2.2 第4课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质（作业课件）-【四清导航】2023-2024学年九年级数学下册（北师大版 河南专用）

2.2　二次函数的图象与性质 第4课时　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质 数学 九年级下册 北师版 四清导航 2 y＝(x－1)2＋4 x=1 (1，4) x＝2 (2，6) x＝－4 (－4，－7) 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴和顶点坐标的确定 3 y＝3(x－1)2－2 下 x＝1 (1，－2) 低 ＞1 <1 1 小 －2 4 C 5 m≥0 y1＜y2 直线x＝1 2 －4 6 7 (2)其图象的开口向下，对称轴为直线x＝6，顶点坐标为(6，8) (3)如图所示的图象即为所求作 (4)当x＞6时，y随x的增大而减小 (5)y2＞y3＞y1 8 D 左 2 上 3 9 D 11 1 12 ②④ 14 15 16 17 20 21 22 －5 1 < x＝1 (3，y1) 下 减小 > 23 下 x＝1 大 2 1 大 ＜ 24 y1＜y3＜y2 y2＜y3＜y1 m＜－1或m＞5 m＞4 25 26 D 27 D D 28 29 30 31 32 C 33 ＞ ＞ 上 ＜ 左 上 不符合 34 ＞ ＜ 上 ＞ 右 下 不符合 符合 ＜ ＝ 下 ＝ 不符合 B 36 (3分)将二次函数y＝x2－2x ＋5化成y＝a(x－h)2＋k的形式为____________，所以其图象的对称轴为直线__________，顶点坐标为______________． 2.(4分)(1)抛物线y＝－x2＋4x＋2的对称轴为直线___________，顶点坐标为____________； (2)抛物线y＝ eq \f(1,4) x2＋2x－3的对称轴为直线______________，顶点坐标为______________． 3．(5分)将二次函数y＝3x2－6x＋1化成y＝a(x－h)2＋k的形式为_______________， 所以其图象的开口向________，对称轴为直线_________，最_______点为____________，所以当x_______时，y随x的增大而增大；当x_______时，y随x的增大而减小；当x＝______时，y有最_______值________． 4.(3分)若a＞0，b＜0，c＜0，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是( ) 5．(3分)【易错题】若二次函数y＝x2＋(m－2)x＋1在x＞1时y随x的增大而增大，则m的取值范围是______________． 6．(3分)(河南中考改编)若抛物线y＝－x2＋bx＋4经过(－2，n)和(4，n)两点，则该抛物线的对称轴为_____________，b＝________，n＝__________． 7．(3分)已知点A(－4，y1)，B( eq \f(1,2) ，y2)都在二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象上，则y1与y2的大小关系为____________． 8．(10分)已知二次函数y＝－ eq \f(1,2) x2＋6x－10，请完成下列任务： (1)请将它配成y＝a(x－h)2＋k的形式； (2)请指出其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)画出其图象； (4)当x取何值时，y随x的增大而减小？ (5)若A(－1，y1)，B(7，y2)，C(12，y3)是该二次函数图象上的三点，请比较y1，y2，y3的大小． 解：(1)y＝－ eq \f(1,2) (x－6)2＋8 9．(6分)(1)将抛物线y＝x2－4x－4先向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到的抛物线的函数表达式为( ) A．y＝(x＋1)2－13 B．y＝(x－5)2－3 C．y＝(x－5)2－13 D．y＝(x＋1)2－3 (2)将抛物线y＝－x2＋2x＋3先向_________平移_________个单位长度，再向_______平移________个单位长度后得到抛物线y＝－x2－2x＋6. 一、选择题(每小题6分，共6分) 10．将抛物线y＝2x2－4x＋c向左平移2个单位长度得到的抛物线经过三点(－4，y1)，(－2，y2)，( eq \f(1,2) ，y3)，则y1，y2，y3的大小关系是( ) A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2 二、填空题(每小题6分，共12分) 11.对于二次函数y＝ax2＋2ax＋1(a为常数)，当x≥1时，y随x的增大而增大，且当－3≤x≤2时，y的最大值为9，则a的值为___________． 12.