1.5 第3课时 三角函数在坡度、坡角问题中的应用（作业课件）-【四清导航】2023-2024学年九年级数学下册（北师大版 河南专用）

1.5　三角函数的应用 第3课时　三角函数在坡度、坡角问题中的应用 第一章　直角三角形的边角关系 数学 九年级下册 北师版 四清导航 2 A 3 B 4 3．(5分) 跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图所示的是一简化的跳台滑雪的雪道示意图，AB为助滑道，BC为坡度为2∶3的着陆坡，A，B两点之间的高度差为60 m，A，C两点间的高度差为140 m，则着陆坡BC的长度为________m. 5 4．(5分)如图所示的是一座滑梯的示意图，其中扶梯AB的坡度为4∶3，滑梯CD的坡度为1∶2，若扶梯AB的长度为2.5 m，滑梯的顶部BC与地面平行，则滑梯CD的长度为________m. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17 18 19 解决与坡度、坡角有关的问题 1．(4分)如图，在外力的作用下一个滑块沿坡角为28°的斜坡向上移动了15 m，则此时滑块上升的高度为( ) A．15sin 28° m B．15cos 28° m C．15tan 28° m D． eq \f(15,sin 28°) m 2．(4分)如图，在一个坡度为1∶2的斜坡上栽种有两棵树A，B，它们之间的水平距离AC为6 m，则这两棵树之间的坡面距离(即AB的长)为( ) A．3 eq \r(3) m B．3 eq \r(5) m C．6 eq \r(3) m D．6 eq \r(5) m 40 eq \r(13) 2 eq \r(5) 5．(10分)如图，某防洪大堤(横断面为梯形ABCD)的高为7 m，背水坡AD的坡角为45°.现准备沿背水坡面用土石加固大堤，并使上底加宽3 m，加固后背水坡EF的坡度i＝1∶ eq \r(3) ，求加固后坝底增加的宽度DF(结果保留根号). 解：过点E作EG⊥CD于点G，过点A作AH⊥CD于点H，则四边形AEGH为矩形，∴AH＝EG＝7 m，AE＝GH＝3 m．又∵∠ADH＝45°，∴∠DAH＝90°－∠ADH＝45°＝∠ADH，∴DH＝AH＝7 m．∵在Rt△EFG中， eq \f(EG,FG) ＝i＝ eq \f(1,\r(3)) ，∴FG＝ eq \r(3) EG＝7 eq \r(3) (m)，∴DF＝FG＋GH－DH＝7 eq \r(3) ＋3－7＝(7 eq \r(3) －4)m，∴加固后坝底增加的宽度DF为(7 eq \r(3) －4)m 6．(12分)如图，山坡上有一棵竖直的树AB，坡面上的点D处放置一高度为1.6 m的测倾器CD，测倾器的顶部C与树底部B恰好在同一水平线上(即BC∥MN)，此时测得树顶部A的仰角为50°.已知山坡的坡度i＝1∶3，求树AB的高度(结果精确到0.1 m，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19). 解：∵BC∥MN，∴∠CBD＝∠M，∴tan ∠CBD＝tan M＝i＝1∶3，∴CD∶BC＝1∶3，∴BC＝3CD＝4.8m，∴在Rt△ABC中，∴AB＝BC·tan ∠ACB＝4.8tan 50°≈4.8×1.19≈5.7(m)，∴树AB的高度约为5.7 m 解答题(共60分) 7．(16分)如图，为测量观光塔AB的高度，冬冬在长度为26 m，坡度i＝1∶2.4的斜坡CD的坡底D处测得塔顶A的仰角为52°，坡顶C到塔底B的水平距离为9 m，点A，B，C，D在同一平面内，求观光塔AB的高度(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 52°≈0.79，cos 52°≈0.62，tan 52°≈1.28)． 解：延长AB交过点D的水平面于点E，过点C作CF⊥DE于点F，则四边形 BCFE为矩形，∴EF＝BC＝9 m，BE＝CF.又∵CF∶DF＝i＝1∶2.4，∴CF＝ eq \f(5,12) DF，∴CD＝ eq \r(CF2＋DF2) ＝ eq \f(13,12) DF＝26 m，∴DF＝24 m，∴CF＝10 m，DE＝DF＋EF＝24＋9＝33(m)，∴在Rt△ADE中，AE＝DE•tan ∠ADE＝33tan 52°≈42.24(m)，∴AB＝AE－BE≈42.24－10≈32.2(m)，∴建筑物AB的高度约为32.2 m 8．(20分)(2023·泸州)如图，某数学兴趣小组为了测量古树DE的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端D在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度i＝2∶ eq \r(3) 的斜坡AB前进20 eq \r(7) m到达点B，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C.在点C处测得古树DE的顶端E的俯角为37°，底部D的俯角为60°，求古树DE的高度(结果精确到0.1 m，参考数据： eq \r(3) ≈1.732，sin 37°≈ eq \f(3,5) ，cos 37°≈ eq \f(4,5) ，tan 37°≈ eq \f(3,4) ). 解：过点B作BF⊥AD于点F.∵斜坡AB的坡度i＝2∶ eq \r(3) ，∴ eq \f(BF,AF) ＝ eq \f(2,\r(3)) ，∴AF＝ eq \f(\r(3),2) BF，∴AB＝ eq \r(AF2＋BF2) ＝ eq \f(\r(7),2) BF＝20 eq \r(7) m，∴BF＝40 m．延长BC，DE交于点H，则四边形BFDH是矩形，∴DH＝BF＝40 m，∴在Rt△CDH中，CH＝ eq \f(DH,tan ∠DCH) ＝ eq \f(40,tan 60°) ＝ eq \f(40\r(3),3) (m)，∴在Rt△CEH中，EH＝CH·tan ∠ECH＝ eq \f(40\r(3),3) tan 37°≈17.32(m)，∴DE＝DH－EH≈40－17.32≈22.7(m)，∴古树DE的高度约为22.7 m 9．(24分)如图所示，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，点C，D，E在同一直线上，且CE⊥AE，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1∶ eq \r(3) ，AB＝10 m，AE＝21 m(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1 m，参考数据： eq \r(2) ≈1.41， eq \r(3) ≈1.73，sin 53°≈ eq \f(4,5) ，cos 53°≈ eq \f(3,5) ，tan 53°≈ eq \f(4,3) ). (1)求点B距水平地面AE的高度； (2)若市政规定广告牌的高度不得大于7 m，请问该广告牌是否符合要求？并说明理由． 解：(1)过点B作BF⊥AE于点F.∵山坡AB的坡度i＝1∶ eq \r(3) ，∴tan ∠BAF＝ eq \f(1,\r(3)) ＝ eq \f(\r(3),3) ，∴∠BAF＝30°，∴BF＝ eq \f(1,2) AB＝ eq \f(1,2) ×10＝5(m)，∴点B距水平地面AE的高度为5 m (2)符合要求，理由如下：过点B作BG⊥CE于点G，则四边形BFEG是矩形，∴GE＝BF＝5 m，BG＝EF＝FA＋AE＝AB·cos ∠BAF＋AE＝10cos 30°＋21＝(5 eq \r(3) ＋21)m，∴在Rt△BCG中，CG＝BG·tan ∠CBG＝(5 eq \r(3) ＋21)tan 45°＝(5 eq \r(3) ＋21)m.又∵在Rt△ADE中，DE＝AE·tan ∠DAE＝21tan 53°≈28(m)，∴CD＝CG＋GE－DE≈5 eq \r(3) ＋21＋5－28＝(5 eq \r(3) －2)m.∵5 eq \r(3) －2<7，∴该广告牌符合要求 $$