第9章 第4节 解圆锥曲线计算题的一般方法-【高考零起点】2025年新高考数学总复习教用课件（艺考）

第九章　圆锥曲线 第四节　解圆锥曲线计算题的一般方法 数学 1. 将直线y＝kx＋b代入圆锥曲线f(x，y)＝0，经整理可得一个一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，则此直线与圆锥曲线有两个交点的充要条件是Δ>0，有一个交点的充要条件是Δ＝0，没有交点的充要条件是Δ<0. 第九章　圆锥曲线 4．点差法：利用交点在曲线上，交点坐标满足方程，将交点坐标分别代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系． 以椭圆为例： 第九章　圆锥曲线 它揭示了直线斜率和该直线被椭圆所截弦中点坐标之间的关系，在双曲线和抛物线中，它们之间的关系可以用同样的方法得到． 第九章　圆锥曲线 例1　已知椭圆x2＋2y2＝2，直线l：y＝k(x－2)，在下列情况下分别求k的取值范围． (1)直线l与椭圆有两个公共点； (2)直线l与椭圆有且只有一个公共点； (3)直线l与椭圆没有公共点． 第九章　圆锥曲线 答案 第九章　圆锥曲线 例2　已知一直线与椭圆4x2＋9y2＝36相交于A，B两点，弦AB的中点为点M(1,1)，求直线AB 的方程． 答案 第九章　圆锥曲线 答案 第九章　圆锥曲线 答案 第九章　圆锥曲线 (1)求椭圆C的方程及离心率； (2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴相交于M，直线PB与x轴相交于N，求证：四边形ABNM的面积为定值． 答案 第九章　圆锥曲线 答案 第九章　圆锥曲线 (1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点. 第九章　圆锥曲线 答案 第九章　圆锥曲线 (1)求双曲线C的方程； (2)记双曲线C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与双曲线C的左支相交交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与直线NA2交于P.证明：P在定直线上． 第九章　圆锥曲线 答案 第九章　圆锥曲线 答案 第九章　圆锥曲线 (1)求椭圆C的离心率； (2)若过P的直线l相交椭圆C于B，且△ABP的面积为9，求直线l的方程． 第九章　圆锥曲线 答案 第九章　圆锥曲线 第九章　圆锥曲线 答案 第九章　圆锥曲线 答案 第九章　圆锥曲线 (1)求椭圆C的方程； (2)过点(－2，3)的直线相交交椭圆C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点． 第九章　圆锥曲线 答案 第九章　圆锥曲线 答案 第九章　圆锥曲线 答案 第九章　圆锥曲线 6.设抛物线C：y2＝2x，点A(2,0)，点B(－2,0)，过A的直线l与抛物线C相交于M，N两点. (1)当直线l与x轴垂直时，求直线BM的方程； (2)证明：∠ABM＝∠ABN. (1)当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x＝2,可得M的坐标为点(2,2)或点(2,－2). 即x－2y＋2＝0或x＋2y＋2＝0. (2)当直线l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM＝∠ABN. 当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，点M(x1，y1)，点N(x2，y2)，则x1>0，x2>0. 答案 第九章　圆锥曲线 答案 第九章　圆锥曲线 (1)求椭圆C的方程； (2)过点P(4，0)的直线相交交椭圆C于A，B两点，N为线段FP的中点，直线NB相交直线MF于Q，证明：AQ⊥y轴． 第九章　圆锥曲线 答案 第九章　圆锥曲线 答案 第九章　圆锥曲线 感谢聆听 2. 当直线与圆锥曲线有两个交点时，设x1，x2是上面一元二次方程的解，则由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1x2＝，这一点被大量用在有关圆锥曲线的计算题中． 3. 如果一条斜率为k的直线被一圆锥曲线所截线段为AB，且设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，则＝·. 设直线l(不平行于y轴且斜率存在)过椭圆＋＝1(a>b>0)上A，B两点，其中AB中点为点P(x0，y0)，则有kAB·＝－. 证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 上式减下式得＋＝0，∴＝－， ∴·＝·＝·＝－， ∴kAB·＝－ . 将直线方程与椭圆方程联立得 将该直线方程代入椭圆方程并整理得(2k2＋1)x2－8k2x＋8k2－2＝0.于是Δ＝(－8k2)2－4(2k2＋1)(8k2－2)＝－16k2＋8. (1) ∵l与椭圆有两个公共点，∴－16k2＋8>0. 解得－<k<. (2) 当l与该椭圆有且只有一个公共点时，Δ＝0，于是k＝±. (3) 当l与该椭圆没有公共点时，Δ<0，于是k∈∪. 设直线方程为l：y＝kx＋b，A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，将该直线方程代入椭圆方程得4x2＋9(kx＋b)2＝36.整理得(9k2＋4)x2＋18kbx＋9b2－36＝0. 所以x1＋x2＝－.……① 又A，B两点均在直线l上，所以y1＝kx1＋b，y2＝kx2＋B. 故y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2b＝k＋2b＝ .　……② ∵AB的中点为点M(1,1)，由中点坐标公式并结合①②得解得k＝－，b＝.∴所求直线方程为y＝－x＋，整理得4x＋9y－13＝0.　 例3　过椭圆＋y2＝1的左焦点且倾斜角为60°的直线与椭圆相交于A，B两点，求AB的弦长． 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由题意易知椭圆的左焦点为点(－1,0)，直线斜率为，则由点斜式可知，该直线方程可表示为y＝x＋，将该直线方程代入椭圆方程并整理得7x2＋12x＋4＝0. 