专题01 相交线与平行线（11大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期中真题分类汇编（黑龙江专用）

专题01 相交线与平行线 题型概览 题型01相交线中相关概念问题 题型02相交线中相关的计算 题型03垂线最短的应用 题型04平行线中相关概念问题 题型05利用平行线的判定判断选项是否正确 题型06利用平行线的判定证明 题型07利用平行线的性质求角度 题型08平行线的性质与判定多结论问题 题型09利用平行线的性质与判定填空 题型10利用平行线的性质与判定证明 题型11平行线的性质与判定综合（培优题型） 相交线中相关概念问题题型01 1．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法中正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．有一个公共顶点和一组公共边，并且和为的两个角互为邻补角 C．直线外一点到这条直线的垂线段的叫做点到直线的距离 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 2．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）下列命题中，真命题有（   ） ①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④相等的角是对顶角； ⑤两条直线被第三条直线所截，内错角相等． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（21-22七年级·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的有（    ）个     （1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等； （2）过一点有且只有一条直线与已知直线平行； （3）对顶角相等； （4）直线外一点到这条直线的垂线的长度，叫做点到直线的距离 A．4 B．3 C．2 D．1 4．（22-23七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 5．（22-23七年级·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法中：①互为邻补角的两个角的角平分线互相垂直 ②两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ③过直线外一点向直线作垂线段，这条垂线段就是点到直线的距离； ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行． 真命题的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）下面四个图形中，与互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 相交线中相关的计算题型02 1．（23-24七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，直线，相交于点O，，垂足为O，若，则（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知，，，则的度数为 °． 3．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知：如图，直线相交于点O，，，则 ． 4．（23-24七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图所示，直线，相交于点，，平分，，则的度数为 ． 5．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知： 直线与直线交于点 O， 过点 O 作 (1)如图 1， ，求 的度数； (2)如图 2， 在（1）的条件下， 过点 O 作 ，射线 平分 ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有与 互余的角． 6．（21-22七年级·黑龙江佳木斯·期中）如图，直线，相交于点O，OE⊥AB，平分，且，求． 7．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，直线相交下点O，于O，平分，若，求的度数． 8．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，直线与相交于点O，是的角平分线，，，． (1)求的度数； (2)与是否相等，请说明理由； (3)直接写出图中的所有余角． 9．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知：直线、相交于点，于点，．    (1)如图1，求的度数． (2)如图2，过点画出直线的垂线，请直接写出图中所有与互补的角． 垂线最短的应用题型03 1．（21-22七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）直线上有、、三点，直线外有一点，若，，，那么点到直线的距离( ) A．等于 B．小于 C．不大于 D．大于且小于 2．（23-24七年级·黑龙江鹤岗·期中）如图所示，把河水引向水池M，要向水池M点向河岸AB画垂线，垂足为N，再沿垂线MN开一条渠道才能使渠道最短．其依据是（     ）    A．垂线段最短 B．过一点确定一条直线与已知直线垂直 C．两点之间线段最短 D．以上说法都不对 3．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，，则点到的距离是线段（    ）的长度    A． B． C． D． 4．（22-23七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，直角三角形中，，，垂足为点D，则下列说法正确的是（    ）    A．线段的长表示点C到的距离 B．线段的长表示点A到的距离 C．线段的长表示点B到的距离 D．线段的长表示点C到的距离 5．（22-23七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，点B到线段的距离指的是下列哪条线段的长度（　　） A． B． C． D． 6．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，欲在河岸上某处P点修建一水泵站，将水引到村庄C处，可在图中画出垂直，垂足为P，然后沿铺设，则能使铺设的管道长最短，这种设计的依据是： ． 平行线中相关概念问题题型04 1．（21-22七年级·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法： ①和为180°且有一条公共边的两个角是邻补角； ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③同位角相等； ④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， 其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（23-24七年级·黑龙江佳木斯·期中）下列说法：①若与相交，b与c相交，则a与b相交；②若，，那么；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种，其中错误的有（   ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．③④ 3．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的是（　　） A．过一点有且只有一条直线平行于已知直线 B．如果两条直线被第三条直线所截，那么，同位角相等 C．两条直线被第三条直线所截得的内错角相等，则同位角也相等 D．相等的两个角是对顶角 4．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）下列命题中：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；④直线外一点到已知直线的垂线段就是这个点到这条直线的距离；⑤三条直线两两相交，有2个交点，其中正确的有（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法中：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③垂直于同一直线的两条直线互相平行；④平行于同一直线的两条直线互相平行；⑤两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角相等，那么这两条直线互相平行；⑥连结两点的线段就是两点之间的距离，其中正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（21-22七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列正确说法的个数是（    ） ①同位角相等； ②等角的补角相等； ③两直线平行，同旁内角相等： ④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑤直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这一点到直线的距离； ⑥对顶角的平分线在同一条直线上 A．1 B．2 C．3 D．4 7．（23-24七年级·黑龙江牡丹江·期中）给出下列说法： （1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等； （2）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交； （3）相等的两个角是对顶角； （4）三条直线两两相交，有三个交点； （5）若a⊥b，b⊥c，则a⊥c． 其中正确的有 个 利用平行线的判定判断选项是否正确题型05 1．