1.4 解直角三角形（作业课件）-【四清导航】2023-2024学年九年级数学下册（北师大版 河南专用）

1.4　解直角三角形 第一章　直角三角形的边角关系 数学 九年级下册 北师版 四清导航 2 C 3 30° 60° 4 5 D 6 5tan α 7 6 8 9 10 11 A 12 C 13 15°或105° 15 16 17 18 20 21 知识点一 已知两边解直角三角形 1．(3分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝ eq \r(2) ，AB＝2，则∠A的度数是( ) A．30° B．40° C．45° D．60° 2．(3分)一楼梯的侧面示意图如图所示，若实际测得AB＝6 m，BC＝3 m，则AC＝______m，∠BAC＝______，∠ABC＝______． 3 eq \r(3) 3．(10分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件求出Rt△ABC的其他元素： (1)已知a＝9，c＝9 eq \r(2) ； (2)已知a＝3 eq \r(5) ，b＝3 eq \r(15) . 解：(1)由勾股定理得b＝ eq \r(c2－a2) ＝ eq \r(（9\r(2)）2－92) ＝9，∴tan A＝ eq \f(a,b) ＝ eq \f(9,9) ＝1，∴∠A＝45°，∴∠B＝90°－∠A＝45° (2)由勾股定理得c＝ eq \r(a2＋b2) ＝ eq \r(（3\r(5)）2＋（3\r(15)）2) ＝6 eq \r(5) .∵tan A＝ eq \f(a,b) ＝ eq \f(3\r(5),3\r(15)) ＝ eq \f(\r(3),3) ，∴∠A＝30°，∴∠B＝90°－∠A＝60° 知识点二 已知一边和一锐角(或其三角函数值)解直角三角形 4．(3分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长为( ) A． eq \f(4\r(3),3) B．4 C．8 eq \r(3) D．4 eq \r(3) 5．(3分)如图，已知A，C两点之间的距离为5 m，∠A＝α，则树的高BC为__________ m. 6．(3分)如图，一架梯子斜靠在墙上， 梯子底端到墙的距离BC为3.6 m，cos ∠ABC＝ eq \f(3,5) ，则AB的长是______m. 7．(7分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 eq \r(2) ，∠A＝45°，求这个直角三角形的其他元素． 解：∠B＝90°－∠A＝90°－45°＝45°，AC＝AB·cos A＝10 eq \r(2) ×cos 45°＝10 eq \r(2) × eq \f(\r(2),2) ＝10，BC＝AB·sin A＝10 eq \r(2) ×sin 45°＝10 eq \r(2) × eq \f(\r(2),2) ＝10 8．(8分)(教材P16例2变式)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝55°，AC＝4，求这个直角三角形的其他元素(边长精确到0.1，参考数据：sin 55°≈0.82，cos 55°≈0.57，tan 55°≈1.43)． 解：∠A＝90°－∠B＝90°－55°＝35°， AB＝ eq \f(AC,sin B) ＝ eq \f(4,sin 55°) ≈4.9， BC＝ eq \f(AC,tan B) ＝ eq \f(4,tan 55°) ≈2.8 一、选择题(每小题6分，共12分) 9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan ∠DAC的值为( ) A.2＋ eq \r(3) B．2 eq \r(3) C．3＋ eq \r(3) D．3 eq \r(3) 10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝16，AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD，若cos ∠BDC＝ eq \f(3,5) ，则BC的长为( ) A．4 B．6 C．8 D．10 二、填空题(每小题6分，共12分) 11．如图，在△ABC中，AC＝12，tan B＝ eq \f(3,4) ，∠C＝30°，则BC的长为____________． 8＋6 eq \r(3) 12．【易错题】在△ABC中，AB＝2，AC＝ eq \r(2) ，∠B＝30°，则∠BAC＝________________． 【解析】如图①②，易得BC边上的高AD＝AB·sin B＝2× eq \f(1,2) ＝1，∴sin ∠ACD＝ eq \f(AD,AC) ＝ eq \f(1,\r(2)) ＝ eq \f(\r(2),2) ，∴∠ACD＝45°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠ACD＝105°(如图①)或∠BAC＝∠ACD－∠B＝15°(如图②). 三、解答题(共36分) 13．(10分)如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，求边BC的长． 解：过点C作CD⊥BA交BA的延长线于点D，则∠CAD＝180°－∠BAC＝180°－120°＝60°，∴在Rt△ACD中，AD＝AC·cos ∠CAD＝2cos 60°＝1，CD＝AC·sin ∠CAD＝2sin 60°＝ eq \r(3) ，∴BD＝AB＋AD＝4＋1＝5，∴在Rt△BCD中，BC＝ eq \r(BD2＋CD2) ＝ eq \r(52＋（\r(3)）2) ＝2 eq \r(7) 14．(12分)如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝ eq \r(2) ，BD＝3. (1)求sin ∠ADB的值； (2)若DC＝3，求BC的长． 解：(1)过点B作BE⊥AD于点E，在Rt△ABE中，∵∠A＝45°，AB＝ eq \r(2) ，∴AE＝BE＝1，∴在Rt△BDE中，sin ∠ADB＝ eq \f(BE,BD) ＝ eq \f(1,3) (2)过点B作BF⊥DC于点F，则四边形BEDF是矩形，∴DF＝BE＝1，BF＝DE＝ eq \r(BD2－BE2) ＝ eq \r(32－12) ＝2 eq \r(2) .又∵DC＝3，∴FC＝2，∴BC＝ eq \r(BF2＋FC2) ＝ eq \r(（2\r(2)）2＋22) ＝2 eq \r(3) 15．(14分)(成都中考)为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB的长为5 m，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地的高BC为4 m，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 16°≈0.28，cos 16°≈0.96，tan 16°≈0.29). 解：过点A分别作AF⊥BC于点F，AG⊥CE于点G，则四边形AFCG是矩形，在Rt△ABF中，BF＝AB·sin ∠BAF＝5sin 16°≈1.4(m)，AF＝AB·cos ∠BAF＝5cos 16°≈4.8(m)，∴AG＝CF＝BC－BF≈4－1.4＝2.6(m)，CG＝AF≈4.8 m．又∵∠ADG＝45°，∴∠DAG＝45°＝∠ADG，∴DG＝AG≈2.6 m，∴CD＝CG－DG≈4.8－2.6＝2.2(m)，∴阴影CD的长约为2.2 m $$