第3章 第4节 函数的单调性-【高考零起点】2025年新高考数学总复习教用课件（艺考）

第三章　函数 第四节　函数的单调性 数学 1. 单调函数的概念 (1)从解析式分析，在函数y＝f(x)的定义域的某个区间上，如果y随x的增大而增大，则此函数在该区间上为增函数；如果y随x的增大而减小，则此函数在该区间上为减函数． (2)从图象分析，从左往右看，如果在函数f(x)的定义域的某个区间上函数图象是上升的，则此函数在该区间上是增函数；如果函数图象是下降的，则此函数在该区间上是减函数. 2. 增函数和减函数统称单调函数． 第三章　函数 3. 由定义不难得到，如果函数f(x)在某个区间上为增函数，则对于该区间上的任意x1，x2，x1>x2⇔f(x1)>f(x2)；如果函数f(x)在某个区间上为减函数，则对于该区间内的任意x1，x2，x1>x2⇔f(x1)<f(x2)． 4. 单调区间的概念 单调区间包括单调递增区间和单调递减区间． 第三章　函数 如果某个函数在定义域的某个区间上是单调增函数，就说该区间是该函数的一个单调递增区间；同样，如果某个函数在定义域的某个区间上是单调减函数，则该区间是该函数的一个单调递减区间．如上图所示是某函数的图象，则该函数的单调递增区间有(－∞，a]，[b，c]；单调递减区间有(a，b)，(c，＋∞)． 5. 单调函数的值域 如果能确定一个函数是单调函数，则可以把定义域的端点代进去求值域，使问题简化. 如果一个函数不是单调函数，则不能用代定义域端点的方法来求值域． 第三章　函数 例1　 求一元二次函数y＝x2－4x＋1的单调区间． 答案 画出该函数的草图，如图所示，由草图易知，该函数的单调递增区间为[2， ＋∞)，单调递减区间为(－∞，2)．　 第三章　函数 答案 例2　 已知函数y＝x2＋bx＋c在区间(－∞，1)上是减函数，求b的取值范围. 第三章　函数 答案 第三章　函数 一、填空题 1. 若函数y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则m的取值范围是____________. 2. 函数f(x)＝－x2－2x的单调递增区间为__________________. 3. 函数y＝2x2＋ax－1在区间(0,4)上是单调递增的，则a的取值范围是________________. 4. 已知f(x)是定义在R上的减函数，且满足f(2＋a)>f(2－a)，则a的取值范围是________________. 答案 (－∞，－1] [0，＋∞) (－∞，0) 第三章　函数 答案 二、选择题 1. 函数y＝3x－2x2＋1的单调递增区间是(　 　) A 2. 函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是(　 　) A．a≥－3 B．a≤－3 C．a≥3 D．a≤5 B 第三章　函数 3. 函数f(x)在R上单调递减，且f(m2)＜f(－m)，则m的取值范围是(　 　) A． (－∞，－1)　 B． (0，＋∞) C． (－1,0) D． (－∞，－1)∪(0，＋∞) 4. 函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是(　 　) A．[1,2] B．[－1,0] C．[0,2] D．[2，＋∞) 答案 D A 第三章　函数 答案 ACD 第三章　函数 三、用函数单调性的有关知识求下列函数的值域 答案 第三章　函数 答案 第三章　函数 感谢聆听 画出该函数的草图，如图所示，要满足题设条件，只需使－eq \f(b,2)在x轴上的位置位于1的右边即可(可以重合)，即－eq \f(b,2)≥1，解得b≤－2.　 显然，当x≥2时，x增大，eq \f(1,x)和eq \f(2,x2)的值均减小，故其和亦减小，于是原函数为减函数. ∴函数的最大值为f(2)＝eq \f(1,2)＋eq \f(2,22)＝1. 　 例3　 求函数f(x)＝＋(x≥2)的最大值. A． B． C． D． 5. (多选) 对于函数f(x)＝下列说法正确的是(　 　) A．该函数的最大值为2 B．该函数的单调递增区间为 C．该函数的单调递减区间为 D．该函数不是单调函数 1. y＝＋x.　　　　 2. y＝2x－. 1.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞))　对于eq \r(3x－2)，x增大，其值增大，x也是如此. 因此对于整个函数，y随x的增大而增大，故该函数为增函数. 又x≥eq \f(2,3)，故其值域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)). 2．(－∞，2]　对于eq \r(1－x)，其值随x的增大而减小；而对于2x来说，其值随x的增大而增大. 故对于整个函数，y随x的增大而增大，该函数为增函数. 又x≤1，∴该函数的值域为(－∞，2]. 　 3．[12，＋∞)　当x≥2时，在y＝eq \f(2,x)中，y随x的增大而减小；即在y＝－eq \f(2,x)中，y随x的增大而增大，在y＝5x中，y随x的增大而增大. 故对于整个函数，y随x的增大而增大，该函数为增函数，∴值域为[12，＋∞). 　 3. y＝3＋5x－ (x≥2)． $$