1.5 第1课时 三角函数在方向角问题中的应用（作业课件）-【四清导航】2023-2024学年九年级数学下册（北师大版 河南专用）

1.5　三角函数的应用 第1课时　三角函数在方向角问题中的应用 第一章　直角三角形的边角关系 数学 九年级下册 北师版 四清导航 2 B 3 B 4 3．(6分)如图，一大树B在凉亭A的正东方向，小明在C处测得凉亭A和大树B分别在他的西北方向上和北偏东30°的方向上，且测得C处与大树B相距100 m，则凉亭A与大树B之间的距离为________________ m(结果保留根号). 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 解决与方向角有关的问题 1．(5分)如图，小明在一条东西走向的公路的O处测得学校A在他的北偏东60°方向，且与他相距300 m，则学校A到公路的距离AB为( ) A.100 eq \r(3) m B．150 m C．150 eq \r(2) m D．150 eq \r(3) m 2．(5分)如图，C，D两村分别位于一个湖的南、北两端A和B的正东方向，且D村位于C村的北偏东30°方向上，若C，D两村相距6 km，则A，B两点之间的距离为( ) A．2 eq \r(3) km B．3 eq \r(3) km C． eq \r(6) km D．3 km (50 eq \r(3) ＋50) 4．(12分)某数学兴趣小组为了测量一段两岸互相平行的河道的宽度(如图)，在河的南岸边的点A处测得河对岸的一棵树B在其北偏东53°方向，然后向东走70 m到达点C处，此时测得树B在点C的北偏西45°方向，求这段河道的宽度(参考数据：sin 53°≈ eq \f(4,5) ，cos 53°≈ eq \f(3,5) ，tan 53°≈ eq \f(4,3) ， eq \r(2) ≈1.414)． 解：过点B作BD⊥AC于点D，则AE∥BD∥FC，∴∠ABD＝∠EAB＝53°，∠CBD＝∠FCB＝45°，∴在Rt△ABD中，AD＝BD·tan ∠ABD＝BD·tan 53°≈ eq \f(4,3) BD；在Rt△CBD中，CD＝BD·tan ∠CBD＝BD·tan 45°＝BD，∴AC＝AD＋CD≈ eq \f(7,3) BD，∴ eq \f(7,3) BD≈70 m，∴BD≈30 m，∴这段河道的宽度约为30 m 5．(12分)(2023·临沂)如图，灯塔A周围9海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔A在北偏西58°方向上，继续航行6海里后到达C处，测得灯塔A在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？(参考数据：sin 32°≈0.530，cos 32°≈0.848，tan 32°≈0.625，sin 58°≈0.848，cos 58°≈0.530，tan 58°≈1.6) 解：没有触礁的危险， 理由如下：过点A作AD⊥BC于点D，则∠ACD＝90°－45°＝45°，∴∠CAD＝45°＝∠ACD，∴AD＝CD.又∵在Rt△ABD中，∠B＝90°－58°＝32°，∴BD＝ eq \f(AD,tan B) ＝ eq \f(AD,tan 32°) ≈1.6AD，∴BC＝BD－CD≈1.6AD－AD＝0.6AD，∴0.6AD≈6海里，解得AD≈10海里．∵10＞9，∴如果渔船不改变航线继续向西航行，没有触礁的危险 解答题(共60分) 6．(16分)(郑州二模)某区域的平面示意图如图所示，点D在河的右侧，人民路AB与桥BC垂直．某校数学小组进行研学活动时，在C处测得点D位于西北方向，又在A处测得点D位于南偏东65°方向，另测得BC＝628 m，AB＝400 m，求点D到AB的距离(结果保留整数，参考数据：sin 65°≈0.91，cos 65°≈0.42，tan 65°≈2.14)． 