第八讲 数学广角--找次品（导图+知识精讲+易错点拨+1大考点讲练+易错压轴练+难度分层练 共44题）-2024-2025学年五年级下册数学举一反三变式拓展重点难点培优讲义（人教版）

2024-2025学年五年级下册数学举一反三变式拓展重点难点培优讲义（人教版） 第八讲 数学广角--找次品 【导图+知识精讲+易错点拨+1大考点讲练+易错压轴练+难度分层练 共44题】 目录 课前指导 讲义介绍 1 思维导图 一目了然 2 知识精讲 梳理脉络 2 知识点梳理01：问题背景与核心目标 2 知识点梳理02：基本操作原理 2 知识点梳理03：分组规则与最少次数规律 2 知识点梳理04：操作步骤与实例解析 3 易错点拨 查漏补缺 3 易错知识点01：分组策略错误 3 易错知识点02：次品方向混淆 4 易错知识点03：次数计算误区 4 易错知识点04：操作步骤遗漏 4 易错知识点05：易错题示例与解析 5 考点讲练 明确目标 5 考点一：找次品 5 易错真题 培优必刷 5 压轴专练 拔尖冲刺 7 培优巩固 拔尖冲刺 9 基础夯实优选题专练 9 培优优选题专练 10 同学你好！这套讲义资料由编者老师精心策划，编辑整理策划排版！非常适用于预习，复习，培优，拔尖使用。讲义包含：知识精讲，易错点拨，考点讲练，易错题专练，重点难点优选题，培优巩固和拔尖专练题。板块内容清晰，内容详尽。题目优选2023-2025年近两年名校真题。贴近考纲要求，非常有助于学生提升解题思维，强化做题技巧，解析版思路清晰。是学生自学，教师备课的优选资料！ 知识点梳理01：问题背景与核心目标 1. 次品定义 次品与合格品外观完全相同，但质量不同（已知次品比合格品轻或重），且待测物品中仅有一个次品。 2. 核心目标 通过天平称重，用最少次数找出次品，渗透化归思想（复杂问题简单化）和优化思想（寻找最优策略）。 知识点梳理02：基本操作原理 1. 天平平衡原理 平衡：两边物品质量相等，次品在未称量的物品中； 不平衡：次品在较轻（或较重）的一侧，具体方向由已知条件确定（如次品更轻）。 2. 关键策略 尽可能均分三组：将物品分成3组，利用天平称量快速缩小次品范围。 例：8个零件分为3、3、2三组，而非4、4分组。 知识点梳理03：分组规则与最少次数规律 1. 分组原则 能均分则均分：如9个物品分为3、3、3； 不能均分时：前两组数量相同，第三组多1或少1。例：10个物品分为3、3、4。 2. 最少称量次数规律 物品数量与最少次数的对应关系： 2~3个：1次 4~9个：2次 10~27个：3次 28~81个：4次 规律：每增加3倍的物品范围，次数加1。 知识点梳理04：操作步骤与实例解析 1. 操作流程 步骤1：分组 按均分三组原则分组（如8个分为3、3、2）78。步骤2：首次称量 将前两组放在天平两端： 若平衡，次品在第三组； 若不平衡，次品在较轻（或较重）的一组68。步骤3：递归缩小范围 对含次品的组重复步骤1-2，直至找出次品。 2. 实例解析 例1：10瓶钙片中找1瓶次品（较轻） 分组：3、3、4； 第一次称量：若两组3瓶平衡，次品在4瓶中；若不平衡，次品在较轻的3瓶中； 第二次称量：对含次品的组（3或4瓶）再次均分三组，重复称量。 结果：最多需3次找出次品。 易错知识点01：分组策略错误 1. 未遵循均分三组原则 错误表现：将物品分成2组（如8个分成4、4），导致称量次数增加。 示例：8个零件应分为3、3、2，而非4、4。若首次称量3 vs 3不平衡，次品范围缩小至3个；若分成4 vs 4，不平衡后仍需处理4个，增加次数1。 应对方法：始终按“尽量均分3组”原则分组，余数1或2时前两组数量相同（如10个分为3、3、4） 2. 忽略递归分组 错误表现：首次称量后未对含次品的组继续均分三组，直接逐个检测。 示例：27个物品首次分成9、9、9，若次品在某一组9个中，应再次分成3、3、3，而非逐一分组。 应对方法：每次称量后对剩余组递归均分三组，直至找到次品68。 易错知识点02：次品方向混淆 1. 未明确次品轻重属性 错误表现：题目未明确次品更轻或更重时，默认单方向判断（如总假设次品更轻）。 示例：若次品可能更重，称量时需观察天平低的一侧，而非惯性认为轻侧为次品。 应对方法：审题时标注次品属性，称量后根据天平倾斜方向对应判断68。 易错知识点03：次数计算误区 1. 混淆最少次数规律 错误表现：认为“物品数=3ⁿ时次数为n”，忽略区间范围（如10~27个需3次，而非仅27个需3次）。 示例：10个物品需3次（因10>9），但学生误用“3²=9”认为仅需2次。 应对方法：熟记区间规律（如2~3→1次，4~9→2次，10~27→3次）。 2. 忽略多因素干扰 错误表现：未考虑实际条件（如砝码不足、多个次品）对次数的影响。 示例：8瓶矿泉水中含2个次品（均更轻），若仍按单次品策略分组，导致次数错误增加。 应对方法：题目若含多条件（如多个次品、砝码限制），需调整策略（如分阶段排除或借助已知质量物体称量）。 易错知识点04：操作步骤遗漏 1. 未标记分组编号 错误表现：称量后未记录分组对应物品，导致后续无法追溯次品位置。 示例：将零件分为A、B、C三组称量后，若未标记各组包含哪些编号，难以确定次品来源。 应对方法：用数字或符号标记每组物品，建立跟踪表。 2. 未动态调整策略 错误表现：机械套用初始分组方案，未根据每次称量结果优化后续步骤。 示例：首次称量后次品范围缩小到4个，仍按原分组方式而非调整为2、1、1。 应对方法：根据剩余物品数实时调整分组，灵活应用均分原则。 易错知识点05：易错题示例与解析 例题（参考）： 有8瓶矿泉水，其中2瓶较轻（次品），最少需几次称量找出？ 错误解答：分成4、4两组称量，不平衡后需再称2次，共3次。 正确解析： 1. 首次分组：3、3、2； 2. 称量3 vs 3： 若平衡，次品在2瓶中，再称1次即可（共2次）； 若不平衡，次品在较轻的3瓶中，再分成1、1、1称量（共2次）。 核心：多次品问题需结合递归分组和动态调整，避免惯性思维。 考点一：找次品 【精讲题】（23-24五年级下·四川南充·期末）有一堆玻璃球，共有70个，其中有1个质量较轻是次品，其余的质量相等。如果用一架无砝码的天平称，至少称( )次就一定能找出次品。 【精练题01】（23-24五年级下·河南洛阳·期末）端午节，是我国四大传统节日之一，也是我国首个入选世界非遗的节日。端午前夕，小惠妈妈一共包了15个板栗肉粽，其中一个粽子没有放板栗，比其他粽子轻一些，如果用天平称，至少要称( )次才能保证找到这个轻一些的粽子。 【精练题02】（23-24五年级下·河南安阳·期末）有12瓶矿泉水，其中11瓶质量相同，另有一瓶次品，次品质量重一些。用天平称，至少称（    ）次才能保证找出次品。 A．3次 B．2次 C．4次 D．5次 【精练题03】（23-24五年级下·广东云浮·期末）有12袋糖果，其中11袋一样重，另有一袋质量轻一些，用天平至少称( )次才能保证找出这袋质量轻一些的糖果。 1．（2023春•余杭区期末）一批零件共有28个，有一个质量稍小的不合格零件混在其中，用天平秤至少称_____次能保证找出这个不合格零件。（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2022春•遂宁期末）有13瓶钙片，其中12瓶质量相同，另有1瓶是次品（质量较轻），如果用天平称，至少称（　　）次能保证找出这瓶次品？ A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2022春•建安区期末）有10袋白糖，其中9袋每袋500g，另1袋不是500g，但不知道比500g重还是轻，用天平称，至少（　　）次就能保证把它找出来． A．3 B．4 C．5 D．6 4．要想在8个外观完全一样的乒乓球中，找出质量稍重的1个次品，用天平称，至少称2次才能保证找出次品。比较合适的分法是（　　） A．（4，4） B．（2，2）4 C．（3，3）2 D．（1，1）6 5．（2023春•文成县期末）有15瓶饮料，其中一瓶变质了（略重一些），用无砝码的天平称，至少称 　3　 次一定能找出次品。 6．（2023春•宜春期末）某工厂生产的20个零件中有一个次品，它比正品略轻一点，用天平称，至少要称　 　 次能保证找出来． 7．（2022春•昆明期末）某工厂生产的11个机器零件中有一个是次品，它比正品略轻一些，用天平称一称，最少称　　 次就一定能找出来． 8．有14个球，其中13个质量相同，余下的一个质量较轻，是不合格产品，用天平至少称几次才能保证找出这个不合格产品？ 9．