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级·黑龙江绥化·期中）下列各图中，能够由得到的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，能判定的条件是（    ）    A． B． C． D． 4．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知：，．是否能证明出？ ．（填能或不能） 5．（22-23七年级·黑龙江佳木斯·期中）如图，请添加一个条件 ，可得． 6．（23-24七年级·黑龙江佳木斯·期中）如图，点为延长线上一点，要使，则可以添加的一个条件是 ． 7．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，点在的延长线上，请添加一个恰当的条件 ，使． 利用平行线的判定证明题型06 1．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，直线交于点O，分别平分和，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 2．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，直线、被所截，于H，，，求证：．    利用平行线的性质求角度题型07 1．（23-24七年级·黑龙江绥化·期中）如图，，直线分别交、于点E、F，平分，若，（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级·黑龙江绥化·期中）如图，，，则的度数为（      ）    A． B． C． D． 3．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，直线，将直角三角板的直角顶点放在直线上，已知，则的度数为（  ） A． B． C． D． 4．（21-22七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果，那么的度数是（      ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，直线，若，则是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，，，则图中与相等的角（除外）共有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 7．（21-22七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）∠ 1与∠ 2的两边分别平行，且∠ 1比∠ 2的4倍少30°，则∠ 1的度数为（    ） A．10° B．42° C．138°或42° D．10°或138° 8．（21-22七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，将一副直角三角板作如下摆成，图中点A、B、C在同一直线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知点C在点B的北偏西方向，点B在点A的北偏东方向，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 平行线的性质与判定多结论问题题型08 1．（21-22七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图， ，，给出下列结论：；；；；；．其中正确的结论有（      ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（22-23七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，有下列结论： （1）；（2）；（3）；（4） 其中正确的个数为（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 3．（21-22七年级·黑龙江牡丹江·期中）如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（23-24七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，，平分，平分，且，下列结论：①平分；②；③；④．其中结论正确的有（    ） A．①②③④ B．①② C．①③④ D．①②③ 5．（22-23七年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，平分，则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论有_______． A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 6．（22-23七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，，平分，，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论是（    ）    A． B． C． D． 7．（22-23七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，将一直角三角板与两边平行的纸条，如图所示放置，下列结论（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 利用平行线的性质与判定填空题型09 1．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，点A在射线上，点C在射线上，，． 求证：． 请将下面的证明过程补充完整． 证明：∵（已知），， ∴______， ∵（已知）， ∴______（______）， ∴（______）． 2．（21-22七年级·黑龙江哈尔滨·期中）完成下面的证明． 如图，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD． 求证：AC∥BD． 证明：∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD， 又∠COA＝∠BOD（①　 　） ∴∠C＝②　 　 ∴AC∥BD（③　 　） 3．（22-23七年级·黑龙江哈尔滨·期中）请在括号内完成证明过程和填写上推理依据． 如图，已知，，试判断与的大小关系，并说明理由． 解：，理由如下： ∵， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 4．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知：如图 ， ．求证： ．（请把以下证明过程补充完整） 证明： ∵ （已知） 又∵（ ） ∴ （等量代换） ∴（同位角相等， 两直线平行） ∴（ ） ∵ （已知） ∴ （等量代换） ∴ （ ） ∴．（ ） 5．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）将下列证明过程补充完整 如图，在三角形中，于点 D，于G，， 求证： 证明： ∵，（已知） ∴ ( ) ∴ ( ) ∴ ( ) ∵（已知） ∴ ( ) ∴ ( ) 6．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）完成下面的解题过程，并在括号内填上依据： 如图，已知，，，试说明． 解：∵ （已知） ∴______（_____________） ∵ （已知） ∴______（_____________） ∵ （已知） ∴ 即 ∴______ ∴ （____________） 7．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三角形中，点在上，于，于，．求证：．请将下列证明过程补充完整： 证明：∵，， ∴，（____________________） ∴ ∴（____________________） ∴（____________________） ∵ ∴__________ ∴__________（____________________） ∴ 8．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）几何说理填空：如图，是上一点，于点，是上一点，于点，，求证：． 证明：连接 ∵， ∴，（________） ∴ ∴________//________（________） ∴________（________） 又∵ ∴ 即 ∴（________） 9．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，是的平分线，，则也是的平分线，完成下列推理过程： 证明：是的平分线（已知） ∴ ∵ （已知） ∴_______（______________） ∴ （等量代换） 又∵ （已知） ∴_________ （______________） ∴ （______________） ∴ （等量代换） 是的平分线（角平分线定义） 10．（21-22七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，是的平分线，，，则也是的平分线．完成下列推理过程： 证明：是的平分线（已知） （                                     ） （已知） （                                     ） （等量代换） 又 （已知） ∴ （                            ） （                                     ） （等量代换） 所以是的平分线（角平分线定义 ） 利用平行线的性质与判定证明题型10 1．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知，． (1)求证：； (2)若，射线平分，求的度数． 2．（23-24七年级·黑龙江牡丹江·期中）如图，已知，． (1)求证：； (2)若平分，于点E，，求的度数． 3．（21-22七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，于，点是上任意一点，于，且 (1)求证：； (2)求的度数． 4．