第10章 第2节 直线与平面、平面与平面之间的平行关系-【高考零起点】2025年新高考数学总复习教用课件（艺考）

第十章　立体几何 第二节　直线与平面、平面与平面之间的平行关系 数学 1．把直线和平面分别看成点的集合，由集合的有关知识，点A，B，D在直线l上和在平面M内分别记作A，B，D∈l，A，B，D∈M(“∈”用于元素与集合之间的关系)；直线l在平面α内记作l⊂α.直线a，b相交于P点记作a∩b＝P，平面α与平面β相交于直线l记作α∩β＝l. 第十章　立体几何 2. 线面平行，面面平行的相关定理(见下表) 定理 文字语言 图形表示 符号表示 线面 平行 判定 定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 a⊄α，b⊂α， a∥b⇒a∥α 性质 定理 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 a∥α，a⊂β， α∩β＝b⇒a∥b 第十章　立体几何 定理 文字语言 图形表示 符号表示 面面 平行 判定 定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β 性质 定理 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 α∥β，a⊂α⇒a∥β 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 α∥β，α∩γ＝a， β∩γ＝b⇒a∥b 第十章　立体几何 例1　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，N是BD的中点，M是B1C的中点．求证：MN∥平面AA1B1B. 答案 连接AB1，AC，由平面几何知识不难得到A，N，C三点共线，点N是AC的中点． 因为M，N分别是B1C，AC的中点，所以MN是△ACB1的中位线，于是MN∥B1A. 又∵B1A⊂平面AA1B1B，MN⊄平面AA1B1B，∴MN∥平面AA1B1B. 　 第十章　立体几何 例2　如图所示，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，O，E, F分别是AC，PA，PB的中点．求证：平面EFO∥平面PDC. 第十章　立体几何 答案 连接BD，由平面几何知识知，BD过O，且EO，FO分别是△PAC，△PBD的中位线，所以EO∥PC，FO∥PD. 又∵PC，PD都在平面PDC内，EO，FO都不属于平面PDC. ∴EO, FO都与平面PDC平行．而EO∩FO＝O，PC∩PD＝P，故平面EFO∥平面PDC. 第十章　立体几何 1. 如图，P为梯形ABCD所在平面外一点，CD∥ AB，CD＝2AB，E，F分别为PC，PD的中点．求证：BE∥平面PAD. 答案 略　提示：连接EF，AF，易知四边形ABEF为平行四边形，所以BE∥AF，得证.　 第十章　立体几何 答案 2. 如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1.求证：平面A1BD∥平面B1D1C. 略　提示：通过证A1D∥B1C，A1B∥D1C即得．　 第十章　立体几何 3. 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别为线段A1B，AC1的中点. 求证：MN∥平面BB1C1C. 第十章　立体几何 答案 如图，连接A1C. 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C为平行四边形. 又∵N为线段AC1的中点，∴A1C与AC1相交于N，即A1C经过N，且N为线段A1C的中点. ∵M为线段A1B的中点，∴MN∥BC. 又∵MN⊄平面BB1C1C，BC⊂平面BB1C1C， ∴MN∥平面BB1C1C. 　 第十章　立体几何 4. 如图，四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证： (1)BE∥平面DMF； (2)平面BDE∥平面MNG. 第十章　立体几何 答案 (1)如图，连接AE，设DF与GN的交点为O，则AE必过O. 连接MO，则MO为△ABE的中位线，∴BE∥MO. 又∵BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，∴BE∥平面DMF. (2)∵点N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN. 又∵DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，∴DE∥平面MNG. 又∵M为AB的中点，∴MN为△ABD的中位线，∴BD∥MN. 又∵BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，∴BD∥平面MNG. 又∵DE⊂平面BDE，BD⊂平面BDE，DE∩BD＝D，∴平面BDE∥平面MNG. 　 第十章　立体几何 5. 如图，已知四棱锥P－ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，AD＝2BC，E为PD的中点. 证明：CE∥平面PAB. 答案 第十章　立体几何 感谢聆听 设F为PA的中点，连接EF，FB. ∵E，F分别为PD，PA的中点，∴EF∥AD且EF＝AD. 又∵BC∥AD，BC＝AD，∴EF∥BC且EF＝BC，即四边形BCEF为平行四边形，∴CE∥BF.又CE⊄平面PAB，BF⊂平面PAB，因此CE∥平面PAB. 　 $$