1.1 第2课时 正弦和余弦（作业课件）-【四清导航】2023-2024学年九年级数学下册（北师大版 河南专用）

1．1　锐角三角函数 第2课时　正弦和余弦 第一章　直角三角形的边角关系 数学 九年级下册 北师版 四清导航 2 8 BC 6 10 AC 8 10 3 C 4 4 5 6 7 知识点二 正弦、余弦与梯子的倾斜程度的关系 6．(2分)如图，一长度不变的梯子与地面的夹角为∠α，关于sin α，cos α的值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列叙述正确的是( ) A．sin α的值越小，梯子越陡 B．cos α的值越小，梯子越陡 C．梯子的倾斜程度与sin α的值无关 D．梯子的倾斜程度与cos α的值无关 B 8 D 9 10 11 D 12 13 14 15 16 17 19 －10 20 知识点一 正弦和余弦 (9分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，则AC＝______，则sin A＝ eq \f(∠A的对边（ ）,斜边AB) ＝ eq \f(（ ）,（ ）) ＝____，cos A＝ eq \f(∠A的邻边（ ）,斜边AB) ＝ eq \f(（ ）,（ ）) ＝______. eq \f(3,5) eq \f(4,5) 2．(3分)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，4)，则cos α的值是( ) A． eq \f(3,4) B． eq \f(4,3) C． eq \f(3,5) D． eq \f(4,5) 3．(2分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cos A＝ eq \f(2,3) ，则AC＝________，sin A＝__________． eq \f(\r(5),3) 4．(3分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2AC，则sin A＝______． eq \f(2\r(5),5) 5．(7分)如图所示的是一款可折叠的木制画板，若AB＝AC＝50 cm，sin B＝ eq \f(24,25) ，求BC的长． 解：过点A作AD⊥BC于点D，∵AB＝AC＝50 cm， ∴在Rt△ABD中，AD＝AB·sin B＝50× eq \f(24,25) ＝48(cm)， BC＝2BD，∴BD＝ eq \r(AB2－AD2) ＝ eq \r(502－482) ＝14(cm)， ∴BC＝2BD＝28 cm 知识点三 锐角三角函数 7．(3分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是( ) A．sin A＝ eq \f(\r(3),2) B．tan A＝ eq \f(1,2) C．cos B＝ eq \f(\r(3),2) D．tan B＝ eq \r(3) 8．(3分)如图，若sin α＝ eq \f(3,5) ，则cos β＝____． eq \f(3,5) 9．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，D为AC上的一点，且AD＝BD＝5，求∠A的三个三角函数值． 解：∵在Rt△BCD中，CD＝ eq \r(BD2－BC2) ＝ eq \r(52－42) ＝3， ∴AC＝AD＋CD＝5＋3＝8， ∴AB＝ eq \r(AC2＋BC2) ＝ eq \r(82＋42) ＝4 eq \r(5) ， ∴sin A＝ eq \f(BC,AB) ＝ eq \f(4,4\r(5)) ＝ eq \f(\r(5),5) ， cos A＝ eq \f(AC,AB) ＝ eq \f(8,4\r(5)) ＝ eq \f(2\r(5),5) ， tan A＝ eq \f(BC,AC) ＝ eq \f(4,8) ＝ eq \f(1,2) 一、选择题(每小题6分，共6分) 10．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC⊥CD.若AB＝2，CD＝8，sin ∠ACB＝ eq \f(1,3) ，则cos D的值为( ) A． eq \f(3,4) B． eq \f(4,3) C． eq \f(3,5) D． eq \f(4,5) 二、填空题(每小题6分，共12分) 11．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则sin C＝_______． eq \f(4,5) 12.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，且点A(10，0)，sin ∠COA＝ eq \f(4,5) .若反比例函数y＝ eq \f(k,x) (x>0)的图象经过点C，则k的值为________. 48 三、解答题(共42分) 13．(12分)(沈阳皇姑区一模)如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，tan A＝2cos ∠BCD. (1)求证：BC＝2AD； (2)若cos B＝ eq \f(3,4) ，AB＝10，求CD的长． 解：(1)证明：∵tan A＝2cos ∠BCD，∴ eq \f(CD,AD) ＝ eq \f(2CD,BC) ，∴BC＝2AD (2)∵cos B＝ eq \f(BD,BC) ＝ eq \f(3,4) ，BC＝2AD，∴ eq \f(BD,AD) ＝ eq \f(3,2) .又∵AB＝10，∴AD＝ eq \f(2,2＋3) AB＝ eq \f(2,5) ×10＝4，∴BC＝8，BD＝AB－AD＝10－4＝6，∴CD＝ eq \r(BC2－BD2) ＝2 eq \r(7) 14．(16分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，BE⊥CD交CD的延长线于点E.已知AC＝15，cos A＝ eq \f(3,5) . (1)求线段CD的长； (2)求sin ∠DBE的值． 解：(1)∵在Rt△ABC中，cos A＝ eq \f(AC,AB) ＝ eq \f(15,AB) ＝ eq \f(3,5) ，∴AB＝25.又∵点D是AB的中点，∴CD＝ eq \f(1,2) AB＝ eq \f(25,2) (2)由(1)可得AD＝BD＝CD＝ eq \f(25,2) ，CB＝ eq \r(AB2－AC2) ＝ eq \r(252－152) ＝20，∴∠DCB＝∠ABC.又∵∠A＋∠ABC＝∠DCB＋∠EBC＝90°，∴∠EBC＝∠A，∴cos ∠EBC＝cos A＝ eq \f(3,5) ，即 eq \f(EB,BC) ＝ eq \f(EB,20) ＝ eq \f(3,5) ，∴EB＝12，∴ED＝ eq \r(BD2－EB2) ＝ eq \r(（\f(25,2)）2－122) ＝ eq \f(7,2) ，∴sin ∠DBE＝ eq \f(ED,BD) ＝ eq \f(\f(7,2),\f(25,2)) ＝ eq \f(7,25) 15．(6分)我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，其中直角三角形中较大的锐角的度数为α，若大正方形和小正方形的面积分别为10和4，则sin α－cos α的值为____________． eq \f(\r(10),5) 16．(6分)(丹东中考)如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，点C在反比例函数y＝ eq \f(6,x) (x>0)的图象上，点D在反比例函数y＝ eq \f(k,x) (x<0)的图象上，若sin ∠CAB＝ eq \f(\r(5),5) ，cos ∠OCB＝ eq \f(4,5) ，则k＝__________． 【解析】∵BC＝OC·cos ∠OCB＝ eq \f(4,5) OC，∴OB＝ eq \r(OC2－BC2) ＝ eq \f(3,5) OC.而S△BOC＝ eq \f(1,2) OB·BC＝ eq \f(1,2) ×6＝3，∴OC＝ eq \f(5\r(2),2) ，∴BC＝2 eq \r(2) ，∴AC＝ eq \f(BC,sin ∠CAB) ＝2 eq \r(10) ，∴AB＝ eq \r(AC2－BC2) ＝4 eq \r(2) ，∴OA＝AB－OB＝ eq \f(5\r(2),2) ，∴点D(－ eq \f(5\r(2),2) ，2 eq \r(2) )，∴k＝(－ eq \f(5\r(2),2) )×2 eq \r(2) ＝－10. $$