赵亮买了7袋方便面，其中6袋质量相同，另有1袋质量不足。小华设计了用天平找不足质量的这袋方便面的方案，请你帮他填完整。 10． 小华买了7袋方便面，其中6袋质量相同，另有一袋质量不足。请你帮小华设计用天平找出不足质量的这袋方便面的方案。 11．（2024春•南湖区期末）如图，8个形状完全相同的小球中有一个是次品（次品轻一些）。用天平称，至少称几次能保证找出次品？其中能将次品范围缩到最小的是（　　） A． B． C． D． 12．（2024春•镇雄县期末）有10盒鲜花饼，其中9盒的质量相同，另1盒轻一些，用天平称，至少称（　　）次保证可以找出这盒轻一些的鲜花饼。 A．2 B．3 C．4 D．5 13．（2024春•中原区期末）有5个外观相同的零件，其中有1个次品质量略轻一些，聪聪用一架没有砝码的天平称了两次找出了这个次品。如图各图中，可以表示聪聪称的过程与结果的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ 14．（2023春•江夏区期末）阿凡提从朋友那里得到了8枚外表一模一样的金币，但是其中有1枚是假的，假的轻一些。阿凡提说：“我用天平称2次，就一定能找出这枚假的金币。“他找的过程是（　　） A．分成2份（4，4） B．分成4份（2，2，2，2） C．分成3份（3，3，2） D．分成3份（2，2，4） 15．（2024春•桃江县期末）有6个小球，其中一个是次品，要轻一些。仔细观察如图，　　 号球是次品。 16．（2024春•信都区期末）有20盒饼干，其中的19盒质量相同，另有1盒少了几块。如果能用天平称，至少称 　　 次可以保证找出这盒饼干。 17．（2023春•通川区期末）药监局在某药店检查时发现：一箱16瓶的维C中有一瓶略轻一些。若请你用天平称，最少称 　　 次就一定能找出这瓶略轻的维C。 18．（2021春•历下区期末）思考题：有28个零件其中有一个是次品，用天平秤，至少称几次，就保证把次品找到？ 19．（2024春•黄石期末）下列数量的物品应该怎样分才能保证用最少的次数找出较轻的那一个次品？请把分的数量填在〇里。 20． （2022春•岚皋县期末）爸爸买来13本信笺，这13本信笺的质量相同，淘气的小明从一本信笺中撕了几页，你能用天平把这本被撕过的信笺找出来吗？你至少要称几次？请用图例说一说。 基础夯实优选题专练 1．（23-24五年级下·江西九江·期末）有8个外观相同的台球，其中一个是次品，略轻。欢欢用天平来找次品，第一次称的结果如右下图，可以推断（    ）一定是正品。 A．①、②、③、⑦和⑧ B．④、⑦和⑧ C．④、⑤和⑥ 2．（20-21五年级下·湖南长沙·期末）桌上有8个球，编号分别是①至⑧，其中有7个球一样重，另外一个球轻一些。为了找出轻球，晶晶用天平称了两次，结果如下图。由此，可以知道轻球是（    ）。 A．⑧ B．⑥ C．④ D．② 3．（23-24五年级下·河南安阳·期末）有5颗同样的玻璃球（分别编号①②③④⑤），其中有1颗是次品，质量稍轻。根据图示可以推断出次品一定在（    ）中。 A．①② B．③④ C．⑤ D．①③ 4．（23-24五年级下·河北承德·期末）有3瓶钙片，其中1瓶少了3片（次品），可以用天平称找到次品：把3瓶钙片分成1瓶、1瓶、1瓶，天平两边各放( )瓶，如果天平平衡，剩余的1瓶就是( )，如果不平衡，那么次品一定在轻的那边。 5．（22-23五年级下·四川内江·期末）有6个小球，其中一个是次品要轻一些。根据图判断次品球的编号是( )号。 6．（21-22五年级下·江西赣州·期末）有8瓶水，其中7瓶质量相同，另有1瓶加了一些糖（比其他的水略重一些）。如果用天平称，至少称( )次才能保证找出这瓶糖水。 7．（22-23五年级下·湖南衡阳·期末）如果10个零件中有一个次品（次品的质量轻一些），要保证找到次品，至少要称3次。( ) 8．（21-22五年级下·湖南娄底·期末）从十件相同物品中，九件完全一样，一件稍轻；要找出轻的物品，至少要用天平称3次才能保证找出来。( ) 9．（22-23五年级上·广东汕尾·期末）有10瓶钙片，其中一瓶少了3片，用天平称，至少称几次能确保找出少了3片的那一瓶？请你设计一个方案。 11． （22-23五年级下·全国·单元测试）有14瓶酸奶，其中13瓶质量相同，另有1瓶轻一些，是次品。如果用天平称，至少称几次可以保证把次品酸奶找出来？ 培优优选题专练 11．（24-25五年级下·海南海口·期末）12个羽毛球特征相同，其中只有一个质量异常。现在要用一架没有砝码的天平去称，至少要称（    ）次才能找出那个质量异常的羽毛球。 A．4 B．3 C．2 D．1 12．（24-25五年级下·海南海口·单元测试）有26枚金币，其中一枚是假的（假金币轻一些）。要找出假金币，第一次用天平称，方法（    ）最好。 A．天平左右两边各放10枚，旁边放6枚 B．天平左右两边各放8枚，旁边放10枚 C．天平左右两边各放9枚，旁边放8枚 13．（24-25五年级下·海南海口·单元测试）用天平从20个零件中找一个稍轻的次品，与从27个零件中找一个稍轻的次品，要保证找出来，（    ）。 A．从20个里找用的次数少些 B．从27个里找用的次数少些 C．用的次数一样多 14．（24-25五年级下·海南海口·单元测试）4个物品，其中有一个次品，次品比合格品轻，那么最少用天平称( )次保证能找出这个次品。 15．（24-25五年级下·海南海口·单元测试）有5瓶酸奶，其中有1瓶质量不足。如果用天平称，每次称1瓶，需称( )次才能保证找到这瓶酸奶，如果每次称2瓶，需称( )次才能保证找到这瓶酸奶。 16．（24-25五年级下·海南海口·单元测试）现有12个乒乓球特征相同，其中只有一个比其他乒乓球略重，现在要求用一架没有砝码的天平去称，至少称( )次才能将这个质量异常的球找出来。 17．（24-25五年级下·海南海口·单元测试）有8个球，其中1个轻一点，把这些球放在天平上称几次，能找出轻的球？写出方法。 18． （24-25五年级下·海南海口·单元测试）某工厂生产的18个羽毛球中有一个重一些，这样的球会影响运动员的比赛水平。用天平称，至少称几次能保证找出这个羽毛球？ 19．（24-25五年级下·海南海口·单元测试）桌面上有一架天平和12个大小相同的金属球，其中有11个是铁球，1个是铅球，铅球比铁球重一些。 （1）如果小丽把12个金属球平均分成3份，那么她至少称几次能保证找出铅球？ （2）如果小丽把12个金属球平均分成4份，那么她至少称几次能保证找出铅球？ （3）如果小丽把12个金属球平均分成2份，那么她至少称几次能保证找出铅球？ 20．（23-24五年级下·江西吉安·期末）有12袋奶粉，其中有一袋质量不足，轻一些。如果用天平秤，至少秤多少次才能保证找出这袋次品？（写出分组的方法，并把找的过程表示出来） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年五年级下册数学举一反三变式拓展重点难点培优讲义（人教版） 第八讲 数学广角--找次品 【导图+知识精讲+易错点拨+1大考点讲练+易错压轴练+难度分层练 共44题】 目录 课前指导 讲义介绍 1 思维导图 一目了然 2 知识精讲 梳理脉络 2 知识点梳理01：问题背景与核心目标 2 知识点梳理02：基本操作原理 2 知识点梳理03：分组规则与最少次数规律 2 知识点梳理04：操作步骤与实例解析 3 易错点拨 查漏补缺 3 易错知识点01：分组策略错误 3 易错知识点02：次品方向混淆 4 易错知识点03：次数计算误区 4 易错知识点04：操作步骤遗漏 4 易错知识点05：易错题示例与解析 5 考点讲练 明确目标 5 考点一：找次品 5 易错真题 培优必刷 7 压轴专练 拔尖冲刺 12 培优巩固 拔尖冲刺 17 基础夯实优选题专练 17 培优优选题专练 21 同学你好！这套讲义资料由编者老师精心策划，编辑整理策划排版！非常适用于预习，复习，培优，拔尖使用。讲义包含：知识精讲，易错点拨，考点讲练，易错题专练，重点难点优选题，培优巩固和拔尖专练题。板块内容清晰，内容详尽。题目优选2023-2025年近两年名校真题。贴近考纲要求，非常有助于学生提升解题思维，强化做题技巧，解析版思路清晰。是学生自学，教师备课的优选资料！ 知识点梳理01：问题背景与核心目标 1. 次品定义 次品与合格品外观完全相同，但质量不同（已知次品比合格品轻或重），且待测物品中仅有一个次品。 2. 核心目标 通过天平称重，用最少次数找出次品，渗透化归思想（复杂问题简单化）和优化思想（寻找最优策略）。 知识点梳理02：基本操作原理 1. 