1.6 利用三角函数测高（作业课件）-【四清导航】2023-2024学年九年级数学下册（北师大版 河南专用）

1.6　利用三角函数测高 第一章　直角三角形的边角关系 数学 九年级下册 北师版 四清导航 2 B 3 2．(5分)如图，王师傅在楼顶上的点A处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为60°，又知楼与树之间的距离BD＝10 m，楼的高AB＝24 m，则树的高CD为___________m. 4 5 6 B 7 5．(5分)如图，从与建筑物BC相距20 m的D处观测到建筑物顶上的旗杆的顶部A的仰角为60°，底部B的仰角为 45°，则旗杆的高度为______________m. 8 9 10 11 12 13 14 15 17 18 19 知识点一 测量底部可以到达的物体的高度 1．(5分)如图，在离铁塔150 m的A处，用高AD为1 m的测倾仪测得塔顶的仰角为30°，则铁塔的高BC为( ) A．76 m B．(1＋50 eq \r(3) ) m C．(1＋75 eq \r(3) ) m D．(1＋150 eq \r(3) ) m (24－10 eq \r(3) ) 3．(10分)小亮利用所学的知识对大厦的高度CD进行测量，他在自家楼顶的B处测得大厦底部的俯角是30°，测得大厦顶部的仰角是37°，已知他家楼顶B处距地面的高度BA为40 m(图中点A，B，C，D均在同一平面内)，求大厦的高度CD(结果取整数，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75， eq \r(3) ≈1.73). 解：过点B作BE⊥CD于点E，则易得四边形ABEC为矩形，∴CE＝AB＝40 m，∴在Rt△BCE中，BE＝ eq \f(CE,tan ∠CBE) ＝ eq \f(40,tan 30°) ＝40 eq \r(3) (m)，∴在Rt△BDE中，DE＝BE·tan ∠DBE＝40 eq \r(3) tan 37°≈51.9(m)，∴CD＝CE＋DE≈40＋51.9＝91.9(m)≈92(m)，∴大厦的高度CD约为92 m 知识点二 测量底部不可以到达的物体的高度 4．(5分)如图，岸边的点A处距水面的高度AB为2 m，从点A处测得桥墩顶部点C的仰角为26°，点A与点C之间的距离为12 m, 则桥墩顶部点C距水面的高度CD为( ) A．12sin 26° m B．(2＋12sin 26°)m C．(2＋12cos 26°)m D．( 2＋12tan 26°)m (20 eq \r(3) －20) 6．(10分)(河南中考)数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55 m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21 m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度(结果精确到1 m，参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67， eq \r(3) ≈1.73). 解：∵∠ACE＝90°，∠CAE＝34°，CE＝55 m，∴AC＝ eq \f(CE,tan ∠CAE) ＝ eq \f(55,tan34°) ≈ eq \f(55,0.67) ≈82.1 (m).又∵AB＝21 m，∴BC＝AC－AB≈82.1－21＝61.1 (m)，∴在Rt△BCD中，CD＝BC·tan ∠CBD≈61.1tan 60°＝61.1× eq \r(3) ≈105.7 (m)，∴DE＝CD－CE ≈105.7－55≈51 (m)，∴炎帝塑像DE的高度约为51 m 解答题(共60分) 7．(16分)如图，AB是某景区内高10 m的观景台，CD是与AB底部相平的一座雕像(含底座)，在观景台顶A处测得雕像顶C点的仰角为30°，从观景台底部B处向雕像方向水平前进6 m到达点E，在E处测得雕像顶C点的仰角为60°，已知雕像底座DF高8 m，求雕像CF的高(结果保留根号). 