第四章 因式分解（单元重点综合测试A卷，北师大版）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记•巧练（陕西专用）

第四章 因式分解（单元重点综合测试A卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．把多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B．2 C． D． 2．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．下列多项式中不能用公式法分解因式的是（） A． B． C． D． 4．若一个多项式因式分解的结果是，则这个多项式为（   ） A． B． C． D． 5．已知多项式分解因式为，则、的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 6．已知，则的值为（    ） A．8 B．16 C．12 D．10 7．已知、、为的三边，且满足，则是（   ） A．直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 8．通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．因式分解： ． 10．与互为相反数，则 ． 11．把分解因式得，则的值为 ． 12．如果，，那么代数式的值是 ． 13．因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，是解决许多数学问题的有力工具，七中育才帅虎同学设计了一种“因式分解密码”：对多项式进行因式分解得到，若取，则2→2，x→12，y→7，→14，可得密码为，对于代数式，若取，可能得到的密码是 ．（写出满足条件的一个答案即可） 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分）因式分解：． 15．（5分）因式分解：． 16．（5分）请通过计算说明：当n为任意正整数时，能被8整除． 17．（5分）利用因式分解计算：． 18．（5分）如图，在一块边长为a的正方形纸片的四角各剪去一个边长为b的正方形，若，，求剩余部分的面积． 19．（5分）已知，求的值． 20．（5分）一个长方形的长与宽分别为a、b，若该长方形的周长为14，面积为5，求的值． 21．（6分）已知：、、是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 22．（7分）如图是某体育公园内的草坪示意图，该草坪的两端为半圆形，中间是长方形．已知半圆形草坪的半径为，长方形草坪的长为． (1)利用因式分解表示草坪的面积； (2)当，时，求草坪的面积．（取3.14） 23．（7分）在分解因式时，小彬和小颖对同一道题产生了分歧，下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：将分解因式 小彬的解法： ……第1步 ……………………………………第2步 ……………………………第3步 小颖的解法： ……第1步 ………………………第2步 ………………………第3步 任务：①经过讨论，他们发现两人中只有一人的解答正确，你认为解答正确的同学是______，这位同学的解答过程中第步依据的乘法公式可以用字母表示为______；而另一位同学的解答是从第______步开始出错的，你认为这位同学解答过程错误的原因是____________． ②按照做错同学的思路，写出正确的解答过程； ③除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，在对多项式进行因式分解时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 24．（8分）【阅读理解】 对于二次三项式，能直接用公式法进行因式分解，得到，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了．我们可以采用这样的方法：在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是：．像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法． 【问题解决】将下面的式子分解因式： (1)； (2)． 25．（8分）阅读并解决问题： 材料1：在因式分解中，有一类形如的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成． 例如：． 材料2：分解因式：． 解：设，则原式． 这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决． (1)运用上述方法分解因式：①___________，②___________； (2)请用“换元法”进行因式分解：． 26．（10分）【问题提出】 如图①，有若干张1号、2号、3号卡片． （1）如图②，选取1张1号卡片，2张2号卡片，3张3号卡片拼成一个大长方形，根据所拼大长方形的面积可以将因式分解为__________； 【问题探究】 （2）试借助拼图的方法，把二次三项式因式分解，并把所拼的图形画在图③虚线方框内； 【问题解决】 （3）如图④，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形，延长至点T，使，延长至点O，使，过点O，T作，的垂线，两垂线相交于点R，求四边形的面积．（结果必须是一个具体的数值） 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 因式分解（单元重点综合测试A卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．把多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【知识点】公因式 【分析】本题主要考查了公因式的定义，熟练掌握公因式的定义是解答本题的关键． 根据公因式的定义即可解答． 【详解】解：多项式的公因式是． 故选D． 2．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的定义，正确理解因式分解的定义是解题的关键．根据因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐项判断即可求出答案． 【详解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； B、右边不是整式的积的形式，是分式，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意； C、左边是多项式，右边是整式的积的形式，符合因式分解的定义，故此选项符合题意； D、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．下列多项式中不能用公式法分解因式的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了公式法因式分解； 根据完全平方公式和平方差公式逐项进行分析判断即可． 【详解】解：A．，能用完全平方公式进行因式分解，不符合题意； B．，能用完全平方公式进行因式分解，不符合题意； C．，能用平方差公式进行因式分解，不符合题意； D．，不能用公式法分解，符合题意； 故选：D． 4．若一个多项式因式分解的结果是，则这个多项式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算单项式乘多项式及求值、提公因式法分解因式 【分析】直接利用单项式乘多项式运算法则，进而得出答案． 