期中复习（解答题压轴七大类型60题）-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲（北师大版2024）

期中复习（压轴七大类型60题） 一．幂的乘方与积的乘方（共2小题） 1．定义：如果2m＝n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D（n）． （1）根据D数的定义，填空：D（2）＝　 　 ，D（16）＝　 　 ． （2）D数有如下运算性质：D（s•t）＝D（s）+D（t），D（）＝D（q）﹣D（p），其中q＞p． 根据运算性质，计算： ①若D（a）＝1，求D（a3）； ②若已知D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，试求D（15），D（），D（108），D（）的值（用a、b、c表示）． 2．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c． 例如：∵23＝8，∴（2，8）＝3． （1）根据上述规定，填空：（3，27）＝　 　 ，（5，1）＝　 　 ，　 　 ； （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）＝（3，4），小明给出了如下的理由： 设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n， ∴3x＝4，即（3，4）＝x，∴（3n，4n）＝（3，4）． 请你尝试运用这种方法判断（3，7）+（3，8）＝（3，56）是否成立，若成立，请说明理由． 二．多项式乘多项式（共10小题） 3．有两类正方形A，B，其边长分别为a，b．现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，求： （1）正方形A，B的面积之和为　 　 ． （2）小明想要拼一个两边长分别为（2a+b）和（a+3b）的长方形（不重不漏），除用去若干个正方形A，B外，还需要以a，b为边的长方形　 　 个． （3）三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，求阴影部分的面积． 4．甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：（2x+a）（3x+b）．甲由于把第一个多项式中的“+a”看成了“﹣a”，得到的结果为6x2+11x﹣10；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10． （1）求正确的a、b的值． （2）计算这道乘法题的正确结果． 5．当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2． （1）由图2可得等式：　 　 ． （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知 a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值； （3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）． 6．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数字等式，例如图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式 　 　 ； （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝9，ab+bc+ac＝26，求a2+b2+c2的值； （3）小明同学用2张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的长方形纸片拼出了一个长方形，那么该长方形较长一边的边长为多少？ （4）小明同学又用x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出了一个面积为（25a+7b）（2a+5b）长方形，那么9（x+y+z）＝　 　 ． 7．某区有一块长为（6a﹣2b）米，宽为（4a﹣2b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，如图所示，空白的A、B正方形地块将修建两个凉亭，两正方形区域的边长均为a米． （1）用含有a，b的式子表示绿化总面积结果（最简形式）； （2）当a＝2，b＝3时，绿化成本为150元每平方米，则完成绿化工程共需要多少元？ 8．如图1，有足够多的边长为a的小正方形（A类），长为b、宽为a的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类）卡片，发现利用图1中的三种卡片各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式． 例如图2可以解释的等式为（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2． （1）图3可以解释的等式为 　 　 ； （2）要拼成一个长为（a+9b），宽为（5a+b）的长方形，那么需用A类卡片 　 　 张，B类卡片 　 　 张，C类卡片 　 　 张； （3）用5张B类卡片按图4的方式不重叠地放在长方形内，未被遮盖的部分（两个长方形）用阴影表示，设右下角与左上角的阴影部分的面积之差为S，AB＝x，若S的值与x无关，试探究a与b的数量关系，并说明理由． 9．综合与实践 如图1，长方形的两边长分别为m+1，m+7；如图2．长方形的两边长分别为m+2，m+4．（其中m为正整数） E． （1）图1中长方形的面积S1＝　 　 ；图2中长方形的面积S2＝　 　 ；比较S1　 　 S2（选填“＜”、“＝”或“＞”）； （2）现有一正方形，其周长与图1中的长方形周长相等． ①求正方形的边长；（用含m的代数式表示） ②试探究：该正方形的面积S与图1中长方形的面积S1的差（即S﹣S1）是一个常数，并求出这个常数． 10．数学活动课上，老师用图①中的1张边长为a的正方形A、1张边长为b的正方形B和2张宽和长分别为a与b的长方形C纸片，排成了如图②中的大正方形．观察图形并解答下列问题． （1）由图①和图②可以得到的等式为 　 　 （用含a，b的代数式表示）； （2）小芳想用图①的三种纸片拼出一个面积为（a+b）（a+2b）的大长方形，则需要A纸片 　 　 张，B纸片 　 　 张，C纸片 　 　 张（空格处填写数字），并尝试在框线中参考图②画出相关的设计图； （3）如图③，已知点C为线段AB上的动点，分别以AC、BC为边在AB的两侧作正方形ACED和正方形BCFG，面积分别记作S1、S2，若AB＝6，图中阴影部分△ACF的面积为4，利用（1）中得到的结论求S1+S2的值． 11．[知识回顾] 有这样一类题：代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值； 通常的解题方法；把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，即a＝﹣3． [理解应用] （1）若关于x的多项式（2m﹣3）x+2m2﹣3m的值与x的取值无关，求m的值； （2）已知3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1）的值与x无关，求y的值； （3）（能力提升）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 12．数学课上，老师用图1中的一张边长为a的正方形纸片A，1张边长为b的正方形纸片B和2张宽与长分别为a与b的长方形纸片C，拼成了如图2所示的大正方形，观察图形并解答下列问题： （1）由图1和图2可以得到的等式为（用含a，b的等式表示）； （2）莉莉想用这三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）的大长方形，求需A，B，C三种纸片各多少张； （3）如图3，S1，S2分别表示边长为p，q的正方形的面积，且A，B，C三点在一条直线上，S1+S2＝20，p+q＝6．求图中阴影部分的面积． 三．完全平方公式（共7小题） 13．阅读下列材料 若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值． 设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5， ∴（4﹣x）2+（x﹣9）2＝（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17． 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值； （2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边作正方形． ①MF＝　 　 ，DF＝　 　 ；（用含x的式子表示） ②求阴影部分的面积． 14．已知：（a+b）2＝11，（a﹣b）2＝7．求： （1）a2+b2； （2）ab． 15．我们学完完全平方公式后，知道完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2经过适当的变形，可以解决很多数学问题．例如： 若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9， 又因为ab＝1，所以a2+b2＝7． 根据上面的解题思路与方法， 解决下列问题： （1）若x+y＝5，x2+y2＝11，求xy的值； （2）若（2025﹣x）（2023﹣x）＝3，求（2025﹣x）2+（2023﹣x）2的值． 16．在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题．比如，运用两数和的完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2，能够在三个代数式a+b，ab，a2+b2中，当已知其中任意两个代数式的值时，求出第三个代数式的值．例如：已知a+b＝3，ab＝2，求a2+b2的值． 解：将a+b＝3两边同时平方，得（a+b）2＝32， 即a2+2ab+b2＝9， 因为ab＝2， 等量代换，得a2+b2+2×2＝9， 所以a2+b2＝5． 请根据以上信息，解答下列问题． （1）已知a﹣b＝1，a2+b2＝17，求ab的值． （2）如图，已知两个正方形的边长分别为a、b，若a+b＝7，ab＝9，求图中阴影部分的面积． （3）若（2025﹣x）（x﹣2024）＝﹣6，则（2025﹣x）2+（x﹣2024）2的值为 　 　 ． 17．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例，如图所示为这个“三角形”的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在“三角形”中，第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数． （1）根据上面的规律，写出（a+b）4的展开式； （2）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1； （3）（a+b）n的展开式的系数和为 　 　 ； （4）运用：若今天是星期三，经过20242024天后是星期 　 　 ． 18．在学习完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2后，我们对公式的运用进一步探讨． （1）若ab＝30，a+b＝10，求a2+b2的值． （2）阅读以下解法，并解决相应问题． “若y满足（40﹣y）（y﹣20）＝50，求（40﹣y）2+（y﹣20）2的值”． 解：设40﹣y＝a，y﹣20＝b，则a+b＝（40﹣y）+（y﹣20）＝20，ab＝（40﹣y）（（y﹣20））＝50，ab＝（40﹣y）（y﹣20）＝50，这样就可以利用（1）的方法进行求值了．①若x满足（50﹣x）（x﹣40）＝2，则（50﹣x）2+（x﹣40）2＝ 　 　 ． ②若x满足4（x+3）2+（2x﹣1）2＝169，求2（x+3）•（2x﹣1）的值； ③如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和正方形CEMN，若长方形CEPF的面积为45，求图中阴影部分的面积． 19．【问题背景】 如图1，是一个长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． 【自主探究】（1）如果用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，从而发现一个等量关系是 　 　 ； 【知识运用】（2）运用你所得到的公式，若2x﹣3y＝5，xy＝1，计算（2x+3y）2的值； 【知识延伸】（3）已知（x﹣2022）2+（x﹣2024）2＝10，求4（x﹣2023）2的值． 四．平方差公式（共1小题） 20．【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：a2﹣b2，图2中阴影部分的面积可表示为：（a+b）（a﹣b），因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 【结论探究】 图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． （1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于（a+b）2，（a﹣b）2，ab的等式是 　 　 ． （2）若a+b＝7，ab＝5，求（a﹣b）2的值． 【类比迁移】 （3） 如图5，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向上下两侧作正方形ABCD，正方形CEFG，两正方形的面积分别记为S1和S2，若BG＝9，两正方形的面积和S1+S2＝47，求图中阴影部分的面积． 五．平行线的性质（共22小题） 21．【发现问题】 如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P． 【提出问题】 小明提出：∠BPD，∠ABP和∠CDP三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】 已知平行，可以利用平行线的性质，把∠BPD分成两部分进行研究． 【解决问题】 探究一：请你帮小明解决这个问题，并说明理由． 探究二：如图②，∠P，∠AMP，∠CNP的数量关系为 　 　 ；如图③，已知∠ABC＝25°，∠C＝60°，AE∥CD，则∠BAE＝ 　 　 °（不需要写解答过程） 利用探究一得到的结论解决下列问题： 如图④，射线ME，NF分别平分∠BMP和∠CNP，ME交直线CD于点E，NF与∠AMP内部的一条射线MF交于点F，若∠P＝2∠F，求∠FME的度数． 22．已知：AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点P是线段EF上一点，M，N分别在射线EB，FD上，连接PM，PN． （1）如图1，求证：∠MPN＝∠EMP+∠FNP； （2）如图2，当MP⊥NP时，MQ平分∠EMP，NQ平分∠DNP，求∠MQN的度数． 23．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．小明的思路是过点P作PE∥AB，通过平行线的性质来求∠APC． （1）按照小明的思路，则∠APC的度数为 　 　 ． （2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线ON上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β．当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P不在B、D两点之间运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系． 24．（1）【问题解决】如图1，已知AB∥CD，∠BEP＝36°，∠CFP＝152°，求∠EPF的度数； （2）【问题迁移】如图2，若AB∥CD，点P在AB的上方，则∠PFC，∠PEA，∠EPF之间有何数量关系？并说明理由； （3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数（结果用含α的式子表示）． 25．【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数． 解：过点A作ED∥BC， ∴∠B＝　 　 ，∠C＝　 　 ， 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°． ∴∠B+∠BAC+∠C＝　 　 ． