专题03 立体几何初步（六大题型）（陕西专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期中真题分类汇编

专题03 立体几何初步 题型概览 题型01基本立体图形 题型02斜二测画法 题型03简单几何体的表面积和体积 题型04外接球、内切球、棱切球 题型05空间点线面的位置关系 专题06空间直线、平面的平行与垂直 ( 题型01 ) 基本立体图形 1．（23-24高一下·陕西西安·期中）如图，下列长方体中由下面的平面图形围成的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用长方体的表面展开图，判断即可. 【详解】长方体由展开图知道，有4个面是阴影，两个空白部分是相对的，剩余是4个阴影部分.则围成的是下面图形 . 故选：D． 2．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）以下说法不正确的是（    ） A．各侧面都是矩形的棱柱是长方体 B．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D．底面四条边相等的直棱柱是正四棱柱 【答案】ACD 【分析】根据棱柱、棱锥的结构特征判断各项正误即可. 【详解】对于A：长方体不仅需要各侧面为矩形，上下底面也要为矩形，故A错误； 对于B：有两个相邻侧面是矩形说明侧棱垂直于底面，是直棱柱，故B正确； 对于C：正棱锥不仅要求底面是正多边形，还需要侧面为全等三角形，故C错误； 对于D：正四棱柱是上下底面为正方边形的长方体，底面需要是正方形，而底面四边相等可能是菱形，故D错误. 故选：ACD 3．（23-24高一下·陕西西安·期中）将棱长为4的正方体表面涂成红色，将其适当分成棱长为1的小正方体，则各面均没有颜色的小正方体个数占总的小正方体个数的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正方体的特征计算即可. 【详解】 如图所示，大正方体分割为个，各面均没有颜色的小正方体有个， 所以答案为. 故选：B 4．（23-24高一下·陕西西安·期中）有一封闭透明的正方体形容器，装有容积一半的有颜色溶液，当你任意旋转正方体，静止时液面的形状不可能是（    ） A．三角形 B．正方形 C．菱形 D．正六边形 【答案】A 【分析】根据题意可得无论怎样转动，其液面总是过正方体的中心，再分别讨论液面与底面平行，液面过正方体对角线的两个顶点和液面过正方体六条棱的中点即可判断B，C和D是正确的，进而即可得到答案． 【详解】因为正方体容器中盛有一半容积的有颜色溶液，无论怎样转动，其液面总是过正方体的中心． 对于B，当过正方体一面上相对两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正方形，即静止时液面如图（1），故B正确； 对于C，当过正方体一面上一边的中点和此边外的顶点以及正方体的中心作一截面，其截面形状为菱形，即静止时液面如图（2），故C正确； 对于D，当过正方体一面上相邻两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正六边形，即静止时液面如图（3），故D正确；                                                                            故选：A． ( 题型02 ) 斜二测画法 5．（23-24高一下·陕西西安·期中）已知四边形用斜二测画法画出的直观图为直角梯形，如图所示，，，，，，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形把斜二测图形转化为实际图形，再计算周长即可. 【详解】由题意可知，如图所示，过点作， 垂足为，则四边形的高为， ，则， 则， 故四边形的周长为. 故选：A. 6．（23-24高一下·陕西咸阳市永寿中学·期中）如图，四边形是梯形的直观图，四边形是等腰梯形，且，则梯形的周长为 .    【答案】 【分析】作出辅助线，计算出，作出原图形，求出各边长，得到答案. 【详解】因为四边形是等腰梯形，且， 过点作⊥于点，则，， 所以， 画出梯形，则，    过点作⊥于点，则，， 因为，所以， 由勾股定理得，    所以梯形的周长为. 故答案为： 7．（23-24高一下·陕西安康·期中）关于斜二测画法，下列说法正确的是（    ） A．在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行 B．若一个多边形的直观图面积为，则原图的面积为 C．一个梯形的直观图仍然是梯形 D．在原图中互相垂直的两条直线，在对应的直观图中不再垂直 【答案】ABC 【分析】利用斜二测画法规则，逐项分析判断即可得解. 