第五单元三角形·思维素养篇【从课内到奥数】-2024-2025学年四年级数学下册典型例题系列（原卷版+解析版+答案版）人教版

第 1 页 共 8 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年四年级数学下册典型例题系列「2025 版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 8 页 目 录 【课内精选一】三角形的底和高 ............................................................................................ 3 【课内精选二】三角形的三边关系 ........................................................................................ 3 【课内精选三】三角形的分类 ................................................................................................ 4 【课内精选四】三角形的内角和 ............................................................................................ 4 【奥数拓展一】三角形的面积基础计算 ................................................................................ 6 【奥数拓展二】三角形第三边的取值范围 ............................................................................ 7 【奥数拓展三】数一数 .............................................................................................................7 【奥数拓展四】三角形的内角和问题 .................................................................................... 8 第 3 页 共 8 页 2024-2025 学年四年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第五单元三角形·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选一】三角形的底和高。 下列各图中，以 AB边为底作三角形的高，正确的是( )。 A． B． C． D． 【专项训练】 1．下列三角形中，指定底边上的高的画法不正确的是( )。 A． B． C． D． 2．如图，在三角形 ABC中，以 BC为底的高是( )。 A．AB B．CD C．AF D．AE 【课内精选二】三角形的三边关系。 下面( )组的 3条线段能围成三角形。 A．2米、8米、5米 B．3厘米、4厘米、4厘米 第 4 页 共 8 页 C．2分米、0.5分米、7分米 D．5厘米、9厘米、1厘米 【专项训练】 1．下面每组线段中，三条线段不可以围成一个三角形的是( )。 A．5 cm；6cm；6 cm B．2cm；3 cm；4 cm C．3 cm；3cm；6 cm D．3cm；5 cm；7 cm 2．下列小棒可以拼成三角形是( )。 A． B． C． D． 【课内精选三】三角形的分类。 一个三角形三个内角的度数分别是 45°、45°和 90°。按角分类，这个三角形是 ( )三角形；按边分类，这个三角形是( )三角形。 【专项训练】 1． 看图，选填序号。锐角三角形有( )，直角三角形有( )，钝角三 角形有( )，等腰三角形有( )，等边三角形有( )。 2．猜一猜，填一填。 (1)有一个三角形，最大的角是钝角，它是( )三角形。 (2)有一个三角形，三条边都相等，它是( )三角形。 【课内精选四】三角形的内角和。 在三角形 ABC中，已知∠A＝75°，∠B＝30°，则∠C＝( )。 【专项训练】 1．在一个直角三角形中，两个锐角度数之和正好等于( )度。 2．如图，一个直角三角形，∠1＝( )，∠2＝( )。 第 5 页 共 8 页 3．一个等腰三角形的一个底角是 55°，它的顶角是( )°，这个三角形按 角分是( )三角形。 第 6 页 共 8 页 【奥数拓展一】三角形的面积基础计算。 计算下图三角形 ABC的面积。 【专项训练】 1. 算一算右图所示三角形的面积。(单位：厘米) 2. 在三角形 ABC中，AB=BC，AC=4厘米，计算三角形 ABC的面积。 3. 如右图，图形内的数分别表示所在的长方形与三角形的面积，那么阴影三角 形的面积是多少? 第 7 页 共 8 页 【奥数拓展二】三角形第三边的取值范围。 在△ABC中，若 AB=5 cm，BC=8 cm，计算 AC的取值范围。 【专项训练】 1. 已知△ABC的三条边长均为整数，AB=5，BC=7，AC等于多少? 2. 一个三角形三条边的长度都是整数，其中两条边的长度分别为 7厘米与 12厘 米，共有多少种不同的三角形? 3. 三角形三条边长互不相同且都是整数，最长边是 11，这样的三角形共有多少 个? 【奥数拓展三】数一数。 图中有( )个三角形，其中有( )个锐角三角形，( )个直角 三角形，( )个钝角三角形。 【专项训练】 1．在括号填上合适的数。 第 8 页 共 8 页 ( )个锐角三角形，( )个直角三角形，( )个钝角三角形。 2．下图共有( )个钝角三角形，( )个直角三角形。 【奥数拓展四】三角形的内角和问题。 如图所示，∠1=120°，∠2=110°，那么∠3等于多少度? 【专项训练】 1. 如图所示，已知∠1=40°，∠2=50°，∠3=60°，那么∠4等于多少度? 2. 在△ABC中，∠A－∠B=∠B－∠C=15°，∠A、∠B、∠C分别是多少度? 3. 如图所示，在△ABC中，∠1=∠2+5°，∠3=∠4+5°，∠5=130°，∠A等于多 少度? 