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知AB∥CD，BE、CE交于点E，∠BEC＝80°，求∠B−∠C的度数． （4） 如图3，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，请直接写出∠B，∠D，∠BPD之间的关系． 26．已知直线AB∥CD，E为平面内一点，点P，Q分别在直线AB，CD上，连接PE，EQ． （1）如图1，若点E在直线AB，CD之间，求证：∠PEQ＝∠BPE+∠DQE． （2）如图2，若点E在直线AB，CD之间，PF平分∠APE，QF平分∠CQE，当∠PEQ＝100°时．求∠PFQ的度数． （3）如图3，若点E在直线AB的上方，QF平分∠CQE，PH平分∠APE，PH的反向延长线交QF于点F，当∠PEQ＝50°时，求∠PFQ的度数． 27．如图，已知AB∥CD，直线MN交AB于点M，交CD于点N．点E是线段MN上一点，P，Q分别在射线MA，NC上，连接PE，QE． （1）如图1，若∠MNC＝80°，∠MPE＝40°，∠EQN＝40°，则∠AMN＝ 　 　 °，∠PEQ＝ 　 　 °． （2）如图2，∠MPE的角平分线与∠CQE的角平分线相交于点F． ①求∠PEQ与∠PFQ之间的数量关系，并说明理由； ②若∠PEM＝30°，∠MND＝110°，将直线MN绕点N以每秒2°的速度顺时针旋转，同时射线PF绕点P以每秒4°的速度逆时针旋转，当直线MN首次落到CD上时，整个运动停止．在运动过程中，经过t秒后直线MN恰好平行于PF，请直接写出所有满足条件的t的值． 28．已知直线AB∥CD，E为平面内一点，点P，Q分别在直线AB，CD上，连接PE，EQ． （1）如图1，若点E在直线AB，CD之间，试探究∠BPE，∠DQE，∠PEQ之间的数量关系，并说明理由． （2）如图2，若点E在直线AB，CD之间，PF平分∠APE，QF平分∠CQE，当∠PEQ＝100°时，求∠PFQ的度数． （3）如图3，若点E在直线AB的上方，QF平分∠CQE，PH平分∠APE，PH的反向延长线交QF于点F，当∠PEQ＝50°时，求∠PFQ的度数． 29．已知，如图AB∥CD． ①由图（1）易得∠B、∠BED、∠D的关系 　 　 （直接写结论）； ②由图（2）试猜想∠B、∠BED、∠D的关系并说明理由； [延伸拓展] 利用上面（1）（2）得出的结论完成下题： ③已知，AB∥CD，∠EBF＝2∠ABF，∠EDF＝2∠CDF．若∠E＝105°，则∠BFD＝ 　 　 °． 30．平面内的不重合的两条直线有相交和平行两种位置关系． （1）如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD内部，∠B＝50°，∠D＝30°，∠BPD＝　 　 ． （2）如图2，若AB∥CD，将点P移到AB、CD外部，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论． （3）如图3，直接写出∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间的数量关系 　 　 ． （4）拓展：已知AB∥CD，在AB、CD之间取一点P（点P不在直线BD上），连接PB，PD，若∠ABP，∠CDP的平分线BE，DF交于点M，试探索∠BPD与∠BMD之间的数量关系．（直接写出结果） 31．【基础巩固】 （1）如图1，AB∥CD，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，试说明∠1+∠2＝90°； 【尝试探究】 （2）小明发现：若将其中一条角平分线改成AC的垂线，则“∠1+∠2＝90°”这个结论不成立．请帮小明完成探究： 如图2，AB∥CD，AP平分∠BAC，CP⊥AC，∠1是AP与AB的夹角，∠2是CP与CD的夹角． ①若∠2＝22°，求∠1的度数； ②试说明：2∠1﹣∠2＝90°． 【拓展提高】 （3）如图3，若AB∥CD，AP⊥AC，CP平分∠ACD，请判断∠1与∠2之间的数量关系，并说明理由． 32．【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA，PD． （1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，则∠APD的度数为 　 　 ； （2）如图2，设∠A＝α，∠D＝β，猜想α，β，∠P之间的数量关系，并证明； （3）如图3，AP⊥PD，，AN交DP于点O，，求∠N的度数． 33．在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a，b，且a∥b，直角三角尺ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°． （1）【操作发现】 如图1，当三角尺的顶点B在直线b上时，若∠1＝55°，则∠2＝　 　 °； （2）【探索证明】 如图2，当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出∠1与∠2间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展应用】 如图3，把三角尺的顶点B放在直线b上且保持不动，旋转三角尺，点A始终在直线BD（D为直线b上一点）的上方，若存在∠1＝5∠CBD（∠CBD＜60°），请直接写出射线BA与直线a所夹锐角的度数． 34．已知，AB∥DE，点C在AB上方，连接BC、CD． （1）如图1，若∠ABC＝145°，∠EDC＝116°，求∠BCD的度数； （2）如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F，直接写出∠ABC和∠F之间的数量关系 　 　 ； （3）如图3，在（2）的条件下，∠CFD的平分线FG交CD于点G，连接GB并延长至GB点H，若BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值． 35．（1）（问题）如图1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝120°，求∠EPF的度数． （2）（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由； （3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝50°，∠PFC＝120°，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，直接写出∠G的度数． 36．方法感知： （1）如图1，已知AB∥CD，求∠B+∠BPD+∠D的度数． 方法运用： （2）如图2，这是北斗七星的位置简图，将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G，其中B，C，D三点在一条直线上，AB∥EF，探究∠B，∠D，∠E满足的数量关系，并说明理由． 应用拓展： （3）如图3，在（2）的条件下，延长AB到点M，延长FE到点N，过点B和点E分别作射线BP和EP，两线相交于点P，使得BD平分∠MBP，EN平分∠DEP，若∠MBD＝35°，求∠D﹣∠P的度数． 37．【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，AB∥CD，M是AB、CD之间的一点，连接BM，DM，则有∠B+∠D＝∠BMD．请你证明这个结论． （2）【运用】如图2，AB∥CD，M、N是AB、CD之间的两点，且2∠M＝3∠N，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，找出∠B、∠C、∠M三者之间的数量关系，并说明理由． （3）【延伸】如图3，AB∥CD，点E、F分别在AB、CD上，EN、FG分别平分∠BEM和∠CFM，且EN∥MG．如果∠EMF＝α，那么∠MGF等于多少？（用含α的代数式表示，请直接写出结论，无需证明） 38．【背景】 在同一平面内，两条直线的位置关系有两种，分别是平行和相交，在相交这种位置关系中，包括垂直这种特殊位置关系． 【应用】 （1）如图1，PQ∥MN，A，B分别在PQ，MN上，AC平分∠PAB交MN于点C，D为B点右侧的直线MN上一点，AE平分∠BAD交MN于点E． ①当∠ADC＝30°∠AEC＝50°，求∠BAD和∠PAC的度数； ②如图2，过点E作EF⊥AC，垂足为F，设∠AEF＝x度，∠ADB＝y度，请求出y与x的关系式； 【拓展】 （2） 中欧班列是高质量共建一带一路的互联互通大动脉，中欧班列为了安全起见在某段铁路两旁安置了A，B两座可旋转探照灯．如图3，假定主道路是平行的，即PQ∥MN，连结AB，且∠ABN＝45°．灯A发出的射线AC自AQ顺时针旋转至AP便立即回转，灯B发出的射线BD自BM顺时针旋转至BN便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．灯A转动的速度是3度/秒，灯B转动的速度是9度/秒．若它们同时开始转动，设转动时间为t秒，当灯A射线AC从AQ转至AB的过程中，AC与BD互相垂直时，请求出此时t的值． 39．【问题情境】：在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图1，已知直线AB∥CD，点E、G分别为直线AB、CD上的点，点F是平面内任意一点，连接EF、GF． 【探索发现】： （1）当∠F＝60°时，求证：∠AEF+∠FGC＝60°； （2）“智慧小组”经过探索后发现：不断改变∠F的度数，∠AEF与∠FGC始终存在某种数量关系：当∠F＝x°时，∠AEF+∠FGC＝　 　 度（用含x的代数式表示）； 【深入探究】： （3）如图2点P、Q分别是直线CD上的点，且∠PFQ＝∠EFG＝90°，直线MN∥FG，交FQ于点K，“智胜小组”探究∠FKN与∠PFE之间的数量关系．请写出它们的关系，并说明理由； （4）如图3，在（3）的探究基础上，∠NKQ＝∠AEF，“科创小组”探究∠CPF与∠EFK之间的数量关系．请直接写出它们的关系，不需要说明理由． 40．综合与探究 问题情境 在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线AM∥BN，连接AB，点P是射线AM上的一个动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D． 探索发现 “快乐小组”经过探索后发现： （1）当∠A＝60°时，∠CBD＝∠A．请说明理由． （2）不断改变∠A的度数，∠CBD与∠A却始终存在某种数量关系，用含∠A的式子表示∠CBD为　 　 ． 操作探究 （3）“智慧小组”利用量角器量出∠APB和∠ADB的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点P在射线AM上运动时，无论点P在AM上的什么位置，∠APB与∠ADB之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由． （4）点P继续在射线AM上运动，当运动到使∠ACB＝∠ABD时，请直接写出2∠ABC∠A的结果． 41．今年春节期间，为了营造节日氛围，各地纷纷上演各种“灯光秀”．“灯光秀”为了强化灯光效果，某地在河的两岸安置了可旋转探照灯．如图1，灯A射线AE自AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线BF自BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射．若灯A转动的速度是3°/秒，灯B转动的速度是1°/秒，两灯同时转动，转动时间为t秒．假定这一带两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°． （1）∠EAN＝　 　 °（用含t的式子表示）； （2）当t＝55时，求∠BCA的度数； （3）如图2，在灯A射线已转过AB但未到达AN时．若两灯射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，在转动过程中，∠BCD：∠BAC的比值是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由． 42．已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP． （1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP＝50°，∠DCP＝30°时，求∠APC． （2）如图2，点P在直线AB、CD之间，AK、CK分别平分∠BAP、∠DCP，请写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，点P落在CD下方，AK、CK分别平分∠BAP、∠DCP，请写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由． 六．平行线的判定与性质（共13小题） 43．直线AB∥CD，∠ABC与∠DCB的角平分线交于点E，BE的延长线交CD于点F，过点F作FG⊥BF，交BC延长线于点G． （1）如图1，求证：EC∥FG； （2）如图2，点M在线段BC上，点N在线段FG上，且EM平分∠BEN，连接EG．若∠NEG＝∠NGE，求∠MEG的度数； （3）在（2）的条件下，以点G为顶点，GM为边，在GM下方作∠MGP＝∠MEG，交EM的延长线于点P，请直接写出∠EGM与∠MPG的关系． 44．如图，已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点G在AB和CD之间． 【习题回顾】 （1）如图1，若∠BEF＝60°，FG是∠EFC的平分线，求∠GFC的度数； 【变式思考】 （2）如图2，连接EG，GF．求证：∠BEG+∠EGF+∠GFD＝360°； 【深入探究】 （3）如图3，连接EG，GF，若∠AEG＝60°，∠GFC＝40°，∠AEG和∠GFC的平分线交于点P，求∠P的度数． 45． 如图，在三角形ABC中，点D，F在边BC上，点E在边AB上，点G在边AC上，EF与GD的延长线交于点H，∠1＝∠B，∠2+∠3＝180°． （1）判断EH与AD的位置关系，并说明理由． （2）若∠DGC＝58°，且∠H＝∠4+10°，求∠H的度数． 46．【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图①，已知AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点P在直线AB、CD之间，设∠AEP＝∠α，∠CFP＝∠β，求证：∠P＝∠α+∠β． 证明：如图②，过点P作PQ∥AB，∴∠EPQ＝∠AEP＝∠α， ∵PQ∥AB，AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠FPQ＝∠CFP＝∠β， ∴∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ＝∠α+∠β，即∠EPF＝∠α+∠β． 可以运用以上结论解答下列问题：【类比应用】 （1）如图③，已知AB∥CD，∠D＝15°，∠GAB＝70°，求∠P的度数． （2）如图④，已知AB∥CD，点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接PA、PE，则∠PAB，∠CEP，∠APE之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图⑤，已知AB∥CD，点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接PA、PE，∠PED的平分线与∠PAB的平分线所在直线交于点Q，求∠APE+2∠AQE的值． 47．【课题学习】平行线的“等角转化” 如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数． 解：过点A作ED∥BC， ∴∠B＝ 　 　 ，∠C＝ 　 　 ， 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°． ∴∠B+∠BAC+∠C＝ 　 　 ． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“类”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知AB∥CD，BE、CE交于点E，∠BEC＝80°，求∠B﹣∠C的度数． （3） 如图3．若AB∥CD，点P在AB，CD外部，请探究∠B，∠D，∠BPD之间的数量关系，并说明理由． （4） 48．在三角形ABE中，AE⊥BE，直线CD∥AB． （1）如图1，点E在直线CD上，若∠BAE＝60°，求∠BED的度数； （2）如图2，点E在直线CD的下方，EB交CD于点F，G是AB上一点，连接GE交CD于点H，点K在AB、CD之间且在GH的右侧，连接GK、FK．