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，和相交于点O，E是上一点，F是上一点，且．    (1)求证：； (2)若比小，求的度数． 5．（21-22七年级·黑龙江大庆·期中）已知：如图，，．    (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若平分，平分，且，求的度数． 平行线的性质与判定综合题型11 1．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知：平分， （本题不能直接用三角形内角和） (1)如图1， 求证：； (2)如图2， 点K、F分别在 的延长线上， 点C在线段上， 且满足，求证：； (3)如图3， 在（2）的条件下，，且平分，求 的度数． 2．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，平分，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点F为线段上一点，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，在射线上取点G，连接，使得，当，时，求的度数； 3．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知，过内一点作交于点，作交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，射线，射线分别平分和，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点G，Q在线段上，连接，，，与交于点，反向延长交于点，如果，平分，，求的度数． 4．（21-22七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知：，、相交于点．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，若平分，平分，两条角平分线相交于，则、的数量关系是 ． (3)如图3，在（1）的情况下，平分，平分，两条角平分线相交于，若，求． 5．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知点A，点分别在线段，上，． (1)如图，求证：； (2)分别过点A和点作直线、使，以点为顶点的直角绕点旋转，并且的两边分别与直线，交于点和点，如图试判断、之间的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若和恰好分别平分和，并且，求的度数． 1．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）下列命题中：①点到直线的距离是指这点到直线的垂线段； ②两直线被第三条直线所截，同位角相等； ③平移时，连接对应点的线段平行且相等； ④在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑤对顶角相等； ⑥过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中真命题的个数为（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（22-23七年级·黑龙江绥化·期中）观察下列图案，在、、、四幅图案中，能通过图案（）的平移得到的是（    ）    （） A．   B．   C．    D．   3．（22-23七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图：，，，的度数为（    ） A．75° B．80° C．85° D．90° 4．（22-23七年级·黑龙江牡丹江·期中）已知：如图，AB//CD，则图中，，三个角之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23七年级·黑龙江佳木斯·期中）如图，AB//CD，OE平分，，，，则下列结论：①；②OF平分；③；④，其中结论正确的有（    ） A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 6．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知，平分，且，则 ． 7．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，当光线在空气进入水中时，会发生折射，满足入射角与折射角的度数比为，如图2，在同一平面上，两条光线同时从空气进入水中，两条入射光线与水平面夹角度数分别为x，y，在水中两条折射光线的夹角度数为，则 ．（用含x，y的式子表示）． 8．（23-24七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，三角形中，点D是射线上一点(不与点B、C重合)，交直线于E，交直线于F，则的度为 ．    9．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）在同一平面内，与的两边分别平行，且比的2倍少，则的度数为 . 10．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知，点D为射线上的一点，过点D作，为的平分线，则的度数是 度． 11．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知和，两个角的两边分别平行，，则的大小为 ． 12．（21-22七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，直线与直线相交于点，是内一点，，且． (1)求的度数． (2)若平分，求的度数． 13．（23-24七年级·黑龙江·期中）完成下面的证明． (1)如图①，已知，，，求证：； 证明：， ______（___________） ， ∴__________（___________） （___________） (2)如图②，D，E，F分别是三角形的边上的点，，．求证． 证明：， ________（___________） ， __________（________） ． 14．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知，． (1)与平行吗？请说明理由． (2)若平分，于点A，，求的度数． 15．（22-23七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图1，，，，求的度数．小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求．    (1)按小明的思路，易求得的度数为______； (2)问题迁移：如图2，，点P在直线BD上运动，记，， ①当点P在线段上运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由； ②如果点P在射线或射线上运动时（点P与点B、D两点不重合），请直接写出与、之间的数量关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 相交线与平行线 题型概览 题型01相交线中相关概念问题 题型02相交线中相关的计算 题型03垂线最短的应用 题型04平行线中相关概念问题 题型05利用平行线的判定判断选项是否正确 题型06利用平行线的判定证明 题型07利用平行线的性质求角度 题型08平行线的性质与判定多结论问题 题型09利用平行线的性质与判定填空 题型10利用平行线的性质与判定证明 题型11平行线的性质与判定综合（培优题型） 相交线中相关概念问题题型01 1．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法中正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．有一个公共顶点和一组公共边，并且和为的两个角互为邻补角 C．直线外一点到这条直线的垂线段的叫做点到直线的距离 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】D 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，原说法错误，不符合题意； B、两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫作互为邻补角，原说法错误，不符合题意； C、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离，故不符合题意； D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，符合题意， 故选：D． 2．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）下列命题中，真命题有（   ） ①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④相等的角是对顶角； ⑤两条直线被第三条直线所截，内错角相等． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确，是真命题； ②在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交两种，故原命题错误，是假命题； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题； ④相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题； ⑤两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题； 真命题有2个， 故选：A 3．