第 1 页 共 14 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年四年级数学下册典型例题系列「2025 版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 14 页 目 录 【课内精选一】三角形的底和高 ............................................................................................ 3 【课内精选二】三角形的三边关系 ........................................................................................ 4 【课内精选三】三角形的分类 ................................................................................................ 6 【课内精选四】三角形的内角和 ............................................................................................ 7 【奥数拓展一】三角形的面积基础计算 .............................................................................. 10 【奥数拓展二】三角形第三边的取值范围 .......................................................................... 11 【奥数拓展三】数一数 .......................................................................................................... 11 【奥数拓展四】三角形的内角和问题 .................................................................................. 13 第 3 页 共 14 页 2024-2025 学年四年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第五单元三角形·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选一】三角形的底和高。 下列各图中，以 AB边为底作三角形的高，正确的是( )。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从三角形任一顶点向它的对边或者对边的延长线作垂线，从顶点到垂足 间的线段叫做三角形的高。这个顶点所对的边叫做三角形的底。据此选择即可。 【详解】 A． 这不是任意的一条高； B． 这是以 AB边为底作的高； C． 这是以 BC边为底作的高； D． 这是以 AC边为底作的高。 故答案为：B 【专项训练】 1．下列三角形中，指定底边上的高的画法不正确的是( )。 第 4 页 共 14 页 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足 之间的线段就是三角形的一条高；据此判断即可。 【详解】A．符合三角形高的概念，高与底边对应，正确； B．符合三角形高的概念，高与底边对应，正确； C．所画的高没有垂直于指定的底边，不正确； D．符合三角形高的概念，高与底边对应，正确。 故答案为：C 2．如图，在三角形 ABC中，以 BC为底的高是( )。 A．AB B．CD C．AF D．AE 【答案】D 【分析】由三条边组成的封闭图形是三角形，从三角形的一个顶点到它的对边作 一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底， 依此即可选择。 【详解】根据分析可知，三角形 ABC以 BC为底的高是线段 AE。 故答案为：D 【课内精选二】三角形的三边关系。 下面( )组的 3条线段能围成三角形。 A．2米、8米、5米 B．3厘米、4厘米、4厘米 第 5 页 共 14 页 C．2分米、0.5分米、7分米 D．5厘米、9厘米、1厘米 【答案】B 【分析】三角形的三边关系：任意三角形的两边之和必须大于第三边，据此解答。 【详解】A．2＋5＝7，7＜8，所以 2米、8米、5米不可以围成三角形； B．3＋4＝7，7＞4，所以 3厘米、4厘米、4厘米可以围成三角形； C．2＋0.5＝2.5，2.5＜7，所以 2分米、0.5分米、7分米不可以围成三角形； D．5＋1＝6，6＜9，所以 5厘米、9厘米、1厘米不可以围成三角形。 故答案为：B 【专项训练】 1．下面每组线段中，三条线段不可以围成一个三角形的是( )。 A．5 cm；6cm；6 cm B．2cm；3 cm；4 cm C．3 cm；3cm；6 cm D．3cm；5 cm；7 cm 【答案】C 【分析】三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；较小的两 条线段之和大于最长的线段，则三条线段能围成三角形，否则不能围成三角形， 据此即可解答。 【详解】A．5cm＋6cm＞6cm，能围成三角形。 B．2cm＋3cm＞4cm，能围成三角形。 C．3cm＋3cm＝6cm，不能围成三角形。 D．3cm＋5cm＞7cm，能围成三角形。 三条线段不可以围成一个三角形的是 3 cm；3 cm；6cm。 故答案为：C 2．下列小棒可以拼成三角形是( )。 A． B． C． D． 【答案】A 第 6 页 共 14 页 【分析】根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三 边，据此逐项分析，进行解答。 【详解】 A． 8＋5＝13；13＞10；8－5＝3；3＜10；能拼成三角形。 B． 3＋5＝8；8＝8；不能拼成三角形。 C． 3＋4＝7；7＜8，不能拼成三角形。 D． 3＋2＝5；5＜7，不能拼成三角形。 可以拼成三角形是 。 故答案为：A 【课内精选三】三角形的分类。 一个三角形三个内角的度数分别是 45°、45°和 90°。