若GE、FB分别是∠AGK和∠KFD的平分线，试说明∠GKF＝2∠AEG； （3）在（1）的条件下，点P、Q在直线CD上，点P在点Q左侧，∠PAQ＝80°，AM平分∠PAE交CD于点M，点N是直线AB上方一点，∠NAB＝2∠BAQ．若∠NAM＝150°．请直接写出∠AQC的度数． 49．如图1，点F在线段AB上，点E在线段CD上，∠1+∠2＝180°，∠A＝∠D． （1）试说明：AB∥CD； （2）如图2所示，延长AB到M，在∠MBC，∠BCD内部有一点P，连接BP，CP．若∠CBP＝3∠MBP，∠BCP＝3∠DCP，求∠BPC的度数． 50．如图1，直线AB、CD与直线GH交于点M、N，∠GMB＝∠CNH． （1）求证：AB∥CD； （2）如图2，点E在直线AB、CD之间，在直线HG右侧，连接ME、NE，作EF∥AB，∠MEF+∠END＝90°，求证：ME⊥NE； （3）如图3，在（2）的条件下，MK平分∠AME，NK平分∠END，过点K作KP⊥NK，求∠MKP的大小． 51．已知，AB∥CD，点O为AB上方一点，E、F为CD上两点，连接OE、OF，分别交AB于M、N两点，OE⊥OF． （1）如图1，求证：∠OFD﹣∠OMN＝90°； （2）如图2，点G为EF上一点，连接MG，作NH⊥MG垂足为H，∠NMH＝∠NFG，求证：OM∥NH； （3）如图3，在（2）的条件下，连接GN并延长GN到点P，连接EP，若∠NGF：∠MGF＝3：5，∠OEP：∠OEG＝2：5，求∠P的度数． 52．【问题情境】已知，∠1＝∠2，EG平分∠AEC交BD于点G． 【问题探究】（1）如图1，∠MAE＝45°，∠FEG＝15°，∠NCE＝75°，试判断EF与CD的位置关系，并说明理由； 【问题解决】（2）如图2，∠MAE＝140°，∠FEG＝30°，当AB∥CD时，求∠NCE的度数； 【问题拓展】（3）如图2，若AB∥CD，试说明∠NCE＝∠MAE﹣2∠FEG． 53．问题情境： 如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC＝∠APE+∠CPE＝50°+60°＝110°． 问题解决： （1）如图2，AB∥CD，直线l分别与AB、CD交于点M、N，点P在直线l上运动，当点P在线段MN上运动时（不与点M、N重合），∠PAB＝α，∠PCD＝β，判断∠APC、α、β之间的数量关系并说明理由； （2）在（1）的条件下，如果点P在线段MN或NM的延长线上运动时，请直接写出∠APC、α、β之间的数量关系； （3）如图3，AB∥CD，点P是AB、CD之间的一点（点P在点A、C右侧），连接PA、PC，∠BAP和∠DCP的平分线交于点Q．若∠APC＝128°，请结合（2）中的规律，求∠AQC的度数． 54．问题情境：已知，∠1＝∠2，EG平分∠AEC交BD于点G． 探究（1）如图1，∠MAE＝45°，∠FEG＝15°，∠NCE＝75°， 试判断EF与CD的位置关系，并说明理由； 探究（2）如图2，∠MAE＝140°，∠FEG＝30°，当AB∥CD时，求∠NCE的度数； 55．【阅读材料】 在“相交线与平行线”的学习中，有这样一道典型问题： 如图①，AB∥CD，点P在AB与CD之间，可得结论：∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°． 理由如下：过点P作PQ∥AB．∴∠BAP+∠APQ＝180°． ∵AB∥CD，∴PQ∥CD．∴∠PCD+∠CPQ＝180°．∴∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°． 【问题解决】 （1）如图②，AB∥CD，点P在AB与CD之间，求证：∠BAP+∠PCD＝∠APC； （2）如图③，AB∥CD，点P在AB与CD之间，AE平分∠BAP，CE平分∠DCP，写出∠AEC与∠APC间的等量关系，并写出理由； （3）如图④，AB∥CD，点P，E在AB与CD之间，，，可得∠AEC与∠APC间的等量关系是 　 　 （只写结论） 七．利用频率估计概率（共5小题） 56．劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于树立正确的劳动价值观，为了培养大家的劳动习惯与劳动能力，我校学生会在寒假期间开展了“家务劳动我最行”的实践活动，开学后从本校七至九年级各随机抽取一些学生，对他们的每日平均家务劳动时长（单位，min）进行了调查，并对数据进行了收集、整理和描述．如图1、2是其中的部分信息：（其中A组为10≤x＜20，B组为20≤x＜30，C组为30≤x＜40，D组为40≤x＜50，E组为50≤x＜60，F组为60≤x＜70） 根据以上信息，回答下列问题： （1）①这次抽取的学生总人数是 　 　 ； ②估计这些随机抽取的学生每日平均家务劳动时长； （2）学生会准备将每日平均家务劳动时长不少于50min的学生评为“家务小能手”，在本校学生中随机抽取一名学生，记事件A：该学生为“家务小能手”．请估计事件A的概率． 57．某水果店以2元/千克的成本购进2000千克橙子，店员在销售过程中随机抽取橙子进行“橙子损坏率”统计，并绘制成如图所示的统计图，请解决以下问题： （1）估计完好的橙子的质量约有　 　 千克； （2）若这批橙子销售（只售好果）完毕后，利润是1000元，每千克的售价应为多少元？（精确到0.1元） 58．在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于0.25， （1）请估计摸到白球的概率将会接近 　 　 ； （2）计算盒子里白球有多少个？ （3）如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 59．【综合实践】如图，学校劳动基地有一个不规则的封闭菜地ABC，为求得它的面积，学习小组设计了如下的一个方案： ①在此封闭图形内画出一个半径为1米的圆． ②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似地看成点），记录如下： 掷小石子落在不规则图形内的总次数（含外沿） 100 200 500 1000 … 小石子落在圆内（含圆上）的次数m 32 63 153 305 … 小石子落在圆外的阴影部分（含外沿）的次数n 68 137 347 695 … 小石子落在圆内（含圆上）的频率 0.320 0.315 0.306 x … 【数学发现】 （1）若以小石子所落的有效区域为总数（即m+n），则表格中的数据x＝　 　 ； 随着投掷次数增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在 　 　 附近（结果精确到0.1）； 【结论应用】 （2）请你利用（1）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？（结果保留π） 60．经过五华奥园十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．交管部门在汽车行驶高峰时段对车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为，向左转和直行的频率均为． （1）假设平均每天通过该路口的汽车为1000辆，求汽车在此左转、右转、直行的车辆各是多少辆； （2）目前在此路口，汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间均为30秒，在绿灯总时间不变的条件下，为了缓解交通拥挤，请你利用概率的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中复习（压轴七大类型60题） 一．幂的乘方与积的乘方（共2小题） 1．定义：如果2m＝n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D（n）． （1）根据D数的定义，填空：D（2）＝　1　 ，D（16）＝　4　 ． （2）D数有如下运算性质：D（s•t）＝D（s）+D（t），D（）＝D（q）﹣D（p），其中q＞p． 根据运算性质，计算： ①若D（a）＝1，求D（a3）； ②若已知D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，试求D（15），D（），D（108），D（）的值（用a、b、c表示）． 【答案】（1）D（2）＝1， D（16）＝4， （2）①D（a3）＝3， ②D（15）＝3a﹣b+c， ， D（108）＝6a﹣3b+2， 5a﹣3b﹣c﹣2， 【解答】解：（1）∵21＝2， ∴D（2）＝1， ∵24＝16， ∴D（16）＝4， 故答案为：1；4． （2）①∵21＝a， ∴a＝2． ∴23＝23． ∴D（a3）＝3． ②D（15）＝D（3×5）， ＝D（3）+D（5） ＝（2a﹣b）+（a+c） ＝3a﹣b+c， ＝（a+c）﹣（2a﹣b） ＝﹣a+b+c． D（108）＝D（3×3×3×2×2）， ＝D（3）+D（3）+D（3）+D（2）+D（2） ＝3×D（3）+2×D（2） ＝3×（2a﹣b）+2×1 ＝6a﹣3b+2． ， ＝D（3×3×3）﹣D（5×2×2） ＝D（3）+D（3）+D（3）﹣[D（5）+D（2）+D（2）] ＝3×D（3）﹣[D（5）+2D（2）] ＝3×（2a﹣b）﹣[a+c+2×1] ＝6a﹣3b﹣a﹣c﹣2 ＝5a﹣3b﹣c﹣2， 2．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c． 例如：∵23＝8，∴（2，8）＝3． （1）根据上述规定，填空：（3，27）＝　3　 ，（5，1）＝　0　 ，　﹣3　 ； （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）＝（3，4），小明给出了如下的理由： 设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n， ∴3x＝4，即（3，4）＝x，∴（3n，4n）＝（3，4）． 请你尝试运用这种方法判断（3，7）+（3，8）＝（3，56）是否成立，若成立，请说明理由． 【答案】（1）3；0；﹣3； （2）成立，理由见解析． 【解答】解：（1）∵33＝27， ∴（3，27）＝3； ∵50＝1， ∴（5，1）＝0； ∵， ∴． （2）成立，理由如下： 设（3，7）＝x，（3，8）＝y， 则3x＝7，3y＝8， ∴3x+y＝3x•3y＝7×8＝56， ∴（3，56）＝x+y， ∴（3，7）+（3，8）＝（3，56）． 二．多项式乘多项式（共10小题） 3．有两类正方形A，B，其边长分别为a，b．现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，求： （1）正方形A，B的面积之和为　13　 ． （2）小明想要拼一个两边长分别为（2a+b）和（a+3b）的长方形（不重不漏），除用去若干个正方形A，B外，还需要以a，b为边的长方形　7　 个． （3）三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，求阴影部分的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设正方形A，B的边长分别为a，b（a＞b）， 由图1得（a﹣b）2＝1，由图2得（a+b）2﹣a2﹣b2＝12， 得ab＝6，a2+b2＝13， 故答案为：13； （2）（2a+b）（a+3b） ＝2a2+6ab+ab+3b2 ＝2a2+7ab+3b2， ∴需要以a，b为边的长方形7个， 故答案为：7； （3）∵ab＝6，a2+b2＝13， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝1+24＝25， ∵a+b＞0， ∴a+b＝5， ∵（a﹣b）2＝1， ∴a﹣b＝1， ∴图3的阴影部分面积S＝（2a+b）2﹣3a2﹣2b2 ＝a2﹣b2+4ab ＝（a+b）（a﹣b）+4ab ＝5+24 ＝29． 4．甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：（2x+a）（3x+b）．甲由于把第一个多项式中的“+a”看成了“﹣a”，得到的结果为6x2+11x﹣10；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10． （1）求正确的a、b的值． （2）计算这道乘法题的正确结果． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）（2x﹣a）（3x+b） ＝6x2+2bx﹣3ax﹣ab ＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab ＝6x2+11x﹣10． （2x+a）（x+b） ＝2x2+2bx+ax+ab ＝2x2+（2b+a）x+ab ＝2x2﹣9x+10． ∴， ∴； （2）（2x﹣5）（3x﹣2） ＝6x2﹣4x﹣15x+10 ＝6x2﹣19x+10． 5．当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2． （1）由图2可得等式：　（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc　 ． （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知 a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值； （3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； （2）∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38， ∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）＝121﹣76＝45； （3）如图所示： 故答案为2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）． 6．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数字等式，例如图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式 　（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca　 ； （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝9，ab+bc+ac＝26，求a2+b2+c2的值； （3）小明同学用2张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的长方形纸片拼出了一个长方形，那么该长方形较长一边的边长为多少？ （4）小明同学又用x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出了一个面积为（25a+7b）（2a+5b）长方形，那么9（x+y+z）＝　2016　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）正方形的面积可表示为＝（a+b+c）2； 正方形的面积＝各个矩形的面积之和＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca， 所以（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca． （2）由（1）可知：a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ca）＝92﹣26×2＝81﹣52＝29． （3）长方形的面积＝2a2+5ab+3b2＝（2a+3b）（a+b）． 所以长方形的边长为2a+3b和a+b， 所以较长的一边长为2a+3b． （4）∵长方形的面积＝xa2+yb2+zab＝（25a+7b）（2a+5b）＝50a2+14ab+125ab+35b2＝50a2+139ab+35b2， ∴x＝50，y＝35，z＝139． ∴9（x+y+z）＝2016． 故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca；2016． 7．某区有一块长为（6a﹣2b）米，宽为（4a﹣2b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，如图所示，空白的A、B正方形地块将修建两个凉亭，两正方形区域的边长均为a米． （1）用含有a，b的式子表示绿化总面积结果（最简形式）； （2）当a＝2，b＝3时，绿化成本为150元每平方米，则完成绿化工程共需要多少元？ 【答案】（1）（22a2﹣20ab+4b2）平方米；（2）600元． 【解答】解：（1）（6a﹣2b）（4a﹣2b）﹣2a2＝24a2﹣12ab﹣8ab+4b2﹣2a2＝（22a2﹣20ab+4b2）平方米； （2）当a＝2，b＝3时，总面积：22a2﹣20ab+4b2＝22×22﹣20×2×3+4×32＝4（平方米）， ∴完成绿化工程共需要150×4＝600（元）． 