第9章 第5节 常见轨迹方程的求法-【高考零起点】2025年新高考数学总复习教用课件（艺考）

第九章　圆锥曲线 第五节　常见轨迹方程的求法 数学 1. 轨迹是指图形，轨迹方程是指图形的方程. 求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程指出轨迹是一条什么样的曲线． 2. 求轨迹方程时，要注意定义域，并注意曲线上的点与方程的解是一一对应的关系． 3. 求轨迹方程的方法有直接法、参数法、转代法、圆锥曲线定义法等． 第九章　圆锥曲线 一、直接法 当题目中的几何条件比较简单，关于动点的等量关系容易建立时，常采用此法求轨迹方程． 答案 第九章　圆锥曲线 二、参数法 当动点的运动受另一个变量的制约时常采用此法． 例2　过原点作直线l和抛物线 y＝x2－4x＋6相交于A，B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程． 答案 第九章　圆锥曲线 三、转代法 转代法建立在参数法的基础之上，但它涉及两个参数． 若动点P(x，y)的位置由已知曲线上的点Q(m，n)的位置来确定，则P的坐标点(x，y)便可以用m和n来表示，从中“反解”出m和n，利用点Q(m，n)在已知曲线上的条件消去m和n，便得到轨迹方程． 第九章　圆锥曲线 答案 第九章　圆锥曲线 四、圆锥曲线定义法 利用椭圆、抛物线、双曲线的定义求轨迹方程的方法． 例4　一个动圆M与圆F1：x2＋y2＋6x＋5＝0相外切，同时与圆F2：x2＋y2－6x－91＝0相内切，求动圆M的圆心轨迹方程． 第九章　圆锥曲线 答案 第九章　圆锥曲线 答案 第九章　圆锥曲线 答案 第九章　圆锥曲线 答案 3．P为平面上一点，且P到点A(2，0)的距离比P到y轴的距离多2，求P的轨迹方程． 依题意，P到A的距离与P到x＝－2的距离相等．∴P的轨迹为抛物线，方程为y2＝8x. 第九章　圆锥曲线 答案 4. 由圆x2＋y2＝9外一点P(5,12)引圆的割线相交交圆于A，B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程． 方法一：(直接法)如图，设弦AB的中点M的坐标为点(x，y)，连接OP，OM，则OM⊥AB，在△OMP中，由两点间的距离公式和勾股定理有 x2＋y2＋(x－5)2＋(y－12)2＝169. 整理，得x2＋y2－5x－12y＝0.故M的轨迹方程为x2＋y2－5x－12y＝0在圆x2＋y2＝9内的部分. 　 第九章　圆锥曲线 答案 第九章　圆锥曲线 答案 第九章　圆锥曲线 答案 第九章　圆锥曲线 7．点M(x0，y0)是圆F1：(x＋1)2＋y2＝9上的一个动点，点F2(1,0)为定点．线段MF2的垂直平分线与MF1相交于点Q(x，y)，求Q的轨迹方程(注意：点F2(1,0)在圆内)． 答案 第九章　圆锥曲线 第九章　圆锥曲线 答案 第九章　圆锥曲线 感谢聆听 设P坐标为(x，y)，依题意＝，两边平方整理得P的轨迹方程为＋＝1.它是一条中心在原点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆． 例1　平面上一P点，到点(－1,0)的距离与到定直线x＝－4的距离的比值为，求P的轨迹． 由题意分析知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为y＝kx.把它代入抛物线方程y＝x2－4x＋6,得x2－(4＋k)x＋6＝0.∵直线和抛物线相交,∴Δ>0,解得k∈(－∞,－4－2)∪(－4＋2,＋∞).设点A(x1,y1 )，点B(x2,y2 )，点M(x,y),由根与系数的关系得x1＋x2＝4＋k,x1x2＝6.∴x＝＝,y＝kx＝.由消去k得y＝2x2－4x.又∵2x＝x1＋x2＝4＋k，∴x∈(－∞，－)∪(，＋∞)．∴M的轨迹方程为y＝2x2－4x，x∈(－∞，－)∪(，＋∞)． M的位置由B的位置来确定，设B的坐标为点(m，n)，M的坐标为(x，y)，则x，y便可用m和n来表示，从中“反解”出 m和n，利用点B(m，n)在椭圆上消参即得．