按角分类，这个三角形是 ( )三角形；按边分类，这个三角形是( )三角形。 【答案】 直角 等腰 【分析】三角形按角分属于什么三角形，看三角形中最大的内角，这个三角形中 最大的内角是 90°，这是一个直角，由此可知这是一个直角三角形。等腰三角形 两腰相等，两个底角相等，这个三角形有两个内角的度数都是 45°，此为等腰三 角形。 【详解】一个三角形三个内角的度数分别是 45°、45°和 90°。按角分类，这个三 角形是直角三角形；按边分类，这个三角形是等腰三角形。 【专项训练】 1． 第 7 页 共 14 页 看图，选填序号。锐角三角形有( )，直角三角形有( )，钝角三 角形有( )，等腰三角形有( )，等边三角形有( )。 【答案】 ③ ① ② ① ③ 【分析】三角形按角来分，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。三个角 都是锐角的三角形叫作锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫作直角三角形， 有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形；三角形按边来分，分为普通三角形、 等腰三角形和等边三角形。有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，三条边都相 等的三角形叫作等边三角形。由图可知，①既是直角三角形，又是等腰三角形。 ②是钝角三角形。③既是锐角三角形，又是等边三角形。 【详解】故锐角三角形有③，直角三角形有①，钝角三角形有②，等腰三角形有 ①，等边三角形有③。 2．猜一猜，填一填。 (1)有一个三角形，最大的角是钝角，它是( )三角形。 (2)有一个三角形，三条边都相等，它是( )三角形。 【答案】(1)钝角 (2)等边/正 【分析】（1）有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形。由题意得，一个三角 形最大的角是钝角，那么这个三角形是钝角三角形。 （2）三条边都相等的三角形叫作等边三角形。由题意得，三角形的三条边都相 等，那么这个三角形是等边三角形。 【详解】（1）有一个三角形，最大的角是钝角，它是钝角三角形。 （2）有一个三角形，三条边都相等，它是等边三角形。 【课内精选四】三角形的内角和。 在三角形 ABC中，已知∠A＝75°，∠B＝30°，则∠C＝( )。 【答案】75°/75度 【分析】三角形的内角和为 180°，用 180°依次减去∠A和∠B，即可求出∠C， 据此解答即可。 【详解】180°－75°－30° ＝105°－30° 第 8 页 共 14 页 ＝75° 所以∠C＝75°。 【专项训练】 1．在一个直角三角形中，两个锐角度数之和正好等于( )度。 【答案】90 【分析】直角三角形是一种特殊的三角形，它有一个角为直角，三角形的内角和 为 180度，用 180度减去 90度，即可求出两个锐角度数之和正好等于多少度。 【详解】180°－90°＝90° 所以在一个直角三角形中，两个锐角度数之和正好等于 90度。 2．如图，一个直角三角形，∠1＝( )，∠2＝( )。 【答案】 118° 28° 【分析】用三角形内角和 180°减去直角和已知角的度数，即可求出∠2的度数； 用平角 180°减去已知角的度数，即可求出∠1的度数。 【详解】180°－90°－62° ＝90°－62° ＝28° 180°－62°＝118° 所以∠1＝118°，∠2＝28°。 3．一个等腰三角形的一个底角是 55°，它的顶角是( )°，这个三角形按 角分是( )三角形。 【答案】 70 锐 【分析】有两个角相等的三角形叫做等腰三角形；相等的两个角叫做底角；又已 知一个等腰三角形的一个底角是 55°，则该等腰三角形的另一个底角也是 55°， 那么用三角形的内角和 180°减去两个底角的和，即可求出该等腰三角形的顶角； 三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角 形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；据此判断该等腰三角形按角分是什 第 9 页 共 14 页 么三角形即可。 【详解】180°－（55°＋55°） ＝180°－110° ＝70° 等腰三角形的三个角分别是 55°、55°和 70°，都是锐角，所以该等腰三角形是锐 角三角形。 即一个等腰三角形的一个底角是 55°，它的顶角是 70°，这个三角形按角分是锐 三角形。 第 10 页 共 14 页 【奥数拓展一】三角形的面积基础计算。 计算下图三角形 ABC的面积。 解析： 如果将三角形 BC 边看作底，那么与它对应的高是 AB，求三角形 ABC 的面积 可以转化为求长方形面积的一半，使得长方形的长就是三角形的底，长方形的宽 就是三角形的高。如下图所示，从图中可看出三角形的面积是长方形面积的一半， 所以三角形面积是 6×4÷2=24÷2=12(平方厘米)。 【专项训练】 1. 算一算右图所示三角形的面积。(单位：厘米) 解析：3×4÷2=6(平方厘米) 2. 在三角形 ABC中，AB=BC，AC=4厘米，计算三角形 ABC的面积。 解析：4×4÷4=4(平方厘米) 3. 如右图，图形内的数分别表示所在的长方形与三角形的面积，那么阴影三角 第 11 页 共 14 页 形的面积是多少? 解析：30÷(10×2)×12÷2=9 【奥数拓展二】三角形第三边的取值范围。 在△ABC中，若 AB=5 cm，BC=8 cm，计算 AC的取值范围。 解析： 设 AC的长度为 x，根据三角形“两边之和大于第三边”这一性质，可得：(1)5+8>x， 即 x<13，(2)5+x>8，即 x>3，(3)8+x一定大于 5，由此可知 AC的长度应大于 3 厘米，小于 13厘米。 【专项训练】 1. 已知△ABC的三条边长均为整数，AB=5，BC=7，AC等于多少? 解析：AC可能为 3、4、5、6、7、8、9、10、11。 2. 一个三角形三条边的长度都是整数，其中两条边的长度分别为 7厘米与 12厘 米，共有多少种不同的三角形? 解析：13种 3. 三角形三条边长互不相同且都是整数，最长边是 11，这样的三角形共有多少 个? 解析：20个 【奥数拓展三】数一数。 