解：过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，设DE＝x m，则∠DCF＝45°，四边形EBFD是矩形，则BF＝DE＝x m，AE＝ eq \f(DE,tan A) ＝ eq \f(x,tan 65°) ≈ eq \f(x,2.14) ≈ 0.47x (m)，∴CF＝BC－BF＝(628－x)m，∴DF＝CF·tan ∠DCF＝tan 45°(628－x)＝(628－x)(m)，∴AB＝AE＋BE≈0.47x＋(628－x)≈(628－0.53x)(m)≈400(m)，∴x≈430，∴点D到AB的距离约为430 m 7．(20分)如图，某工厂坐落在东西方向公路MN的北侧，H，E分别是矩形生产车间ABCD的入口和出口(AD∥MN，HE⊥BC)，车间的宽度EH＝80 m，生产出来的产品沿北偏西 53°的厂内道路EF运送到库房F存放，EF＝500 m，工厂大门G在库房F南偏西26.6°的方向，点G，B，H，C在直线MN上，求大门与车间入口之间的距离GH(结果保留整数，参考数据：sin 26.6°≈0.45，cos 26.6°≈0.89，tan 26.6°≈0.50，sin 53°≈ eq \f(4,5) ，cos 53°≈ eq \f(3,5) ，tan 53°≈ eq \f(4,3) ). 解：过点F作FP⊥BG于点P，延长EA交FP于点Q，则四边形PHEQ是矩形，∠EFQ＝53°，∠GFP＝26.6°，∴PQ＝EH＝80 m，EQ＝PH，在Rt△EFQ中，FQ＝EF·cos ∠EFQ＝500cos 53°≈500× eq \f(3,5) ＝300(m)，EQ＝EF·sin ∠EFQ＝500sin 53° ≈500× eq \f(4,5) ＝400(m)，∴PH＝EQ≈400 m，PF＝FQ＋PQ≈300＋80＝380(m)，∴在Rt△PFG中，PG＝PF·tan ∠GFP≈380tan 26.6°≈380×0.5＝190(m)，∴GH＝PG＋PH ≈190＋400＝590(m)，∴大门与车间入口之间的距离GH约为590 m 8．(24分)(本课时T5变式)如图，一货船从港口A出发，以40海里/小时的速度向正北方向航行，经过1小时到达B处．测得小岛C在港口A的北偏东30°方向，且在B处的东北方向．由于货船在B处突发故障，于是立即以30海里/小时的速度沿BC方向赶往小岛C维修，同时向在A的正东方向上的维修站D发出信号，在维修站D处的维修船接到通知后立即准备维修材料，之后以50海里/小时的速度沿DC方向赶往小岛C.已知小岛C在维修站D的北偏西37°方向，通知和维修船准备材料所用的总时间为6分钟，请计算说明维修船能否在货船之前到达小岛C(参考数据： eq \r(2) ≈1.41， eq \r(3) ≈1.73， eq \r(6) ≈2.45，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75). 解：维修船能在货船之前到达小岛C，理由如下：过点C分别作CE⊥AB交AB延长线于点E，CF⊥AD于点F，则四边形AFCE为矩形，∠DCF＝37°.由题意可得AB＝40×1＝40(海里)，在Rt△BCE中，CE＝BE·tan ∠CBE＝BE·tan 45°＝BE，∴在Rt△ACE中，CE＝AE·tan ∠CAE＝AE·tan 30°＝ eq \f(\r(3),3) AE＝ eq \f(\r(3),3) (AB＋BE)＝ eq \f(\r(3),3) (40＋BE)，∴ eq \f(\r(3),3) (40＋BE)＝BE，∴BE＝(20 eq \r(3) ＋20)海里，∴BC＝ eq \r(BE2＋CE2) ＝ eq \r(2) BE＝(20 eq \r(6) ＋20 eq \r(2) )海里．易得CF＝AE＝ eq \r(3) CE＝ eq \r(3) BE＝(60＋20 eq \r(3) )海里，∴货船从B处到小岛C用时 eq \f(20\r(6)＋20\r(2),30) ≈2.57(小时).在Rt△CDF中，CD＝ eq \f(CF,cos ∠DCF) ＝ eq \f(60＋20\r(3),cos 37°) ≈(75＋25 eq \r(3) )(海里)，∴维修船从货船向维修站D发出信号到赶到小岛C用时 eq \f(6,60) ＋ eq \f(75＋25\r(3),50) ≈2.465(小时).∵2.57＞2.465，∴维修船能在货船之前到达小岛C $$