整理得x1＋x2＝－，……①　　　　x1x2＝.……②　　　将①②代入知识梳理3中的弦长公式＝·，得＝·＝.　 例4　已知椭圆C: ＋＝1(a＞0，b＞0)过A(2,0)，B(0,1)两点． (1)由题意得a＝2，b＝1.得椭圆C的方程为＋y2＝1. 又∵c＝＝，∴离心率e＝＝. (2)设点P(x0，y0)(x0<0，y0<0)，则x＋4y＝4.又点A(2,0)，点B(0,1)，∴直线PA的方程为y＝(x－2)．令x＝0，得yM＝－，从而|BM|＝1－yM＝1＋ .直线PB的方程为y＝x＋1.令y＝0，得xN＝－，从而|AN|＝2－xN＝2＋ . ∴四边形ABNM的面积为S＝ |AN|·|BM|＝ ＝＝＝2. ∴四边形ABNM的面积为定值． 1. 已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C： ＋ ＝1. 试问当m取何值时，直线l与椭圆C： 将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组　将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0. ……③　方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (1)当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解. 这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点. (2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解. 这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点. 　 2．(2023新高考Ⅱ卷)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为点，离心率为. (1)如图，设双曲线C方程为－＝1(a>0，b>0)，由焦点坐标可知c＝2，则由e＝＝可得a＝2，b＝＝4，双曲线C的方程为－＝1. (2)由(1)可得点A1(－2，0)，点A2(2，0)，设点M(x1，y1)，点N(x2，y2)，显然直线MN的斜率不为0，∴设直线MN的方程为x＝my－4，且－<m<，与－＝1联立可得(4m2－1)y2－32my＋48＝0，且Δ＝64(4m2＋3)>0，则y1＋y2＝，y1y2＝，直线MA1的方程为y＝(x＋2)，直线NA2的方程为y＝(x－2)，联立直线MA1与直线NA2的方程可得＝＝＝＝＝＝－，由＝－可得x＝－1，即xP＝－1，据此可得P在定直线x＝－1上运动．　 3. (2024新高考Ⅰ卷)已知点A(0,3)和点P为椭圆C：＋＝1(a>b>0)上两点． (1)由题意得　解得∴e＝＝＝. 方法一：同法一得到直线AP的方程为x＋2y－6＝0，B到直线AP的距离d＝，设点B，则解得或即点B或点B，以下同法一．　 4．(2023全国甲卷理)已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p>0)相交于A，B两点，且|AB|＝4. (1)求p； (2)设F为抛物线C的焦点，M，N为抛物线C上两点，·＝0，求△MFN面积的最小值． (1)设点A，点B，由可得y2－4py＋2p＝0，Δ＝　　(－4p)2－4×2p＝16p2－8p>0，解得p>，∴yA＋yB＝4p，yAyB＝2p，∴＝＝＝×＝4.即2p2－p－6＝0，∵p>，∴解得p＝2. (2)∵点F，显然直线MN的斜率不可能为零，设直线MN：x＝my＋n，点M，点N， 由可得y2－4my－4n＝0，∴y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n. Δ＝16m2＋16n>0⇒m2＋n>0.∵·＝0，∴＋y1y2＝0.即＋y1y2＝0，亦即y1y2＋m＋2＝0， 将y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n代入得4m2＝n2－6n＋1,4＝2>0，∴n≠1，且n2－6n＋1≥0.解得n≥3＋2或n≤3－2.设F到直线MN的距离为d，∴d＝.＝＝＝＝＝2，∴△MFN的面积S＝××d＝××2＝2.而n≥3＋2或n≤3－2，∴当n＝3－2时，△MFN的面积Smin＝2＝12－8.　 5．(2023全国乙卷理)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率是，点A在椭圆C上． (1)由题意可得解得所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)由题意可知直线PQ的斜率存在，设PQ：y＝k＋3，点P，点Q，联立方程消去y得x2＋8kx＋16＝0，则Δ＝64k2(2k＋3)2－64＝－1 728k>0，解得k<0， 可得x1＋x2＝－，x1x2＝. ∵点A(－2,0)，∴直线AP：y＝(x＋2)，令x＝0，解得y＝， 即点M，同理可得点N， ∴＝＋ ＝ ＝ ＝＝＝3， ∴线段MN的中点是定点. ∴直线BM的方程为y＝(x＋2)或y＝－(x＋2)． 由得ky2－2y－4k＝0，∴y1＋y2＝，y1y2＝－4. 直线BM，直线BN的斜率之和为 kBM＋kBN＝＋＝.……① 将x1＝＋2，x2＝＋2及y1＋y2，y1y2的表达式代入①式的分子中，可得x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝＝＝0. ∴kBM＋kBN＝0，可知直线BM，直线BN的倾斜角互补，∴∠ABM＝∠ABN. 综上，∠ABM＝∠ABN成立. 　 7. (2024全国甲卷理)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，点M在椭圆C上，且MF⊥x轴． (1)设点F(c，0)，由题设有c＝1且＝，故＝，故a＝2，故b＝，故椭圆C的方程为＋＝1. (2)直线AB的斜率必定存在，设AB：y＝k(x－4)，点A(x1，y1)，点B(x2，y2)， 由可得x2－32k2x＋64k2－12＝0，故Δ＝1 024k4－4>0，故－<k<， 又x1＋x2＝，x1x2＝， 而点N，故直线BN：y＝，故yQ＝＝， ∴y1－yQ＝y1＋＝ ＝＝k ＝k＝k＝0， 故y1＝yQ，即AQ⊥y轴．　 $$