天平平衡原理 平衡：两边物品质量相等，次品在未称量的物品中； 不平衡：次品在较轻（或较重）的一侧，具体方向由已知条件确定（如次品更轻）。 2. 关键策略 尽可能均分三组：将物品分成3组，利用天平称量快速缩小次品范围。 例：8个零件分为3、3、2三组，而非4、4分组。 知识点梳理03：分组规则与最少次数规律 1. 分组原则 能均分则均分：如9个物品分为3、3、3； 不能均分时：前两组数量相同，第三组多1或少1。例：10个物品分为3、3、4。 2. 最少称量次数规律 物品数量与最少次数的对应关系： 2~3个：1次 4~9个：2次 10~27个：3次 28~81个：4次 规律：每增加3倍的物品范围，次数加1。 知识点梳理04：操作步骤与实例解析 1. 操作流程 步骤1：分组 按均分三组原则分组（如8个分为3、3、2）78。步骤2：首次称量 将前两组放在天平两端： 若平衡，次品在第三组； 若不平衡，次品在较轻（或较重）的一组68。步骤3：递归缩小范围 对含次品的组重复步骤1-2，直至找出次品。 2. 实例解析 例1：10瓶钙片中找1瓶次品（较轻） 分组：3、3、4； 第一次称量：若两组3瓶平衡，次品在4瓶中；若不平衡，次品在较轻的3瓶中； 第二次称量：对含次品的组（3或4瓶）再次均分三组，重复称量。 结果：最多需3次找出次品。 易错知识点01：分组策略错误 1. 未遵循均分三组原则 错误表现：将物品分成2组（如8个分成4、4），导致称量次数增加。 示例：8个零件应分为3、3、2，而非4、4。若首次称量3 vs 3不平衡，次品范围缩小至3个；若分成4 vs 4，不平衡后仍需处理4个，增加次数1。 应对方法：始终按“尽量均分3组”原则分组，余数1或2时前两组数量相同（如10个分为3、3、4） 2. 忽略递归分组 错误表现：首次称量后未对含次品的组继续均分三组，直接逐个检测。 示例：27个物品首次分成9、9、9，若次品在某一组9个中，应再次分成3、3、3，而非逐一分组。 应对方法：每次称量后对剩余组递归均分三组，直至找到次品68。 易错知识点02：次品方向混淆 1. 未明确次品轻重属性 错误表现：题目未明确次品更轻或更重时，默认单方向判断（如总假设次品更轻）。 示例：若次品可能更重，称量时需观察天平低的一侧，而非惯性认为轻侧为次品。 应对方法：审题时标注次品属性，称量后根据天平倾斜方向对应判断68。 易错知识点03：次数计算误区 1. 混淆最少次数规律 错误表现：认为“物品数=3ⁿ时次数为n”，忽略区间范围（如10~27个需3次，而非仅27个需3次）。 示例：10个物品需3次（因10>9），但学生误用“3²=9”认为仅需2次。 应对方法：熟记区间规律（如2~3→1次，4~9→2次，10~27→3次）。 2. 忽略多因素干扰 错误表现：未考虑实际条件（如砝码不足、多个次品）对次数的影响。 示例：8瓶矿泉水中含2个次品（均更轻），若仍按单次品策略分组，导致次数错误增加。 应对方法：题目若含多条件（如多个次品、砝码限制），需调整策略（如分阶段排除或借助已知质量物体称量）。 易错知识点04：操作步骤遗漏 1. 未标记分组编号 错误表现：称量后未记录分组对应物品，导致后续无法追溯次品位置。 示例：将零件分为A、B、C三组称量后，若未标记各组包含哪些编号，难以确定次品来源。 应对方法：用数字或符号标记每组物品，建立跟踪表。 2. 未动态调整策略 错误表现：机械套用初始分组方案，未根据每次称量结果优化后续步骤。 示例：首次称量后次品范围缩小到4个，仍按原分组方式而非调整为2、1、1。 应对方法：根据剩余物品数实时调整分组，灵活应用均分原则。 易错知识点05：易错题示例与解析 例题（参考）： 有8瓶矿泉水，其中2瓶较轻（次品），最少需几次称量找出？ 错误解答：分成4、4两组称量，不平衡后需再称2次，共3次。 正确解析： 1. 首次分组：3、3、2； 2. 称量3 vs 3： 若平衡，次品在2瓶中，再称1次即可（共2次）； 若不平衡，次品在较轻的3瓶中，再分成1、1、1称量（共2次）。 核心：多次品问题需结合递归分组和动态调整，避免惯性思维。 考点一：找次品 【精讲题】（23-24五年级下·四川南充·期末）有一堆玻璃球，共有70个，其中有1个质量较轻是次品，其余的质量相等。如果用一架无砝码的天平称，至少称( )次就一定能找出次品。 【答案】4 【思路点拨】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。据此解答。 【规范解答】把70个玻璃小球分成3份，一份24个，其余两份23个，即（23，23，24），第一次称，天平两边各放23个，如果天平不平衡，次品就在较轻的23个中。把有次品的23个玻璃小球分成（7，8，8），第二次称，天平两边各放8个，如果天平不平衡，次品就是较轻的那8个中。最后把有次品的8个玻璃小球分成（3，3，2），第三次称，天平两边各放3个，如果天平不平衡，次品就在较轻的那3个中。把这3个玻璃小球分成（1，1，1），第四次称，天平两边各放1个，如果天平平衡，次品在剩下的1个中，如果天平不平衡，次品就是轻的那一个。 所以至少要称4次。 【精练题01】（23-24五年级下·河南洛阳·期末）端午节，是我国四大传统节日之一，也是我国首个入选世界非遗的节日。端午前夕，小惠妈妈一共包了15个板栗肉粽，其中一个粽子没有放板栗，比其他粽子轻一些，如果用天平称，至少要称( )次才能保证找到这个轻一些的粽子。 【答案】3 【思路点拨】称第一次：把15个分成（5，5，5），天平两边各放5个，出现两种情况：平衡，轻一点的粽子在未称的5个里面；不平衡，轻一些的粽子在天平翘的高的那一端； 称第二次：把5个分成（2，2，1），天平两边各放2个，出现的情况：平衡，轻一些的粽子就是未称的粽子；不平衡，轻一些的粽子就在天平翘的高的那一端； 称第三次：把2个分成（1，1）天平两边各放一个，轻一些的粽子就在天平翘的高的那一端。 【规范解答】由分析可知：端午前夕，小惠妈妈一共包了15个板栗肉粽，其中一个粽子没有放板栗，比其他粽子轻一些，如果用天平称，至少要称3次才能保证找到这个轻一些的粽子。 【精练题02】（23-24五年级下·河南安阳·期末）有12瓶矿泉水，其中11瓶质量相同，另有一瓶次品，次品质量重一些。用天平称，至少称（    ）次才能保证找出次品。 A．3次 B．2次 C．4次 D．5次 【答案】A 【思路点拨】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【规范解答】将12瓶矿泉水分成（4、4、4），称（4、4），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中4瓶；将4瓶分成（1、1、2），称（1、1），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，平衡，次品在2瓶中；将2瓶分成（1、1），再称1次即可确定次品，共3次。 至少称3次才能保证找出次品。 故答案为：A 【精练题03】（23-24五年级下·广东云浮·期末）有12袋糖果，其中11袋一样重，另有一袋质量轻一些，用天平至少称( )次才能保证找出这袋质量轻一些的糖果。 【答案】3 【思路点拨】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两遍称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【规范解答】先把12袋糖果平均分成3组，每组4袋。 第一次，取其中2组分别放在天平两边，若天平平衡，则较轻的一袋在未取的一组中，若天平不平衡，取较轻的继续； 第二次，取含有较轻的1组分成3份：1袋、1袋、2袋，取1袋的2份分别放在天平两侧，若天平不平衡，可找到较轻的一袋；若天平平衡，则较轻的一袋在未取的一份，再进行第三次比较； 第三次，取含有较轻的1份（2袋）分别放在天平两侧，即可找到较轻的一袋。 用天平至少称3次才能保证找出这袋质量轻一些的糖果。 1．（2023春•余杭区期末）一批零件共有28个，有一个质量稍小的不合格零件混在其中，用天平秤至少称_____次能保证找出这个不合格零件。（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据题意，本题和找次品是同类型题目，解题的关键是利用天平平衡原理来逐步进行排除，从而达到缩小范围的目的。一般把总量分成3份，尽量平均分。 【解答】解：将28个零件分成3份，分别为9个、9个和10个。 