第四章 因式分解（单元重点综合测试B卷，北师大版）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记•巧练（陕西专用）

第四章 因式分解（单元重点综合测试B卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．将因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 2．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 3．下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 4．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 5．小明利用完全平方公式进行因式分解“”时，墨迹将“”中的一项及其符号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是（     ） A．4xy B．2xy C． D． 6．用分组分解法分解多项式时，下列分组方法正确的是（   ） A． B． C． D． 7．已知，则的值是（    ） A． B．24 C． D．10 8．已知，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．分解因式： ． 10．将多项式进行因式分解得到，则的值为 ． 11．若，，则代数式的值为 ． 12．若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则的值为 ． 13．将三张边长分别为的正方形纸片按图1，图2两种不同方式摆放于两个长方形中．设图1中的阴影部分周长为，面积为，图2中的阴影部分周长为，面积为．若，则 ．    三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分）计算：． 15．（5分）分解因式：． 16．（5分）分解因式：． 17．（5分）两个连续奇数的平方差能被8整除吗？为什么？ 18．（5分）如图，在半径为的圆形钢板上，挖去半径为的四个小圆，利用因式分解计算当，时，图中阴影部分的面积．（结果保留） 19．（6分）已知，． (1)求代数式． (2)求的值． 20．（6分）有3个整式：：，：，：． (1)若，请化简整式； (2)若“”可以因式分解为，求□内实数的值． 21．（6分）简便计算： (1)； (2)． 22．（6分）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”： 解：原式 ． 例2：“三一分组”： 解：原式 ． 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解． 请同学们在阅读材料的启发下解答下列问题： 分解因式： (1)； (2)． 23．（6分）下面是小华学习数学的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务． 2024年12月12日  阴转晴今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为． 例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务： (1)因式分解： ． (2)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a的所有可能的值． 24．（8分）阅读材料 材料1 将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 例：①； ②． 材料2 因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式， 再将“A”还原，得原式． 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)根据材料1，把分解因式； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 25．（8分）观察下列式子： ①， ②， ③， ④， …… (1)探索以上式子的规律，第（为正整数）个等式为________，并进行推理说明成立； (2)计算的结果是________． 26．（10分）老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： 即当时，的值最小，最小值是0， 当时，的值最小，最小值是1， ∴的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题 (1)当______时，代数式的最小值是______； (2)若，当______时，有最______值（填“大”或“小”），这个值是______； (3)若，求的最小值． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 因式分解（单元重点综合测试B卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．将因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】此题考查了提公因式法分解因式，解决本题的关键是找到公因式． 通过观察可知公因式为，将原式中的公因式提取出来即可解出此题． 【详解】解：∵中的公因式为， ∴原式， 故选：B． 2．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、是乘法运算，则A不符合题意； B、中等号右边不是积的形式，则B不符合题意； C、，则C不符合题意； D、符合因式分解的定义，则D符合题意； 故选：D． 3．下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解的知识，理解并掌握平方差公式的结构特征是解题关键．结合平方差公式的结构特征：，左边需满足两数（或式）的平方差，逐项分析判断即可． 【详解】解： A中，不是两数（或式）的平方差，故不能用平方差公式分解因式，故不符合题意； B中，不是两数（或式）的平方差，故不能用平方差公式分解因式，故不符合题意； C中，是两数（或式）的平方差，故能用平方差公式分解因式，故符合题意； D中，不是两数（或式）的平方差，故不能用平方差公式分解因式，故不符合题意； 故选：C． 4．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了用公式法进行因式分解，熟记能用公式法进行因式分解的式子的特点是解题的关键． 