（21-22七年级·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的有（    ）个     （1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等； （2）过一点有且只有一条直线与已知直线平行； （3）对顶角相等； （4）直线外一点到这条直线的垂线的长度，叫做点到直线的距离 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【详解】解：（1）两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原说法错误； （2）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故说法错误， （3）说法正确； （4）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故说法错误； 所以正确说法只有1个； 故选：D． 4．（22-23七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的识别，如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，那么这两个角是对顶角；根据对顶角的定义判断即可． 【详解】解：由对顶角的定义知，中的两个角都不是对顶角，选项C中的两个角是对顶角； 故选：C． 5．（22-23七年级·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法中：①互为邻补角的两个角的角平分线互相垂直 ②两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ③过直线外一点向直线作垂线段，这条垂线段就是点到直线的距离； ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行． 真命题的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】①互为邻补角的两个角的角平分线互相垂直，故①正确； ②两条直线被第三条直线所截，同位角不一定相等，故②错误； ③过直线外一点向直线作垂线段，这条垂线段的长度就是点到直线的距离，故③错误； ④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④错误． 故选：A． 6．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）下面四个图形中，与互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据对顶角的定义可知：只有C中的是对顶角，其它都不是． 故选：C． 相交线中相关的计算题型02 1．（23-24七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，直线，相交于点O，，垂足为O，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知，，，则的度数为 °． 【答案】50或130 【详解】解：如图，分成两种情况， ∵， ∴， ， ． 故答案为：50或130． 3．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知：如图，直线相交于点O，，，则 ． 【答案】65 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：65． 4．（23-24七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图所示，直线，相交于点，，平分，，则的度数为 ． 【答案】/度 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知： 直线与直线交于点 O， 过点 O 作 (1)如图 1， ，求 的度数； (2)如图 2， 在（1）的条件下， 过点 O 作 ，射线 平分 ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有与 互余的角． 【答案】(1)(2)，，， 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）解：由（1）知， ∵， ∴和互余． ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵平分 ∴， ∴，，， 则和互余，和互余，和互余， 综上：与互余的角有，，，． 6．（21-22七年级·黑龙江佳木斯·期中）如图，直线，相交于点O，OE⊥AB，平分，且，求． 【答案】 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ． 7．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，直线相交下点O，于O，平分，若，求的度数． 【答案】 【详解】∵， ∴ ∵， ∴ ∵平分 ∴ ∴． 8．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，直线与相交于点O，是的角平分线，，，． (1)求的度数； (2)与是否相等，请说明理由； (3)直接写出图中的所有余角． 【答案】(1)；(2)相等，理由见解析；(3)，，． 【详解】（1）∵， ∴， 又∵与是对顶角， ∴， ∴； （2）相等，理由： ∵与是对顶角， ∴， ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， 而， ∴； （3）∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴图中的所有余角为，，． 9．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知：直线、相交于点，于点，．    (1)如图1，求的度数． (2)如图2，过点画出直线的垂线，请直接写出图中所有与互补的角． 【答案】(1) (2)、、 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）可知，，， ， ， ， ， ， ， ， 与互补的角的度数为， 与互补的角有、、． 垂线最短的应用题型03 1．（21-22七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）直线上有、、三点，直线外有一点，若，，，那么点到直线的距离( ) A．等于 B．小于 C．不大于 D．大于且小于 【答案】C 【详解】解：∵PA＝5cm，PB＝3cm，PC＝2cm， 点到直线的距离不大于，故C正确． 故选：C． 2．（23-24七年级·黑龙江鹤岗·期中）如图所示，把河水引向水池M，要向水池M点向河岸AB画垂线，垂足为N，再沿垂线MN开一条渠道才能使渠道最短．其依据是（     ）    A．垂线段最短 B．过一点确定一条直线与已知直线垂直 C．两点之间线段最短 D．以上说法都不对 【答案】A 【详解】解：把河水引向水池M，要向水池M点向河岸AB画垂线，垂足为N，再沿垂线MN开一条渠道才能使渠道最短．其依据是垂线段最短， 故选A． 3．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，，则点到的距离是线段（    ）的长度    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ∴点到的距离是线段的长度， 故选：A． 4．（22-23七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，直角三角形中，，，垂足为点D，则下列说法正确的是（    ）    A．线段的长表示点C到的距离 B．线段的长表示点A到的距离 C．线段的长表示点B到的距离 D．线段的长表示点C到的距离 【答案】C 【详解】解：A、线段的长表示点A到的距离，故A不正确，不符合题意； B、线段的长表示点C到的距离，故B不正确，不符合题意； C、线段的长表示点B到的距离，故C正确，符合题意； D、线段的长表示点B到的距离，故D不正确，不符合题意； 故选：C． 5．（22-23七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，点B到线段的距离指的是下列哪条线段的长度（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ ∴，点B到线段的距离指线段的长， 故选：A． 6．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，欲在河岸上某处P点修建一水泵站，将水引到村庄C处，可在图中画出垂直，垂足为P，然后沿铺设，则能使铺设的管道长最短，这种设计的依据是： ． 【答案】垂线段最短 【详解】解：解：已知在河岸上某处P点修建一水泵站，将水引到村庄C处，又知直线外一点到该直线的最短距离是其垂线段，这种设计的依据是：垂线段最短， 故答案为：垂线段最短 平行线中相关概念问题题型04 1．（21-22七年级·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法： ①和为180°且有一条公共边的两个角是邻补角； ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③同位角相等； ④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， 其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】解：①如图∠AOC=∠2=150°，∠BOC=∠1=30°，满足∠1+∠2=180°，射线OC是两角的共用边，但∠1与∠2不是邻补角，故①不正确； ②在同一个面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②不正确； ③如图直线a、b被直线c所截，∠1与∠2是同位角，但∠1＞∠2，故③不正确； ④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，是基本事实，故④正确； 其中正确的有④一共1个． 故选择B． 2．（23-24七年级·黑龙江佳木斯·期中）下列说法：①若与相交，b与c相交，则a与b相交；②若，，那么；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种，其中错误的有（   ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．