图中有( )个三角形，其中有( )个锐角三角形，( )个直角 三角形，( )个钝角三角形。 【答案】 5 1 3 1 【分析】单个的三角形有 3个，由 2个小三角形组成的大三角形有 2个，依此计 第 12 页 共 14 页 算出三角形的总个数。锐角小于 90°，直角等于 90°，钝角大于 90°。锐角三角形 的所有角都是锐角，由 2个小三角形组成的锐角三角形有 1个；有一个角是直角 的三角形叫直角三角形，单个的直角三角形有 3个；有一个角是钝角的三角形是 钝角三角形，单个的钝角三角形有 1个，依此填空。 【详解】根据分析，如图： 3＋2＝5（个）一共有 5个三角形，①②③是直角三角形，①＋②组成锐角三角 形，②＋③组成钝角三角形。 图中有 5个三角形，其中有 1个锐角三角形，3个直角三角形，1个钝角三角形。 【专项训练】 1．在括号填上合适的数。 ( )个锐角三角形，( )个直角三角形，( )个钝角三角形。 【答案】 1 3 2 【分析】根据三角形分类的方法：三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形； 有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形； 单个三角形中有 1个钝角三角形、2个直角三角形；由两个三角形组成的三角形 中有一个直角三角形和 1个锐角三角形；由三个三角形组成的三角形是 1个钝角 三角形；据此即可解答。 【详解】根据分析可知，图中有 1个锐角三角形，3个直角三角形，2个钝角三 角形。 2．下图共有( )个钝角三角形，( )个直角三角形。 第 13 页 共 14 页 【答案】 2 8 【分析】钝角三角形有一个钝角，直角三角形是其中一个角是直角的三角形。找 出图中有几个锐角三角形，几个直角三角形。 【详解】大长方形对角的连线形成的上下两个三角形为钝角三角形； 以中间线为一条边，左右上下分别形成四个直角，即四个直角三角形，以大长方 形的宽和长为三角形的两条边，长方形的两条边互相垂直，即有 4个直角三角形。 共有 2个钝角三角形，8个直角三角形。 【奥数拓展四】三角形的内角和问题。 如图所示，∠1=120°，∠2=110°，那么∠3等于多少度? 解析：50° 【专项训练】 1. 如图所示，已知∠1=40°，∠2=50°，∠3=60°，那么∠4等于多少度? 解析：30° 2. 在△ABC中，∠A－∠B=∠B－∠C=15°，∠A、∠B、∠C分别是多少度? 解析：75°、60°、45° 3. 如图所示，在△ABC中，∠1=∠2+5°，∠3=∠4+5°，∠5=130°，∠A等于多 少度? 第 14 页 共 14 页 解析：70° 第 1 页 共 9 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年四年级数学下册典型例题系列「2025 版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 9 页 目 录 【课内精选一】三角形的底和高 ............................................................................................ 3 【课内精选二】三角形的三边关系 ........................................................................................ 4 【课内精选三】三角形的分类 ................................................................................................ 4 【课内精选四】三角形的内角和 ............................................................................................ 5 【奥数拓展一】三角形的面积基础计算 ................................................................................ 6 【奥数拓展二】三角形第三边的取值范围 ............................................................................ 7 【奥数拓展三】数一数 .............................................................................................................7 【奥数拓展四】三角形的内角和问题 .................................................................................... 8 第 3 页 共 9 页 2024-2025 学年四年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第五单元三角形·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选一】三角形的底和高。 下列各图中，以 AB边为底作三角形的高，正确的是( )。 A． B． C． D． 【答案】B 【专项训练】 1．下列三角形中，指定底边上的高的画法不正确的是( )。 A． B． C． D． 【答案】C 2．如图，在三角形 ABC中，以 BC为底的高是( )。 A．AB B．CD C．AF D．AE 【答案】D 第 4 页 共 9 页 【课内精选二】三角形的三边关系。 下面( )组的 3条线段能围成三角形。 A．2米、8米、5米 B．3厘米、4厘米、4厘米 C．2分米、0.5分米、7分米 D．5厘米、9厘米、1厘米 【答案】B 【专项训练】 1．下面每组线段中，三条线段不可以围成一个三角形的是( )。 A．5 cm；6cm；6 cm B．2cm；3 cm；4 cm C．3 cm；3cm；6 cm D．3cm；5 cm；7 cm 【答案】C 2．下列小棒可以拼成三角形是( )。 A． B． C． D． 