【详解】对于A，在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行，A正确； 对于B，若一个多边形的直观图面积为，则原图的面积为，B正确； 对于C，梯形平行的两边在直观图仍然平行，两腰不平行，在直观图仍然不平行， 因此一个梯形的直观图仍然是梯形，C正确； 对于D，在原图中互相垂直的两条直线，在对应的直观图中可以垂直， 如正方体的直观图中，竖边与横边垂直，D错误. 故选：ABC    ( 题型03 ) 简单几何体的表面积和体积 8．（23-24高一下·陕西安康·期中）已知点为圆锥的底面圆心，，为圆锥的母线，，若的面积为，的面积为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径及高，再利用锥体的体积公式计算即得. 【详解】令圆锥底面圆半径为，则，解得， 取中点，连接，则，， ，，解得， 则，所以该圆锥的体积. 故选：B    9．（23-24高一下·陕西西安·期中）在棱长为的正四面体中，，分别为，的中点，点是线段上一点，且，则三棱锥的体积为 . 【答案】 【分析】首先计算正四面体的体积，再利用等体积转化，利用面积和高的关系，即可求解. 【详解】如图，正四面体的棱长为2，点在平面内的射影为点，点是三角形的中心，点在上， ，则， 所以三棱锥的体积， ，，且， 所以点到平面的距离是点到平面距离的， 所以三棱锥的体积. 故答案为： 10．（23-24高一下·陕西西安·期中）一个长方形容器中盛有水，侧面为正方形，且．如图，当面水平放置时，水面的高度恰好为，那么将面水平放置时，水面的高度等于 ． 【答案】4 【分析】利用等体积法，转化求解水的高度即可． 【详解】设正方形的边长为，则当面水平放置时，水的体积为， 当面水平放置时，设水面高度为，则，解得， 故答案为：4． 11．（23-24高一下·陕西西安·期中）已知一个直角三角形的直角边长分别为3与4，以这个直角三角形的一条边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成一个几何体，这个几何体的表面积可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据条件，分别以各边为轴旋转，前两个均为圆锥，第三个为两个圆锥的组合体，然后利用圆锥的面积公式分别计算即可． 【详解】设直角三角形中，，则， ①当以所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成一个圆锥， 则表面积为； ②当以所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成一个圆锥， 则表面积为； ②当以所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成2个共底面的圆锥， 则表面积为； 故选：BCD． ( 题型0 4 )外接球、内切球、棱切球 12．（23-24高一下·陕西西安·期中）我们把与正方体所有棱都相切的球称为正方体的棱切球，设正方体的棱长为1，则其棱切球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正方体的棱切球的直径为正方体的面对角线，设棱切球的半径为，根据勾股定理求出，再由球的表面积公式计算可得. 【详解】正方体的棱切球的直径为正方体的面对角线，设棱切球的半径为，则， 解得（负值已舍去），所以其棱切球的表面积. 故选：B 13．（23-24高一下·陕西西安·期中）在四面体中，，，，，则该四面体外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】首先求出，利用勾股定理逆定理得到，设的中点为，根据直角三角形的性质性质得到，即为外接球的球心，即为外接球的半径，从而求出球的表面积. 【详解】如图所示： 由，，可知. 因为，，所以，即. 设的中点为，则， 所以为四面体外接球的球心，四面体的外接球半径， 所以外接球表面积. 故答案为： 14．（23-24高一下·陕西咸阳市普集高中·期中）已知三棱锥，则三棱锥的外接球表面积为 ． 【答案】 【分析】由题意知，该三棱锥为正三棱锥,取底面的中心M，连接AM，则球心O落在AM上，求出棱锥的高，由此得到关于外接球半径的方程求解即可. 【详解】如图: 由题意知，底面为等边三角形，设M为其中心， 则， 又， 所以该三棱锥为正三棱锥， 所以， 所以外接球半径， 则外接球球心在AO的延长线上， 所以，则， 所以在中，， 即，解得， 所以外接球表面积为 故答案为：. 15．（23-24高一下·陕西西安鄠邑区·期中）正方体的表面积为96，则正方体外接球的表面积为 【答案】 【分析】正方体外接球直径为该正方体体对角线. 【详解】设正方体的棱长为，因为正方体的表面积为，可得，解得， 则正方体的对角线长为， 设正方体的外接球的半径为，可得，解得， 所以外接球的表面积为. 故答案为：. ( 题型0 5 )空间点线面的位置关系 16．