③④ 【答案】C 【详解】解：若a与c相交，b与c相交，则a与b相交的说法错误，a与b还有可能平行，如图所示： ， 故①说法错误，符合题意； 若，，那么，故②说法正确，不符合题意； 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③说法错误，符合题意； 在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交两种，垂直是相交的特殊情况，故④说法错误，符合题意； 综上所述，①③④说法错误， 故选：C． 3．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的是（　　） A．过一点有且只有一条直线平行于已知直线 B．如果两条直线被第三条直线所截，那么，同位角相等 C．两条直线被第三条直线所截得的内错角相等，则同位角也相等 D．相等的两个角是对顶角 【答案】C 【详解】解：过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线， 故A错误，不符合题意； 如果两条平行直线被第三条直线所截，那么，同位角相等， 故B错误，不符合题意； 两条直线被第三条直线所截得的内错角相等，则同位角也相等， 故C正确，符合题意； 相等的两个角不一定是对顶角， 故D错误，不符合题意； 故选：C． 4．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）下列命题中：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；④直线外一点到已知直线的垂线段就是这个点到这条直线的距离；⑤三条直线两两相交，有2个交点，其中正确的有（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；故①错误； 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；故②正确； 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；故③错误； 直线外一点到已知直线的垂线段的长度就是这个点到这条直线的距离；故④错误； 三条直线两两相交，最少有1个交点，最多有3个交点；故⑤错误； 综上：正确的只有1个； 故选A． 5．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法中：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③垂直于同一直线的两条直线互相平行；④平行于同一直线的两条直线互相平行；⑤两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角相等，那么这两条直线互相平行；⑥连结两点的线段就是两点之间的距离，其中正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原来的说法是错误的； 在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原来的说法是错误的； 在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，原来的说法是错误的； 平行于同一直线的两条直线互相平行是正确的； 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线互相平行，原来的说法是错误的； 连结两点的线段的长度就是两点之间的距离，原来的说法是错误的． 故其中正确的有个， 故选：A． 6．（21-22七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列正确说法的个数是（    ） ①同位角相等； ②等角的补角相等； ③两直线平行，同旁内角相等： ④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑤直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这一点到直线的距离； ⑥对顶角的平分线在同一条直线上 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：①两直线平行，同位角相等，不是所有的同位角都相等，所以本选项错误，不符合题意； ②等角的补角相等，本选项正确，符合题意； ③两直线平行，同旁内角互补，所以本选项错误，不符合题意； ④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以本选项错误，不符合题意； ⑤直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这一点到直线的距离，所以本选项错误，不符合题意； ⑥对顶角的平分线在同一条直线上，本选项正确，符合题意； 综上正确的有2个． 故选：B 7．（23-24七年级·黑龙江牡丹江·期中）给出下列说法： （1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等； （2）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交； （3）相等的两个角是对顶角； （4）三条直线两两相交，有三个交点； （5）若a⊥b，b⊥c，则a⊥c． 其中正确的有 个 【答案】1 【详解】解：（1）∵两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故（1）不正确； （2）∵平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交，故（2）正确； （3）∵对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故（3）不正确； （4）∵三条直线两两相交，也可能是交于同一个点，故（4）不正确； （5）∵若ab，bc，则ac，故（5）不正确， 正确的只有（2）一个选项， 故答案为：1． 利用平行线的判定判断选项是否正确题型05 1．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A，和是直线被直线所截形成的内错角，内错角相等，可以判断，不能判断，故符合题意； B，和是直线被直线所截形成的内错角，内错角相等，可以判断，故不符合题意； C，和是直线被直线所截形成的同位角，同位角相等，可以判断，故不符合题意； D，和是直线被直线所截形成的同旁内角，同旁内角互补，可以判断，故不符合题意； 故选：A． 2．（23-24七年级·黑龙江绥化·期中）下列各图中，能够由得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．由无法判断，故不符合题意； B．∵，，∴，∴，故符合题意； C． 由无法判断，故不符合题意； D．∵，∴，无法判断，故不符合题意； 故选：B． 3．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，能判定的条件是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A、，可推出，不符合题意； B、，可推出，不符合题意； C、，可推出，不符合题意； D、，可推出，符合题意； 故选D． 4．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知：，．是否能证明出？ ．（填能或不能） 【答案】能 【详解】解：能 理由： ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：能. 5．（22-23七年级·黑龙江佳木斯·期中）如图，请添加一个条件 ，可得． 【答案】(案不唯一) 【详解】解：∵， ， 添加一个条件，可得． 故答案为：(案不唯一) 6．（23-24七年级·黑龙江佳木斯·期中）如图，点为延长线上一点，要使，则可以添加的一个条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：依题意，添加 ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 7．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，点在的延长线上，请添加一个恰当的条件 ，使． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，． 故答案为：或或（任填一个即可）． 利用平行线的判定证明题型06 1．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，直线交于点O，分别平分和，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析(2)． 【详解】（1）证明：分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 2．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，直线、被所截，于H，，，求证：．    【答案】见解析 【详解】证明：∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 利用平行线的性质求角度题型07 1．（23-24七年级·黑龙江绥化·期中）如图，，直线分别交、于点E、F，平分，若，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．（23-24七年级·黑龙江绥化·期中）如图，，，则的度数为（      ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，， ， ， 故选：B． 3．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，直线，将直角三角板的直角顶点放在直线上，已知，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选： 4．（21-22七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果，那么的度数是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 5．