【答案】A 【课内精选三】三角形的分类。 一个三角形三个内角的度数分别是 45°、45°和 90°。按角分类，这个三角形是 ( )三角形；按边分类，这个三角形是( )三角形。 【答案】 直角 等腰 【专项训练】 1． 看图，选填序号。锐角三角形有( )，直角三角形有( )，钝角三 角形有( )，等腰三角形有( )，等边三角形有( )。 【答案】 ③ ① ② ① ③ 第 5 页 共 9 页 2．猜一猜，填一填。 (1)有一个三角形，最大的角是钝角，它是( )三角形。 (2)有一个三角形，三条边都相等，它是( )三角形。 【答案】(1)钝角；(2)等边/正 【课内精选四】三角形的内角和。 在三角形 ABC中，已知∠A＝75°，∠B＝30°，则∠C＝( )。 【答案】75°/75度 【专项训练】 1．在一个直角三角形中，两个锐角度数之和正好等于( )度。 【答案】90 2．如图，一个直角三角形，∠1＝( )，∠2＝( )。 【答案】 118° 28° 3．一个等腰三角形的一个底角是 55°，它的顶角是( )°，这个三角形按 角分是( )三角形。 【答案】 70 锐 第 6 页 共 9 页 【奥数拓展一】三角形的面积基础计算。 计算下图三角形 ABC的面积。 解析： 如果将三角形 BC 边看作底，那么与它对应的高是 AB，求三角形 ABC 的面积 可以转化为求长方形面积的一半，使得长方形的长就是三角形的底，长方形的宽 就是三角形的高。如下图所示，从图中可看出三角形的面积是长方形面积的一半， 所以三角形面积是 6×4÷2=24÷2=12(平方厘米)。 【专项训练】 1. 算一算右图所示三角形的面积。(单位：厘米) 解析：3×4÷2=6(平方厘米) 2. 在三角形 ABC中，AB=BC，AC=4厘米，计算三角形 ABC的面积。 解析：4×4÷4=4(平方厘米) 3. 如右图，图形内的数分别表示所在的长方形与三角形的面积，那么阴影三角 第 7 页 共 9 页 形的面积是多少? 解析：30÷(10×2)×12÷2=9 【奥数拓展二】三角形第三边的取值范围。 在△ABC中，若 AB=5 cm，BC=8 cm，计算 AC的取值范围。 解析： 设 AC的长度为 x，根据三角形“两边之和大于第三边”这一性质，可得：(1)5+8>x， 即 x<13，(2)5+x>8，即 x>3，(3)8+x一定大于 5，由此可知 AC的长度应大于 3 厘米，小于 13厘米。 【专项训练】 1. 已知△ABC的三条边长均为整数，AB=5，BC=7，AC等于多少? 解析：AC可能为 3、4、5、6、7、8、9、10、11。 2. 一个三角形三条边的长度都是整数，其中两条边的长度分别为 7厘米与 12厘 米，共有多少种不同的三角形? 解析：13种 3. 三角形三条边长互不相同且都是整数，最长边是 11，这样的三角形共有多少 个? 解析：20个 【奥数拓展三】数一数。 图中有( )个三角形，其中有( )个锐角三角形，( )个直角 三角形，( )个钝角三角形。 【答案】 5 1 3 1 【专项训练】 第 8 页 共 9 页 1．在括号填上合适的数。 ( )个锐角三角形，( )个直角三角形，( )个钝角三角形。 【答案】 1 3 2 2．下图共有( )个钝角三角形，( )个直角三角形。 【答案】 2 8 【奥数拓展四】三角形的内角和问题。 如图所示，∠1=120°，∠2=110°，那么∠3等于多少度? 解析：50° 【专项训练】 1. 如图所示，已知∠1=40°，∠2=50°，∠3=60°，那么∠4等于多少度? 解析：30° 2. 在△ABC中，∠A－∠B=∠B－∠C=15°，∠A、∠B、∠C分别是多少度? 解析：75°、60°、45° 3. 如图所示，在△ABC中，∠1=∠2+5°，∠3=∠4+5°，∠5=130°，∠A等于多 少度? 第 9 页 共 9 页 解析：70° 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年四年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 目 录 【课内精选一】三角形的底和高 3 【课内精选二】三角形的三边关系 4 【课内精选三】三角形的分类 6 【课内精选四】三角形的内角和 7 【奥数拓展一】三角形的面积基础计算 10 【奥数拓展二】三角形第三边的取值范围 11 【奥数拓展三】数一数 11 【奥数拓展四】三角形的内角和问题 13 2024-2025学年四年级数学下册典型例题系列「2025版」 第五单元三角形·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选一】三角形的底和高。 下列各图中，以AB边为底作三角形的高，正确的是( )。 A．B．C．D． 【答案】B 【分析】从三角形任一顶点向它的对边或者对边的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高。这个顶点所对的边叫做三角形的底。据此选择即可。 【详解】 A．这不是任意的一条高； B．这是以AB边为底作的高； C．这是以BC边为底作的高； D．这是以AC边为底作的高。 故答案为：B 【专项训练】 1．下列三角形中，指定底边上的高的画法不正确的是( )。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高；据此判断即可。 【详解】A．符合三角形高的概念，高与底边对应，正确； B．符合三角形高的概念，高与底边对应，正确； C．所画的高没有垂直于指定的底边，不正确； D．符合三角形高的概念，高与底边对应，正确。 故答案为：C 2．如图，在三角形ABC中，以BC为底的高是( )。 A．AB B．CD C．AF D．AE 【答案】D 【分析】由三条边组成的封闭图形是三角形，从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底，依此即可选择。 【详解】根据分析可知，三角形ABC以BC为底的高是线段AE。 故答案为：D 【课内精选二】三角形的三边关系。 下面( )组的3条线段能围成三角形。 A．2米、8米、5米 B．3厘米、4厘米、4厘米 C．2分米、0.5分米、7分米 D．5厘米、9厘米、1厘米 【答案】B 【分析】三角形的三边关系：任意三角形的两边之和必须大于第三边，据此解答。 【详解】A．