例如，三角形 ABC 的三条边分别为 AB、BC和 AC，可以用 a、b和 c表示。 （3）角度表示法。 角度表示法是通过表示三角形的三个内角的大小来表示三角形。例如，三角形 ABC的三个内角分别为∠A、∠B和∠C,可以用α、β和γ表示。 知识点二：三角形的性质。 三角形具有稳定性，不易变形，例如：三脚架、房梁加固、斜钉木条固定窗框等。 知识点三：三角形的高。 1. 三角形的高和底。 从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形 的高，这条对边叫做三角形的底（如图）。 注意事项： 三角形的底与高是相对应的，它们是一组互相垂直的线段，在哪一条边上作高， 这条边就是这条高所对应的底。 第 4 页 共 10 页 2. 三角形高的画法。 因为三角形有 3个顶点，过每个顶点都可以向对边作一条垂线段，所以任意一个 三角形都可以作 3条高，由于三角形的形状不同，因此三角形的高的位置也就不 同。（如下图） 知识点四：两点间线段最短与两点间的距离。 两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。 知识点五：三角形三边关系定理。 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 知识点六：三角形的分类。 1. 三角形按角分类。 （1）锐角三角形：三个角都是锐角（小于 90°）。 （2）直角三角形：有一个角是 90°，其余两个角为锐角。 （3）钝角三角形：有一个角是钝角（大于 90°且小于 180°），其余两个角为锐 角。 2. 三角形按边分类。 注意：等边三角形是特殊的等腰三角形。 知识点七：三角形和多边形的内角和。 1. 三角形的内角和是 180°。 2. 在三角形中，已知两个角的度数，求第三个角的度数，用 180°连续减去已知 第 5 页 共 10 页 的两个角的度数或用 180°减去这两个角的度数和。 3. 四边形的内角和是 360°。 4. 多边形的内角和公式。 （1）多边形的内角和是 180°×（边数－2）。 （2）通过分割的方法将求多边形内角和转化为求多个三角形内角和相加。 【第一部分】基本知识与基本应用 【高频考题 01】三角形的认识与性质。 1．下面哪些图形是三角形？ 2．数一数，图中共有( )个三角形。 3．对照相要求比较高的时候，摄影师一般会使用一个三角支架，这是利用了三 角形的( )性。 【高频考题 02】三角形三边关系定理与应用。 1．在能拼成三角形的各组线段下面画“√”。（单位：厘米） 第 6 页 共 10 页 2．15厘米的铁丝剪成三段（每段的长度都是整厘米数），然后围成三角形，一 共可以围成( )个不同的三角形。 3．三角形的三条边都是整厘米数，其中两条边分别是 3厘米和 4厘米，另一条 边最长可以是( )厘米，最短可以是( )厘米。 【高频考题 03】三角形的分类。 1．一个三角形的三个内角都是 60°，按角分，这是一个( )三角形，按边 分，是个( )三角形。 2．红领巾是我们少先队员佩戴的标志，如果按角分它是一个( )三角形， 按边分它又是一个( )三角形。 【高频考题 04】等腰三角形与等边三角形的特征及应用。 1．王叔叔把一根 18分米长的铁丝正好折成了一个正三角形铁框，铁框一边长 ( )分米，若折成一条腰是 5分米的等腰三角形铁框，铁框底边长 ( )分米。 2．一个等腰三角形的一条边是 5厘米，另一条边是 7厘米，围成这个等腰三角 形至少需要( )厘米长的绳子。 3．一个等腰三角形的周长是 60厘米，其中一条边长是 14厘米，它的另外两条 边长分别是( )厘米和( )厘米。 第 7 页 共 10 页 【第二部分】综合应用与解决问题 【高频考题 01】三角形的内角和问题。 1．在一个三角形中，∠1＝58°，∠2＝42°，∠3＝( )°；在一个直角三角 形中，一个锐角是 25°，另一个锐角是( )°。 2．一个等腰三角形的顶角是 40°，一个底角是( )°，它还是一个( ) 三角形；如果它的一个底角是 40°，它就是一个( )三角形。（按角分类） 3．∠1＝( )°。 【高频考题 02】多边形的内角和问题。 1．图中，一副三角板叠放在一起，则∠1＝( )°，∠2＝( )°。 2．观察下图，三角形 ABC按角分是一个( )三角形，如果沿着虚线剪下 C ， 那么剩下图形的内角和是( )度。 3．探究多边形的内角和与它的边数的关系，一个八边形的内角和是 °。 多边形 …… 边数 3 4 5 6 …… 内角和 180° 360° 540° 720° …… 第 8 页 共 10 页 一、填空题。 1．（2023·四川乐山·期末）刘青有四根小棒，分别长 4dm、5dm、8dm、10dm， 她能围成( )个不同周长的三角形。 2．（2023·四川广元·期末）空调的室外机需要一个支架，王叔叔根据三角形的 ( )性决定将其做成三角形形状。已经有两根铝合金，它们的长度分别是 2分米和 3分米，第三根铝合金最长是( )分米。（取整数） 3．（2023·四川南充·期末）取一根 15厘米长的铁丝折成一个等边三角形铁框， 铁框的一条边长为( )厘米，如果折成一个腰长 6厘米的等腰三角形铁框， 那么铁框的底边长为( )厘米。 4．（2024·湖南株洲·期末）有一个直角梯形，如果它的一个角是 115°，那么除 了两个直角外的另一个角是( )°，属于( )角。 5．（2024·山东济宁·期末）剪掉等腰直角三角形的一个锐角后（如图），剩下 （涂色）图形的内角和是( )°。 二、选择题。 6．（2024·海南省直辖县级单位·期末）下图中三角形 ABC底边 BC上的高是 ( )。 A．AB B．FC C．BG D．AD 7．（2023·四川成都·期末）一个三角形被一张纸遮住了一部分（如图）。那么 在以下对这个三角形的判断中，正确的是( )。 第 9 页 共 10 页 A．一定是锐角三角形。 B．一定不是钝角三角形。 C．不是锐角三角形，就是直角三角形。 D．既可能是锐角三角形，也可能是直角三角形，还可能是钝角三角形。 8．（2023·四川凉山·期末）下面四组角中，是三角形三个内角的是( )。 A．16°，79°，95° B．80°，16°，84° C．80°，40°，50° D．25°，78°，86° 9．（2024·湖南株洲·期末）下面三角形中， 1 110  的是( )。 A． B． C． D． 三、计算题。 10．（2023·四川宜宾·期末）计算下面各未知角的度数。 四、作图题。 11．（2024·四川遂宁·期末）在下面点子图上作一个顶角是直角的等腰三角形， 并在图中标出两个底角的度数，再画出它底边上的高。 第 10 页 共 10 页 五、解答题。 12．（2024·广东肇庆·期末）如图是淘气测量的一个三角形花坛各边和长度。（单 位：米）你认为淘气测量的结果正确吗？请说明理由。 13．（2024·重庆渝北·期末）小芳家有一个等腰三角形的相框，她打算用丝带沿 边围一周装饰这个相框。量得这个相框的腰长 18厘米，底边长 2分米，小芳至 少需要买多少厘米长的丝带？ 14．（2024·广东阳江·期末）已知∠1＝80°，∠2＝48°，∠3、∠4的度数分别是 多少？