第一次把其中的两份9个放在天平上称一称，如天平平衡，则没有称的零件中有不合格的，如天平不平衡，拿出轻一些的那9个，继续称； 第二次根据最不利原则，假设不合格零件在10个零件的那一份里面。把10个零件分成3份，分别为3个，3个，4个，把其中的两份3个零件的放在天平上称一称，如天平平衡，则没有称的那份里有不合格零件，如天平不平衡，则拿出轻一些的那份继续称； 第三次根据最不利原则，假设不合格零件在4个零件的那一份里面。把4个零件分成3份，分别为2个，1个，1个，把其中的两份1个零件的放在天平上称一称，如天平平衡，则没有称的那份里有不合格零件，如天平不平衡，则拿出轻一些的那份继续称； 第四次次根据最不利原则，假设不合格零件在2个零件的那一份里面。把2个零件放在天平上称一称，天平不平衡，则轻的那一个是不合格零件； 在上述描述中，找出质量不足的零件的规律为：2～3个物品，至少称1次；4～9个物品，至少称2次；10～27个物品，至少称3次；28～81个物品，至少称4次； 28在28～81这个范围内，至少称4次才能保证找出这袋零件来。 故选：B。 【点评】本题考查的是找次品的应用。 2．（2022春•遂宁期末）有13瓶钙片，其中12瓶质量相同，另有1瓶是次品（质量较轻），如果用天平称，至少称（　　）次能保证找出这瓶次品？ A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】将13瓶分成3份：4，4，5；第一次称重，在天平两边各放4瓶，手里留5瓶；（1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的5瓶分为2，2，1，在天平两边各放2瓶，手里留1瓶，a.如果天平平衡，则次品在手里；b.如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的2瓶中；接下来，将这两瓶分别放在天平的两边就可以鉴别出次品；（2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的4瓶中，将这4瓶中的2瓶在天平两边各放1瓶，手里留2瓶，a.如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘中；b.如果天平平衡，则次品在手中的2瓶中，接下来，将这两瓶分别放在天平的两边就可以鉴别出次品。故至少称3次能保证找到这瓶次品。 【解答】解：经分析得： 有13瓶钙片，其中12瓶质量相同，另有1瓶是次品（质量较轻），如果用天平称，至少称3次能保证找出这瓶次品。 故选：B。 【点评】考查找次品的问题，分3份操作找到最优方法。 3．（2022春•建安区期末）有10袋白糖，其中9袋每袋500g，另1袋不是500g，但不知道比500g重还是轻，用天平称，至少（　　）次就能保证把它找出来． A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】先将这10袋白糖分成（3，3，3，1）四组，取（3，3）这两组分别放入天平称量，若平衡，则用剩下的3袋替换其中的一组，即可找出有次品的一组． 【解答】解：将这10袋白糖分成（3，3，3，1）四组，先取其中两组3称量， 若平衡，则用未称量的那组3替换其中一组3，若还平衡，那么次品就是那1个的1份；若不平衡，则次品在刚换上的这一组3内，此时次品比正品的轻重已知（假设这一袋较轻）。 再将含有较轻的一组3分成（1，1，1）三组，取其中两组称量，若平衡，则次品是剩下的那组1，若不平衡，则较轻的为要找的一袋； 若不平衡，则用未称量的那组3替换其中一组3，若还不平衡，那么次品就是没有换下的那组3内；若平衡，则次品就是换下的那组3内，且次品比正品的轻重已知（假设这一袋较轻）； 再将3分成（1，1，1）三组，取其中两组称量，若平衡，则次品是剩下的那组1，若不平衡，要找的一袋在较轻的一端；若平衡，则较轻的一袋就是换下的那组3内。 综上所述，只需要称量4次就能保证找出不是500g的白糖。 答：用天平称，至少称4次就能保证把不是500g的这袋白糖找出来． 故选：B。 【点评】本题主要考查了找次品，因为次品是轻是重未知，所以第一次分组是，要分得其中三组数量相同，从而在称量过程中便可判断次品的轻重。 4．要想在8个外观完全一样的乒乓球中，找出质量稍重的1个次品，用天平称，至少称2次才能保证找出次品。比较合适的分法是（　　） A．（4，4） B．（2，2）4 C．（3，3）2 D．（1，1）6 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【解答】解：经分析得： 将8个分成3份：3，3，2。第一次称重，在天平两边各放3个，手里留2个； （1）如果天平平衡，则次品在手里，然后再称一次就可以找到次品； （2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3个中，将这3个中的2个在天平两边各放1个，手里留1个， a.如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘中， b.如果天平平衡，则次品在手中。 故至少称2次才能保证找出次品。 所以比较合适的分法是（3，3）2。 故选：C。 【点评】考查找次品的问题，分3份操作找到最优方法。 5．（2023春•文成县期末）有15瓶饮料，其中一瓶变质了（略重一些），用无砝码的天平称，至少称 　3　 次一定能找出次品。 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两遍称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【解答】解：经分析得： 将15瓶分成3份：5，5，5；第一次称重，在天平两边各放5瓶，手里留5瓶； （1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的5瓶分为2，2，1，在天平两边各放2瓶，手里留1瓶， a.如果天平平衡，则次品在手里； b.如果天平不平衡，则次品在下降的天平托盘的2瓶中；接下来，将这2瓶分别放在天平的两边就可以鉴别出次品； （2）如果天平不平衡，则次品在下降的天平托盘的5瓶中，将这5瓶分成三份：2，2，1，在天平两边各放2瓶，手里留1瓶， a.如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘中，接下来，将这2瓶分别放在天平的两边就可以鉴别出次品； b.如果天平平衡，则次品是手中的1瓶。 故至少称3次能就能保证可以找出这一瓶。 故答案为：3。 【点评】考查找次品的问题，分3份操作找到最优方法。 6．（2023春•宜春期末）某工厂生产的20个零件中有一个次品，它比正品略轻一点，用天平称，至少要称　3　 次能保证找出来． 【分析】先把20个零件分成（7，7，6），把两个7个一组的放在天平上称，可找出有次品的一组，再把7分成（3，3，1），可找出有次品的一组，再把3分成（1，1，1），可找出次品，如次品在6个一组里，则把6分成（2，2，2），把两个2个一组的放在天平上称，可找出次品一组，再把2成（1，1），可找出次品．据此解答． 【解答】解：先把20个零件分成（7，7，6），把两个7个一组的放在天平上称，可找出有次品的一组，再把7分成（3，3，1），可找出有次品的一组，再把3分成（1，1，1），可找出次品，需3次； 如次品在6个一组里，则把6分成（2，2，2），把两个2个一组的放在天平上称，可找出次品一组，再把2成（1，1），可找出次品，需3次； 所以用天平称，至少称3次能保证找出次品零件． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了学生根据天平平衡的原理解答问题的能力． 7．（2022春•昆明期末）某工厂生产的11个机器零件中有一个是次品，它比正品略轻一些，用天平称一称，最少称　3　 次就一定能找出来． 【分析】第一次：把11个机器零件分成4个，4个，3个三份，把其中4个两份分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则次品即在未取的3个零件中（任取2个，分别放在天平秤两端，若平衡，未取零件即为次品，若不平衡较高端即为次品），若天平秤不平衡；第二次：把较高端的4个零件，平均分成两份，每份2个，分别放在天平秤两端；第三次：把天平秤较高端的2个零件，分别放在天平秤两端，较高端即为次品，据此即可解答． 