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，直线，若，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图， ∵直线， ∴， ∵， ∴， 故选：． 6．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，，，则图中与相等的角（除外）共有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【详解】解：如图，    ∵，，， ∴， 又∵， ∴； 综上：与相等的角（除外）共有5个； 故选B． 7．（21-22七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）∠ 1与∠ 2的两边分别平行，且∠ 1比∠ 2的4倍少30°，则∠ 1的度数为（    ） A．10° B．42° C．138°或42° D．10°或138° 【答案】D 【详解】解：∵∠1与∠2的两边分别平行 ∴或 又∵∠ 1比∠ 2的4倍少30° 或 解得：或 故选：D 8．（21-22七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，将一副直角三角板作如下摆成，图中点A、B、C在同一直线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过点C作CM， ∵， ∴， ∴∠1＋∠ECM＝180°，∠2＝∠ACM， ∵∠2＝180°−45°＝135°， ∴∠ACM＝135°， ∴∠ECM＝135°−30°＝105°， ∴∠1＝180°−105°＝75°， 故选：C． 9．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知点C在点B的北偏西方向，点B在点A的北偏东方向，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，由题意，得：，    ∴； 故选C． 平行线的性质与判定多结论问题题型08 1．（21-22七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图， ，，给出下列结论：；；；；；．其中正确的结论有（      ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【详解】解：， ． 故①正确； ，， ， 即． 故③正确； ， ． 故②正确； ， ， ， ， ． 故④正确； ， ，但与不一定相等． 故⑤错误； ， ， 故⑥正确， 综上，正确的有5个． 故选：C． 2．（22-23七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，有下列结论： （1）；（2）；（3）；（4） 其中正确的个数为（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：∵纸条的两边互相平行， ∴，．故（1）（2）正确： ∵三角板是直角三角板， ∴．故（3）正确； ∵． ∴，故（4）正确， 综上所述，正确的个数是4． 故选：D． 3．（21-22七年级·黑龙江牡丹江·期中）如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：延长，交于I． ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ∴①错误；②正确， ∵平分， ， ， ， 可见，的值未必为，未必为，只要和为即可， ∴③，④不一定正确． 故选：． 4．（23-24七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，，平分，平分，且，下列结论：①平分；②；③；④．其中结论正确的有（    ） A．①②③④ B．①② C．①③④ D．①②③ 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∴， ∴平分，，故①正确，④错误； ∵， ∴，故②正确； 故选：D． 5．（22-23七年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，平分，则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论有_______． A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴，则结论①符合题意； ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，故③ 符合题意； ∴平分， 故② 符合题意； ∵，， ∴， ∵， ∴，则结论④不符合题意； 综上，正确结论的是①②③． 故选D． 6．（22-23七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，，平分，，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， ， ， 故①正确； ， ， ， 又平分， ， 故②正确； ， ，即， 故③正确； 与不一定相等， 不一定成立， 故④错误； 综上所述，正确的选项共3个，故选：D． 7．（22-23七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，将一直角三角板与两边平行的纸条，如图所示放置，下列结论（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，故（1）（2）正确 ∵， ∴，故（3）正确， ∴，故（4）正确； ∴正确的有4个， 故选D． 利用平行线的性质与判定填空题型09 1．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，点A在射线上，点C在射线上，，． 求证：． 请将下面的证明过程补充完整． 证明：∵（已知），， ∴______， ∵（已知）， ∴______（______）， ∴（______）． 【答案】，，等量代换，同位角相等，两直线平行 【详解】证明：∵（已知），， ∴， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 2．（21-22七年级·黑龙江哈尔滨·期中）完成下面的证明． 如图，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD． 求证：AC∥BD． 证明：∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD， 又∠COA＝∠BOD（①　 　） ∴∠C＝②　 　 ∴AC∥BD（③　 　） 【答案】①对顶角相等；②；③内错角相等，两直线平行． 【详解】证明：∵， 又（对顶角相等）， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：①对顶角相等；②；③内错角相等，两直线平行． 3．（22-23七年级·黑龙江哈尔滨·期中）请在括号内完成证明过程和填写上推理依据． 如图，已知，，试判断与的大小关系，并说明理由． 解：，理由如下： ∵， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【答案】见解析 【详解】解：，理由如下： ∵，（平角的定义）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴， ∵， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， 故答案为：平角的定义；；等量代换；；同位角相等，两直线平行；；；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 4．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知：如图 ， ．求证： ．（请把以下证明过程补充完整） 证明： ∵ （已知） 又∵（ ） ∴ （等量代换） ∴（同位角相等， 两直线平行） ∴（ ） ∵ （已知） ∴ （等量代换） ∴ （ ） ∴．（ ） 【答案】对顶角相等；3；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 【详解】证明：∵（已知）， 又∵（对顶角相等）， ∴（等量代换） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等） ∵（已知） ∴（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行） ∴．（两直线平行，内错角相等） 故答案为：对顶角相等；3；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 5．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）将下列证明过程补充完整 如图，在三角形中，于点 D，于G，， 求证： 证明： ∵，（已知） ∴ ( ) ∴ ( ) ∴ ( ) ∵（已知） ∴ ( ) ∴ ( ) 【答案】；垂直定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；等量代换． 【详解】证明：∵，（已知）， ∴（垂直定义）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知） ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换） 故答案为：；垂直定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；等量代换． 6．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）完成下面的解题过程，并在括号内填上依据： 如图，已知，，，试说明． 解：∵ （已知） ∴______（_____________） ∵ （已知） ∴______（_____________） ∵ （已知） ∴ 即 ∴______ ∴ （____________） 【答案】；两直线平行，同位角相等；；等量代换；；内错角相等，两直线平行 【详解】解：∵， ∴（两直线平行，同位角相等)； ∵， ∴（等量代换)； ∵， ∴； 即； ∴； ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；两直线平行，同位角相等；；等量代换；；内错角相等，两直线平行． 