答：完成绿化工程共需要600元． 8．如图1，有足够多的边长为a的小正方形（A类），长为b、宽为a的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类）卡片，发现利用图1中的三种卡片各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式． 例如图2可以解释的等式为（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2． （1）图3可以解释的等式为 　（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2　 ； （2）要拼成一个长为（a+9b），宽为（5a+b）的长方形，那么需用A类卡片 　5　 张，B类卡片 　46　 张，C类卡片 　9　 张； （3）用5张B类卡片按图4的方式不重叠地放在长方形内，未被遮盖的部分（两个长方形）用阴影表示，设右下角与左上角的阴影部分的面积之差为S，AB＝x，若S的值与x无关，试探究a与b的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）观察图形，得：（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2． （2）要拼成一个长为（a+9b），宽为（5a+b）的长方形， 那么需用A类卡片5张，B类卡片46张，C类卡片9张； （3）b＝2a． 理由： 看图得S＝b（x﹣3a）﹣2a（x﹣b）＝（b﹣2a）x﹣ab， ∵S的值与x无关， ∴b﹣2a＝0， ∴b＝2a． 【解答】解：（1）观察图形，得：（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2． 故答案为：（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2． （2）要拼成一个长为（a+9b），宽为（5a+b）的长方形， 那么需用A类卡片5张，B类卡片46张，C类卡片9张； 故答案为：5，46，9． （3）b＝2a． 理由： 看图得S＝b（x﹣3a）﹣2a（x﹣b）＝（b﹣2a）x﹣ab， ∵S的值与x无关， ∴b﹣2a＝0， ∴b＝2a． 9．综合与实践 如图1，长方形的两边长分别为m+1，m+7；如图2．长方形的两边长分别为m+2，m+4．（其中m为正整数） E． （1）图1中长方形的面积S1＝　m2+8m+7　 ；图2中长方形的面积S2＝　m2+6m+8　 ；比较S1　＞　 S2（选填“＜”、“＝”或“＞”）； （2）现有一正方形，其周长与图1中的长方形周长相等． ①求正方形的边长；（用含m的代数式表示） ②试探究：该正方形的面积S与图1中长方形的面积S1的差（即S﹣S1）是一个常数，并求出这个常数． 【答案】（1）m2+8m+7，m2+6m+8，＞； （2）①m+4； ②探究见解析，9． 【解答】解：（1）由题意可知：S1＝（m+1）（m+7） ＝m2+7m+m+7 ＝m2+8m+7， S2＝（m+2）（m+4） ＝m2+4m+2m+8 ＝m2+6m+8， ∴S1﹣S2 ＝（m2+8m+7）﹣（m2+6m+8） ＝m2+8m+7﹣m2﹣6m﹣8 ＝2m﹣1， ∵m为正整数， ∴m最小为1， ∴2m﹣1＞0， ∴S1＞S2， 故答案为：m2+8m+7，m2+6m+8，＞； （2）①图1中长方形的周长为： 2（m+7+m+1） ＝2（2m+8） ＝4m+16， ∵正方形的周长与图1中的长方形周长相等， ∴正方形的周长为4m+16， ∴正方形的边长为 ； ②∵正方形的面积S＝（m+4）2， ∴S﹣S1 ＝（m+4）2﹣（m2+8m+7） ＝m2+8m+16﹣m2﹣8m﹣7 ＝m2﹣m2+8m﹣8m+16﹣7 ＝9， ∴该正方形的面积S与图1中长方形的面积S1的差（即S﹣S1）是一个常数，这个常数为9． 10．数学活动课上，老师用图①中的1张边长为a的正方形A、1张边长为b的正方形B和2张宽和长分别为a与b的长方形C纸片，排成了如图②中的大正方形．观察图形并解答下列问题． （1）由图①和图②可以得到的等式为 　（a+b）2＝a2+2ab+b2　 （用含a，b的代数式表示）； （2）小芳想用图①的三种纸片拼出一个面积为（a+b）（a+2b）的大长方形，则需要A纸片 　1　 张，B纸片 　2　 张，C纸片 　3　 张（空格处填写数字），并尝试在框线中参考图②画出相关的设计图； （3）如图③，已知点C为线段AB上的动点，分别以AC、BC为边在AB的两侧作正方形ACED和正方形BCFG，面积分别记作S1、S2，若AB＝6，图中阴影部分△ACF的面积为4，利用（1）中得到的结论求S1+S2的值． 【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）1，2，3； （3）20． 【解答】解：（1）由题意得： （a+b）2＝a2+2ab+b2， 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）（a+b）（a+2b） ＝a2+3ab+2b2， 故答案为：1，2，3； （3）设AC＝m，BC＝n， 由题意得：m+n＝6，mn＝4， ∴S1+S2 ＝m2+n2 ＝（m+n）2﹣2mn ＝62﹣2×8 ＝20． 11．[知识回顾] 有这样一类题：代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值； 通常的解题方法；把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，即a＝﹣3． [理解应用] （1）若关于x的多项式（2m﹣3）x+2m2﹣3m的值与x的取值无关，求m的值； （2）已知3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1）的值与x无关，求y的值； （3）（能力提升）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】（1）；（2）；（3）a＝2b． 【解答】解：（1）∵关于x的多项式（2m﹣3）x+2m2﹣3m的值与x的取值无关， ∴2m﹣3＝0， ∴m． （2）3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1） ＝3[2x2﹣x﹣1﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1） ＝﹣3（2﹣5y）x﹣9． ∵3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1）的值与x无关， ∴2﹣5y＝0， ∴y． （3）设AB＝x，由图形得S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a）， ∴S1﹣S2＝a（x﹣3b）﹣2b（x﹣2a）＝（a﹣2b）x+ab． ∵S1﹣S2的值始终保持不变， ∴（a﹣2b）x+ab与x无关， ∴a﹣2b＝0， ∴a＝2b． 12．数学课上，老师用图1中的一张边长为a的正方形纸片A，1张边长为b的正方形纸片B和2张宽与长分别为a与b的长方形纸片C，拼成了如图2所示的大正方形，观察图形并解答下列问题： （1）由图1和图2可以得到的等式为（用含a，b的等式表示）； （2）莉莉想用这三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）的大长方形，求需A，B，C三种纸片各多少张； （3）如图3，S1，S2分别表示边长为p，q的正方形的面积，且A，B，C三点在一条直线上，S1+S2＝20，p+q＝6．求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2或a2+2ab+b2＝（a+b）2． （2）需A纸片2张，B纸片2张，C纸片5张． （2）8． 【解答】解：（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2或a2+2ab+b2＝（a+b）2． （2）（2a+b）（a+2b） ＝2a2+4ab+ab+2b2 ＝2a2+5ab+2b2． ∴需A纸片2张，B纸片2张，C纸片5张． （3）由题意得，p2+q2＝20，p+q＝6． ∵（p+q）2＝p2+q2+2pq＝62， ∴2pq＝62﹣20＝16． ∴pq＝8． ∴． 三．完全平方公式（共7小题） 13．阅读下列材料 若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值． 设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5， ∴（4﹣x）2+（x﹣9）2＝（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17． 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值； （2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边作正方形． ①MF＝　x﹣1　 ，DF＝　x﹣3　 ；（用含x的式子表示） ②求阴影部分的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设5﹣x＝a，x﹣2＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3， ∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5； （2）①MF＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3， 故答案为：x﹣1；x﹣3； ②（x﹣1）（x﹣3）＝48， 阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2． 设x﹣1＝a，x﹣3＝b，则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4×48＝196， ∴a+b＝±14， 又∵a+b＞0， ∴a+b＝14， ∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28． 即阴影部分的面积是28． 14．已知：（a+b）2＝11，（a﹣b）2＝7．求： （1）a2+b2； （2）ab． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）a2+b2[（a+b）2+（a﹣b）2]（11+7）＝9； （2）ab[（a+b）2﹣（a﹣b）2]（11﹣7）＝1． 15．我们学完完全平方公式后，知道完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2经过适当的变形，可以解决很多数学问题．例如： 若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9， 又因为ab＝1，所以a2+b2＝7． 根据上面的解题思路与方法， 解决下列问题： （1）若x+y＝5，x2+y2＝11，求xy的值； （2）若（2025﹣x）（2023﹣x）＝3，求（2025﹣x）2+（2023﹣x）2的值． 【答案】（1）xy＝7； （2）（2025﹣x）2+（2023﹣x）2＝10． 【解答】解：（1）若x+y＝5，则（x+y）2＝25，即x2+2xy+y2＝25， ∵x2+y2＝11， ∴； （2）由（2025﹣x）2﹣2（2025﹣x）（2023﹣x）+（2023﹣x）2 ＝[（2025﹣x）﹣（2023﹣x）]2 ＝4， 即（2025﹣x）2+（2023﹣x）2＝4+2（2025﹣x）（2023﹣x）， 若（2025﹣x）（2023﹣x）＝3， ∴（2025﹣x）2+（2023﹣x）2＝4+2×3＝10． 16．在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题．比如，运用两数和的完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2，能够在三个代数式a+b，ab，a2+b2中，当已知其中任意两个代数式的值时，求出第三个代数式的值．例如：已知a+b＝3，ab＝2，求a2+b2的值． 解：将a+b＝3两边同时平方，得（a+b）2＝32， 即a2+2ab+b2＝9， 因为ab＝2， 等量代换，得a2+b2+2×2＝9， 所以a2+b2＝5． 请根据以上信息，解答下列问题． （1）已知a﹣b＝1，a2+b2＝17，求ab的值． （2）如图，已知两个正方形的边长分别为a、b，若a+b＝7，ab＝9，求图中阴影部分的面积． （3）若（2025﹣x）（x﹣2024）＝﹣6，则（2025﹣x）2+（x﹣2024）2的值为 　13　 ． 【答案】（1）8； （2）22； （3）13． 【解答】解：（1）∵a﹣b＝1，a2+b2＝17，（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab， ∴12＝17﹣2ab， 解得：ab＝8； （2）根据题意可得： 图中阴影部分的面积． ∵a+b＝7， ∴（a+b）2＝72， 即a2+2ab+b2＝49， ∵ab＝9， ∴a2+b2+2×9＝49， 即a2+b2＝31， ∴图中阴影部分的面积＝31﹣9＝22； （3）令2025﹣x＝m，x﹣2024＝n， 则m+n＝2025﹣x+x﹣2024＝1， ∵（2025﹣x）（x﹣2024）＝﹣6， ∴mn＝﹣6， 则（2025﹣x）2+（x﹣2024）2＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝12﹣2×（﹣6）＝13． 故答案为：13． 17．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例，如图所示为这个“三角形”的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在“三角形”中，第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数． （1）根据上面的规律，写出（a+b）4的展开式； （2）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1； （3）（a+b）n的展开式的系数和为 　2n　 ； （4）运用：若今天是星期三，经过20242024天后是星期 　四　 ． 【答案】（1）（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；（2）1；（3）2n；（4）四． 【解答】解：（1）由规律可得，（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4； （2）由规律可得， 25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1＝（2﹣1）5＝1； （3）由展开式可得， 当n＝1时，系数和为1+1＝2＝21， 当n＝2时，系数和为1+2+1＝4＝22， 当n＝2时，系数和为1+3+3+1＝8＝23， 当n＝4时，系数和为1+4+6+4+1＝16＝24， ⋯， ∴（a+b）n的展开式的系数和为2n， 故答案为：2n； （4）20242024＝（2023+1）2024， ∵2023÷7＝289， ∴20242024÷7的余数为1， ∴若今天是星期三，经过20242024天后是星期四， 故答案为：四． 18．在学习完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2后，我们对公式的运用进一步探讨． （1）若ab＝30，a+b＝10，求a2+b2的值． （2）阅读以下解法，并解决相应问题． “若y满足（40﹣y）（y﹣20）＝50，求（40﹣y）2+（y﹣20）2的值”． 解：设40﹣y＝a，y﹣20＝b，则a+b＝（40﹣y）+（y﹣20）＝20，ab＝（40﹣y）（（y﹣20））＝50，ab＝（40﹣y）（y﹣20）＝50，这样就可以利用（1）的方法进行求值了．①若x满足（50﹣x）（x﹣40）＝2，则（50﹣x）2+（x﹣40）2＝ 　96　 ． ②若x满足4（x+3）2+（2x﹣1）2＝169，求2（x+3）•（2x﹣1）的值； ③如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和正方形CEMN，若长方形CEPF的面积为45，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）40；（2）①96；②60；③106． 