【解答】解：第一次：把11个机器零件分成4个，4个，3个三份，把其中4个两份分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则次品即在未取的3个零件中（任取2个，分别放在天平秤两端，若平衡，未取零件即为次品，若不平衡较高端即为次品），若天平秤不平衡； 第二次：把较高端的4个零件，平均分成两份，每份2个，分别放在天平秤两端； 第三次：把天平秤较高端的2个零件，分别放在天平秤两端，较高端即为次品． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查学生依据天平秤平衡原理解决问题的能力． 8．有14个球，其中13个质量相同，余下的一个质量较轻，是不合格产品，用天平至少称几次才能保证找出这个不合格产品？ 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【解答】解：经分析得： 将14个球分成3份：5，5，4；第一次称重，在天平两边各放5个，手里留6个； （1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的4个分为1，1，2，在天平两边各放1个，手里留2个， a.如果天平平衡，则次品在手里2个中，接下来，将这2个分别放在天平的两边就可以鉴别出次品； b.如果天平不平衡，则鉴别出次品； （2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的5个中，将这5个分成三份：2，2，1，在天平两边各放2个，手里留1个， a.如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘中，接下来，将这2个分别放在天平的两边就可以鉴别出次品； b.如果天平平衡，则次品是手中的1个。 故至少称3次能就能保证可以找出这一个。 答：用天平至少称3次才能保证找出这个不合格产品。 【点评】考查找次品的问题，分3份操作找到最优方法。 9．赵亮买了7袋方便面，其中6袋质量相同，另有1袋质量不足。小华设计了用天平找不足质量的这袋方便面的方案，请你帮他填完整。 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【解答】解：经分析得： 【点评】考查找次品的问题，分3份操作找到最优方法。 10．小华买了7袋方便面，其中6袋质量相同，另有一袋质量不足。请你帮小华设计用天平找出不足质量的这袋方便面的方案。 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【解答】解：经分析得： 将7袋分成3份：2，2，3。 第一次称重，在天平两边各放2袋，手里留3袋； （1）如果天平平衡，则次品在手里3袋中， 将手里3袋分三份：1，1，1，在天平的两边各放1袋，手里留1袋。最后再称一次就可以找到次品。 （2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的2袋中，将这2袋分别放在天平两端，最后称重一次即可找到次品。 故用天平称2次能保证称出来。 答：方案为将7袋分成3份：2，2，3。第一次称重，在天平两边各放2袋，手里留3袋；（1）如果天平平衡，则次品在手里3袋中，将手里3袋分三份：1，1，1，在天平的两边各放1颗，手里留1袋。最后再称一次就可以找到次品。（2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的2袋中，将这2袋分别放在天平两端，最后称重一次即可找到次品。故用天平称2次能保证称出来。 【点评】考查找次品的问题，分3份操作找到最优方法。 11．（2024春•南湖区期末）如图，8个形状完全相同的小球中有一个是次品（次品轻一些）。用天平称，至少称几次能保证找出次品？其中能将次品范围缩到最小的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据天平的平衡原理对托盘两边的物品进行比较，把待测物品分成三份，要分得尽量平均，能够均分的就平均分成3份，不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【解答】解：8个形状完全相同的小球中有一个是次品（次品轻一些）。可分为三组：8（3，3，2），所以其中B项中能将次品范围缩到最小。 故答案为：B。 【点评】天平秤的平衡原理是解答本题的依据，注意把待测物品分成三份，要分得尽量平均，能够均分的就平均分成3份。 12．（2024春•镇雄县期末）有10盒鲜花饼，其中9盒的质量相同，另1盒轻一些，用天平称，至少称（　　）次保证可以找出这盒轻一些的鲜花饼。 A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】把10分成（5，5），放在天平上称，找出轻的一组，再把轻的5盒分成（2，2，1），把2个一组的放在天平上称，如平衡，则1个一组的是次品，如不平衡，再把2分成（1，1），放在天平上称，可找出次品。 【解答】解：把10盒鲜花饼分成（5，5），放在天平上称，找出轻的一组，再把轻的5盒分成（2，2，1），把2个一组的放在天平上称，如平衡，则1个一组的是次品，如不平衡，再把2分成（1，1），放在天平上称，可找出次品，所以用天平称至少称3次保证可以找出这盒轻一些的鲜花饼。 故选：B。 【点评】本题主要考查了学生根据天平平衡的原理解答问题的能力。 13．（2024春•中原区期末）有5个外观相同的零件，其中有1个次品质量略轻一些，聪聪用一架没有砝码的天平称了两次找出了这个次品。如图各图中，可以表示聪聪称的过程与结果的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ 【分析】根据用天平称两次从5个零件中找出次品的方法，选择合适的选项即可。 【解答】解：第一次天平两边各放两个零件，如果两边平衡，如图①，则没放上去那个零件是次品，不用称两次，如果两边不平衡，如图②，次品在较轻的一边的两个零件中，第二次把这两个零件分别放在天平的两边，天平一定不平衡，如图③，于是找出了较轻的次品。所以称两次找出次品，表示称的过程与结果的是②③。 故选：B。 【点评】根据天平平衡原理进行分析，最后得出结论即可。 14．（2023春•江夏区期末）阿凡提从朋友那里得到了8枚外表一模一样的金币，但是其中有1枚是假的，假的轻一些。阿凡提说：“我用天平称2次，就一定能找出这枚假的金币。“他找的过程是（　　） A．分成2份（4，4） B．分成4份（2，2，2，2） C．分成3份（3，3，2） D．分成3份（2，2，4） 【分析】根据题意，把8个金币分成3份（3、3、2），第一次取3枚的两份分别放在天平的两侧，若天平平衡，则较轻的在未取的一份，若天平不平衡，取较轻的一份继续称量；第二次，取含有较轻的一份（3个或2个）中的2个分别放在天平两侧，即可找到较轻的一个。 【解答】解：把8个金币分成3份（3、3、2）， 第一次取3枚的两份分别放在天平的两侧，若天平平衡，则较轻的在未取的一份，若天平不平衡，取较轻的一份继续称量； 第二次，取含有较轻的一份（3个或2个）中的2个分别放在天平两侧，即可找到较轻的一个。 所以至少需要用天平称2次才能保证找出假的硬币。 故选：C。 【点评】天平秤的平衡原理是解答本题的依据，注意每次取金币的个数。 15．（2024春•桃江县期末）有6个小球，其中一个是次品，要轻一些。仔细观察如图，　⑤　 号球是次品。 【分析】根据图1不平衡，右端升起，可知次品在④或⑤中，图2中平衡，所以⑤是次品。 【解答】解：根据图1不平衡，右端升起，可知次品在④或⑤中，图2中平衡，所以⑤是次品。 故答案为：⑤。 【点评】本题主要考查了学生根据天平平衡的原理解答问题的能力。 16．（2024春•信都区期末）有20盒饼干，其中的19盒质量相同，另有1盒少了几块。如果能用天平称，至少称 　3　 次可以保证找出这盒饼干。 【分析】第一次：把20盒饼干分成三份（7，7，6），把7盒的两份分别放在天平秤两边，若天平秤平衡，那么少几块的那盒在没称的6盒中，若不平衡，则少几块的那盒在天平称上升的一端；第二次：①把6盒饼干平均分成（3，3）两份，把两份分别放入天平秤两边，则少几块的那盒在天平称上升的一端；②把比较轻的7盒饼干平均分成（3，3，1）三份，把两个3盒的分别放入天平秤两边，若天平秤平衡，则少几块的那盒是没称的那盒，如不平衡，则少几块的那盒在天平称上升的一端；第三次：若少几块的那盒在3盒中，再把这3盒分成（1，1，1）三份，任取两个放在天平上称，若天平秤平衡，则剩下的是少几块的那盒，若天平秤不平衡，则少几块的那盒在天平称上升的一端；据此即可解答。 