7．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三角形中，点在上，于，于，．求证：．请将下列证明过程补充完整： 证明：∵，， ∴，（____________________） ∴ ∴（____________________） ∴（____________________） ∵ ∴__________ ∴__________（____________________） ∴ 【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行 【详解】证明：∵，， ∴，，（垂直的定义） ∴， ∴，（同位角相等，两直线平行） ∴，（两直线平行，同位角相等） ∵， ∴， ∴，（内错角相等，两直线平行） ∴． 故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行． 8．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）几何说理填空：如图，是上一点，于点，是上一点，于点，，求证：． 证明：连接 ∵， ∴，（________） ∴ ∴________//________（________） ∴________（________） 又∵ ∴ 即 ∴（________） 【答案】垂线定义；；同位角相等，两直线平行；4；两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行 【详解】证明：连接 ∵， ∴，（垂线定义） ∴ ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，内错角相等） 又∵ ∴ 即 ∴（内错角相等，两直线平行） 故答案为：垂线定义；；同位角相等，两直线平行；4；两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 9．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，是的平分线，，则也是的平分线，完成下列推理过程： 证明：是的平分线（已知） ∴ ∵ （已知） ∴_______（______________） ∴ （等量代换） 又∵ （已知） ∴_________ （______________） ∴ （______________） ∴ （等量代换） 是的平分线（角平分线定义） 【答案】2；两直线平行，内错角相等；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【详解】证明：是的平分线（已知） ∴ ∵ （已知） ∴（两直线平行，内错角相等） ∴ （等量代换） 又∵ （已知） ∴ （内错角相等，两直线平行） ∴ （两直线平行，同位角相等） ∴ （等量代换） 是的平分线（角平分线定义） 故答案为：2；两直线平行，内错角相等；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 10．（21-22七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，是的平分线，，，则也是的平分线．完成下列推理过程： 证明：是的平分线（已知） （                                     ） （已知） （                                     ） （等量代换） 又 （已知） ∴ （                            ） （                                     ） （等量代换） 所以是的平分线（角平分线定义 ） 【答案】角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 【详解】证明：是的平分线（已知） （ 角平分线的定义） （已知） （两直线平行，内错角相等） （等量代换） 又 （已知） （内错角相等，两直线平行） （两直线平行，同位角相等） （等量代换） 所以是的平分线（角平分线定义 ） 利用平行线的性质与判定证明题型10 1．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知，． (1)求证：； (2)若，射线平分，求的度数． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，射线平分， ∴， ∵， ∴． 2．（23-24七年级·黑龙江牡丹江·期中）如图，已知，． (1)求证：； (2)若平分，于点E，，求的度数． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由题意知，， ∵平分， ∴， 由（1）知，， 由（1）知，， 又∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 3．（21-22七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，于，点是上任意一点，于，且 (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见详解(2) 【详解】（1）∵， （2）∵， 4．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，和相交于点O，E是上一点，F是上一点，且．    (1)求证：； (2)若比小，求的度数． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）∵， ∴， ∵比小，即， ∴， ∵， ∴． 5．（21-22七年级·黑龙江大庆·期中）已知：如图，，．    (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若平分，平分，且，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析；(2) 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ； （2）解：平分， ， ， ，， ， ， ， 平分， ． 平行线的性质与判定综合题型11 1．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知：平分， （本题不能直接用三角形内角和） (1)如图1， 求证：； (2)如图2， 点K、F分别在 的延长线上， 点C在线段上， 且满足，求证：； (3)如图3， 在（2）的条件下，，且平分，求 的度数． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ； （2）证明：如图，过点F作， ，， ， ， ， ， 又， ， 即； （3）解：如图，作，， 由（1）知， ， 平分，平分， ，， ， 又， ， ， ； ， ， ， ， 设，则， ， ， ，， ； 由（2）知， ， 即， 又， ， 整理得， ． 2．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，平分，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点F为线段上一点，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，在射线上取点G，连接，使得，当，时，求的度数； 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ； （2）证明：过作，如图， ， ， ，， ， 即； （3）解：设， ，， ， 由（1）知：， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 解得：， 即． 3．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知，过内一点作交于点，作交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，射线，射线分别平分和，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点G，Q在线段上，连接，，，与交于点，反向延长交于点，如果，平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）证明：，， ，， ； （2）证明：过点作平分，如图2所示： 则， 射线，射线分别平分和， ，， ， ， ，， ； （3）解：平分， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ， 过点作，过点作，如图3所示： ， ，， ，，，， ，， ． 4．（21-22七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知：，、相交于点．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，若平分，平分，两条角平分线相交于，则、的数量关系是 ． (3)如图3，在（1）的情况下，平分，平分，两条角平分线相交于，若，求． 【答案】(1)见详解(2)(3) 【详解】（1）证明：如下图，过点作，    则有， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如下图，分别作，，    ∵， ∴，， ∴，， ∴， 即， 同理，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：； （3）解：如下图，作，    由（1）可知，， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴． 5．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知点A，点分别在线段，上，． (1)如图，求证：； (2)分别过点A和点作直线、使，以点为顶点的直角绕点旋转，并且的两边分别与直线，交于点和点，如图试判断、之间的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若和恰好分别平分和，并且，求的度数． 