【解答】解：（1）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×30＝40； （2）①设m＝50﹣x，n＝x﹣40，则有m+n＝10，mn＝2， ∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝102﹣2×2＝96， ∴（50﹣x）2+（x﹣40）2＝96， 故答案为：96； ②设s＝2（x+3）＝2x+6，t＝2x﹣1， ∴s2+t2＝169，s﹣t＝7， ∴﹣2st＝（s﹣t）2﹣（s2+t2）＝72﹣169＝﹣120， ∴st＝60， ∴2（x+3）•（2x﹣1）＝60； ③由题意得， 设10﹣x＝a，6﹣x＝b，则， ∴a﹣b＝4， ∵（10﹣x）•（6﹣x）＝ab＝45， ∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝106， ∴． 19．【问题背景】 如图1，是一个长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． 【自主探究】（1）如果用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，从而发现一个等量关系是 　（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab　 ； 【知识运用】（2）运用你所得到的公式，若2x﹣3y＝5，xy＝1，计算（2x+3y）2的值； 【知识延伸】（3）已知（x﹣2022）2+（x﹣2024）2＝10，求4（x﹣2023）2的值． 【答案】（1）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab； （2）49； （3）16． 【解答】解：（1）图2的阴影正方形面积可表示为：（b﹣a）2，即（a﹣b）2， 也可表示为：（a+b）2﹣4ab， ∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab． 故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab． （2）∵2x﹣3y＝5，xy＝1， ∴（2x+3y）2＝（2x﹣3y）2+4•2x•3y ＝52+24×1 ＝49； （3）设a＝x﹣2022，b＝x﹣2024， ∴a﹣b＝2，（a+b）＝x﹣2023， ∴a2﹣2ab+b2＝4， ∵（x﹣2022）2+（x﹣2024）2＝10， ∴a2+b2＝10， ∴10﹣2ab＝4， ∴ab＝3， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝16， ∴a+b＝±4， ∴x﹣2023＝±2， ∴4（x﹣2023）2＝4×4＝16． 四．平方差公式（共1小题） 20．【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：a2﹣b2，图2中阴影部分的面积可表示为：（a+b）（a﹣b），因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 【结论探究】 图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． （1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于（a+b）2，（a﹣b）2，ab的等式是 　（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2　 ． （2）若a+b＝7，ab＝5，求（a﹣b）2的值． 【类比迁移】 （3）如图5，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向上下两侧作正方形ABCD，正方形CEFG，两正方形的面积分别记为S1和S2，若BG＝9，两正方形的面积和S1+S2＝47，求图中阴影部分的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）阴影部分的面积是： （a+b）2﹣4ab ＝a2+2ab+b2﹣4ab ＝a2﹣2ab+b2 ＝（a﹣b）2； 阴影部分的面积是： a2﹣ab﹣（a﹣b）×b ＝a2﹣ab﹣ab+b2 ＝a2﹣2ab+b2 ＝（a﹣b）2； 即（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2， 故答案为：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2． （2）若a+b＝7，ab＝5， （a﹣b）2 ＝（a+b）2﹣4ab ＝72﹣4×5 ＝29； （3）如图：延长AD、FG交于点H， 设正方形CEFG的边长为x，正方形ABCD的边长为（9﹣x），得： x2+（9﹣x）2＝47， x2+81﹣18x+x2＝47， 2x2﹣18x+34＝0， 即x2﹣9x+17＝0， 9x﹣x2＝17， S阴影＝S梯AEFH﹣S△AGH﹣S正CEFG， 即（x+9）×9÷2﹣9×（9﹣x）÷2﹣x2 x2 ＝9x﹣x2 ＝17． 答：图中阴影部分的面积是17． 五．平行线的性质（共22小题） 21．【发现问题】 如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P． 【提出问题】 小明提出：∠BPD，∠ABP和∠CDP三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】 已知平行，可以利用平行线的性质，把∠BPD分成两部分进行研究． 【解决问题】 探究一：请你帮小明解决这个问题，并说明理由． 探究二：如图②，∠P，∠AMP，∠CNP的数量关系为 　∠AMP＝∠P+∠CNP　 ；如图③，已知∠ABC＝25°，∠C＝60°，AE∥CD，则∠BAE＝ 　145　 °（不需要写解答过程） 利用探究一得到的结论解决下列问题： 如图④，射线ME，NF分别平分∠BMP和∠CNP，ME交直线CD于点E，NF与∠AMP内部的一条射线MF交于点F，若∠P＝2∠F，求∠FME的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：探究一：∠BPD＝∠ABP+∠CDP，理由如下： 如图①， ∵AB∥MN∥CD， ∴∠BPN＝∠ABP，∠DPN＝∠CDP， ∴∠BPN+∠DPN＝∠ABP+∠CDP， ∴∠BPD＝∠ABP+∠CDP． 探究二：如图②， ∠AMP＝∠P+∠CNP，理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠MKP＝∠CNP， ∵∠AMP＝∠P+∠MKP， ∴∠AMP＝∠P+∠CNP． 如图③，延长EA交BC于L， ∵AE∥CD， ∴∠ALC＝∠C＝60°， ∴∠ALB＝180°﹣∠ALC＝120°， ∴∠BAE＝∠B+∠ALB＝25°+120°＝145°． 故答案为：∠AMP＝∠P+∠CNP，145． ∵射线ME，NF分别平分∠BMP和∠CNP， ∴∠PME∠PMB，∠CNF＝∠PNF， 如图④， 由探究一的结论得：∠P＝∠AMF+∠PMF+∠CNF+∠PNF，∠F＝∠AMF+∠CNF， ∵∠P＝2∠F， ∴∠AMF+∠PMF+∠CNF+∠PNF＝2∠AMF+2∠CNF， ∵∠CNF＝∠PNF， ∴∠AMF+∠PMF＝2∠AMF， ∴∠PMF＝∠AMF∠AMP， ∴∠PMF+∠PME（∠AMP+∠PMB）， ∴∠FME∠AMB180°＝90°． 22．已知：AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点P是线段EF上一点，M，N分别在射线EB，FD上，连接PM，PN． （1）如图1，求证：∠MPN＝∠EMP+∠FNP； （2）如图2，当MP⊥NP时，MQ平分∠EMP，NQ平分∠DNP，求∠MQN的度数． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）135°． 【解答】（1）证明：过点P作PH∥AB，如图所示： ∵AB∥CD， ∴AB∥PH∥CD， ∴∠MPH＝∠EMP，∠NPH＝∠FNP， ∴∠MPH+∠NPH＝∠EMP+∠FNP， 即∠MPN＝∠EMP+∠FNP； （2）∵MQ平分∠EMP，NQ平分∠DNP， ∴设∠EMQ＝∠PMQ＝α，∠DNQ＝∠PNQ＝β， ∴∠EMP＝2α，∠DNP＝2β， ∴∠FNP＝180°﹣∠DNP＝180°﹣2β， ∴∠FNQ＝∠FNP+∠PNQ＝180°﹣2β+β＝180°﹣β， ∵MP⊥NP， ∴∠MPN＝90°， 由（1）的结论得：∠MPN＝∠EMP+∠FNP，∠NQM＝∠EMQ+∠FNQ， 由∠MPN＝∠EMP+∠FNP，得：90°＝2α+180°﹣2β， ∴β﹣α＝45°， ∴∠NQM＝∠EMQ+∠FNQ＝α+180°﹣β＝180°﹣（β﹣α）＝135°． 23．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．小明的思路是过点P作PE∥AB，通过平行线的性质来求∠APC． （1）按照小明的思路，则∠APC的度数为 　110°　 ． （2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线ON上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β．当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P不在B、D两点之间运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系． 【答案】（1）110°； （2）∠APC＝∠α+∠β，理由见解答； （3）∠CPA＝∠α﹣∠β或∠CPA＝∠β﹣∠α． 【解答】解：（1）∵AB∥CD， ∴PE∥AB∥CD， ∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°， ∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°， ∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°， ∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°． 故答案为：110°； （2）∠APC＝∠α+∠β， 理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E， ∵AB∥CD， ∴AB∥PE∥CD， ∴∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE， ∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠α+∠β； （3）如图所示，当P在BD延长线上时， ∠CPA＝∠α﹣∠β； 如图所示，当P在DB延长线上时， ∠CPA＝∠β﹣∠α． 24．（1）【问题解决】如图1，已知AB∥CD，∠BEP＝36°，∠CFP＝152°，求∠EPF的度数； （2）【问题迁移】如图2，若AB∥CD，点P在AB的上方，则∠PFC，∠PEA，∠EPF之间有何数量关系？并说明理由； （3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数（结果用含α的式子表示）． 【答案】（1）∠EPF的度数为64°； （2）∠EPF＝∠PFC﹣∠PEA，理由见解答； （3）∠G的度数为α． 【解答】解：（1）过点P作PG∥AB， ∴∠BEP＝∠EPG＝36°， ∵AB∥CD， ∴GP∥CD， ∴∠FPG＝180°﹣∠CFP＝28°， ∴∠EPF＝∠EPG+∠FPG＝64°， ∴∠EPF的度数为64°； （2）∠EPF＝∠PFC﹣∠PEA， 理由：过点P作PG∥AB， ∴∠EPG＝∠PEA， ∵AB∥CD， ∴PG∥CD， ∴∠PFC＝∠FPG， ∵∠EPF＝∠FPG﹣∠EPG， ∴∠EPF＝∠PFC﹣∠PEA； （3）∵FG平分∠PFC，EG平分∠AEP， ∴∠GFC∠PFC，∠GEA∠AEP， 由（2）可得：∠G＝∠GFC﹣∠GEA， ∵∠EPF＝∠PFC﹣∠PEA＝α ∴∠G＝∠GFC﹣∠GEA ∠PFC∠AEP （∠PFC﹣∠PEA） α， ∴∠G的度数为α． 25．【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数． 解：过点A作ED∥BC， ∴∠B＝　∠EAB　 ，∠C＝　∠DAC　 ， 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°． ∴∠B+∠BAC+∠C＝　180°　 ． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知AB∥CD，BE、CE交于点E，∠BEC＝80°，求∠B−∠C的度数． （3）如图3，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，请直接写出∠B，∠D，∠BPD之间的关系． 【答案】（1）∠EAB；∠DAC；180°； （2）∠B﹣∠C＝100°； （3）∠BPD＝∠B﹣∠D，理由见解答． 【解答】解：（1）过点A作ED∥BC， ∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC， 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°， ∴∠B+∠BAC+∠C＝180°， 故答案为：∠EAB；∠DAC；180°； （2）过点E作EF∥AB， ∴∠B+∠BEF＝180°， ∴∠BEF＝180°﹣∠B， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠FEC＝∠C， ∵∠BEC＝80°， ∴∠BEF+∠FEC＝80°， ∴180°﹣∠B+∠C＝80°， ∴∠B﹣∠C＝100°； （3）∠BPD＝∠B﹣∠D， 理由：过点P作PE∥CD， ∴∠D＝∠DPE， ∵AB∥CD， ∴AB∥PE， ∴∠B＝∠BPE， ∵∠BPD＝∠BPE﹣∠DPE， ∴∠BPD＝∠B﹣∠D． 26．已知直线AB∥CD，E为平面内一点，点P，Q分别在直线AB，CD上，连接PE，EQ． （1）如图1，若点E在直线AB，CD之间，求证：∠PEQ＝∠BPE+∠DQE． （2）如图2，若点E在直线AB，CD之间，PF平分∠APE，QF平分∠CQE，当∠PEQ＝100°时．求∠PFQ的度数． （3）如图3，若点E在直线AB的上方，QF平分∠CQE，PH平分∠APE，PH的反向延长线交QF于点F，当∠PEQ＝50°时，求∠PFQ的度数． 【答案】（1）见解析； （2）130°； （3）155°． 【解答】（1）证明：如图1，过点E作EF∥AB， ∴∠BPE＝∠PEF， ∵EF∥AB，AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠DQE＝∠QEF， ∵∠PEQ＝∠PEF+∠QEF， ∴∠PEQ＝∠BPE+∠DQE； （2）过点F作FG∥AB， 同理（1）可得，∠PEQ＝∠BPE+∠DQE＝100°， ∵∠APE＝180°﹣∠BPE，∠EQC＝180°﹣∠DQE， ∴∠APE+∠EQC＝360°﹣（∠BPE+∠DQE）＝260°， 由题意可得：，， ∴， 同理（1）可得，∠PFQ＝∠APF+∠CQF＝130°； （3）过点E作EG∥AB， ∴∠PEQ＝∠GEQ﹣∠GEP＝50°， ∵EG∥AB， ∴∠GEP＝∠EPB， ∵AB∥CD， ∴GE∥CD， ∴∠GEQ＝∠DQE， ∴∠DQE﹣∠EPB＝50°， 由题意可得：， ∴， ∵∠CQF＝∠EQF∠CQE （180°﹣∠DQE）＝90°∠DQE， 由（1）可得， ∠PFQ＝∠APF+∠CQF ＝90°∠EPB+90°∠DQE ＝180°（∠DQE﹣∠EPB） ＝180°50° ＝155°． 27．如图，已知AB∥CD，直线MN交AB于点M，交CD于点N．点E是线段MN上一点，P，Q分别在射线MA，NC上，连接PE，QE． （1）如图1，若∠MNC＝80°，∠MPE＝40°，∠EQN＝40°，则∠AMN＝ 　100　 °，∠PEQ＝ 　80　 °． （2）如图2，∠MPE的角平分线与∠CQE的角平分线相交于点F． ①求∠PEQ与∠PFQ之间的数量关系，并说明理由； ②若∠PEM＝30°，∠MND＝110°，将直线MN绕点N以每秒2°的速度顺时针旋转，同时射线PF绕点P以每秒4°的速度逆时针旋转，当直线MN首次落到CD上时，整个运动停止．在运动过程中，经过t秒后直线MN恰好平行于PF，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】（1）100；80； （2）①2∠PFQ﹣∠PEQ＝180°；②或． 