根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A：不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故此选项不符合题意； B：不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故此选项不符合题意； C：不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故此选项不符合题意； D：，故此选项符合题意． 故选：D ． 5．小明利用完全平方公式进行因式分解“”时，墨迹将“”中的一项及其符号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是（     ） A．4xy B．2xy C． D． 【答案】A 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解—运用公式法，根据完全平方公式分解因式即可．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：， 墨迹覆盖的这一项是4xy， 故选：A． 6．用分组分解法分解多项式时，下列分组方法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分组分解法、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】此题主要考查分组分解法分解因式，分组后都可运用公式，熟练掌握分组分解法分解因式是解答本题的关键． 将分为一组，再观察剩下的式子，即． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 7．已知，则的值是（    ） A． B．24 C． D．10 【答案】A 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、因式分解的应用 【分析】本题考查因式分解的应用，代数式求值． 先运用提公因式法分解因式，再把已知整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 8．已知，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】因式分解的应用 【分析】先根据已知条件式，，，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， ∴ ， 故选C． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，正确求出，，是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．分解因式： ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】此题主要考查了分解因式的提取公因式，熟练掌握提公因式的步骤是解题关键． 找到公因式，提取公因式即可． 【详解】解：中含有公因式， 提公因式可得， 故答案为． 10．将多项式进行因式分解得到，则的值为 ． 【答案】5 【知识点】十字相乘法、因式分解的应用 【分析】本题考查了多项式乘多项式以及因式分解的概念：先把运用多项式乘多项式的法则展开，再与进行比较，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵多项式进行因式分解得到， ∴， ∴， 故答案为：5． 11．若，，则代数式的值为 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、提公因式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 先将代数式进行因式分解，然后将条件代入即可求值． 【详解】解：， 故答案为：． 12．若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查因式分解—公式法，利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．解题的关键是掌握完全平方公式：． 【详解】解：∵多项式能用完全平方公式进行因式分解， ∴， 解得：或， ∴的值为或． 故答案为：或． 13．将三张边长分别为的正方形纸片按图1，图2两种不同方式摆放于两个长方形中．设图1中的阴影部分周长为，面积为，图2中的阴影部分周长为，面积为．若，则 ．    【答案】/ 【知识点】整式乘法混合运算、因式分解的应用 【分析】本题主要考查了整式混合运算的应用和因式分解的应用，先根据图1和图2可得：，，，，根据，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：根据图1可知：， ， 根据图2可知：， ， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分）计算：． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解中的提公因式法．提公因式法是指如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式．提出公因式，即可求解． 【详解】解： 15．（5分）分解因式：． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查因式分解，直接利用平方差公式分解因式即可． 【详解】． 16．（5分）分解因式：． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】先提公因式3，然后利用完全平方公式分解即可． 【详解】解： ． 【点睛】此题主要考查了提公因式和公式法因式分解；熟记公式是解题的关键． 17．（5分）两个连续奇数的平方差能被8整除吗？为什么？ 【答案】能．理由见解析． 【知识点】运用平方差公式进行运算、因式分解的应用 【分析】设这两个连续奇数为和，则，因此可判断两个连续奇数的平方差能被8整除． 【详解】设这两个连续奇数为和，则 ． 因此两个连续奇数的平方差能被8整除． 【点睛】本题考查因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解题关键． 18．（5分）如图，在半径为的圆形钢板上，挖去半径为的四个小圆，利用因式分解计算当，时，图中阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】56π 【知识点】因式分解的应用 【分析】根据圆的面积公式列出代数式，再根据平方差公式因式分解算出结果即可． 【详解】解： 【点睛】本题考查平方差公式在实际计算中的应用，熟练掌握它是解题关键． 19．（6分）已知，． (1)求代数式． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】平方根的应用、因式分解的应用 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，因式分解，平方根求值，掌握因式分解，平方根的计算是解题的关键． （1）先将原式因式分解，再代入求值即可； （2）根据题意得，再将所求代数式变形得，代入求值，再计算平方根即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ＝ ＝ ； （2）解：∵， ∴，即 ， ∴， ∴， ∴． 