(2023·娄底)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，给出下列结论：①abc＜0；②4a－2b＋c＞0；③a－b＞m(am＋b)(m为任意实数)；④若点(－3，y1)和点(3，y2)在该图象上，则y1＞y2.其中正确的结论是__________(填序号). 三、解答题(共42分) 13.(20分)已知二次函数y＝－x2＋bx＋c， (1)当b＝4，c＝3时， ①求该函数图象的顶点坐标； ②当－1≤x≤3时，求y的取值范围； 解：①当b＝4，c＝3 时，y＝－x2＋4x＋3＝－(x－2)2＋7，∴该函数图象的顶点坐标为(2，7) ②∵－1＜2＜3，∴当 x＝2 时，y最大值＝7.又∵该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线 x＝2，而2－(－1)＝3，3－2＝1，3＞1，∴当x＝－1 时，y最小值＝－2，∴当－1≤x≤3时，y的取值范围为－2≤y≤7 (2)当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求该二次函数的表达式． 解：∵该二次函数的图象开口向下，当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，∴c＝2，抛物线的顶点在y轴右侧，且其纵坐标为3，∴ eq \f(b,2) ＞0，且 eq \f(4×（－1）×c－b2,4×（－1）) ＝3，∴b＝2，∴该二次函数的表达式为 y＝－x2＋2x＋2 【素养提升】 14．(22分)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A( eq \f(1,2) ， eq \f(3,2) )和点B(－2，－1). (1)求该抛物线的函数表达式； (2)C是直线AB上方抛物线上的一动点，过点C作CD∥y轴交直线AB于点D，求线段CD长度的最大值； (3)在直线AB上取一点P，将点P向上平移3个单位长度得到点Q，当线段PQ与抛物线有交点时，求点P的横坐标xP的取值范围． 解：(1)把点A( eq \f(1,2) ， eq \f(3,2) )，点B(－2，－1)分别代入y＝ax2＋bx＋3， 得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)a＋\f(1,2)b＋3＝\f(3,2)，,4a－2b＋3＝－1，))) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－2，))) ∴该抛物线的函数表达式为y＝－2x2－2x＋3 (2)易得直线AB的函数表达式为y＝x＋1，设点C(m，－2m2－2m＋3)，其中－2＜m＜ eq \f(1,2) ，则点D(m，m＋1)，∴CD＝－2m2－2m＋3－(m＋1)＝－2m2－3m＋2＝－2(m＋ eq \f(3,4) )2＋ eq \f(25,8) ，∴当m＝－ eq \f(3,4) 时，CD最大值＝ eq \f(25,8) (3)当CD＝3时，由(2)得－2m2－3m＋2＝3，解得m1＝－1，m2＝－ eq \f(1,2) ，∵PQ＝3，∴线段PQ与抛物线有交点时，点P的横坐标xP的取值范围为－2≤xP≤－1或－ eq \f(1,2) ≤xP≤ eq \f(1,2) 【方法指导】解此类问题的方法有3种：①直接代入比较法：直接将数值代入函数表达式求出函数值进行比较；②对称增减性比较法：先根据抛物线的对称性将自变量转化到对称轴的同侧，再根据函数的增减性进行判断；③距离比较法：当抛物线的开口向上时，其上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值就越大；当抛物线的开口向下时则刚好相反． 已知点A(－1，y1)，B(2，y2)均在抛物线y＝－2(x－1)2＋3上，试比较y1，y2的大小． 1．直接代入比较法：将点A(－1，y1)，B(2，y2)分别代入y＝－2(x－1)2＋3中，得y1＝____，y2＝_____ ，∴y1______y2； 2．对称增减性比较法：∵抛物线的对称轴为直线_______，∴点A关于对称轴对称的点为 _________．又∵抛物线的开口向_______，∴在对称轴的右侧y随x的增大而_______．又∵2<3，∴y2_______y1； 3．距离比较法：∵抛物线的开口向______，∴其上的点到其对称轴直线 ________的距离越近，对应的函数值就越______．而点A(－1，y1)到对称轴的距离_____比点B(2，y2)到对称轴的距离_____更_______，∴y1_______y2. 1.若点A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)在抛物线y＝－2x2＋8x＋c上，则y1，y2，y3的大小关系是__________________(用“＜”连接). 2.已知点(－1，y1)，( eq \r(2) ，y2)，(2，y3)都在二次函数y＝ax2－2ax＋a－2(a＞0)的图象上，那么y1，y2，y3按由小到大的顺序排列是____________________. 