（23-24高一下·陕西西安·期中）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列结论正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则与相交 C．若，没有公共点，则，是异面直线 D．若，，，则，不可能相交 【答案】D 【分析】ABC选项，可举出反例，D选项，或异面，，不可能相交，D正确. 【详解】对于AD选项，若，，，则或异面，，不可能相交，A错误，D正确； 对于B选项，若，，，则与平行或与相交，B错误； 对于C选项，若，没有公共点，则，是异面直线或平行直线，C错误. 故选：D 17．（23-24高一下·陕西西安·期中）在棱长为1的正方体中，下列结论正确的选项是（    ）    A．内切球与外接球体积之比为 B．若分别是的中点，则作与直线都相交的直线仅能做一条 C．若正四面体的4个顶点恰好在正方体的顶点，则正四面体的体积与正方体的体积之比为 D．正方体的各面所在平面将空间分成27部分 【答案】ACD 【分析】根据正方体内切球与外接球的特征及体积公式可判定A，利用空间中平面、直线的位置关系及排除法可判定B，利用正四面体及正方体的特征及体积公式可判定C，利用平面的性质可判定D. 【详解】对于A，根据正方体的特征可知其内切球直径为棱长，外接球直径为体对角线， 故内切球与外接球体积之比为，故A正确； 对于B，如图所示，易知体对角线分别与直线两两相交， 直线也分别与直线两两相交，故B错误；    对于C，由正方体及正四面体的特征可知三棱锥是符合题意的一个正四面体， 根据割补法知其体积为，而正方体体积为1，显然C正确； 对于D，根据平面的性质可知正方体的各面所在平面将空间分成27部分，故D正确. 故选：ACD 18．（23-24高一下·陕西西安鄠邑区第四中学·期中）下列是基本事实的是（    ） A．过三个点有且只有一个平面 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】BCD 【分析】根据基本事实判断即可. 【详解】对于A，基本事实1是过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，故A错误； 对于B，“平行于同一条直线的两条直线平行”是基本事实4，故B正确； 对于C，“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”是基本事实2，故C正确； 对于D，“如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线”是基本事实3，故D正确. 故选：BCD ( 题型0 6 )空间直线、平面的平行与垂直 19．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）如图，在直四棱柱中，底面为正方形，为棱的中点，． (1)求三棱锥的体积． (2)在上是否存在一点，使得平面平面.如果存在，请说明点位置并证明.如果不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，为的中点 【分析】（1）根据计算可得； （2）当为的中点时满足平面平面，设，连接，即可证明、，从而得到平面，平面，即可得证. 【详解】（1）在直四棱柱中，底面为正方形， 所以平面， 所以. （2）当为的中点时满足平面平面， 设，连接， 因为为正方形，所以为的中点，又为棱的中点， 所以，又平面，平面，所以平面， 又为的中点，所以且，所以为平行四边形， 所以， 又平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面. 20．（23-24高一下·陕西西安临潼区临潼中学·期中）如图，在直三棱柱中，是的中点． (1)证明：平面． (2)若是正三角形，，，求三棱柱的表面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）已知是的中点．作辅助线连接交于点，从而利用中位线性质得线线平行，再证明线面平行即可； （2）通过已知长度关系，利用勾股定理求解侧棱长，再计算表面积. 【详解】（1）连接交于点，    则是的中点． 因为是的中点，所以． 又平面，平面，所以平面 （2）因为为正三角形，是的中点，所以． 因为，所以． 在直三棱柱中，底面，则， 因为，所以， 所以三棱柱的表面积为． 21．（23-24高一下·陕西西安·期中）如图，平行六面体的底面是菱形，且．求：    (1)若，，记面为，面为，求二面角的平面角的余弦值； (2)当的值为多少时，能使平面？ 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）应用面面垂直利用定义找到二面角再计算边长求出余弦值； （2）先求取值，再证明线面垂直即可. 【详解】（1）如图，连接、，设和交于点，连接，作，垂足为，作，垂足为，连接． ∵四边形是菱形，∴． 