2＋5＝7，7＜8，所以2米、8米、5米不可以围成三角形； B．3＋4＝7，7＞4，所以3厘米、4厘米、4厘米可以围成三角形； C．2＋0.5＝2.5，2.5＜7，所以2分米、0.5分米、7分米不可以围成三角形； D．5＋1＝6，6＜9，所以5厘米、9厘米、1厘米不可以围成三角形。 故答案为：B 【专项训练】 1．下面每组线段中，三条线段不可以围成一个三角形的是( )。 A．5；6；6 B．2；3；4 C．3；3；6 D．3；5；7 【答案】C 【分析】三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；较小的两条线段之和大于最长的线段，则三条线段能围成三角形，否则不能围成三角形，据此即可解答。 【详解】A．5cm＋6cm＞6cm，能围成三角形。 B．2cm＋3cm＞4cm，能围成三角形。 C．3cm＋3cm＝6cm，不能围成三角形。 D．3cm＋5cm＞7cm，能围成三角形。 三条线段不可以围成一个三角形的是3；3；6。 故答案为：C 2．下列小棒可以拼成三角形是( )。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此逐项分析，进行解答。 【详解】 A． 8＋5＝13；13＞10；8－5＝3；3＜10；能拼成三角形。 B． 3＋5＝8；8＝8；不能拼成三角形。 C． 3＋4＝7；7＜8，不能拼成三角形。 D． 3＋2＝5；5＜7，不能拼成三角形。 可以拼成三角形是。 故答案为：A 【课内精选三】三角形的分类。 一个三角形三个内角的度数分别是45°、45°和90°。按角分类，这个三角形是( )三角形；按边分类，这个三角形是( )三角形。 【答案】 直角 等腰 【分析】三角形按角分属于什么三角形，看三角形中最大的内角，这个三角形中最大的内角是90°，这是一个直角，由此可知这是一个直角三角形。等腰三角形两腰相等，两个底角相等，这个三角形有两个内角的度数都是45°，此为等腰三角形。 【详解】一个三角形三个内角的度数分别是45°、45°和90°。按角分类，这个三角形是直角三角形；按边分类，这个三角形是等腰三角形。 【专项训练】 1． 看图，选填序号。锐角三角形有( )，直角三角形有( )，钝角三角形有( )，等腰三角形有( )，等边三角形有( )。 【答案】 ③ ① ② ① ③ 【分析】三角形按角来分，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形；三角形按边来分，分为普通三角形、等腰三角形和等边三角形。有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，三条边都相等的三角形叫作等边三角形。由图可知，①既是直角三角形，又是等腰三角形。②是钝角三角形。③既是锐角三角形，又是等边三角形。 【详解】故锐角三角形有③，直角三角形有①，钝角三角形有②，等腰三角形有①，等边三角形有③。 2．猜一猜，填一填。 (1)有一个三角形，最大的角是钝角，它是( )三角形。 (2)有一个三角形，三条边都相等，它是( )三角形。 【答案】(1)钝角 (2)等边/正 【分析】（1）有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形。由题意得，一个三角形最大的角是钝角，那么这个三角形是钝角三角形。 （2）三条边都相等的三角形叫作等边三角形。由题意得，三角形的三条边都相等，那么这个三角形是等边三角形。 【详解】（1）有一个三角形，最大的角是钝角，它是钝角三角形。 （2）有一个三角形，三条边都相等，它是等边三角形。 【课内精选四】三角形的内角和。 在三角形ABC中，已知∠A＝75°，∠B＝30°，则∠C＝( )。 【答案】75°/75度 【分析】三角形的内角和为180°，用180°依次减去∠A和∠B，即可求出∠C，据此解答即可。 【详解】180°－75°－30° ＝105°－30° ＝75° 所以∠C＝75°。 【专项训练】 1．在一个直角三角形中，两个锐角度数之和正好等于( )度。 【答案】90 【分析】直角三角形是一种特殊的三角形，它有一个角为直角，三角形的内角和为180度，用180度减去90度，即可求出两个锐角度数之和正好等于多少度。 【详解】180°－90°＝90° 所以在一个直角三角形中，两个锐角度数之和正好等于90度。 2．如图，一个直角三角形，∠1＝( )，∠2＝( )。 【答案】 118° 28° 【分析】用三角形内角和180°减去直角和已知角的度数，即可求出∠2的度数；用平角180°减去已知角的度数，即可求出∠1的度数。 【详解】180°－90°－62° ＝90°－62° ＝28° 180°－62°＝118° 所以∠1＝118°，∠2＝28°。 3．一个等腰三角形的一个底角是55°，它的顶角是( )°，这个三角形按角分是( )三角形。 【答案】 70 锐 【分析】有两个角相等的三角形叫做等腰三角形；相等的两个角叫做底角；又已知一个等腰三角形的一个底角是55°，则该等腰三角形的另一个底角也是55°，那么用三角形的内角和180°减去两个底角的和，即可求出该等腰三角形的顶角；三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；据此判断该等腰三角形按角分是什么三角形即可。 【详解】180°－（55°＋55°） ＝180°－110° ＝70° 等腰三角形的三个角分别是55°、55°和70°，都是锐角，所以该等腰三角形是锐角三角形。 即一个等腰三角形的一个底角是55°，它的顶角是70°，这个三角形按角分是锐三角形。 【奥数拓展一】三角形的面积基础计算。 计算下图三角形ABC的面积。 解析： 如果将三角形BC边看作底，那么与它对应的高是AB，求三角形ABC的面积可以转化为求长方形面积的一半，使得长方形的长就是三角形的底，长方形的宽就是三角形的高。如下图所示，从图中可看出三角形的面积是长方形面积的一半，所以三角形面积是6×4÷2=24÷2=12(平方厘米)。 【专项训练】 1. 算一算右图所示三角形的面积。(单位：厘米) 解析：3×4÷2=6(平方厘米) 2. 在三角形ABC中，AB=BC，AC=4厘米，计算三角形ABC的面积。 解析：4×4÷4=4(平方厘米) 3. 如右图，图形内的数分别表示所在的长方形与三角形的面积，那么阴影三角形的面积是多少? 