3．已知二次函数y＝x2－4x＋c(c为常数)的图象经过A(－1，y1)，B(m，y2)两点，若y1＜y2，则m的取值范围是_______________________________． 【变式】已知二次函数y＝－ax2＋6ax＋1(a＞0)的图象经过A(m－2，y1)，B(m，y2)两点，若y1＞y2，则m的取值范围为_____________． 【方法指导】对于二次函数y＝a(x－h)2＋k，限定自变量x的取值范围求函数的最值或函数值的范围时考虑以下情况： (河南天宏大联考三模)对于二次函数y＝－x2＋2x＋4，当－2≤x≤3时，y的取值范围为( ) A．－4≤y≤1 B．y≤5 C．1≤y≤5 D．－4≤y≤5 1．若二次函数y＝－x2－2x＋m在－3≤x≤2的范围内有最小值－3，则常数m的值为( ) A．－6 B．－2 C．2 D．5　　　　　　　　 2．(贺州中考)已知二次函数y＝2x2－4x－1在0≤x≤a时y取得的最大值为15，则a的值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知二次函数y＝x2－4mx＋4m2＋3在－2≤x≤1的范围内有最小值4，则常数m的值为_______________. － eq \f(3,2) 或1 4．已知抛物线y＝ax2＋bx＋a－4(a≠0)的对称轴是直线x＝1. (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)当－2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值； (3)在(2)的条件下，当t≤x≤t＋1时，y的最大值为m，最小值为n，且m－n＝3，求t的值． 解：(1)∵该抛物线的对称轴是直线x＝1，∴－ eq \f(b,2a) ＝1，∴b＝－2a，∴该抛物线即为y＝ax2－2ax＋a－4.当x＝1时，y＝a－2a＋a－4＝－4，∴该抛物线的顶点坐标为(1，－4) (2)分如下两种情况讨论：①当a＜0时，该抛物线开口向下，又∵其顶点坐标为(1，－4)，∴在－2≤x≤3中，y最大值＝－4≠5，∴此种情况不存在； ②当a＞0时，该抛物线开口向上，又∵1－(－2)＝3，3－1＝2，3＞2，∴当x＝－2时，y最大值＝4a＋4a＋a－4＝9a－4＝5，∴a＝1 (3)由(2)可知y＝x2－2x－3，①当t＜0时，当x＝t时，y最大值＝t2－2t－3＝m，当x＝t＋1时，y最小值＝(t＋1)2－2(t＋1)－3＝n，∴m－n＝t2－2t－3－[(t＋1)2－2(t＋1)－3]＝3，解得t＝－1； ②当0≤t＜1时，当x＝1时，y最小值＝－4＝n，(i)当0≤t＜ eq \f(1,2) 时，当x＝t时，y最大值＝t2－2t－3＝m，∴m－n＝t2－2t－3－(－4)＝3，解得t＝1± eq \r(3) (舍去)；(ii)当 eq \f(1,2) ≤t＜1时，当x＝t＋1时，y最大值＝(t＋1)2－2(t＋1)－3＝m，∴m－n＝(t＋1)2－2(t＋1)－3－(－4)＝3，解得t＝± eq \r(3) (舍去)； ③当t≥1时，当x＝t＋1时，y最大值＝(t＋1)2－2(t＋1)－3＝m，当x＝t时，y最小值＝t2－2t－3＝n，∴m－n＝(t＋1)2－2(t＋1)－3－(t2－2t－3)＝3，解得t＝2.综上所述，t的值为－1或2 【方法指导】解此类题时一般从最简单的函数的图象入手，根据其在直角坐标系中的位置判断出其系数的符号，再由此推断出其他函数的系数符号，进而推断出其他函数在直角坐标系中的大致位置，并与直角坐标系中已给出的图象进行对比即可判断出正误 （泰安中考）在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2＋bx＋b（a≠0）与一次函数y＝ax＋b的图象可能是( ) 【思路点拨】A：由一次函数的图象可知a________0，b________0，∴二次函数的图象开口向________，对称轴直线x＝－ eq \f(b,2a) ________0，在y轴的________侧，两图象的交点(0，b)在y轴的_______方，故本选项______________题意； B：由一次函数的图象可知a_______0，b_______0，∴二次函数的图象开口向_______，对称轴直线x＝－ eq \f(b,2a) _________0，在y轴的________侧，两图象的交点(0，b)在y轴的________方，故本选项_____________题意； C：由上可知本选项____________题意； D：由一次函数的图象可知a__________0，b__________0，∴二次函数的图象开口向_______，对称轴直线x＝－ eq \f(b,2a) _______0，故本选项______________题意． (菏泽中考）一次函数y＝acx＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ) $$