又∵，， ∴，∴， ∵，∴， ∵底面ABCD为菱形，∴，即， ∴是二面角的平面角． ∵，，，AC、面， ∴面，∵面ABCD，∴面面， 又∵，面面，面， ∴面ABCD．∴． 又∵且，、面， ∴面，∵面，∴． 在中，，， 得，， 在中，，，得， 在中，， 在中，， ，∴．    （2）当时，能使平面． 由（1）知平面，∴． 当时，平行六面体的六个面是全等的菱形． 同的证法可得， 而，BD、平面，故平面． 22．（23-24高一下·陕西咸阳市永寿县中学·期中）如图，在直四棱柱中，底面是菱形，，，分别为棱，的中点，是棱上的一点，，是棱上的一点，． (1)求证：平面平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取，的中点，，连接ME，，，，即可得到，再证明，从而得到，即可证明平面，再证明平面，即可得证； （2）连接，即可得到是等边三角形，则，再由，即可证明平面，从而得证. 【详解】（1）分别取，的中点，，连接ME，，，，如图所示． 因为M是AB的中点，E是CD的中点，易得四边形是平行四边形，所以． 因为G是棱上的一点，，H是棱AB上的一点，， 所以，，所以四边形是平行四边形，所以， 所以，又平面，平面，所以平面．           因为N是的中点，E是CD的中点，易得四边形是平行四边形，所以． 又G是棱上的一点，，所以G是的中点，又F是的中点， 所以，所以，又平面，平面，所以平面，           又，平面，所以平面平面； （2）连接，因为底面是菱形，，所以是等边三角形， 又E是CD的中点，所以，           因为直四棱柱，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以， 又，平面，所以平面，           又平面，所以平面平面．           一、单选题 1．（23-24高一下·陕西西安交通大学附属中学·期中）如图，一个水平放置平面图形的直观图是边长为1的菱形，且 ，则原平面图形的面积为（    ）    A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】依据在轴上或平行于轴的线段，在直观图与原图中保持长度不变，在轴上或平行于轴的线段，原图中的长度是直观图中长度的2倍来将直观图还原. 【详解】把直观图还原出原平面图形为平行四边形，如图所示：    其中,， 所以原平面图形的面积为S＝2×1＝2． 故选：A. 2．（23-24高一下·陕西扶风县法门高中·期中）如图所示的平面图形可以折叠成的立体图形为（    ） A．三棱锥 B．四棱柱 C．四棱锥 D．球 【答案】C 【分析】根据给定的图形，结合棱锥的定义判断即可. 【详解】由给定的图形知，该几何体有四个三角形面与一个四边形面组成，所以该几何体为四棱锥. 故选：C 3．（23-24高一下·陕西礼泉县·期中）中国传统文化博大精深，源远流长，其中我国古代建筑文化更是传统文化中一颗璀璨之星，在古代建筑中台基是指建筑物底部高出室外地面的部分，通常由台阶，月台，栏杆，台明四部分组成，某地的国家二级文化保护遗址一玉皇阁，其台基可近似看作上、下底面边长分别为，侧棱长为的正四棱台，则该四棱台的体积约为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助正四棱台的性质可得其高，结合体积公式即可得解. 【详解】该正四棱台上、下底面的对角线分别为、， 则该正四棱台的高为， 则. 故选：A. 4．（23-24高一下·陕西扶风县法门高中·期中）已知两个不同的平面和两条不同的直线，下面四个命题中，正确的是（  ） A．若，，则 B．若，且，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于A：若，，则或，故A错误； 对于B：当，，，且与相交时，故B错误； 对于C：若，，则或与异面，故C错误； 对于D：若，，根据面面平行的性质定理可得，故D正确. 故选：D 5．（23-24高一下·陕西咸阳市永寿县中学·期中）已知球的半径为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由球的表面积公式，代入计算，即可求解. 【详解】. 故选：C. 二、多选题 6．（23-24高一下·陕西西安·期中）在正方体中，点在线段上运动，则（    ） A．直线平面 B．三棱锥的体积为定值 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】BD 【分析】利用正方体特征可判定A，利用线面平行及锥体体积公式可判定B，利用异面直线夹角的求法解三角形计算可判定C，利用线面夹角的定义及等体积法计算点面距离解三角形即可判定D. 【详解】 如图所示，若直线平面，而平面，则， 又，则有，显然在正方体中不成立，故A错误； 在正方体中，易知平面，平面， 故平面，所以上的点到平面的距离为定值， 而的面积固定，则为定值，故B正确； 由上可知异面直线与所成角即与所成角， 而为正三角形，故与所成角范围为，故C错误； 设在底面的投影为N，正方体棱长为1， 由上可知， 而，所以， 在等腰直角三角形中，易知， 根据线面夹角的定义知直线与平面所成角为， 显然，故D正确. 