此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：一个多项式因式分解的结果是， 这个多项式为：． 故选：． 5．已知多项式分解因式为，则、的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查了因式分解的意义，利用了因式分解的意义． 根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案． 【详解】解：由多项式分解因式为，得 ． ，， 故选：D． 6．已知，则的值为（    ） A．8 B．16 C．12 D．10 【答案】B 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、平方差公式分解因式 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，代数式求值，由 ，根据题意得出，整体代入，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故选：B． 7．已知、、为的三边，且满足，则是（   ） A．直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【知识点】因式分解的应用、判断三边能否构成直角三角形、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，三角形的分类，勾股定理得逆定理，将等式化为或是解题的关键．先将等式右边移项，再将等式左边分解因式可求得或，进而可得或，进而判定三角形的形状即可． 【详解】解：， ， ， ， 或， 或， （舍去负值）或， 是等腰三角形或直角三角形． 故选：B． 8．通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题主要考查因式分解，先根据图和图，分别用两种方法表示出阴影部分面积，然后列出等式即可；掌握数形结合思想成为解题的关键． 【详解】解：图1中的阴影部分的面积为， 图2中的阴影部分的面积为， ∴， 故答案为∶D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．因式分解： ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查提取公因式法进行因式分解，熟练掌握提取公因式法是解题的关键．利用提取公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10．与互为相反数，则 ． 【答案】0 【知识点】相反数的定义、已知式子的值，求代数式的值、因式分解的应用 【分析】根据x与y互为相反数，可以得到，然后对所求式子因式分解后，整体代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， 故答案为：0． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，求出． 11．把分解因式得，则的值为 ． 【答案】 【知识点】计算多项式乘多项式、已知因式分解的结果求参数 【分析】根据整式的运算，将展开，再与比较，即可求解． 【详解】解：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查整式的乘法运算，掌握多项式乘以多项式的运算法则即可求解． 12．如果，，那么代数式的值是 ． 【答案】-64 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、因式分解在有理数简算中的应用 【分析】先提公因式再利用平方差公式分解因式，然后将已知整体代入求值，即可． 【详解】解：= = ∵，， ∴原式=2×(-4)×8 =-64， 故答案是：-64． 【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握平方差公式，进行分解因式，是解题的关键． 13．因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，是解决许多数学问题的有力工具，七中育才帅虎同学设计了一种“因式分解密码”：对多项式进行因式分解得到，若取，则2→2，x→12，y→7，→14，可得密码为，对于代数式，若取，可能得到的密码是 ．（写出满足条件的一个答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、十字相乘法、因式分解的应用 【分析】对多项式进行因式分解，然后分别求出每个式子的值，然后组成密码即可． 【详解】解： 当时， 即3→3，a→15，→3，→11， 可得密码为：． 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题考查了因式分解的应用，通过因式分解，得到对应的结果是解题的关键． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分）因式分解：． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练运用平方差公式． 15．（5分）因式分解：． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解，利用完全平方公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解：． 16．（5分）请通过计算说明：当n为任意正整数时，能被8整除． 【答案】见解析 【知识点】因式分解的应用、平方差公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解的应用；利用平方差公式即可解决． 【详解】解：， ∴当n为任意正整数时，能被8整除． 17．（5分）利用因式分解计算：． 【答案】（1）；（2） 【知识点】运用完全平方公式进行运算、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】运用完全平方公式进行因式分解计算即可． 【详解】解：原式． 18．（5分）如图，在一块边长为a的正方形纸片的四角各剪去一个边长为b的正方形，若，，求剩余部分的面积． 【答案】10.4 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度适中．先根据题意列出算式，再代入求出即可． 【详解】解：剩余部分的面积是， 当，时剩余部分的面积是： ． 答： 剩余部分得面积为 10.4. 19．（5分）已知，求的值． 【答案】120 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用，代数式求解，先将式子因式分解得到，再将给出的式子代入求解即可． 【详解】解：． ， ． 20．（5分）一个长方形的长与宽分别为a、b，若该长方形的周长为14，面积为5，求的值． 【答案】735 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、因式分解的应用 【分析】利用面积公式得到，由周长公式得到，所以将原式因式分解得出，将其代入求值即可． 【详解】解：∵长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为5， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，熟记公式结构，正确将原式分解因式，是解题的关键． 