1.5 第2课时 三角函数在仰角、俯角问题中的应用（作业课件）-【四清导航】2023-2024学年九年级数学下册（北师大版 河南专用）

1.5　三角函数的应用 第2课时　三角函数在仰角、俯角问题中的应用 第一章　直角三角形的边角关系 数学 九年级下册 北师版 四清导航 2 C 3 C 4 3．(5分)如图，小柠站在与树AB相距4 m远的C处测得树顶A的仰角α＝27°，若小柠的眼睛D距离地面1.5 m，则这棵树的高度约为________m(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 27°≈0.45，cos 27°≈0.89，tan 27°≈0.51). 3.5 5 10 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17 18 解决与仰角、俯角有关的问题 1．(5分)如图，一枚运载火箭从地面上的C处发射，雷达站B与发射点C相距6 km，当火箭到达A点时雷达站测得仰角为43°，则这枚火箭此时的高度AC为( ) A．6sin 43° km B．6cos 43° km C．6tan 43° km D． eq \f(6,tan 43°) km 2．(5分)如图，在高出海平面100 m的悬崖顶A处观测到海平面上一艘小船B的俯角为45°，则小船与观测者之间的水平距离BC为( ) A．100 eq \r(3) m B．100 eq \r(2) m C．100 m D．50 m 4．(5分)数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆的高度，当无人机的飞行高度为27 m且与旗杆的水平距离为30 m时观测到旗杆顶部的俯角为30°，则旗杆的高度约为________m(结果精确到1 m，参考数据： eq \r(2) ≈1.41， eq \r(3) ≈1.73). 5．(10分)如图，从热气球上的点A处看一栋楼的顶部B的仰角为30°，看它的底部C的俯角为60°，若点A与这栋楼之间的距离为120 m，求这栋楼的高度． 解：过点A作AD⊥BC于点D，则∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，AD＝120 m，∴在Rt△ABD中，BD＝AD·tan ∠BAD＝120tan 30°＝120× eq \f(\r(3),3) ＝40 eq \r(3) (m)；在Rt△ACD中，CD＝AD·tan ∠CAD＝120tan 60°＝120× eq \r(3) ＝120 eq \r(3) (m)，∴BC＝BD＋CD＝40 eq \r(3) ＋120 eq \r(3) ＝160 eq \r(3) (m)，∴这栋楼的高度为160 eq \r(3) m 6．(10分)(河南中考)开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术的瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像．某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度．如图，他们选取的测量点A与佛像BD的底部D在同一水平线上．已知佛像头部BC为4 m，在A处测得佛像头顶部B的仰角为45°，头底部C的仰角为37.5°，求佛像BD的高度(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 37.5°≈0.61，cos 37.5°≈0.79，tan 37.5°≈0.77)． 解：∵在Rt△ABD中，BD＝AD·tan ∠BAD＝tan 45°AD＝AD；在Rt△ACD中，CD＝AD·tan ∠CAD＝tan 37.5°AD≈0.77AD，∴BC＝BD－CD≈AD－0.77AD≈4 m，解得AD≈17.4 m，∴BD＝AD≈17.4 m，∴佛像BD的高度约为17.4 m 解答题(共60分) 7．(16分)(本课时T4变式)(2023·菏泽)无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度BC，无人机在空中的点P处，测得点P距地面上的A点80 m，点A处的俯角为60°，楼顶C点处的俯角为30°，已知点A与大楼的距离AB为70 m(点A，B，C，P在同一平面内)，求大楼的高度BC(结果保留根号). 解：过点P作 PD⊥AB于点D，过点C作CE⊥PD于点E，则四边形 BCED是矩形，∴BC＝DE，BD＝CE.∵在Rt△PAD中，∠PAD＝∠GPA＝60°，∴PD＝AP•sin ∠PAD＝80sin 60°＝40 eq \r(3) (m)，AD＝AP•cos ∠PAD＝80cos 60°＝40(m)，∴CE＝BD＝AB－AD＝70－40＝30(m).又∵在Rt△PCE中，∠PCE＝∠HPC＝30°，∴PE＝CE•tan ∠PCE＝30tan 30°＝10 eq \r(3) (m)，∴BC＝DE＝PD－PE＝40 eq \r(3) －10 eq \r(3) ＝30 eq \r(3) (m)，∴大楼的高度BC为30 eq \r(3) m 8．(20分)如图，山顶有一塔AB，塔高33 m.计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道EF.从与E点相距80 m的C处测得A，B的仰角分别为27°，22°，从与F点相距50 m的D处测得A的仰角为45°，求隧道EF的长度(结果精确到1 m，参考数据：tan 22°≈0.40，tan 27°≈0.51). 解：延长AB交CD于点H，则AH⊥CD.∵在Rt△AHD中，∠D＝45°，∴AH＝DH.∵在Rt△AHC中，AH＝CH·tan ∠ACH＝tan 27°CH≈0.51CH；在Rt△BHC中，BH＝CH·tan ∠BCH＝tan 22°CH≈0.4CH，∴AB＝AH－BH≈0.51CH－0.4CH≈33 m，解得CH≈300 m，∴EH＝CH－CE≈300－80＝220(m)，BH≈120 m，∴AH＝AB＋BH≈33＋120＝153(m)，∴DH＝AH≈153 m，∴HF＝DH－DF≈153－50＝103(m)，∴EF＝EH＋FH≈220＋103＝323 (m)，∴隧道EF的长度约为323 m 9．(24分)如图，学校教学楼上悬挂一块长为3 m的标语牌，即CD＝3 m，数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部D点到地面的距离．测角仪的支架的高AE＝BF＝1.2 m，小明在E处测得标语牌底部D点的仰角为31°，小红在F处测得标语牌顶部C点的仰角为45°，AB＝5 m，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部D点到地面的距离DH？若能，请计算；若不能，请说明理由(图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内)(参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86). 解：能，理由如下：延长EF交CH于点G，则EG⊥CH.设DG＝x m，则CG＝(x＋3)m，在Rt△DEG中，EG＝ eq \f(DG,tan ∠DEG) ＝ eq \f(x,tan 31°) ≈ eq \f(x,0.6) ＝ eq \f(5,3) x(m)，∴在Rt△CFG中，FG＝ eq \f(CG,tan ∠CFG) ＝ eq \f(x＋3,tan 45°) ＝(x＋3)m，∴AB＝EF＝EG－FG≈ eq \f(5,3) x－(x＋3)＝( eq \f(2,3) x－3)(m)，∴ eq \f(2,3) x－3≈5，解得x≈12，∴DG≈12 m，∴DH＝DG＋GH≈12＋1.2＝13.2(m)，∴能求出标语牌底部D点到地面的距离DH约为13.2 m $$