【解答】解：第一次：把20盒饼干分成三份（7，7，6），把7盒的两份分别放在天平秤两边，若天平秤平衡，那么少几块的那盒在没称的6盒中，若不平衡，则少几块的那盒在天平称上升的一端； 第二次：①把6盒饼干平均分成（3，3）两份，把两份分别放入天平秤两边，则少几块的那盒在天平称上升的一端；②把比较轻的7盒饼干平均分成（3，3，1）三份，把两个3盒的分别放入天平秤两边，若天平秤平衡，则少几块的那盒是没称的那盒，如不平衡，则少几块的那盒在天平称上升的一端； 第三次：若少几块的那盒在3盒中，再把这3盒分成（1，1，1）三份，任取两个放在天平上称，若天平秤平衡，则剩下的是少几块的那盒，若天平秤不平衡，则少几块的那盒在天平称上升的一端。 答：至少称3次可以保证找出这盒饼干。 故答案为：3。 【点评】本题主要考查了学生根据天平平衡的原理解决问题的能力，解题的关键是正确的分组。 17．（2023春•通川区期末）药监局在某药店检查时发现：一箱16瓶的维C中有一瓶略轻一些。若请你用天平称，最少称 　3　 次就一定能找出这瓶略轻的维C。 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止；据此答题即可。 【解答】解：（1）把16瓶维C分成（5，5，6）三组，把其中的两组5瓶的放在天平上称，如平衡，则轻的在没称的一组，再把它分成（2，2，2），再把2瓶一组的放在天平上称，一边2瓶，如平衡，则重的就是没称的，如不平衡，则把轻的一组分（1，1）放在天平上称可找出重的。 （2）如不平衡，则把轻的一组分成（2，2，1），再把2瓶一组的放在天平上称，如平衡，则轻的就是没称的，如不平衡，则把轻的一组分（1，1）放在天平上称可找出重的。 所以最少称3次就一定能找出这瓶略轻的维C。 故答案为：3。 【点评】本题主要考查了学生根据天平的原理解答问题的能力。 18．（2021春•历下区期末）思考题：有28个零件其中有一个是次品，用天平秤，至少称几次，就保证把次品找到？ 【分析】第一次：把28个零件分成（14，14）两份，分别放在天平两端，天平不平衡； 每二次：把上升端14个零件分成（7，7）2份，如果平衡，说明次品是未取的14个零件，且次品重一些，如果不平衡，说明次品在上升一端，且次品轻一些； 第三次：假设次品在未取的14个零件中，把14个零件分成（7，7）2份，分别放在天平两端，次品在下降一端； 第四次：把含次品的7个零件分成（3，3，1）3份，把3个一组的分别放在天平两端，如果平衡，则次品是剩下的那个；如果天平不平衡，次品在天平下降的一端； 第五次：把含次品的3个零件分成（1，1，1）3份，任意称两个零件，如果平衡，则次品是剩下的那个；如果天平不平衡，次品在天下降的一端； 据此即可找到次品。 【解答】解：第一次：把28个零件分成（14，14）两份，分别放在天平两端，天平不平衡； 每二次：把上升端14个零件分成（7，7）2份，如果平衡，说明次品是未取的14个零件，且次品重一些，如果不平衡，说明次品在上升一端，且次品轻一些； 第三次：假设次品在未取的14个零件中，把14个零件分成（7，7）2份，分别放在天平两端，次品在下降一端； 第四次：把含次品的7个零件分成（3，3，1）3份，把3个一组的分别放在天平两端，如果平衡，则次品是剩下的那个；如果天平不平衡，次品在天平下降的一端； 第五次：把含次品的3个零件分成（1，1，1）3份，任意称两个零件，如果平衡，则次品是剩下的那个；如果天平不平衡，次品在天下降的一端； 所以至少称5次，就保证把次品找到。 答：至少称5次，就保证把次品找到。 故答案为：5。 【点评】天平秤的平衡原理是解答本题的依据，注意次品没说明轻或重。 19．（2024春•黄石期末）下列数量的物品应该怎样分才能保证用最少的次数找出较轻的那一个次品？请把分的数量填在〇里。 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【解答】解：如图： 【点评】本题主要考查找次品的问题，分3份操作找到最优方法。 20．（2022春•岚皋县期末）爸爸买来13本信笺，这13本信笺的质量相同，淘气的小明从一本信笺中撕了几页，你能用天平把这本被撕过的信笺找出来吗？你至少要称几次？请用图例说一说。 【分析】根据题意，第一次把13本信笺3份（6，6，1），取6本的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，较轻的在未取的一份，若天平不平衡，被撕过的信笺在天平称较高端；第二次，把天平称较高端的6本分成2份：（3，3），把这2份分别放在天平的两侧，被撕过的信笺在天平称较高端；第三次，把天平称较高端的3本任取2本，分别放在天平的两侧，若天平平衡，被撕过的信笺的在未取的一份，若天平不平衡，被撕过的信笺在天平称较高端；据此解答即可。 【解答】解：第一次把13本信笺3份（6，6，1），取6本的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，较轻的在未取的一份，若天平不平衡，被撕过的信笺在天平称较高端； 第二次，把天平称较高端的6本分成2份：（3，3），把这2份分别放在天平的两侧，被撕过的信笺在天平称较高端； 第三次，把天平称较高端的3本任取2本，分别放在天平的两侧，若天平平衡，被撕过的信笺的在未取的一份，若天平不平衡，被撕过的信笺在天平称较高端； 答：能用天平把这本被撕过的信笺找出来，至少要称3次。 【点评】本题主要考查学生依据天平秤平衡原理解决问题的能力，注意每次称量时取的袋数。 基础夯实优选题专练 1．（23-24五年级下·江西九江·期末）有8个外观相同的台球，其中一个是次品，略轻。欢欢用天平来找次品，第一次称的结果如右下图，可以推断（    ）一定是正品。 A．①、②、③、⑦和⑧ B．④、⑦和⑧ C．④、⑤和⑥ 【答案】A 【思路点拨】从图中可知，天平左右两边各放了3个台球，天平不平衡，左边重、右边轻。因为次品略轻，所以这个次品一定在右边的④⑤⑥中，由此推断哪些台球是正品。 【规范解答】根据第一次称的结果可知，天平左边的台球重，右边的台球轻。因为次品略轻，所以左边较重的①②③是正品，另外还没有称的台球⑦和⑧也是正品。 所以，可以推断①、②、③、⑦和⑧一定是正品。 故答案为：A 2．（20-21五年级下·湖南长沙·期末）桌上有8个球，编号分别是①至⑧，其中有7个球一样重，另外一个球轻一些。为了找出轻球，晶晶用天平称了两次，结果如下图。由此，可以知道轻球是（    ）。 A．⑧ B．⑥ C．④ D．② 【答案】B 【思路点拨】根据图可知，①＋②＝③＋④，②＋⑤＝⑦＋⑧，由此即可知道①、②、③、④、⑤、⑦、⑧这7个球的重量相同，由此即可判断出轻球是剩余的那个。 【规范解答】由分析可知： ①、②、③、④、⑤、⑦、⑧这7个球的重量相同，所以轻球是⑥ 故答案为：B 3．（23-24五年级下·河南安阳·期末）有5颗同样的玻璃球（分别编号①②③④⑤），其中有1颗是次品，质量稍轻。根据图示可以推断出次品一定在（    ）中。 A．①② B．③④ C．⑤ D．①③ 【答案】B 【思路点拨】从图中可知，天平左边放的是①②号玻璃球，天平右边放的是③④号玻璃球；天平不平衡，右边上翘，左边下沉，说明天平右边比左边轻，即③④比①②轻，据此得出次品在③④中。 【规范解答】因为有1颗是次品，质量稍轻，而天平右边轻，根据图示可以推断出次品一定在③④中。 故答案为：B 4．（23-24五年级下·河北承德·期末）有3瓶钙片，其中1瓶少了3片（次品），可以用天平称找到次品：把3瓶钙片分成1瓶、1瓶、1瓶，天平两边各放( )瓶，如果天平平衡，剩余的1瓶就是( )，如果不平衡，那么次品一定在轻的那边。 【答案】 1 次品 【思路点拨】找次品的方法：一般是把待测物品分成3份，能平均分的就平均分，不能平均分的，使其中的2份相同，第3份尽量与这两份相同，再称其中的2份，根据天平平衡、不平衡进行判断，如果不能找出次品，继续把含有次品的份数再分成3份，方法同上，直到找出次品。 【规范解答】把3瓶钙片分成1瓶、1瓶、1瓶，天平两边各放1瓶，如果天平平衡，剩余的1瓶就是次品，如果不平衡，那么次品一定在轻的那边。 5．（22-23五年级下·四川内江·期末）有6个小球，其中一个是次品要轻一些。根据图判断次品球的编号是( )号。 