【解答】解：（1）∵AB∥CD，∠MNC＝80°， ∴∠AMN＝180°﹣∠MNC＝180°﹣80°＝100°； 如图，过点E作EF∥AB， ∴∠PEF＝∠MPE＝40°， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠FEQ＝∠EQN＝40°， ∴∠PEQ＝∠PEF+∠FEQ＝40°+40°＝80°； 故答案为：100；80； （2）①如图，延长PE交CD于点G，设PE、FQ交于点H， 设∠BPE＝2α， ∵PF平分∠BPE， ∴， ∵AB∥CD， ∴∠PGQ＝∠BPE＝2α， ∵∠GEQ＝180°﹣∠PEQ， ∴∠EQC＝∠QEG+∠PGQ＝180°﹣∠PEQ+2α， ∵QE平分∠EQC， ∴， 在△EQH和△PFH中， ∵∠PEQ+∠HQE+∠EHQ＝180°，∠FPH+∠FHP+∠PFH＝180°，∠PHF＝∠EHQ， ∴∠PEQ+∠HQE＝∠FPH+∠PFH，即， ∴2∠PFQ﹣∠PEQ＝180°， 所以∠PEQ与∠PFQ之间的数量关系为2∠PFQ﹣∠PEQ＝180°； ②∵AB∥CD，∠MND＝110°， ∴∠AMN＝∠MND＝110°， ∵∠PEM＝30°， ∴∠BPE＝180°﹣∠AMN﹣∠PEM＝40°， ∵PF平分∠BPE， ∴； 如图，当NM′∥PF′时， ∵AB∥CD， ∴∠ABN＝∠BND， ∵NM′∥PF′， ∴∠F′PB＝∠ABN， ∴∠F′PB＝∠BND， ∵直线MN绕点N以每秒2°的速度顺时针旋转，射线PF绕点P以每秒4°的速度逆时针旋转， ∴∠MNM′＝2t，∠FPF′＝4t， ∴∠M′ND＝∠MND﹣∠MNM′＝110°﹣2t，∠F′PB＝∠F′PF﹣∠BPF＝4t﹣20°， 110°﹣2t＝4t﹣20°， ∴； 如图，当NM′∥PF′时， ∵AB∥CD， ∴∠AGN＝∠DNM′， ∵NM′∥PF′， ∴∠APF′＝∠AGN， ∴∠APF′＝∠M′ND， ∴∠APF′＝4t﹣20°﹣180°＝4t﹣200°，∠M′ND＝∠MND﹣∠MNM′＝110°﹣2t， ∴4t﹣200°＝110°﹣2t， ∴． 综上所述，或．所以在运动过程中， 所以经过或后直线MN恰好平行于PF． 28．已知直线AB∥CD，E为平面内一点，点P，Q分别在直线AB，CD上，连接PE，EQ． （1）如图1，若点E在直线AB，CD之间，试探究∠BPE，∠DQE，∠PEQ之间的数量关系，并说明理由． （2）如图2，若点E在直线AB，CD之间，PF平分∠APE，QF平分∠CQE，当∠PEQ＝100°时，求∠PFQ的度数． （3）如图3，若点E在直线AB的上方，QF平分∠CQE，PH平分∠APE，PH的反向延长线交QF于点F，当∠PEQ＝50°时，求∠PFQ的度数． 【答案】（1）∠BPE+∠DQE＝∠PEQ； （2）∠PFQ＝130°； （3）∠PFQ＝155°． 【解答】解：（1）图1，过点E，作EM∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EM， ∴∠BPE＝∠PEM，∠DQE＝∠QEM， ∴∠BPE+∠DQE＝∠PEM+∠QEM＝∠PEQ， 即∠BPE+∠DQE＝∠PEQ； （2）图2，过点E作EM∥AB，过F点作FN∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EM∥FN， ∴∠APE+∠PEM＝180°，∠CQE+∠QEM＝180°， ∴∠APE+∠PEM+∠CQE+∠QEM＝360°， ∴∠APE+∠CQE+∠PEQ＝360°， ∵∠PEQ＝100°， ∴∠APE+∠CQE＝260°， ∵PF平分∠APE，QF平分∠CQE， ∴∠APE＝2∠APF，∠CQE＝2∠CQF， ∴∠APF+∠CQF＝130°， ∵AB∥CD∥FN， ∴∠PFN＝∠APF，∠QFN＝∠CQF， ∴∠PFN+∠QFN＝∠APF+∠CQF＝130°， ∴∠PFQ＝130°； （3）图3，过过点E作EM∥AB，过F点作FN∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EM∥FN， ∴∠MEQ＝∠EQD，∠MEP＝∠EPB， ∴∠MEQ﹣∠MEP＝∠EQD﹣∠EPB， 即∠PEQ＝∠EQD﹣∠EPB， ∵∠PEQ＝50°， ∴∠EQD﹣∠EPB＝50°， ∵∠EQD＝180°﹣∠EQC，∠EPB＝180°﹣∠EPA， ∴∠EPA﹣∠EQC＝50°， ∵QF平分∠CQE，PH平分∠APE， ∴∠EPA＝2∠APH，∠EQC＝2∠FQC， ∴2∠APH﹣2∠FQC＝50°， ∴∠APH﹣∠FQC＝25°， ∴180°﹣∠APF﹣∠FQC＝25°， ∴∠APF+∠FQC＝155°， ∵AB∥CD∥FN， ∴∠PFN＝∠APF，∠QFN＝∠CQF， ∴∠PFN+∠QFN＝∠APF+∠CQF＝155°， ∴∠PFQ＝155°． 29．已知，如图AB∥CD． ①由图（1）易得∠B、∠BED、∠D的关系 　∠BED＝∠B+∠D　 （直接写结论）； ②由图（2）试猜想∠B、∠BED、∠D的关系并说明理由； [延伸拓展] 利用上面（1）（2）得出的结论完成下题： ③已知，AB∥CD，∠EBF＝2∠ABF，∠EDF＝2∠CDF．若∠E＝105°，则∠BFD＝ 　85　 °． 【答案】（1）∠BED＝∠B+∠D； （2）∠B+∠BED+∠D＝360°，理由见解答过程； （3）85． 【解答】解：①∠B、∠BED、∠D的关系是：∠BED＝∠B+∠D，理由如下： 过点E作EF∥AB，如图（1）所示： ∵AB∥CD， ∴AB∥EF∥CD， ∴∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D， ∴∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D， ∴∠BED＝∠B+∠D， 故答案为：∠BED＝∠B+∠D； ②∠B、∠BED、∠D的关系是：∠B+∠BED+∠D＝360°，理由如下： 过点E作EH∥AB，如图（2）所示： ∵AB∥CD， ∴AB∥EH∥CD， ∴∠B+∠BEH＝180°，∠DEH+∠D＝180°， ∴∠B+∠BEH+∠DEH+∠D＝360°， ∴∠B+∠BED+∠D＝360°； ③设∠ABF＝α，∠CDF＝β，如图3所示： ∴∠EBF＝2∠ABF＝2α，∠EDF＝2∠CDF＝2β， ∴∠ABE＝∠ABF+∠EBF＝3α，∠CDE＝∠CDF+∠EDF＝3β， ∵AB∥CD， 根据①②的结论得：∠BFD＝∠ABF+∠CDF，∠E+∠ABE+∠CDE＝360°， ∴∠BFD＝α+β，105+3α+3β＝360°， 由105+3α+3β＝360°，得：α+β＝85°， ∴∠BFD＝α+β＝85°． 故答案为：85． 30．平面内的不重合的两条直线有相交和平行两种位置关系． （1）如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD内部，∠B＝50°，∠D＝30°，∠BPD＝　80°　 ． （2）如图2，若AB∥CD，将点P移到AB、CD外部，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论． （3）如图3，直接写出∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间的数量关系 　∠BPD＝∠B+∠D+∠BQD　 ． （4）拓展：已知AB∥CD，在AB、CD之间取一点P（点P不在直线BD上），连接PB，PD，若∠ABP，∠CDP的平分线BE，DF交于点M，试探索∠BPD与∠BMD之间的数量关系．（直接写出结果） 【答案】（1）80°； （2）∠B＝∠BPD+∠D，理由见解析； （3）∠BPD＝∠B+∠D+∠BQD； （4）∠BPD＝2∠BMD或∠BPD＝360°﹣2∠BMD． 【解答】解：（1）如图，过P点作PQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥PQ∥CD， ∴∠ABP＝∠BPQ，∠CDP＝∠DPQ， ∴∠BPQ＝∠ABP＝50°，∠DPQ＝∠CDP＝30°， ∴∠BPD＝∠BPQ+∠DPQ＝∠ABP+∠CDP＝80°， 故答案为：80°； （2）∵AB∥CD， ∴∠CEP＝∠B， ∴∠CEP＝∠BPD+∠CDP， ∴∠B＝∠BPD+∠D； （3）连接QP并且延长QP至E， ∵∠BPE＝∠BQE+∠B，∠DPE＝∠DQE+∠D，∠BPD＝∠BPE+∠DPE， ∴∠BPD＝∠B+∠D+∠BQD； 故答案为：∠BPD＝∠B+∠D+∠BQD； （4）①当点P在AB、CD内部时，∠BED＝2∠BMD，理由如下： 如图， ∵BE平分∠ABP， ∴∠ABP＝2∠ABE， ∵DF平分∠CDE， ∴∠CDP＝2∠CDP， ∴∠ABP+∠CDP＝2∠ABE+2∠CDE＝2（∠ABE+CDE）， 由（1）得：∠BMD＝∠ABE+∠CDF， ∴∠BPD＝2∠BMD， ②当点P在AB、CD外部时，∠BPD＝360°﹣2∠BMD，理由如下： 如图，过点P作PG∥AB， ∵AB∥CD，PG∥AB， ∴CD∥PG， ∴∠CDG+∠DPG＝180°， ∴∠BPG+∠DPG＝360°﹣（∠ABP+∠CDP），即∠BPD＝360°﹣（∠ABE+∠CDP）， ∵BE平分∠ABP， ∴∠ABP＝2∠ABE， ∵DF平分∠CDE， ∴∠CDP＝2∠CDP， ∴∠BPD＝360°﹣2（∠ABM+∠CDM）， 由（1）得，∠BMD＝∠ABE+∠CDF， ∴∠BPD＝360°﹣2∠BMD， 综上所述，∠BPD与∠BMD之间的数量关系为：∠BPD＝2∠BMD或∠BPD＝360°﹣2∠BMD． 31．【基础巩固】 （1）如图1，AB∥CD，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，试说明∠1+∠2＝90°； 【尝试探究】 （2）小明发现：若将其中一条角平分线改成AC的垂线，则“∠1+∠2＝90°”这个结论不成立．请帮小明完成探究： 如图2，AB∥CD，AP平分∠BAC，CP⊥AC，∠1是AP与AB的夹角，∠2是CP与CD的夹角． ①若∠2＝22°，求∠1的度数； ②试说明：2∠1﹣∠2＝90°． 【拓展提高】 （3）如图3，若AB∥CD，AP⊥AC，CP平分∠ACD，请判断∠1与∠2之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析； （2）①56°；②见解析； （3）∠1+2∠2＝90°，理由见解析． 【解答】解：（1）∵AB∥CD， ∴∠BAC+∠ACD＝180°， ∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD， ∴，， ∴∠1+∠2＝90°； （2）①∵CP⊥AC， ∴∠ACP＝90°， ∵∠2＝22°，∠2+∠ACD＝∠ACP， ∴∠ACD＝68°， ∵AB∥CD， ∴∠BAC+∠ACD＝180°， ∴∠BAC＝112°， ∵AP平分∠BAC， ∴； ②∵AB∥CD， ∴∠BAC+∠ACD＝180°， ∵AP平分∠BAC， ∴， ∴2∠1+∠ACD＝180°， ∵∠ACD＝90°﹣∠2， ∴2∠1+90°﹣∠2＝180°， ∴2∠1﹣∠2＝90°； （3）∵AB∥CD， ∴∠BAC+∠ACD＝180°， ∵CP平分∠ACD， ∴∠ACD＝2∠2， ∵AP⊥AC， ∴∠CAP＝90°， ∴∠BAC＝90°+∠1， ∴90°+∠1+2∠2＝180°， ∴∠1+2∠2＝90°， 32．【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA，PD． （1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，则∠APD的度数为 　80°　 ； （2）如图2，设∠A＝α，∠D＝β，猜想α，β，∠P之间的数量关系，并证明； （3）如图3，AP⊥PD，，AN交DP于点O，，求∠N的度数． 【答案】（1）80°； （2）α+β﹣∠DPA＝180°，证明见解答； （3）90°． 【解答】解：（1）如图，过点P作PE∥AB， ∵AB∥CD，PE∥AB， ∴AB∥PE∥CD， ∴∠APE＝∠A＝50°，∠DPE+∠D＝180°， ∴∠DPE＝180°﹣150°＝30°， ∴∠APD＝∠APE+∠DPE＝50°+30°＝80°， 故答案为：80°； （2）α+β﹣∠DPA＝180°，证明如下： 如图，过点P作PE∥AB， ∵AB∥CD，PE∥AB， ∴AB∥PE∥CD， ∴∠DPE＝∠D＝β，∠APE+∠A＝180°， ∴∠APE＝180°﹣α，∠DPE＝∠DPA+∠APE＝∠DPA+180°﹣α， ∴β＝∠DPA+180°﹣α， ∴α+β﹣∠DPA＝180°； （3）∵AP⊥PD， ∴∠P＝90°， ∵， ∴， ∵∠PAN+∠POA＝90°， ∴， ∵∠POA＝∠NOD， ∴， ∵， ∴， ∴∠N＝180°﹣（∠NOD+∠OND）＝180°﹣90°＝90°． 33．在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a，b，且a∥b，直角三角尺ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°． （1）【操作发现】 如图1，当三角尺的顶点B在直线b上时，若∠1＝55°，则∠2＝　35　 °； （2）【探索证明】 如图2，当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出∠1与∠2间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展应用】 如图3，把三角尺的顶点B放在直线b上且保持不动，旋转三角尺，点A始终在直线BD（D为直线b上一点）的上方，若存在∠1＝5∠CBD（∠CBD＜60°），请直接写出射线BA与直线a所夹锐角的度数． 【答案】（1）35； （2）∠2﹣∠1＝120°，理由见解答过程； （3）80°或30°． 【解答】解：（1）过点C作CD∥直线a，如图1所示： ∵直线a∥b， ∴CD∥a∥b， ∴∠2＝∠ACD，∠1＝∠BCD， ∴∠1+∠2＝∠ACD+∠BCD＝∠BCA， ∴∠2＝∠BCA﹣∠1， ∵∠BCA＝90°，∠1＝55°， ∴∠2＝90°﹣55°＝35°， 故答案为：35． （2）∠1与∠2间的数量关系是：∠2﹣∠1＝120°，理由如下： 如图2所示： ∵∠BCA＝90°，∠BAC＝30°， ∴∠B＝90°﹣∠BAC＝60°， 由（1）可知：∠B＝∠1+∠3， ∴∠1+∠3＝60°， ∴∠3＝60°﹣∠1， ∵∠2+∠3＝180°， ∴∠2+60°﹣∠1＝180°， 即∠2﹣∠1＝120°， （3）依题意有以下两种情况： ①当BC在直线BD的上方时，如图3所示： ∵∠BCA＝90°，∠BAC＝30°， ∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝60°， 设∠CBD＝α（∠CBD＜60°）， 则∠1＝5∠CBD＝5α， ∵点B在直线b上且保持不动， ∴∠1+∠ABC+∠CBD＝180°， ∴5α+60°+α＝180°， 解得：α＝20°， ∴∠1＝5α＝100°， ∵直线a∥b， ∴∠1+∠2＝180°， ∴∠2＝180°﹣∠1＝80°， ②当BC在直线BD的下方时，如图4所示： 同理得：∠ABC＝60°， 设∠CBD＝α（∠CBD＜60°）， 则∠1＝5∠CBD＝5α， ∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝60°﹣α， ∵点B在直线b上且保持不动， ∴∠1+∠ABD＝180°， ∴5α+60°﹣α＝180°， 解得：α＝30°， ∴∠1＝5α＝150°， ∵直线a∥b， ∴∠1+∠2＝180°， ∴∠2＝180°﹣∠1＝30°， 综上所述：射线BA与直线a所夹锐角的度数为80°或30°． 34．已知，AB∥DE，点C在AB上方，连接BC、CD． （1）如图1，若∠ABC＝145°，∠EDC＝116°，求∠BCD的度数； （2）如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F，直接写出∠ABC和∠F之间的数量关系 　∠ABC﹣∠F＝90°　 ； （3）如图3，在（2）的条件下，∠CFD的平分线FG交CD于点G，连接GB并延长至GB点H，若BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值． 【答案】（1）∠BCD＝29°； （2）∠ABC﹣∠F＝90°； （3）∠BGD﹣∠CGF＝45°． 【解答】解：（1）过点C作CM∥AB，如图1， ∴∠BCM＝∠ABC＝145°， ∵AB∥DE， ∴CM∥DE， ∴∠DCM＝∠EDC＝116°， ∵∠BCM＝∠BCD+∠DCM， ∴∠BCD＝∠BCM﹣∠DCM＝145°﹣116°＝29°； （2）∠ABC﹣∠F＝90°，理由： 过点C作CN∥AB，如图， ∴∠ABC＝∠BCN， ∵AB∥ED， ∴CN∥EF， ∴∠F＝∠FCN， ∵∠BCN＝∠BCF+∠FCN， ∴∠ABC＝∠BCF+∠F， ∵CF⊥BC， ∴∠BCF＝90°， ∴∠ABC＝90°+∠F， 即∠ABC﹣∠F＝90°； 故答案为：∠ABC﹣∠F＝90°； （3）延长HG交EF于点Q，过点G作GP∥EF，如图3， ∴∠BGD＝∠CGQ， ∵AB∥DE， ∴∠ABH＝∠EQG， ∵GP∥EF， ∴∠EQG＝∠PGQ，∠EFG＝∠PGF， ∴∠PGQ＝∠ABH， ∴∠BGD﹣∠CGF＝∠CGQ﹣∠CGF＝∠FGQ， ∵∠FGQ＝∠PGQ﹣∠PGF， ∴∠FGQ＝∠ABH﹣∠EFG， ∵BH平分∠ABC，FG平分∠CFD， ∴，， ∴， 由（2）可得：∠ABC﹣∠CFD＝90°， ∴， 即∠BGD﹣∠CGF＝45°． 