21．（6分）已知：、、是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】是等腰三角形，理由见解析 【知识点】因式分解的应用、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】变形已知等式，并因式分解，根据三角形的三边关系、积为零知识可得结论． 【详解】解：是等腰三角形．理由： ∵， ∴， ∴． ∴． 、、是的三边， ∴． ． 是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式和提取公因式法是解决本题的关键． 22．（7分）如图是某体育公园内的草坪示意图，该草坪的两端为半圆形，中间是长方形．已知半圆形草坪的半径为，长方形草坪的长为． (1)利用因式分解表示草坪的面积； (2)当，时，求草坪的面积．（取3.14） 【答案】(1) (2) 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查了列代数式和代数式求值，因式分解的含义，正确理解题意列出代数式是解题的关键． （1）根据花坛的面积等于长为l，宽为的长方形面积加上半径为r的圆的面积进行求解即可； （2）根据（1）所求把，代入求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：当，时， ∴ 23．（7分）在分解因式时，小彬和小颖对同一道题产生了分歧，下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：将分解因式 小彬的解法： ……第1步 ……………………………………第2步 ……………………………第3步 小颖的解法： ……第1步 ………………………第2步 ………………………第3步 任务： ①经过讨论，他们发现两人中只有一人的解答正确，你认为解答正确的同学是______，这位同学的解答过程中第步依据的乘法公式可以用字母表示为______；而另一位同学的解答是从第______步开始出错的，你认为这位同学解答过程错误的原因是____________． ②按照做错同学的思路，写出正确的解答过程； ③除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，在对多项式进行因式分解时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】①小彬；；；没有变号；②解题过程见详解；③运用完全平方公式，平方差公式时，若是遇到多项式，要用括号括起来，再根据去括号法则去括号，注意各项的符号，合并同类项时，要根据有理数的加减法，合并同类项的法则进行 【知识点】运用平方差公式进行运算、因式分解的应用、完全平方公式分解因式 【分析】①根据平方差公式即可作出判定；根据平方差公式即可用字母表示；从第1步就出差；运用平方差公式时要注意各项的符合； ②运用平方差公式因式分解，注意各项的符号即可求解； ③根据运用完全平方公式，平方差公式常见问题即可求解． 【详解】解：①小彬的解法是根据完全平方公式展开，合并同类项，提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解，各步骤严格按照因式分解法计算；小颖的解法是运用平方差公式进行因式分解，在第步的地方，忘记变号，故错误， ∴小彬的解法正确； 平方差公式用字母表示为：； 小颖的解法从第步出错，出错的原因是没有变号． 故答案为：小彬；；；没有变号； ②运用平方差公式正确的解法是： ； ③运用完全平方公式，平方差公式时，若是遇到多项式，要用括号括起来，再根据去括号法则去括号，注意各项的符号，合并同类项时，要根据有理数的加减法，合并同类项的法则进行． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，平方差公式因式分解，掌握乘法公式的运用是解题的关键． 24．（8分）【阅读理解】 对于二次三项式，能直接用公式法进行因式分解，得到，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了．我们可以采用这样的方法：在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是：．像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法． 【问题解决】将下面的式子分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】分组分解法、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查因式分解的应用，关键是利用“配方法”分解因式． （1）加16再减16，可以组成完全平方式，再用平方差公式分解即可； （2）加再减，可以组成完全平方式，再用平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 25．（8分）阅读并解决问题： 材料1：在因式分解中，有一类形如的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成． 例如：． 材料2：分解因式：． 解：设，则原式． 这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决． (1)运用上述方法分解因式：①___________，②___________； (2)请用“换元法”进行因式分解：． 【答案】(1)①，②． (2) 【知识点】十字相乘法、因式分解的应用 【分析】（1）由题意直接进行因式分解即可； （2）设，把原多项式换元后因式分解，再代入还元； 【详解】（1）①，②； 故答案为：①，②． （2）设， 则原式 ． 【点睛】本题考查了因式分解的完全平方公式和换元法．看懂和理解题例是解决本题的关键． 26．（10分）【问题提出】 如图①，有若干张1号、2号、3号卡片． （1）如图②，选取1张1号卡片，2张2号卡片，3张3号卡片拼成一个大长方形，根据所拼大长方形的面积可以将因式分解为__________； 【问题探究】 （2）试借助拼图的方法，把二次三项式因式分解，并把所拼的图形画在图③虚线方框内； 【问题解决】 （3）如图④，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形，延长至点T，使，延长至点O，使，过点O，T作，的垂线，两垂线相交于点R，求四边形的面积．（结果必须是一个具体的数值） 【答案】（1）；（2），图见解析；（3）1856 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用、因式分解的应用 【分析】本题考查多项式乘多项式的几何背景，因式分解的应用，以及完全平方公式的几何背景，用两种方法表示同一个图形面积是求解本题的关键． （1）根据图形利用长方形面积为长乘宽表示出其面积，即可解题； （2）根据多项式画出拼图，再利用长方形面积为长乘宽表示出其面积，即可解题； （3）首先根据题意得到，然后利用长方形的面积是200，结合完全平方公式代入求值即可． 【详解】（1）解：由题知，1张1号卡片，2张2号卡片，3张3号卡片拼成一个大长方形，其面积为：， 由图②知大长方形面积为：， 因式分解为， 故答案为：． （2）解：根据可画拼图如下： 由图可知，； （3）解：由题知，，，，长方形的面积是200， ，，且， 四边形和都是正方形，四边形是长方形，，， ， 又， 令，，则， ，， ， ， 四边形的面积． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$