解：过点A作AH⊥CD于点H，则四边形ABDH为矩形，∴DH＝AB＝10 m，AH＝BD.设CH＝x m，则CD＝(x＋10)m，在Rt△ACH中，BD＝AH＝ eq \f(CH,tan ∠CAH) ＝ eq \f(x,tan 30°) ＝ eq \r(3) x (m)，∴在Rt△CDE中，DE＝ eq \f(CD,tan ∠CED) ＝ eq \f(x＋10,tan 60°) ＝ eq \f(\r(3),3) (x＋10)(m)，∴BE＝BD－DE＝ eq \r(3) x－ eq \f(\r(3),3) (x＋10)＝6 m，解得x＝5＋3 eq \r(3) ，∴CD＝(15＋3 eq \r(3) )m，∴CF＝CD－DF＝15＋3 eq \r(3) －8＝(7＋3 eq \r(3) )(m) 8．(20分)(2023•泰州)如图，堤坝AB的长为10 m，坡度i＝1∶0.75，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高20 m的铁塔CD.小明欲测量山高DE，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线AB上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角α＝26°35′，求山高DE(小明的身高忽略不计，结果精确到1 m，参考数据：sin 26°35′≈0.45，cos 26°35′≈0.89，tan 26°35′≈0.50). 解：过点B分别作BF⊥AE于点F，BG⊥CE于点G，则四边形BFEG为矩形，∴BF＝GE，BG＝FE.又∵BF：AF＝i＝1∶0.75，∴BF＝ eq \f(4,3) AF，∴AB＝ eq \r(AF2＋BF2) ＝ eq \f(5,3) AF＝10 m，∴AF＝6 m，∴BF＝8 m．设DG＝x m，则在Rt△DBG中，BG＝ eq \f(DG,tan α) ＝ eq \f(x,tan 26°35′) ≈2x(m)，CE＝CD ＋DG＋GE＝CD ＋DG＋BF＝20＋x＋8＝(28＋x)(m)，∴AE＝AF＋FE＝AF＋BG≈(6＋2x) m．又∵CE∶AE＝i＝1∶0.75，∴(28＋x)∶(6＋2x)≈4∶3，∴x≈12，∴DG≈12 m，∴DE＝DG＋GE＝DG＋BF≈12＋8＝20(m)，∴山高DE约为20 m 9．(24分)(驻马店二中二模)风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好的利用．如图，小敏在参观风力发电机时，想测一下风叶AB的长度．她首先通过C处的铭牌简介得知每个风车杆子BC的高度为98 m，然后沿水平方向走到D处，再沿着斜坡DE走了35 m到达E处，当风叶AB转到铅垂方向时在E处测得点A的仰角为68°；当风叶AB转到水平方向A′B时测得点A′的仰角为45°，若斜坡DE的坡度i＝1∶0.75，小敏的身高忽略不计(参考数据：sin 68°≈0.93，cos 68°≈0.37，tan 68°≈2.50). (1)求小敏从点D到点E的过程中上升的竖直高度； (2)求风叶AB的长度． 解：(1)过点E作EF⊥CD于点F.∵斜坡DE的坡度i＝1∶0.75，∴EF∶DF＝1∶0.75，∴DF＝ eq \f(3,4) EF，∴DE＝ eq \r(DF2＋EF2) ＝ eq \r(（\f(3,4)EF）2＋EF2) ＝ eq \f(5,4) EF＝35 m，∴EF＝28 m，∴小敏从点D到点E的过程中上升的竖直高度为28 m (2)由(1)得DF＝ eq \f(3,4) EF＝21 m，过点E作EG⊥AC于点G，过点A′作A′H⊥EG，交EG的延长线于点H，则四边形EFCG和四边形A′BGH均为矩形，∴A′H＝BG＝BC－CG＝BC－EF＝98－28＝70(m)，∴EH＝ eq \f(A′H,tan ∠A′EH) ＝ eq \f(70,tan 45°) ＝70(m).设AB＝A′B＝x m，则EG＝(70－x)m，AG＝(70＋x)m，∴在Rt△AEG中， eq \f(70＋x,70－x) ＝ eq \f(AG,EG) ＝tan ∠AEG＝tan 68°≈2.5，解得x≈30，∴风叶AB的长度约为30 m $$