【答案】(1)见解析(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）解：过C作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： 过B作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：过E作， ∵， ∴， ∴， ∵和分别平分和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得：， ∴． 1．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）下列命题中：①点到直线的距离是指这点到直线的垂线段； ②两直线被第三条直线所截，同位角相等； ③平移时，连接对应点的线段平行且相等； ④在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑤对顶角相等； ⑥过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中真命题的个数为（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：①点到直线的距离是指点到直线的垂线段的长度，故①错误； ②两平行线被第三条直线所截，同位角相等，故②错误； ③平移时，连接对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等，可知③错误； ④在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故④错误； ⑤对顶角相等，故正确； ⑥在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故⑥错误． 故选：A． 2．（22-23七年级·黑龙江绥化·期中）观察下列图案，在、、、四幅图案中，能通过图案（）的平移得到的是（    ）    （） A．   B．   C．    D．   【答案】B 【详解】解：、属于旋转所得到，故错误； B、属于平移变换，故正确； 、属于旋转所得到，故错误； 、属于旋转所得到，故错误； 故选：． 3．（22-23七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图：，，，的度数为（    ） A．75° B．80° C．85° D．90° 【答案】C 【详解】解：如图，过点作， 故选C 4．（22-23七年级·黑龙江牡丹江·期中）已知：如图，AB//CD，则图中，，三个角之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过点E作EF∥AB， ∴∠α+∠AEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠FED=∠EDC（两直线平行，内错角相等）， ∵∠β=∠AEF+∠FED， 又∵∠γ=∠EDC， ∴α+β-γ=180°， 故选：C． 5．（22-23七年级·黑龙江佳木斯·期中）如图，AB//CD，OE平分，，，，则下列结论：①；②OF平分；③；④，其中结论正确的有（    ） A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】D 【详解】解：①∵AB//CD，， ∴∠BOD=∠ABO=40°， ∴∠COB=180°-40°=140°， 又∵OE平分∠BOC， ∴∠BOE=∠COB=×140°=70°．故①正确； ②∵， ∴∠EOF=90°， ∵∠BOE=70°， ∴∠BOF=∠EOF－∠BOE=20°， 又∵∠BOD=40°， ∴∠FOD=∠BOD－∠BOF=40°-20°=20°， ∴OF平分∠BOD．故②正确； ③∵， ∴∠POD=90°， ∴∠POB=∠POD－∠BOD=90°－40°=50°， ∵∠BOE=70°， ∴∠EOP=∠BOE－∠POB=70°-50°=20°， 又∵∠BOF =20°， ∴∠EOP =∠BOF．故③正确； ④由③可知∠POB=50°， 由①知∠BOD=40°， 故．故④错误； 综上，正确的有①②③． 故选D． 6．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知，平分，且，则 ． 【答案】 【详解】解：， ，， ∵平分， ， ， ∴， ． 故答案为：． 7．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，当光线在空气进入水中时，会发生折射，满足入射角与折射角的度数比为，如图2，在同一平面上，两条光线同时从空气进入水中，两条入射光线与水平面夹角度数分别为x，y，在水中两条折射光线的夹角度数为，则 ．（用含x，y的式子表示）． 【答案】 【详解】如图所示：过点，，分别作水平线的垂线， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 8．（23-24七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，三角形中，点D是射线上一点(不与点B、C重合)，交直线于E，交直线于F，则的度为 ．    【答案】或 【详解】解：如图1所示，当点在、之间时，      ∵交直线于交直线于F， ∴， ∴； 如图2所示，当点在点外时， ∵， ∴． ∵交直线于交直线于， ∴， ∴． 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 9．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）在同一平面内，与的两边分别平行，且比的2倍少，则的度数为 . 【答案】或 【详解】解：如图1，，， ，， ， 比的2倍少， ， ， 如图2，，， ，， ， 比的2倍少， ， ， ， 故答案为：或． ,   10．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知，点D为射线上的一点，过点D作，为的平分线，则的度数是 度． 【答案】35或55 【详解】解：如图1所示，∵，， ∴， ∵为的平分线， ∴；    如图2所示，∵，，    ∴， ∴ ∵为的平分线， ∴； 综上所述，或； 故答案为：35或55． 11．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知和，两个角的两边分别平行，，则的大小为 ． 【答案】或． 【详解】根据题意画出图形，如图1， 由题意可知：， ， ， 设， ， ， ， 即． 根据题意画出图形，如图2， 由题意可知：， ， ， 设， ， ， ， 即． 综上所述，的大小为或． 故填∶ 或． 12．（21-22七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，直线与直线相交于点，是内一点，，且． (1)求的度数． (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵； （2）由（2）可知，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 13．（23-24七年级·黑龙江·期中）完成下面的证明． (1)如图①，已知，，，求证：； 证明：， ______（___________） ， ∴__________（___________） （___________） (2)如图②，D，E，F分别是三角形的边上的点，，．求证． 证明：， ________（___________） ， __________（________） ． 【答案】(1)；同位角相等，两直线平行；；内错角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行 (2)；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等 【详解】（1） 证明： （已知）， （同位角相等，两直线平行）， （已知）， （内错角相等，两直线平行）， （平行于同一条直线的两条直线平行）． 故答案为：；同位角相等，两直线平行；；内错角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行； （2） 证明， （两直线平行，内错角相等 ， （两直线平行，同位角相等 ． 故答案为：；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等． 14．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知，． (1)与平行吗？请说明理由． (2)若平分，于点A，，求的度数． 【答案】(1)与平行，理由见解析(2) 【详解】（1）与平行，理由如下： ， ， ， ， ， ； （2），， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 15．（22-23七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图1，，，，求的度数．小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求．    (1)按小明的思路，易求得的度数为______； (2)问题迁移：如图2，，点P在直线BD上运动，记，， ①当点P在线段上运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由； ②如果点P在射线或射线上运动时（点P与点B、D两点不重合），请直接写出与、之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①；②点P在射线上时，；点P在射线上，． 【详解】（1）过P点作，而， ∴．      ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）①过P点作， ∴，    而， ∴． ∴， ∴； ②如图，点P在射线上时，      过P点作， ∴， 而， ∴． ∴， ∴； 点P在射线上，如图，    过P点作， ∴， 而， ∴． ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$