35．（1）（问题）如图1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝120°，求∠EPF的度数． （2）（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由； （3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝50°，∠PFC＝120°，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，直接写出∠G的度数． 【答案】（1）100°； （2）∠PFC＝∠PEA+∠EPF，理由见解答过程； （3）25°． 【解答】解：（1）如图1，过点P作PM∥AB， ∴∠1＝∠AEP， ∵∠AEP＝40°， ∴∠1＝40°， ∵AB∥CD， ∴PM∥CD， ∴∠2+∠PFD＝180°， ∵∠PFD＝120°， ∴∠2＝180°﹣120°＝60°， ∴∠1+∠2＝40°+60°＝100°， 即∠EPF＝100°； （2）∠PFC＝∠PEA+∠EPF，理由如下： 如图2，过P点作PN∥AB，则PN∥CD， ∴∠PEA＝∠NPE， ∵∠FPN＝∠NPE+∠EPF， ∴∠FPN＝∠PEA+∠EPF， ∵PN∥CD， ∴∠FPN＝∠PFC， ∴∠PFC＝∠PEA+∠EPF； （3）如图3，过点G作AB的平行线GH， ∵GH∥AB，AB∥CD， ∴GH∥AB∥CD， ∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG， 又∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G， ∴∠HGE＝∠AEG∠AEP，∠HGF＝∠CFG∠PFC， 由（2）可知，∠PFC＝∠EPF+∠AEP， ∴∠HGF（∠EPF+∠AEP）， ∴∠EGF＝∠HGF﹣∠HGE（∠EPF+∠AEP）∠AEP∠EPF， ∵∠EPF＝50°， ∴∠EGF＝25°． 36．方法感知： （1）如图1，已知AB∥CD，求∠B+∠BPD+∠D的度数． 方法运用： （2）如图2，这是北斗七星的位置简图，将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G，其中B，C，D三点在一条直线上，AB∥EF，探究∠B，∠D，∠E满足的数量关系，并说明理由． 应用拓展： （3）如图3，在（2）的条件下，延长AB到点M，延长FE到点N，过点B和点E分别作射线BP和EP，两线相交于点P，使得BD平分∠MBP，EN平分∠DEP，若∠MBD＝35°，求∠D﹣∠P的度数． 【答案】（1）360°；（2）∠D+∠B﹣∠E＝180°，理由见解析；（3）105°． 【解答】解（1）如图1，过点P作PF∥AB， ∴∠B+∠BPF＝180°， ∵AB∥CD， ∴PF∥CD， ∴∠D+∠DPF＝180°， ∴∠B+∠FPB+∠FPD+∠D＝360°，即∠B+∠BPD+∠D＝360°， ∴∠B+∠BPD+∠D的度数为360°． （2）∠D+∠B﹣∠E＝180°，理由如下； 如图2，过点D作DK∥EF， ∴∠KDE＝∠E， ∵AB∥EF， ∴AB∥DK， ∴∠B+∠BDK＝180°，即∠BDK＝180°﹣∠B， ∴∠KDE+∠BDK＝∠E+180°﹣∠B，即∠BDE+∠B﹣∠E＝180°． （3）如图3，过点P作PH∥EF， ∴∠EPH＝∠NEP， ∵AB∥EF，PH∥EF， ∴AB∥PH， ∴∠MBP+∠BPH＝180°， ∵BD平分∠MBP，∠MBD＝35°， ∴∠MBP＝70°，∠BPH＝110°，∠ABD＝145°， ∵EN平分∠DEP， ∴∠NEP＝∠DEN， ∴∠BPE＝∠BPH﹣∠EPH＝∠BPH﹣∠NEP＝∠BPH﹣∠DEN＝110°﹣（180°﹣∠DEF）＝∠DEF﹣70°， 由（2）得∠D+∠ABD﹣∠DEF＝180°， ∴∠D+145°﹣∠DEF＝180°，即∠DEF＝∠D﹣35°， ∴∠BPE＝∠DEF﹣70°＝∠D﹣35°﹣70°＝∠D﹣105°，即∠D﹣∠BPE＝105°． 37．【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，AB∥CD，M是AB、CD之间的一点，连接BM，DM，则有∠B+∠D＝∠BMD．请你证明这个结论． （2）【运用】如图2，AB∥CD，M、N是AB、CD之间的两点，且2∠M＝3∠N，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，找出∠B、∠C、∠M三者之间的数量关系，并说明理由． （3）【延伸】如图3，AB∥CD，点E、F分别在AB、CD上，EN、FG分别平分∠BEM和∠CFM，且EN∥MG．如果∠EMF＝α，那么∠MGF等于多少？（用含α的代数式表示，请直接写出结论，无需证明） 【答案】（1）见证明过程． （2）∠B、∠C、∠M三者之间的数量关系：∠BMN＝∠B﹣∠C．见证明过程． （3）∠MGF等于90°α． 【解答】（1）证明：如图，过M作MN∥AB． ∵AB∥CD， ∴AB∥MN∥CD， ∴∠B＝∠BMN，∠D＝∠BMN， ∴∠B+∠D＝∠BMN+∠DMN＝∠BMD． （2）解：∠B、∠C、∠M三者之间的数量关系：∠BMN＝∠B﹣∠C． 理由如下： 如图：过N作NE∥AB． 由（1）∠B+∠MNE＝∠M①． ∵AB∥CD， ∴EN∥CD， ∴∠ENC＝∠C②， ①+②得∠B+∠MNE+∠ENC＝∠M+∠C， 即∠B+∠MNC＝∠M+∠C， ∵2∠BMN＝3∠MNC， ∴∠MNC∠BMN， ∴∠BMN＝∠B﹣∠C． 答：∠B、∠C、∠M三者之间的数量关系：∠BMN＝∠B﹣∠C． （3）证明：∵EN、FG分别平分∠BEM和∠CFM， ∴∠MEN＝∠BEN＝x，∠CFG＝∠MFG＝y， 由（1）结论得：∠AEM+∠MFC＝∠EMF， ∴180°﹣2x+2y＝α， ∴x﹣y＝90°． ∵MG∥EN， ∴∠GMF+∠EMF+∠MEN＝180°， ∴∠GMF＝180°﹣α﹣x， 由三角形内角和得： ∠MGF＝180°﹣∠GMF﹣∠GFM＝180°﹣（180°﹣α﹣x）﹣y＝α+x﹣y＝α+（90°α）＝90°α． 答：∠MGF等于90°α． 38．【背景】 在同一平面内，两条直线的位置关系有两种，分别是平行和相交，在相交这种位置关系中，包括垂直这种特殊位置关系． 【应用】 （1）如图1，PQ∥MN，A，B分别在PQ，MN上，AC平分∠PAB交MN于点C，D为B点右侧的直线MN上一点，AE平分∠BAD交MN于点E． ①当∠ADC＝30°∠AEC＝50°，求∠BAD和∠PAC的度数； ②如图2，过点E作EF⊥AC，垂足为F，设∠AEF＝x度，∠ADB＝y度，请求出y与x的关系式； 【拓展】 （2）中欧班列是高质量共建一带一路的互联互通大动脉，中欧班列为了安全起见在某段铁路两旁安置了A，B两座可旋转探照灯．如图3，假定主道路是平行的，即PQ∥MN，连结AB，且∠ABN＝45°．灯A发出的射线AC自AQ顺时针旋转至AP便立即回转，灯B发出的射线BD自BM顺时针旋转至BN便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．灯A转动的速度是3度/秒，灯B转动的速度是9度/秒．若它们同时开始转动，设转动时间为t秒，当灯A射线AC从AQ转至AB的过程中，AC与BD互相垂直时，请求出此时t的值． 【答案】（1）①∠BAD＝40°，∠PAC＝55°；②y＝2x；（2）t1＝15，t2＝22.5，t3＝45． 【解答】解：（1）①∵PQ∥MN， ∴∠EAQ＝∠AEC＝50°，∠ADC＝∠DAQ＝30°， ∴∠DAE＝50°﹣30°＝20°． ∵AE 平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE＝20°， ∴∠BAD＝∠BAE+∠DAE＝40°． ∴∠PAB＝180°﹣70°＝110°， 又∵AC 平分∠PAB， ∴， ②∵AC平分∠PAB，AE 平分∠BAD． ∴∠DAE＝∠BAE，∠PAC＝∠BAC， 设∠DAE＝∠BAE＝α，∠PAC＝∠BAC＝β， ∵BF⊥AC； ∴x+α+β＝90°，则90°﹣（α+β）， ∵PQ∥MN， ∴∠QAD＝∠ADB＝y， ∴2a+2β+y＝180°， ∴y＝180﹣2（a+β）， ∴y＝2x； （2）①当BD，AC未相遇时，设射线AC交MN于点T，射线 BD交PQ于点S， ∵AC与BD互相垂直时， ∴∠SBT+∠ATB＝90°， ∴180﹣9t+3t＝90， 解得t＝15， ②如图所示，当返回时， ∴∠DBT+∠ATB＝90°， ∴9t﹣180+3t＝90， 解得t＝22.5； ③当BD第2次从MB出发，与AC垂直时，如图所示， ∴∠PAC+∠ASB＝90°， ∴9t﹣360+180﹣3t＝90， 解得t＝45， 综上所述，t1＝15，t2＝22.5，t3＝45时，AC与BD互相垂直． 39．【问题情境】：在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图1，已知直线AB∥CD，点E、G分别为直线AB、CD上的点，点F是平面内任意一点，连接EF、GF． 【探索发现】： （1）当∠F＝60°时，求证：∠AEF+∠FGC＝60°； （2）“智慧小组”经过探索后发现：不断改变∠F的度数，∠AEF与∠FGC始终存在某种数量关系：当∠F＝x°时，∠AEF+∠FGC＝　x　 度（用含x的代数式表示）； 【深入探究】： （3）如图2点P、Q分别是直线CD上的点，且∠PFQ＝∠EFG＝90°，直线MN∥FG，交FQ于点K，“智胜小组”探究∠FKN与∠PFE之间的数量关系．请写出它们的关系，并说明理由； （4）如图3，在（3）的探究基础上，∠NKQ＝∠AEF，“科创小组”探究∠CPF与∠EFK之间的数量关系．请直接写出它们的关系，不需要说明理由． 【答案】（1）见详解；（2）x；（3）∠FKN＝∠PFE，理由见解析；（4）∠CPF＝2∠EFK． 【解答】（1）证明：如图所示，过F作HI∥AB， ∵AB∥CD， ∴HI∥CD， ∴∠AEF＝∠EFI，∠FGC＝∠GFI， ∴∠AEF+∠FGC＝∠EFI+∠GFI＝∠EFG， ∵∠EFG＝60°， ∴∠AEF+∠FGC＝60°； （2）解；由（1）可得：∠AEF+∠FGC＝∠EFI+∠GFI＝∠EFG， ∴∠F＝∠AEF+∠FGC＝x° 故答案为：x； （3）解：∠FKN与∠PFE之间的数量关系为∠FKN＝∠PFE，理由如下： 设∠FKM＝∠NKQ＝α， ∴∠FKN＝180°﹣∠NKQ＝180°﹣α， ∵MN∥FG， ∴∠FKM＝∠GFQ＝α， 又∵∠PFQ＝∠EFG＝90°， ∴∠EFK＝∠EFG﹣∠GFQ＝90°﹣α， ∴∠PFE＝∠PFQ+∠EFK＝180°﹣α， ∴∠FKN＝∠PFE； （4）∵∠NKQ＝∠AEF， ∴设∠AEF＝∠NKQ＝α， 过点M作RS∥AB， ∵AB∥CD， ∴RS∥CD， ∴∠EFS＝∠AEF＝α， ∴∠SFP＝∠PFE﹣∠EFS＝180°﹣2α， ∴∠CPF＝∠SFP＝180°﹣2α， 又∵∠EFK＝90°﹣α， ∴∠CPF＝2∠EFK． 40．综合与探究 问题情境 在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线AM∥BN，连接AB，点P是射线AM上的一个动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D． 探索发现 “快乐小组”经过探索后发现： （1）当∠A＝60°时，∠CBD＝∠A．请说明理由． （2）不断改变∠A的度数，∠CBD与∠A却始终存在某种数量关系，用含∠A的式子表示∠CBD为　∠CBD　 ． 操作探究 （3）“智慧小组”利用量角器量出∠APB和∠ADB的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点P在射线AM上运动时，无论点P在AM上的什么位置，∠APB与∠ADB之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由． （4）点P继续在射线AM上运动，当运动到使∠ACB＝∠ABD时，请直接写出2∠ABC∠A的结果． 【答案】（1）过程见解析．（2）∠CBD．（3）过程见解析．（4）90°． 【解答】解：（1）∵AM∥BN， ∴∠A+∠ABN＝180°， 又∵∠A＝60°， ∴∠ABN＝180°﹣∠A＝120°． ∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN， ∴∠CBP∠ABP，∠DBP∠PBN， ∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP∠ABP∠PBN∠ABN＝60°， ∴∠CBD＝∠A． （2）∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN， ∴∠CBP∠ABP，∠DBP∠PBN， ∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP∠ABP∠PBN∠ABN， ∵AM∥BN， ∴∠A+∠ABN＝180°， ∴∠ABN＝180°﹣∠A， ∴∠CBD． （3）∠APB＝2∠ADB 理由如下： ∵BD分别平分∠PBN， ∴∠PBN＝2∠NBD， ∵AM∥BN， ∴∠PBN＝∠APB，∠NBD＝∠ADB， ∴∠APB＝2∠ADB． （4）∵AM∥BN， ∴∠ACB＝∠CBN， 当∠ACB＝∠ABD时，有∠CBN＝∠ABD， ∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN， ∴∠ABC＝∠DBN， ∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN， ∴2∠ABC∠ABN， ∵AM∥BN， ∴∠A+∠ABN＝180°， ∴2∠ABC∠A（∠A+∠ABN）180°＝90°． 41．今年春节期间，为了营造节日氛围，各地纷纷上演各种“灯光秀”．“灯光秀”为了强化灯光效果，某地在河的两岸安置了可旋转探照灯．如图1，灯A射线AE自AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线BF自BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射．若灯A转动的速度是3°/秒，灯B转动的速度是1°/秒，两灯同时转动，转动时间为t秒．假定这一带两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°． （1）∠EAN＝　（180﹣3t）　 °（用含t的式子表示）； （2）当t＝55时，求∠BCA的度数； （3）如图2，在灯A射线已转过AB但未到达AN时．若两灯射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，在转动过程中，∠BCD：∠BAC的比值是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由． 【答案】（1）（180﹣3t）； （2）70°； （3）是定值；． 【解答】解：（1）根据题意得∠MAE＝3t，则∠EAN＝180°﹣3°t， 故答案为：180﹣3t； （2）过点C作CG∥MN，如图， 则PQ∥CG∥MN， 当t＝55时，∠CAN＝180﹣3t＝180°﹣3°×55＝15° ∴∠CAN＝∠GCA＝15°， ∵∠BCG＝∠CBP＝55°， ∴∠BCA＝∠GCA+∠BCG＝70°； （3）设A灯转动时间为t秒，则∠CAN＝180﹣3t， ∵∠BAN＝45°， ∴∠BAC＝∠BAN﹣∠CAN＝45﹣（180﹣3t）＝3t﹣135， ∵PQ∥MN， ∴∠BCA＝∠CBD+∠CAN＝t+180﹣3t＝180﹣2t， ∵CD⊥AC， ∴∠ACD＝90° ∴∠BCD＝∠ACD﹣∠BCA＝90﹣（180﹣2t）＝2t﹣90， ∴2∠BAC＝3∠BCD， ∴， 即∠BCD：∠BAC的比值是一个定值，这个定值为． 42．已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP． （1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP＝50°，∠DCP＝30°时，求∠APC． （2）如图2，点P在直线AB、CD之间，AK、CK分别平分∠BAP、∠DCP，请写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，点P落在CD下方，AK、CK分别平分∠BAP、∠DCP，请写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1，过P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴PE∥AB∥CD， ∴∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP， ∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP＝50°+30°＝80°； （2）∠AKC∠APC． 