解析：30÷(10×2)×12÷2=9 【奥数拓展二】三角形第三边的取值范围。 在△ABC中，若AB=5 cm，BC=8 cm，计算AC的取值范围。 解析： 设AC的长度为x，根据三角形“两边之和大于第三边”这一性质，可得：(1)5+8>x，即x<13，(2)5+x>8，即x>3，(3)8+x一定大于5，由此可知AC的长度应大于3厘米，小于13厘米。 【专项训练】 1. 已知△ABC的三条边长均为整数，AB=5，BC=7，AC等于多少? 解析：AC可能为3、4、5、6、7、8、9、10、11。 2. 一个三角形三条边的长度都是整数，其中两条边的长度分别为7厘米与12厘米，共有多少种不同的三角形? 解析：13种 3. 三角形三条边长互不相同且都是整数，最长边是11，这样的三角形共有多少个? 解析：20个 【奥数拓展三】数一数。 图中有( )个三角形，其中有( )个锐角三角形，( )个直角三角形，( )个钝角三角形。 【答案】 5 1 3 1 【分析】单个的三角形有3个，由2个小三角形组成的大三角形有2个，依此计算出三角形的总个数。锐角小于90°，直角等于90°，钝角大于90°。锐角三角形的所有角都是锐角，由2个小三角形组成的锐角三角形有1个；有一个角是直角的三角形叫直角三角形，单个的直角三角形有3个；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，单个的钝角三角形有1个，依此填空。 【详解】根据分析，如图： 3＋2＝5（个）一共有5个三角形，①②③是直角三角形，①＋②组成锐角三角形，②＋③组成钝角三角形。 图中有5个三角形，其中有1个锐角三角形，3个直角三角形，1个钝角三角形。 【专项训练】 1．在括号填上合适的数。 ( )个锐角三角形，( )个直角三角形，( )个钝角三角形。 【答案】 1 3 2 【分析】根据三角形分类的方法：三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；单个三角形中有1个钝角三角形、2个直角三角形；由两个三角形组成的三角形中有一个直角三角形和1个锐角三角形；由三个三角形组成的三角形是1个钝角三角形；据此即可解答。 【详解】根据分析可知，图中有1个锐角三角形，3个直角三角形，2个钝角三角形。 2．下图共有( )个钝角三角形，( )个直角三角形。 【答案】 2 8 【分析】钝角三角形有一个钝角，直角三角形是其中一个角是直角的三角形。找出图中有几个锐角三角形，几个直角三角形。 【详解】大长方形对角的连线形成的上下两个三角形为钝角三角形； 以中间线为一条边，左右上下分别形成四个直角，即四个直角三角形，以大长方形的宽和长为三角形的两条边，长方形的两条边互相垂直，即有4个直角三角形。 共有2个钝角三角形，8个直角三角形。 【奥数拓展四】三角形的内角和问题。 如图所示，∠1=120°，∠2=110°，那么∠3等于多少度? 解析：50° 【专项训练】 1. 如图所示，已知∠1=40°，∠2=50°，∠3=60°，那么∠4等于多少度? 解析：30° 2. 在△ABC中，∠A－∠B=∠B－∠C=15°，∠A、∠B、∠C分别是多少度? 解析：75°、60°、45° 3. 如图所示，在△ABC中，∠1=∠2+5°，∠3=∠4+5°，∠5=130°，∠A等于多少度? 解析：70° 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年四年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 目 录 【课内精选一】三角形的底和高 3 【课内精选二】三角形的三边关系 3 【课内精选三】三角形的分类 4 【课内精选四】三角形的内角和 4 【奥数拓展一】三角形的面积基础计算 6 【奥数拓展二】三角形第三边的取值范围 7 【奥数拓展三】数一数 7 【奥数拓展四】三角形的内角和问题 8 2024-2025学年四年级数学下册典型例题系列「2025版」 第五单元三角形·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选一】三角形的底和高。 下列各图中，以AB边为底作三角形的高，正确的是( )。 A．B．C．D． 【专项训练】 1．下列三角形中，指定底边上的高的画法不正确的是( )。 A． B． C． D． 2．如图，在三角形ABC中，以BC为底的高是( )。 A．AB B．CD C．AF D．AE 【课内精选二】三角形的三边关系。 下面( )组的3条线段能围成三角形。 A．2米、8米、5米 B．3厘米、4厘米、4厘米 C．2分米、0.5分米、7分米 D．5厘米、9厘米、1厘米 【专项训练】 1．下面每组线段中，三条线段不可以围成一个三角形的是( )。 A．5；6；6 B．2；3；4 C．3；3；6 D．3；5；7 2．下列小棒可以拼成三角形是( )。 A． B． C． D． 【课内精选三】三角形的分类。 一个三角形三个内角的度数分别是45°、45°和90°。按角分类，这个三角形是( )三角形；按边分类，这个三角形是( )三角形。 【专项训练】 1． 看图，选填序号。锐角三角形有( )，直角三角形有( )，钝角三角形有( )，等腰三角形有( )，等边三角形有( )。 2．猜一猜，填一填。 (1)有一个三角形，最大的角是钝角，它是( )三角形。 (2)有一个三角形，三条边都相等，它是( )三角形。 【课内精选四】三角形的内角和。 在三角形ABC中，已知∠A＝75°，∠B＝30°，则∠C＝( )。 【专项训练】 1．在一个直角三角形中，两个锐角度数之和正好等于( )度。 2．如图，一个直角三角形，∠1＝( )，∠2＝( )。 3．一个等腰三角形的一个底角是55°，它的顶角是( )°，这个三角形按角分是( )三角形。 【奥数拓展一】三角形的面积基础计算。 计算下图三角形ABC的面积。 【专项训练】 1. 算一算右图所示三角形的面积。(单位：厘米) 2. 在三角形ABC中，AB=BC，AC=4厘米，计算三角形ABC的面积。 3. 如右图，图形内的数分别表示所在的长方形与三角形的面积，那么阴影三角形的面积是多少? 【奥数拓展二】三角形第三边的取值范围。 在△ABC中，若AB=5 cm，BC=8 cm，计算AC的取值范围。 【专项训练】 1. 已知△ABC的三条边长均为整数，AB=5，BC=7，AC等于多少? 