由中点坐标公式有于是又∵点B(m，n)在椭圆＋＝1上，∴＋＝1.整理即得M的轨迹方程为(x－2)2＋2y2＝1.　 例3　B是椭圆＋＝1上的动点，点A(4,0)为定点，求线段AB中点M的轨迹方程． 设动圆半径为r，依题意：|MF1|＝2＋r，|MF2|＝10－r.两式相加得|MF1|＋|MF2|＝12.所以M的轨迹是以点F1(－3,0)，点F2(3,0)为焦点，长半轴长为6，短半轴长为3的椭圆，方程为＋＝1.　 1.(2023新高考Ⅰ卷节选)在直角坐标系xOy中,点P到x轴的距离等于P到点的距离，记动点P的轨迹为W.求W的方程． 设点P(x，y)，由题意可得|y|＝，化简可得x2＝y－ .所以动点P的轨迹W的方程为y＝x2＋.　 2. (2021新高考Ⅰ卷节选)在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(－，0)，点F2(，0)，－＝2，M点的轨迹为C, 求C的方程． 因为－＝2<＝2，所以轨迹C是以点F1，F2为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C的方程为－＝1，则2a＝2，可得a＝1，b＝＝4，∴轨迹C的方程为x2－＝1.　 直线l过点M(0,1)，设其斜率为k，则直线l的方程为y＝kx＋1，记点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，由题设可得A，B的坐标(x1，y1)，(x2，y2)是方程组的解，化简得(4＋k2)x2＋2kx－3＝0，∴于是＝(＋)＝ 5．设椭圆的方程为4x2＋y2＝4，过点M(0,1)的直线l相交椭圆于A，B两点，O是坐标原点，P点满足＝(＋)，当直线l绕M旋转时，求动点P的轨迹方程． ＝，设P的坐标为(x，y)，则消去参数k得4x2＋y2－y＝0.当k不存在时，A，B中点为坐标原点(0,0)，也满足此方程，所以P的轨迹方程为4x2＋y2－y＝0.　 设点B(m，n)，点P(x，y)，由＝2得(x－1，y－3)＝2(m－x，n－y)，整理得3x＝2m＋1,3y＝2n＋3. 于是有又∵点B(m，n)在曲线y＝x2－1上，∴n＝m2－1.故＝2－1.整理得P的轨迹方程为3x2－2x－2y＋1＝0.　 6．已知定点A(1,3), B为抛物线y＝x2－1上任意一点，P点在AB上且＝2 ，当B在抛物线上移动时，求P的轨迹方程． 依题意，|QF1|＋|QM|＝3，|QM|＝|QF2|，∴|QF1|＋|QF2|＝3>|F1F2|＝2.故Q是在以F1，F2为焦点，长半轴长为短半轴为的椭圆上，方程为＋＝1. 8. 设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1 上，过M作x轴的垂线，垂足为N，P点满足＝. (1)求P的轨迹方程； (2)设Q在直线x＝－3上，且·＝1.证明：过P且垂直于OQ的直线l过椭圆C的左焦点F. (1)设点P(x，y)，点M(x0，y0) ，则点N(x0,0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)．由＝得x0＝x，y0＝.∵点M(x0，y0)在椭圆C上，所以＋＝1.∵P的轨迹方程为x2＋y2＝2. (2)由题意知点F(－1,0)，设点Q(－3，t)，点P(m，n)，则＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，·＝3＋3m－tn，＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)． 由·＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1，又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.∴·＝0，即⊥.又∵过P存在唯一直线垂直于OQ，∴过P且垂直于OQ的直线l过椭圆C的左焦点F.　 $$