第10章 第4节 平面与平面之间的垂直关系-【高考零起点】2025年新高考数学总复习教用课件（艺考）

第十章　立体几何 第四节　平面与平面之间的垂直关系 数学 平面与平面垂直的判定定理与性质定理 第十章　立体几何 ∵PA⊥平面ABCD，且CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD. ①(线面垂直的性质定理)又依题意，CD⊥AD，且PA∩AD＝A. ②　由①②可得CD⊥平面PAD. (线面垂直的判定定理)　又∵CD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAD. (面面垂直的判定定理) 例1　如图所示，P是矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD. 求证：平面PCD⊥平面PAD. 答案 第十章　立体几何 例2　如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥PB，平面PAB⊥平面ABC. △ABC是直角三角形，∠ABC＝90°.求证：平面PAC⊥平面PBC. 第十章　立体几何 答案 ∵平面PAB⊥平面ABC，且∠ABC＝90°， ∴CB⊥平面PAB. (面面垂直的性质定理) 又PA⊂平面PAB，故CB⊥PA. ①(线面垂直的性质定理) 由已知，PA⊥PB，PB∩CB＝B，因此，PA⊥平面PBC. ②(线面垂直的判定定理) 又PA⊂平面PAC，于是由①②可得平面PAC⊥平面PBC. (面面垂直的判定定理)　 第十章　立体几何 略　提示：∵平面PAC⊥平面ABC，过P作AC的垂线交AC于O即可(面面垂直的性质定理). 　 1. 作图：已知三棱锥P－ABC中(如图)，平面PAC⊥平面ABC，过P求作直线PO垂直于底面ABC，交平面ABC于O点． 答案 第十章　立体几何 答案 2. 如图，在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥平面ABC，PC⊥BC. 求证：平面BPC⊥平面APC. 略　提示：因为PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC. 又PC⊥BC，BC⊥平面APC. 又BC⊂平面BPC，故平面BPC⊥平面APC. 　 第十章　立体几何 答案 3. 如图，四棱锥P－ABCD的底面是菱形，AC⊥PB. 求证：平面PAC⊥平面PBD. 略　提示：由题设，AC⊥BD，AC⊥PB，故AC⊥平面PBD，又AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD. 　 第十章　立体几何 答案 4. 如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，PC⊥平面ABCD, E是PA的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD. 略　提示：连接AC，交BD于O，连接EO，则EO是△PAC的中位线，∴EO∥ PC，从而EO⊥平面ABCD，又EO⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD. 　 第十章　立体几何 答案 5. 如图，已知PA⊥直角梯形ABCD，AD∥BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝2，AB＝BC＝1. 求证：平面APC⊥平面PCD. 略　提示：由题设易知，∠BCD＝135°，∠BCA＝45°，故∠ACD＝90°，所以AC⊥CD，又依题意有CD⊥PA，故CD⊥平面APC，又CD⊂平面PCD，所以平面APC⊥平面PCD. 　 第十章　立体几何 6. 如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点. 已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5. 求证：(1)直线PA∥平面DEF； (2)平面BDE⊥平面ABC. 第十章　立体几何 答案 (1)∵D，E为PC，AC的中点，∴DE∥PA. ∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴PA∥平面DEF. ∴DE2＋EF2＝DF2，∴∠DEF＝90°，∴DE⊥EF. ∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC. ∵AC∩EF＝E，∴DE⊥平面ABC. ∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC. 　 第十章　立体几何 感谢聆听 定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一个平面内某条直线垂直于另外一个平面，则这两个平面互相垂直 ⇒α⊥β 性质定理 如果两个平面互相垂直，则在其中一个平面内垂直于两平面交线的直线也垂直于另外一个平面 ⇒l⊥α (2)∵D，E为PC，AC的中点，∴DE＝PA＝3. ∵E，F为AC，AB的中点，∴EF＝BC＝4， $$