2. 一个三角形三条边的长度都是整数，其中两条边的长度分别为7厘米与12厘米，共有多少种不同的三角形? 3. 三角形三条边长互不相同且都是整数，最长边是11，这样的三角形共有多少个? 【奥数拓展三】数一数。 图中有( )个三角形，其中有( )个锐角三角形，( )个直角三角形，( )个钝角三角形。 【专项训练】 1．在括号填上合适的数。 ( )个锐角三角形，( )个直角三角形，( )个钝角三角形。 2．下图共有( )个钝角三角形，( )个直角三角形。 【奥数拓展四】三角形的内角和问题。 如图所示，∠1=120°，∠2=110°，那么∠3等于多少度? 【专项训练】 1. 如图所示，已知∠1=40°，∠2=50°，∠3=60°，那么∠4等于多少度? 2. 在△ABC中，∠A－∠B=∠B－∠C=15°，∠A、∠B、∠C分别是多少度? 3. 如图所示，在△ABC中，∠1=∠2+5°，∠3=∠4+5°，∠5=130°，∠A等于多少度? 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年四年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 目 录 【课内精选一】三角形的底和高 3 【课内精选二】三角形的三边关系 4 【课内精选三】三角形的分类 4 【课内精选四】三角形的内角和 5 【奥数拓展一】三角形的面积基础计算 6 【奥数拓展二】三角形第三边的取值范围 7 【奥数拓展三】数一数 7 【奥数拓展四】三角形的内角和问题 8 2024-2025学年四年级数学下册典型例题系列「2025版」 第五单元三角形·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选一】三角形的底和高。 下列各图中，以AB边为底作三角形的高，正确的是( )。 A．B．C．D． 【答案】B 【专项训练】 1．下列三角形中，指定底边上的高的画法不正确的是( )。 A． B． C． D． 【答案】C 2．如图，在三角形ABC中，以BC为底的高是( )。 A．AB B．CD C．AF D．AE 【答案】D 【课内精选二】三角形的三边关系。 下面( )组的3条线段能围成三角形。 A．2米、8米、5米 B．3厘米、4厘米、4厘米 C．2分米、0.5分米、7分米 D．5厘米、9厘米、1厘米 【答案】B 【专项训练】 1．下面每组线段中，三条线段不可以围成一个三角形的是( )。 A．5；6；6 B．2；3；4 C．3；3；6 D．3；5；7 【答案】C 2．下列小棒可以拼成三角形是( )。 A． B． C． D． 【答案】A 【课内精选三】三角形的分类。 一个三角形三个内角的度数分别是45°、45°和90°。按角分类，这个三角形是( )三角形；按边分类，这个三角形是( )三角形。 【答案】 直角 等腰 【专项训练】 1． 看图，选填序号。锐角三角形有( )，直角三角形有( )，钝角三角形有( )，等腰三角形有( )，等边三角形有( )。 【答案】 ③ ① ② ① ③ 2．猜一猜，填一填。 (1)有一个三角形，最大的角是钝角，它是( )三角形。 (2)有一个三角形，三条边都相等，它是( )三角形。 【答案】(1)钝角；(2)等边/正 【课内精选四】三角形的内角和。 在三角形ABC中，已知∠A＝75°，∠B＝30°，则∠C＝( )。 【答案】75°/75度 【专项训练】 1．在一个直角三角形中，两个锐角度数之和正好等于( )度。 【答案】90 2．如图，一个直角三角形，∠1＝( )，∠2＝( )。 【答案】 118° 28° 3．一个等腰三角形的一个底角是55°，它的顶角是( )°，这个三角形按角分是( )三角形。 【答案】 70 锐 【奥数拓展一】三角形的面积基础计算。 计算下图三角形ABC的面积。 解析： 如果将三角形BC边看作底，那么与它对应的高是AB，求三角形ABC的面积可以转化为求长方形面积的一半，使得长方形的长就是三角形的底，长方形的宽就是三角形的高。如下图所示，从图中可看出三角形的面积是长方形面积的一半，所以三角形面积是6×4÷2=24÷2=12(平方厘米)。 【专项训练】 1. 算一算右图所示三角形的面积。(单位：厘米) 解析：3×4÷2=6(平方厘米) 2. 在三角形ABC中，AB=BC，AC=4厘米，计算三角形ABC的面积。 解析：4×4÷4=4(平方厘米) 3. 如右图，图形内的数分别表示所在的长方形与三角形的面积，那么阴影三角形的面积是多少? 解析：30÷(10×2)×12÷2=9 【奥数拓展二】三角形第三边的取值范围。 在△ABC中，若AB=5 cm，BC=8 cm，计算AC的取值范围。 解析： 设AC的长度为x，根据三角形“两边之和大于第三边”这一性质，可得：(1)5+8>x，即x<13，(2)5+x>8，即x>3，(3)8+x一定大于5，由此可知AC的长度应大于3厘米，小于13厘米。 【专项训练】 1. 已知△ABC的三条边长均为整数，AB=5，BC=7，AC等于多少? 解析：AC可能为3、4、5、6、7、8、9、10、11。 2. 一个三角形三条边的长度都是整数，其中两条边的长度分别为7厘米与12厘米，共有多少种不同的三角形? 解析：13种 3. 三角形三条边长互不相同且都是整数，最长边是11，这样的三角形共有多少个? 解析：20个 【奥数拓展三】数一数。 图中有( )个三角形，其中有( )个锐角三角形，( )个直角三角形，( )个钝角三角形。 【答案】 5 1 3 1 【专项训练】 1．在括号填上合适的数。 ( )个锐角三角形，( )个直角三角形，( )个钝角三角形。 【答案】 1 3 2 2．下图共有( )个钝角三角形，( )个直角三角形。 【答案】 2 8 【奥数拓展四】三角形的内角和问题。 如图所示，∠1=120°，∠2=110°，那么∠3等于多少度? 解析：50° 【专项训练】 1. 如图所示，已知∠1=40°，∠2=50°，∠3=60°，那么∠4等于多少度? 解析：30° 2. 在△ABC中，∠A－∠B=∠B－∠C=15°，∠A、∠B、∠C分别是多少度? 解析：75°、60°、45° 3. 如图所示，在△ABC中，∠1=∠2+5°，∠3=∠4+5°，∠5=130°，∠A等于多少度? 解析：70° 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$