故选：BD 三、填空题 7．（23-24高一下·陕西师范大学附属中学·期中）如图，已知圆锥轴截面为等腰直角三角形，底面圆O的直径为2，点C在圆O上，且，E为线段上异于P，B的点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】将沿翻折，使得在平面上，再根据两点间线段最短，结合几何关系求解即可 【详解】将沿翻折，使得在平面上为如图所示，易得取最小值，此时三点共线. 由题意可得，故，又，故正.根据对称性易得，且垂足为.故 故答案为： 8．（23-24高一下·陕西西安鄠邑区第四中学·期中）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为32，则这个球的表面积为 . 【答案】 【分析】由题意求出底面正方形边长，进而根据正四棱柱的体对角线长即为其外接球的直径，求出球的半径，即可得答案. 【详解】由题意知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为32， 故正四棱柱的底面积为8，则底面正方形边长为， 又因为正四棱柱的体对角线长即为其外接球的直径， 故外接球半径为， 故这个球的表面积为， 故答案为： 9．（23-24高一下·陕西西安临潼区临潼中学·期中）已知球的表面积为，平面截球所得的截面面积为，则以为顶点，截面为底面的圆锥的体积为 ． 【答案】 【分析】根据球的表面积和截面圆面积可求得，利用勾股定理可求得球心到截面的距离，代入圆锥体积公式即可. 【详解】设球的半径为，截面圆的半径为，球心到平面的距离为， ，，，，， 以为顶点，截面为底面的圆锥的体积为. 故答案为：. 10．（23-24高一下·陕西咸阳市永寿县中学·期中）如图，三棱台的上、下底边长之比为，三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，则 . 【答案】 【分析】利用锥体体积公式与棱台体积公式计算出三棱锥与三棱台的体积之比，再结合割补法即可得解. 【详解】由三棱台的上、下底边长之比为，可得上、下底面的面积比为， 设三棱台的高为，则点到平面的距离也为， 设上底面面积为，则下底面面积为， 则，， 所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题 11．（23-24高一下·陕西西安·期中）在直三棱柱中，，侧棱长为3，侧面积为.    (1)求三棱锥的体积; (2)若点D、E分别在三棱柱的棱上，且，线段的延长线与平面交于三点，证明：共线. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）利用三棱柱的侧面积公式先计算三棱柱底面各棱长，再由三棱锥的体积公式及等体积法计算即可； （2）利用空间中直线、平面的位置关系证明即可. 【详解】（1）由题意知， 所以该三棱柱的侧面积为， 又，直三棱柱中， 且平面， 所以平面， 又，所以平面， 故三棱锥的体积为； （2）由基本事实的推论知两条相交直线共面，所以平面， 又平面，所以平面， 而平面，平面平面， 所以，即共线. 12．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面相同，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计．已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为    (1)求这种“笼具”的体积； (2)现用的纱网材料制作这种“笼具”，问至多可以制作多少个“笼具”？（假设纱网材料没有浪费，结果保留整数．） 【答案】(1) (2)207个 【分析】（1）根据题意，结合圆锥和圆柱的体积公式，即可求解； （2）根据题意，求得该组合体的表面积，结合题意，即可求解. 【详解】（1）设圆柱的底面半径为，高为，圆锥的母线长为，高为， 由题意，， 则， 这种“笼具”的体积为． （2）由（1）可知，圆柱的侧面积为， 圆柱的底面积为，圆锥的侧面积为， 这种“笼具”的表面积为， 至多可以制作个“笼具”． 13．（23-24高一下·陕西咸阳市永寿县中学·期中）在四棱锥中，是等边三角形，四边形ABCD是矩形，，，，E是棱PD的中点． (1)求证：； (2)求二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）取PA的中点F，证得和，得到平面，则，进而证得平面，即可证得； （2）根据题意，证得平面，得到，过作的垂线，证得平面，得到，得出二面角的大小为，在直角中，即可求解. 