20．（6分）有3个整式：：，：，：． (1)若，请化简整式； (2)若“”可以因式分解为，求□内实数的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】计算单项式乘多项式及求值、因式分解的应用 【分析】本题考查了多项式乘单项式，因式分解的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接把, ， 代入进行计算，即可作答． （2）设，，因为，所以，，即可作答． 【详解】（1）解：∵,，，且， ∴； （2）解：设，， ∵， ∴， ∴，， 解得， 即□内实数的值为． 21．（6分）简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算、因式分解在有理数简算中的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用，平方差公式． （1）利用平方差公式进行计算，即可解答； （2）利用因式分解进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 22．（6分）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”： 解：原式 ． 例2：“三一分组”： 解：原式 ． 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解． 请同学们在阅读材料的启发下解答下列问题： 分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【知识点】分组分解法、平方差公式分解因式 【分析】本题主要考查因式分解，理解题目中的例题的方法是解题的关键． （1）根据“两两分组”中的例题因式分解即可； （2）根据“三一分组”中的例题写出因式分解的结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 23．（6分）下面是小华学习数学的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务． 2024年12月12日  阴转晴今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为． 例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务： (1)因式分解： ． (2)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a的所有可能的值． 【答案】(1) (2)整数a的所有可能的值是， 【知识点】十字相乘法 【分析】此题考查了因式分解——十字相乘法， （1）由一次项为：，则常数项为，再利用十字相乘法分解因式即可； （2）找出所求满足乘积为，相加为的值即可． 【详解】（1）解：一次项为：，则常数项为， 则； （2）解：若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能的值是： ；；；， 即整数的所有可能的值是：，． 24．（8分）阅读材料 材料1 将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 例：①； ②． 材料2 因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式， 再将“A”还原，得原式． 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)根据材料1，把分解因式； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】十字相乘法、因式分解的应用 【分析】本题主要考查了因式分解的应用， 对于（1），根据材料一可知，即可分解； 对于（2）①，令，再结合材料一分解，可得答案；②令，展开并整理，结合材料一分解，整体代入可得答案． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：①令， ， ， ， ， ． ， 原式； ②令， ， ， ， ， ． ， 原式．. 25．（8分）观察下列式子： ①， ②， ③， ④， …… (1)探索以上式子的规律，第（为正整数）个等式为________，并进行推理说明成立； (2)计算的结果是________． 【答案】(1)，见解析 (2) 【知识点】数字类规律探索、运用完全平方公式进行运算、因式分解的应用 【分析】本题考查数字变化类规律探究，涉及因式分解，整式乘法，乘法公式． （1）通过所给式子变化部分与等式序号间的关系探索出第n个等式，再证明即可； （2）要计算的式子与（1）中证明的第n个等式的左边形式相同，注意到证明过程中，与n是否为正整数无关，因此可将算式的结果用（1）中等式的右边表示，进而求出结果． 【详解】（1）解：∵等式的左边是两部分的差，第一部分为三个连续整数的积，且第一个数与序号相同，第二部分为序号与1的和的立方， ∴等式左边可表示为：， ∵等式右边为序号与1的和的相反数， ∴等式右边可表示为：， ∴第n（n为正整数）个等式可表示为：， 故答案为：， 证明：∵左边 右边， ∴第n个等式成立； （2）解：由（1）证明过程可知，等式成立于n是否为整数无关， 设， 则原式． 故答案为：． 26．（10分）老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： 即当时，的值最小，最小值是0， 当时，的值最小，最小值是1， ∴的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题 (1)当______时，代数式的最小值是______； (2)若，当______时，有最______值（填“大”或“小”），这个值是______； (3)若，求的最小值． 【答案】(1)； (2)，大， (3) 【知识点】乘方运算的符号规律、因式分解的应用、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查的是偶次方的非负性的应用，利用完全平方公式分解因式，熟练的利用完全平方公式进行变形是解本题的关键； （1）把化为，再结合非负数的性质可得答案； （2）把化为，再利用非负数的性质可得答案； （3）先求解，再化为，再结合非负数的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵， 而， ∴， ∴当时，的最小值是； （2）∵ ， 而， ∴， ∴当时，有最大值； （3）∵， ∴ ， 而， ∴， ∴的最小值为． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$