【答案】⑤ 【思路点拨】从右图可以看出，①＋④＝②＋⑥，所以这里面不存在次品，次品就是③或⑤，再看左图，图中的②和④都是正品可以忽略掉，只看③和⑤，③比⑤重，因此，由于次品轻一些，那么⑤号就是次品。 【规范解答】有6个小球，其中一个是次品要轻一些。根据图判断次品球的编号是⑤。 6．（21-22五年级下·江西赣州·期末）有8瓶水，其中7瓶质量相同，另有1瓶加了一些糖（比其他的水略重一些）。如果用天平称，至少称( )次才能保证找出这瓶糖水。 【答案】2 【思路点拨】这是一道典型的“找次品”题，做题时关键是把要称的物品数量平均分成3份，或尽量使其接近平均，这样才能保证称的次数最少。 【规范解答】把8瓶水分成3瓶，3瓶和2瓶，先在天平两端各放3瓶水，如果天平平衡说明次品在另外2瓶中，再称一次即可；如果天平不平衡，则把天平下沉的一端3瓶取出，再分成1瓶，1瓶，1瓶，再称一次，因此共用2次保证找到次品。 所以如果用天平称，至少称2次才能保证找出这瓶糖水。 7．（22-23五年级下·湖南衡阳·期末）如果10个零件中有一个次品（次品的质量轻一些），要保证找到次品，至少要称3次。( ) 【答案】√ 【思路点拨】把10个零件分成3份，即（3，3，4）﹔第一次称，天平两边各放3个，如果天平不平衡，次品就在较轻的3个中；如果天平平衡，次品在剩下的4个中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，把有次品的4个零件分成（1，1，2），第二次称，天平两边各放1个，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一个；如果天平平衡，次品在剩下的2个中；最后把有次品的2个零件分成（1，1），第三次称，天平两边各放1个，次品就是较轻的那一个。所以至少称3次保证就一定能找出次品。 【规范解答】 根据分析得， 用天平至少称3次就能保证把这个次品找出来。 故答案为：√ 8．（21-22五年级下·湖南娄底·期末）从十件相同物品中，九件完全一样，一件稍轻；要找出轻的物品，至少要用天平称3次才能保证找出来。( ) 【答案】√ 【思路点拨】第一次，把10件物品分成3份：3件、3件、4件，取3件的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，较轻的物品在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续； 第二次，取含有较轻物品的一份（3件或4件），取2件分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的物品在未取的一份中，若天平不平衡，则天平较高的一端为较轻的物品； 第三次，取含有较轻物品的两件分别放在天平两侧，即可找到轻的物品。 【规范解答】从十件相同物品中，九件完全一样，一件稍轻；要找出轻的物品，至少要用天平称3次才能保证找出来，说法正确； 故答案为：√。 9．（22-23五年级上·广东汕尾·期末）有10瓶钙片，其中一瓶少了3片，用天平称，至少称几次能确保找出少了3片的那一瓶？请你设计一个方案。 【答案】3；见详解 【思路点拨】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。据此设计方案即可。 【规范解答】答：方案设计如下：把10瓶钙片分成3份，即（3，3，4）；第一次称，天平两边各放3瓶，如果天平不平衡，次品就在较轻的3瓶中；如果天平平衡，次品在剩下的4瓶中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，把有次品的4瓶钙片分成（1，1，2），第二次称，天平两边各放1瓶，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一瓶；如果天平平衡，次品在剩下的2瓶中；最后把有次品的2瓶钙片分成（1，1），第三次称，天平两边各放1瓶，次品就是较轻的那一瓶。所以至少称3次能确保找出少了3片的那一瓶。 10．（22-23五年级下·全国·单元测试）有14瓶酸奶，其中13瓶质量相同，另有1瓶轻一些，是次品。如果用天平称，至少称几次可以保证把次品酸奶找出来？ 【答案】3次 【思路点拨】根据题意，第一次把14瓶酸奶分成3份：5瓶、5瓶、4瓶，取5瓶的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，较轻的在未取的一份，若天平不平衡，取较轻的一份继续；第二次，取含有较轻的一份（5瓶或4瓶），分成3份：2瓶、2瓶、1瓶，取2瓶的分别放在天平的两侧，若天平平衡，则未取的为较轻的次品，若天平不平衡，取较轻的继续；第三次，把含有较轻的一份（2个）分别放在天平两侧，即可找到较轻的次品。据此解答。 【规范解答】第一次把14瓶酸奶分成3份：5瓶、5瓶、4瓶，取5瓶的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，较轻的在未取的一份，若天平不平衡，取较轻的一份继续； 第二次，取含有较轻的一份（5瓶或4瓶），分成3份：2瓶、2瓶、1瓶，取2瓶的分别放在天平的两侧，若天平平衡，则未取的为较轻的次品，若天平不平衡，取较轻的继续； 第三次，把含有较轻的一份（2个）分别放在天平两侧，即可找到较轻的次品。 答：至少称3次可以保证把次品酸奶找出来。 培优优选题专练 11．（24-25五年级下·海南海口·期末）12个羽毛球特征相同，其中只有一个质量异常。现在要用一架没有砝码的天平去称，至少要称（    ）次才能找出那个质量异常的羽毛球。 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【思路点拨】根据题意，12个羽毛球特征相同，其中只有一个质量异常，但不知轻重，分组称重时，考虑天平平衡或不平衡时的各种情况，逐一讨论，得出至少称的次数。 【规范解答】第1次称量，将12个羽毛球平均分为三份①②③（每份4个），先把①和②放在天平的两边，如果天平平衡，则③里面有异常球；如果天平不平衡，则①和②中有异常羽毛球，③都是正常羽毛球；第2次称量，把①和②中的任意一份取下来，把③放上去，即可判断异常羽毛球在哪一份里，并且知道异常羽毛球的轻重；第3次称量，把有异常羽毛球的4个球平均分成两份（每份2个），把它们放在天平的两边，天平不平衡，根据轻重，判断出异常羽毛球在哪一份里；第4次称量，再把有异常羽毛球的2个球分成两份（每份1个），把它们放在天平的两边，天平不平衡，根据轻重，判断出异常羽毛球是哪一个。 所以至少要称4次才能找出那个质量异常的羽毛球。 故答案为：A 12．（24-25五年级下·海南海口·单元测试）有26枚金币，其中一枚是假的（假金币轻一些）。要找出假金币，第一次用天平称，方法（    ）最好。 A．天平左右两边各放10枚，旁边放6枚 B．天平左右两边各放8枚，旁边放10枚 C．天平左右两边各放9枚，旁边放8枚 【答案】C 【思路点拨】根据找次品的方法，要尽量将物品平均分成3份来称，这样能较快找出次品。所以需要判断将26枚金币按各选项的分法，是否符合尽量平均分成3份的原则。 【规范解答】A．若天平左右两边各放10枚，旁边放6枚，此时分成的三份数量分别为10、10、6。10与6相差10－6＝4，没有做到尽量平均分成3份。 B．若天平左右两边各放8枚，旁边放10枚分成的三份数量是8、8、10。10与8相差10－8＝2，也没有做到尽量平均分成3份。 C．若天平左右两边各放9枚，旁边放8枚，分成的三份数量为9、9、8。9与8相差9－8＝1，符合尽量平均分成3份，能使多的一份与少的一份相差1，这种分法最好。 所以第一次用天平称，天平左右两边各放9枚，旁边放8枚最好。 故答案为：C 13．（24-25五年级下·海南海口·单元测试）用天平从20个零件中找一个稍轻的次品，与从27个零件中找一个稍轻的次品，要保证找出来，（    ）。 A．从20个里找用的次数少些 B．从27个里找用的次数少些 C．用的次数一样多 【答案】C 【思路点拨】将要找次品的一堆零件尽可能的平均分成3份，如果不能平均分，要让数量不同的一份与其它两份之间的差距为1个。然后利用天平，不断地缩小次品的所在范围，直到找出次品。据此分析出从20个里找、从27个里找，各至少需要几次，从而解题。 【规范解答】从20个里找： 第一次：分成（7，7，6），将前两份放在天平的两端，哪边轻哪边含有次品。如果平衡，则次品在第三份中。 第二次：①将7个零件分成（2，2，3），将前两份放在天平的两端，哪边轻哪边含有次品。如果平衡，则次品在第三份中。 ②将6个零件分成（2，2，2），将前两份放在天平的两端，哪边轻哪边含有次品。如果平衡，则次品在第三份中。 第三次：①将2个零件分成（1，1），放在天平两端，哪边轻哪边是次品。 ②将3个零件分成（1，1，1），将前两份放在天平两端，哪边轻哪边是次品。如果平衡，则第三份是次品。 所以从20个零件里找次品，要保证找出来，至少需要3次。 从27个里找： 第一次：分成（9，9，9），将前两份放在天平的两端，哪边轻哪边含有次品。如果平衡，则次品在第三份中。 第二次：将9个零件分成（3，3，3），将前两份放在天平的两端，哪边轻哪边含有次品。如果平衡，则次品在第三份中。 第三次：将3个零件分成（1，1，1），将前两份放在天平两端，哪边轻哪边是次品。如果平衡，则第三份是次品。 所以从27个零件里找次品，要保证找出来，至少需要3次。 所以，用天平从20个零件中找一个稍轻的次品，与从27个零件中找一个稍轻的次品，要保证找出来，要的次数一样多。 故答案为：C 14．（24-25五年级下·海南海口·单元测试）4个物品，其中有一个次品，次品比合格品轻，那么最少用天平称( )次保证能找出这个次品。 【答案】2 【思路点拨】利用天平称重的方式，通过合理分组，逐步缩小范围，找出较轻的那个物品，关键在于每次分组后利用天平平衡与否确定次品所在组，从而确定最少的称重次数。 【规范解答】把这4个物品分成两份，每份2个，将这两份分别放在天平秤两端。因为次品比合格品轻，这样通过天平比较，轻的那一份中就包含次品。所以天平较高一端的那2个物品中必有次品。 把第一次称后确定有次品的那2个物品分别放在天平秤两端。较轻的一端放的就是次品。 所以最少用天平称2次保证能找出这个次品。 15．（24-25五年级下·海南海口·单元测试）有5瓶酸奶，其中有1瓶质量不足。如果用天平称，每次称1瓶，需称( )次才能保证找到这瓶酸奶，如果每次称2瓶，需称( )次才能保证找到这瓶酸奶。 【答案】 4 2 【思路点拨】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1，这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少；分析题目，若每次称1瓶，最差的情况是最后一次才找出质量不足的，所以需要称（5－1）次才能保证找到这瓶质量不足的酸奶；如果每次称2瓶，每次称的时候左右各放1瓶，据此进一步解答。 【规范解答】若每次称1瓶，则最差的情况是：前4瓶天平都平衡，则最后剩余的1瓶即为质量不足的，所以需要称4次才能保证找到这瓶质量不足的酸奶； 如果每次称2瓶，第一次称2瓶，两边各1瓶，若左右相等，则说明质量不足的在剩下的3瓶中，若左右不相等，则质量不足的就是这两瓶中较轻的那一个； 再从剩下的3瓶中拿出2瓶，天平两边各放1瓶，若天平平衡，则剩下的1瓶就是质量不足的，若天平不平衡，较轻的那瓶就是质量不足的。 有5瓶酸奶，其中有1瓶质量不足。如果用天平称，每次称1瓶，需称4次才能保证找到这瓶酸奶，如果每次称2瓶，需称2次才能保证找到这瓶酸奶。 16．（24-25五年级下·海南海口·单元测试）现有12个乒乓球特征相同，其中只有一个比其他乒乓球略重，现在要求用一架没有砝码的天平去称，至少称( )次才能将这个质量异常的球找出来。 【答案】3 【思路点拨】利用天平称重的方式，通过合理分组，逐步缩小范围，找出较重的那个乒乓球，关键在于每次分组后利用天平平衡与否确定次品所在组，从而确定最少的称重次数。 【规范解答】12分成（4，4，4），把任意两组的放在天平上称，可找出有次品的一组；再把有次品的一组4分成（2，2）放在天平上称，可找出有次品的一组；再把2分成（1，1），放在天平上称，可找出次品；共需3次。 所以至少称3次才能将这个质量异常的球找出来。 17．（24-25五年级下·海南海口·单元测试）有8个球，其中1个轻一点，把这些球放在天平上称几次，能找出轻的球？写出方法。 【答案】2次 【思路点拨】找次品的方法：一般是把待测物品分成3份，能平均分的就平均分，不能平均分的，使其中的2份相同，第3份尽量与这两份相同，再称其中的2份，根据天平平衡、不平衡进行判断，如果不能找出次品，继续把含有次品的份数再分成3份，方法同上，直到找出次品。 【规范解答】将8个球分成3、3、2三组，在天平两边分别各放3个称量，会出现两种情况： （1）一种是如果天平平衡，轻的球就在剩下2个当中，再把这2个球分别放在天平两边进行第二次称量，轻的就在上翘的那边； （2）另一种是如果天平不平衡，轻的球就在上翘的那边，再把3个当中的任意2个放在天平两边进行第二次称量，如果平衡剩下的那个就是轻的球；如果不平衡，轻的球就在上翘的那边。 所以2次就能找出轻的那个球。 答：把这些球放在天平上称2次，就能找出轻的球。 18．（24-25五年级下·海南海口·单元测试）某工厂生产的18个羽毛球中有一个重一些，这样的球会影响运动员的比赛水平。用天平称，至少称几次能保证找出这个羽毛球？ 【答案】3次 【思路点拨】找次品的方法：一般是把待测物品分成3份，能平均分的就平均分，不能平均分的，使其中的2份相同，第3份尽量与这两份相同，再称其中的2份，根据天平平衡、不平衡进行判断，如果不能找出次品，继续把含有次品的份数再分成3份，方法同上，直到找出次品。 【规范解答】18分成（6，6，6），把任意两组的放在天平上称，考虑最不利原则，可找出有次品的一组；再把有次品的一组6分成（2，2，2）放在天平上称，可找出有次品的一组；再把2分成（1，1），放在天平上称，可找出次品；共需3次。 答：至少称3次能保证找出这人羽毛球。 19．（24-25五年级下·海南海口·单元测试）桌面上有一架天平和12个大小相同的金属球，其中有11个是铁球，1个是铅球，铅球比铁球重一些。 （1）如果小丽把12个金属球平均分成3份，那么她至少称几次能保证找出铅球？ （2）如果小丽把12个金属球平均分成4份，那么她至少称几次能保证找出铅球？ （3）如果小丽把12个金属球平均分成2份，那么她至少称几次能保证找出铅球？ 【答案】（1）3次 （2）3次 （3）3次 【思路点拨】（1）先把12个球平均分成3份，每份是4个，任取两份进行称量，可以确定铅球在较重的那一份中；再把重的这份分成（2，2）进行称量，此时可以确定铅球在哪一份中；最后把重的那2个球分成（1，1），进行称量，最终找出铅球； （2）先把12个球平均分成4份，每份是3个，任取两份进行称量，要称两次，从而确定铅球在哪一份（3个）中；再把这份的3个球分成（1，1，1）进行称量，称量一次，最终找出铅球； （3）先把12个球平均分成2份，称量一次，找出铅球在哪一份；再把这6个球平均分成（3，3），称量一次，找出铅球在哪一份；最后把3个球分成（1，1，1），称量一次，最终找出铅球，据此解答。 【规范解答】（1）如果小丽把12个金属球平均分成3份，先取两份放在天平两边称，若平衡，则将另外一份平分成2份放在天平两边称，称出较重的一份，再将其分成两份，放在天平两边称，重的就是铅球；若不平衡，则将较重的一份平均分成2份放在天平两边，称出较重的一份，再将其分成两份，放在天平两边称，重的就是铅球，故至少称3次。 （2）如果小丽把12个金属球平均分成4份，先在天平两边各放一份，看天平是否平衡，再把另两份放在天平两边，看天平是否平衡，则较重的一份含有铅球，此时取两个金属球放在天平两端，如果平衡，则剩余的一个是铅球，如果不平衡，较重的一个是铅球，故至少称3次。 （3）如果小丽把12个金属球平均分成2份，先在天平两边各放一份，称出较重的一份，将较重的一份分成两份放在天平两边，再称出较重的一份，此时取两个金属球放在天平两端，如果平衡，则剩余的一个是铅球，如果不平衡，较重的一个是铅球，故至少称3次。 20．（23-24五年级下·江西吉安·期末）有12袋奶粉，其中有一袋质量不足，轻一些。如果用天平秤，至少秤多少次才能保证找出这袋次品？（写出分组的方法，并把找的过程表示出来） 【答案】3次；方法和过程见详解 【思路点拨】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【规范解答】把12袋奶粉分成（4、4、4），称（4、4），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中4袋； 将4袋分成（1、1、2），称（1、1），不平衡，轻的是次品，平衡，次品在2袋中； 将2袋分成（1、1），再称1次，轻的是次品，共3次。 答：至少秤3次才能保证找出这袋次品。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$