【详解】（1）证明：如图所示，取PA的中点F，连接BF，EF， 因为是等边三角形，F是PA的中点，所以， 又因为F是PA的中点，E是棱PD的中点，所以， 因为四边形ABCD是矩形，所以，所以， 又因为，所以，           因为，且平面PAB，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 又因为平面BEF，所以. （2）解：因为平面PAB，平面，所以， 又因为，，且平面，所以平面， 因为平面PDA，所以， 过作的垂线，垂足为，连接，如图所示， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以，所以二面角的大小为， 在等边中，因为，可得， 在直角中，由，则，可得， 在直角中，可得．   2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 立体几何初步 题型概览 题型01基本立体图形 题型02斜二测画法 题型03简单几何体的表面积和体积 题型04外接球、内切球、棱切球 题型05空间点线面的位置关系 专题06空间直线、平面的平行与垂直 ( 题型01 ) 基本立体图形 1．（23-24高一下·陕西西安·期中）如图，下列长方体中由下面的平面图形围成的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）以下说法不正确的是（    ） A．各侧面都是矩形的棱柱是长方体 B．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D．底面四条边相等的直棱柱是正四棱柱 3．（23-24高一下·陕西西安·期中）将棱长为4的正方体表面涂成红色，将其适当分成棱长为1的小正方体，则各面均没有颜色的小正方体个数占总的小正方体个数的（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·陕西西安·期中）有一封闭透明的正方体形容器，装有容积一半的有颜色溶液，当你任意旋转正方体，静止时液面的形状不可能是（    ） A．三角形 B．正方形 C．菱形 D．正六边形 ( 题型02 ) 斜二测画法 5．（23-24高一下·陕西西安·期中）已知四边形用斜二测画法画出的直观图为直角梯形，如图所示，，，，，，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·陕西咸阳市永寿中学·期中）如图，四边形是梯形的直观图，四边形是等腰梯形，且，则梯形的周长为 .    7．（23-24高一下·陕西安康·期中）关于斜二测画法，下列说法正确的是（    ） A．在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行 B．若一个多边形的直观图面积为，则原图的面积为 C．一个梯形的直观图仍然是梯形 D．在原图中互相垂直的两条直线，在对应的直观图中不再垂直 ( 题型03 ) 简单几何体的表面积和体积 8．（23-24高一下·陕西安康·期中）已知点为圆锥的底面圆心，，为圆锥的母线，，若的面积为，的面积为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一下·陕西西安·期中）在棱长为的正四面体中，，分别为，的中点，点是线段上一点，且，则三棱锥的体积为 . 10．（23-24高一下·陕西西安·期中）一个长方形容器中盛有水，侧面为正方形，且．如图，当面水平放置时，水面的高度恰好为，那么将面水平放置时，水面的高度等于 ． 11．（23-24高一下·陕西西安·期中）已知一个直角三角形的直角边长分别为3与4，以这个直角三角形的一条边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成一个几何体，这个几何体的表面积可以是（    ） A． B． C． D． ( 题型0 4 )外接球、内切球、棱切球 12．（23-24高一下·陕西西安·期中）我们把与正方体所有棱都相切的球称为正方体的棱切球，设正方体的棱长为1，则其棱切球的表面积是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高一下·陕西西安·期中）在四面体中，，，，，则该四面体外接球的表面积为 . 14．（23-24高一下·陕西咸阳市普集高中·期中）已知三棱锥，则三棱锥的外接球表面积为 ． 15．（23-24高一下·陕西西安鄠邑区·期中）正方体的表面积为96，则正方体外接球的表面积为 ( 题型0 5 )空间点线面的位置关系 16．（23-24高一下·陕西西安·期中）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列结论正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则与相交 C．若，没有公共点，则，是异面直线 D．若，，，则，不可能相交 17．（23-24高一下·陕西西安·期中）在棱长为1的正方体中，下列结论正确的选项是（    ）    A．内切球与外接球体积之比为 B．若分别是的中点，则作与直线都相交的直线仅能做一条 C．若正四面体的4个顶点恰好在正方体的顶点，则正四面体的体积与正方体的体积之比为 D．正方体的各面所在平面将空间分成27部分 18．（23-24高一下·陕西西安鄠邑区第四中学·期中）下列是基本事实的是（    ） A．过三个点有且只有一个平面 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ( 题型0 6 )空间直线、平面的平行与垂直 19．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）如图，在直四棱柱中，底面为正方形，为棱的中点，． (1)求三棱锥的体积． (2)在上是否存在一点，使得平面平面.如果存在，请说明点位置并证明.如果不存在，请说明理由. 20．（23-24高一下·陕西西安临潼区临潼中学·期中）如图，在直三棱柱中，是的中点． (1)证明：平面． (2)若是正三角形，，，求三棱柱的表面积． 21．（23-24高一下·陕西西安·期中）如图，平行六面体的底面是菱形，且．求：    (1)若，，记面为，面为，求二面角的平面角的余弦值； (2)当的值为多少时，能使平面？ 22．（23-24高一下·陕西咸阳市永寿县中学·期中）如图，在直四棱柱中，底面是菱形，，，分别为棱，的中点，是棱上的一点，，是棱上的一点，． (1)求证：平面平面； (2)求证：平面平面． 一、单选题 1．（23-24高一下·陕西西安交通大学附属中学·期中）如图，一个水平放置平面图形的直观图是边长为1的菱形，且 ，则原平面图形的面积为（    ）    A．2 B．1 C． D． 2．（23-24高一下·陕西扶风县法门高中·期中）如图所示的平面图形可以折叠成的立体图形为（    ） A．三棱锥 B．四棱柱 C．四棱锥 D．球 3．（23-24高一下·陕西礼泉县·期中）中国传统文化博大精深，源远流长，其中我国古代建筑文化更是传统文化中一颗璀璨之星，在古代建筑中台基是指建筑物底部高出室外地面的部分，通常由台阶，月台，栏杆，台明四部分组成，某地的国家二级文化保护遗址一玉皇阁，其台基可近似看作上、下底面边长分别为，侧棱长为的正四棱台，则该四棱台的体积约为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·陕西扶风县法门高中·期中）已知两个不同的平面和两条不同的直线，下面四个命题中，正确的是（  ） A．若，，则 B．若，且，，则 C．若，，则 D．若，，则 5．（23-24高一下·陕西咸阳市永寿县中学·期中）已知球的半径为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（23-24高一下·陕西西安·期中）在正方体中，点在线段上运动，则（    ） A．直线平面 B．三棱锥的体积为定值 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 三、填空题 7．（23-24高一下·陕西师范大学附属中学·期中）如图，已知圆锥轴截面为等腰直角三角形，底面圆O的直径为2，点C在圆O上，且，E为线段上异于P，B的点，则的最小值为 ． 8．（23-24高一下·陕西西安鄠邑区第四中学·期中）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为32，则这个球的表面积为 . 9．（23-24高一下·陕西西安临潼区临潼中学·期中）已知球的表面积为，平面截球所得的截面面积为，则以为顶点，截面为底面的圆锥的体积为 ． 10．（23-24高一下·陕西咸阳市永寿县中学·期中）如图，三棱台的上、下底边长之比为，三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，则 . 四、解答题 11．（23-24高一下·陕西西安·期中）在直三棱柱中，，侧棱长为3，侧面积为.    (1)求三棱锥的体积; (2)若点D、E分别在三棱柱的棱上，且，线段的延长线与平面交于三点，证明：共线. 12．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面相同，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计．已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为    (1)求这种“笼具”的体积； (2)现用的纱网材料制作这种“笼具”，问至多可以制作多少个“笼具”？（假设纱网材料没有浪费，结果保留整数．） 13．（23-24高一下·陕西咸阳市永寿县中学·期中）在四棱锥中，是等边三角形，四边形ABCD是矩形，，，，E是棱PD的中点． (1)求证：； (2)求二面角的正切值． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$