理由：如图2，过K作KE∥AB， ∵AB∥CD， ∴KE∥AB∥CD， ∴∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK， ∴∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK， 过P作PF∥AB， 同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP， ∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K， ∴∠BAK+∠DCK∠BAP∠DCP（∠BAP+∠DCP）∠APC， ∴∠AKC∠APC； （3）∠AKC∠APC． 理由：如图3，过K作KE∥AB， ∵AB∥CD， ∴KE∥AB∥CD， ∴∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE， ∴∠AKC＝∠AKE﹣∠CKE＝∠BAK﹣∠DCK， 过P作PF∥AB， 同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP， ∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K， ∴∠BAK﹣∠DCK∠BAP∠DCP（∠BAP﹣∠DCP）∠APC， ∴∠AKC∠APC． 六．平行线的判定与性质（共13小题） 43．直线AB∥CD，∠ABC与∠DCB的角平分线交于点E，BE的延长线交CD于点F，过点F作FG⊥BF，交BC延长线于点G． （1）如图1，求证：EC∥FG； （2）如图2，点M在线段BC上，点N在线段FG上，且EM平分∠BEN，连接EG．若∠NEG＝∠NGE，求∠MEG的度数； （3）在（2）的条件下，以点G为顶点，GM为边，在GM下方作∠MGP＝∠MEG，交EM的延长线于点P，请直接写出∠EGM与∠MPG的关系． 【答案】（1）证明过程见解析部分； （2）∠MEG＝45°； （3）∠EGM与∠MPG的关系是互为余角． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD， ∴，， ∴， ∴∠BEC＝90°， ∵FG⊥BF， ∴∠BFG＝90°， ∴∠BEC＝∠BFG， ∴EC∥FG； （2）解：设∠MEC＝α， ∵EM平分∠BEN， ∴∠BEM＝∠MEN＝90°﹣α， ∴∠CEN＝∠MEN﹣∠MEC＝90°﹣2α， 由（1）知 EC∥FG， ∴∠CEG＝∠NGE， ∵∠NEG＝∠NGE， ∴∠NEG＝∠CEG， ∴∠CEG＝（90°﹣2α）÷2＝45°﹣α， ∴∠MEG＝∠MEC+∠CEG＝α+（45°﹣α）＝45°； （3）解：∠EGM与∠MPG的关系是互为余角，理由如下： 如图3， ∵∠EMB是△EMG的外角， ∴∠EMB＝∠MEG+∠EGM， ∵∠EMB＝∠GMP， 在△MGP中，∠GMP＝180°﹣∠MGP﹣∠MPG， ∴∠MEG+∠EGM＝180°﹣∠MGP﹣∠MPG， ∵∠MGP＝∠MEG＝45°， ∴45°+∠EGM＝180°﹣45°﹣∠MPG， ∴∠EGM+∠MPG＝90°， ∴∠EGM与∠MPG的关系是互为余角． 44．如图，已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点G在AB和CD之间． 【习题回顾】 （1）如图1，若∠BEF＝60°，FG是∠EFC的平分线，求∠GFC的度数； 【变式思考】 （2）如图2，连接EG，GF．求证：∠BEG+∠EGF+∠GFD＝360°； 【深入探究】 （3）如图3，连接EG，GF，若∠AEG＝60°，∠GFC＝40°，∠AEG和∠GFC的平分线交于点P，求∠P的度数． 【答案】（1）30°； （2）证明过程见解析部分； （3）50°． 【解答】（1）解：图1，AB∥CD，∠BEF＝60°， ∴∠EFC＝∠BEF＝60°， ∵FG是∠EFC的平分线， ∴∠GFC∠EFC＝30°； （2）证明：图2，过点G作GH∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥GH， ∴∠BEG+∠EGH＝180°，∠HGF+∠GFD＝180°， ∴∠BEG+∠EGH+∠HGF+∠GFD＝360° ∴∠BEG+∠EGF+∠GFD＝360°； （3）解：图3，过点P作PM∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥PM， ∴∠EPM＝∠AEP，∠MPF＝∠PFC， ∵PE平分∠AEG，PF平分∠GFC，∠AEG＝60°，∠GFC＝40°， ∴∠AEP∠AEG＝30°，∠PFC∠GFC＝20°， ∴∠EPM＝30°，∠MPF＝20°， ∴∠EPF＝50°． 45．如图，在三角形ABC中，点D，F在边BC上，点E在边AB上，点G在边AC上，EF与GD的延长线交于点H，∠1＝∠B，∠2+∠3＝180°． （1）判断EH与AD的位置关系，并说明理由． （2）若∠DGC＝58°，且∠H＝∠4+10°，求∠H的度数． 【答案】（1）EH∥AD，见解答过程； （2）34°． 【解答】解：（1）EH∥AD，理由如下： ∵∠1＝∠B， ∴AB∥GD， ∴∠2＝∠BAD， ∵∠2+∠3＝180°， ∴∠BAD+∠3＝180°， ∴EH∥AD； （2）由（1）得AB∥GD， ∴∠2＝∠BAD，∠DGC＝∠BAC， ∵∠DGC＝58°， ∴∠BAC＝58°， ∵EH∥AD， ∴∠2＝∠H， ∴∠H＝∠BAD， ∴∠BAC＝∠BAD+∠4＝∠H+∠4＝58°， ∵∠H＝∠4+10°， ∴∠4+10°+∠4＝58°， 解得：∠4＝24°， ∴∠H＝34°． 46．【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图①，已知AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点P在直线AB、CD之间，设∠AEP＝∠α，∠CFP＝∠β，求证：∠P＝∠α+∠β． 证明：如图②，过点P作PQ∥AB，∴∠EPQ＝∠AEP＝∠α， ∵PQ∥AB，AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠FPQ＝∠CFP＝∠β， ∴∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ＝∠α+∠β，即∠EPF＝∠α+∠β． 可以运用以上结论解答下列问题：【类比应用】 （1）如图③，已知AB∥CD，∠D＝15°，∠GAB＝70°，求∠P的度数． （2）如图④，已知AB∥CD，点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接PA、PE，则∠PAB，∠CEP，∠APE之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图⑤，已知AB∥CD，点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接PA、PE，∠PED的平分线与∠PAB的平分线所在直线交于点Q，求∠APE+2∠AQE的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图③，延长BA至H， ∵AB∥CD， ∴∠APD＝∠HAP+∠D， ∵∠HAP＝∠GAB，∠GAB＝70°， ∴∠HAP＝70°， ∵∠D＝15°， ∴∠APD＝85°； （2）∠CEP+∠PAB﹣∠APE＝180°，理由如下： 如图④，过P点作PM∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥PM， ∴∠MPE＝∠CEP，∠MPA+∠PAB＝180°， ∴∠MPE﹣∠MPA﹣∠PAB＝∠CEP﹣180°， 即∠APE﹣∠PAB＝∠CEP﹣180°， ∴∠CEP+∠PAB﹣∠APE＝180°； （3）由示例知，∵AB∥CD， ∴∠AQE＝∠BAQ+∠DEQ， ∴2∠AQE＝2∠BAQ+2∠DEQ＝2（180°﹣∠BAF）+2∠DEQ， 又∵QE，AF分别是∠PED与∠PAB的角平分线， ∴2∠BAF＝∠PAB，2∠DEQ＝∠PED， ∴2∠AQE＝360°﹣∠PAB+∠PED， 由（2）知，∠CEP+∠PAB﹣∠APE＝180°， ∴∠APE＝∠CEP+∠PAB﹣180°， ∴2∠BAF+∠APE＝360°﹣∠PAB+∠PED+∠CEP+∠PAB﹣180°＝180°+180°＝360°， 即2∠BAF+∠APE＝360°． 47．【课题学习】平行线的“等角转化” 如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数． 解：过点A作ED∥BC， ∴∠B＝ 　∠EAB　 ，∠C＝ 　∠DAC　 ， 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°． ∴∠B+∠BAC+∠C＝ 　180°　 ． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“类”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知AB∥CD，BE、CE交于点E，∠BEC＝80°，求∠B﹣∠C的度数． （3）如图3．若AB∥CD，点P在AB，CD外部，请探究∠B，∠D，∠BPD之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）∠EAB；∠DAC；180°；（2）∠B﹣∠C＝100°；（3）∠BPD＝∠B﹣∠D，理由见解析． 【解答】解：（1）过点A作ED∥BC， ∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC， 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°， ∴∠B+∠BAC+∠C＝180°， 故答案为：∠EAB；∠DAC；180°； （2）过点E作EF∥AB， ∴∠B+∠BEF＝180°， ∵EF∥CD， ∴∠FEC＝∠C， ∵∠BEC＝80°， ∴∠BEF+∠FEC＝80°， ∴∠B﹣∠C＝100°； （3）∠BPD＝∠B﹣∠D， 理由：过点P作PE∥CD， ∴∠D＝∠DPE， ∵AB∥CD， ∴AB∥PE， ∴∠B＝∠BPE， ∵∠BPD＝∠BPE﹣∠DPE， ∴∠BPD＝∠B﹣∠D． 48．在三角形ABE中，AE⊥BE，直线CD∥AB． （1）如图1，点E在直线CD上，若∠BAE＝60°，求∠BED的度数； （2）如图2，点E在直线CD的下方，EB交CD于点F，G是AB上一点，连接GE交CD于点H，点K在AB、CD之间且在GH的右侧，连接GK、FK．若GE、FB分别是∠AGK和∠KFD的平分线，试说明∠GKF＝2∠AEG； （3）在（1）的条件下，点P、Q在直线CD上，点P在点Q左侧，∠PAQ＝80°，AM平分∠PAE交CD于点M，点N是直线AB上方一点，∠NAB＝2∠BAQ．若∠NAM＝150°．请直接写出∠AQC的度数． 【答案】（1）30°； （2）说明见解析； （3）32°． 【解答】解：（1）∵AB∥CD， ∴∠CEA＝∠A＝60°， ∵AE⊥BE， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BED＝180°﹣90°﹣60°＝30°； （2）如图， 作EM∥CD，作KN∥AB， 又∵AB∥CD， ∴EM∥AB∥CD∥KN， 设∠AGK＝2x，∠KFD＝2y， 又∵GE、FB分别平分∠AGK，∠KFD， ∴∠AGE＝∠KGE∠AGK＝x，∠KFB＝∠DFB∠KFD＝y， ∵AB∥EM， ∴∠GEM＝∠AGE＝x， ∵CD∥EM， ∴∠FEM＝∠DFB＝y， ∴∠GEF＝∠GEM﹣∠FEM＝x﹣y， 又∵AE⊥BE， ∴∠AEG＝90°﹣∠GEF＝90°﹣（x﹣y）＝90°﹣x+y， ∴2∠AEG＝2（90°﹣x+y）＝180°﹣2x+2y， ∵KN∥AB， ∴∠GKN+∠AGK＝180°， ∴∠GKN＝180°﹣∠AGK＝180°﹣2x， ∵KN∥CD， ∴∠NKF＝∠KFD＝2y， ∴∠GKF＝∠GKN+∠NKF＝180°﹣2x+2y， ∴∠GKF＝2∠AEG； （3）如图2， 当∠BAQ≤60°时， 设∠BAQ＝α，则∠EAQ＝60°﹣α，∠NAB＝2α， ∴∠PAE＝∠PAQ﹣∠EAQ＝80°﹣（60°﹣α）＝α+20°， ∵AM平分∠PAE， ∴∠EAM， ∵∠BAN+∠BAQ+∠EAM＝∠MAN， ∴2α+60°°＝150°， ∴α＝32°， ∵AB∥CD， ∴∠AQC＝∠BAQ＝32°， 如图3， 当∠BAQ＞60°时， 设∠BAQ＝β，则∠BAN＝2β，∠QAE＝β﹣60°， ∴∠PAE＝80°+（β﹣60°）＝β+20°，∠FAN＝180°﹣2β， ∴∠MAE10°， ∵360°﹣∠MAE﹣∠BAE﹣∠BAN＝∠MAN， ∴360°﹣（）﹣60°﹣2β＝150°， ∴β＝56°＜60°，故舍去， 综上所述：∠AQC＝40°． 49．如图1，点F在线段AB上，点E在线段CD上，∠1+∠2＝180°，∠A＝∠D． （1）试说明：AB∥CD； （2）如图2所示，延长AB到M，在∠MBC，∠BCD内部有一点P，连接BP，CP．若∠CBP＝3∠MBP，∠BCP＝3∠DCP，求∠BPC的度数． 【答案】（1）说明过程见解答； （2）45°． 【解答】解：（1）如图： ∵∠2+∠3＝180°，∠1+∠2＝180°， ∴∠1＝∠3， ∴AE∥DF， ∴∠A＝∠BFD， ∵∠A＝∠D， ∴∠D＝∠BFD， ∴AB∥CD； （2）∵AM∥CD， ∴∠MBC+∠DCB＝180°， ∵∠CBP＝3∠MBP，∠BCP＝3∠DCP， ∴∠CBP∠MBC，∠BCP∠DCB， ∴∠CBP+∠BCP∠MBC∠DCB＝135°， ∴∠BPC＝180°﹣（∠CBP+∠BCP）＝45°． 50．如图1，直线AB、CD与直线GH交于点M、N，∠GMB＝∠CNH． （1）求证：AB∥CD； （2）如图2，点E在直线AB、CD之间，在直线HG右侧，连接ME、NE，作EF∥AB，∠MEF+∠END＝90°，求证：ME⊥NE； （3）如图3，在（2）的条件下，MK平分∠AME，NK平分∠END，过点K作KP⊥NK，求∠MKP的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）135°． 【解答】（1）证明：∵∠CNH＝∠MND，∠GMB＝∠CNH ∴∠GMB＝∠MND， ∴AB∥CD． （2）证明：∵EF∥AB，AB∥CD， ∴EF∥AB∥CD， ∴∠END＝∠NEF， 又∵∠MEF+∠END＝90°， ∴∠MEF+∠NEF＝90°， ∴∠MEN＝90°， ∴ME⊥NE． （3）解：由条件可知：∠AME＝2∠AMK＝2∠EMK，∠END＝2∠KNE＝2∠DNK， 又∵AB∥EF∥CD， ∴∠AME+∠MEF＝180°，∠DNE＝∠FEN， ∴∠MEF＝180°﹣2∠EMK，∠FEN＝2∠KNE， 又由（2）可知，∠MEN＝∠MEF+∠NEF＝90°， ∴180°﹣2∠EMK+2∠KNE＝90°， ∴∠EMK﹣∠KNE＝45°， 在△NKJ中，∠KNE+∠KJN+∠NKJ＝180°， 在△MEJ中，∠EMK+∠EJM+90°＝180°， 又∵∠KJN＝∠EJM， ∴∠KNE+∠NKJ＝∠EMK+90°， ∴∠NKJ＝135°， 又∵KP⊥NK， ∴∠NKP＝90°， ∴∠NKJ+∠MKP+∠90°＝360°， ∴∠MKP＝∠MKP＝135°． 51．已知，AB∥CD，点O为AB上方一点，E、F为CD上两点，连接OE、OF，分别交AB于M、N两点，OE⊥OF． （1）如图1，求证：∠OFD﹣∠OMN＝90°； （2）如图2，点G为EF上一点，连接MG，作NH⊥MG垂足为H，∠NMH＝∠NFG，求证：OM∥NH； （3）如图3，在（2）的条件下，连接GN并延长GN到点P，连接EP，若∠NGF：∠MGF＝3：5，∠OEP：∠OEG＝2：5，求∠P的度数． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）54°． 【解答】（1）证明：过点O作OQ∥AB， ∴∠QOM＝∠OMN， ∵AB∥CD， ∴OQ∥CD， ∴∠QOF＝∠OFD， ∴∠OFD﹣∠OMN＝∠QOF﹣∠QOM＝∠EOF， ∵OE⊥OF， ∴∠EOF＝90°， ∴∠OFD﹣∠OMN＝90°， （2）∵NH⊥MG， ∴∠NHM＝90°， ∵AB∥CD， ∴∠NMH＝∠MGE， ∵∠NMH＝∠NFG， ∴∠MGE＝∠NFG， ∴MG∥NF， ∴∠EMG＝∠EOF＝90°， ∴∠EMG＝∠NHM， ∴OM∥NH （3）∵∠NGF：∠MGF＝3：5， ∴， ∵∠OEP：∠OEG＝2：5， ∴， ∵AB∥CD， ∴∠AMG＝∠MGF，∠AME＝∠MEG， ∴∠AMG﹣∠AME＝90°， ∴∠MGF﹣∠OEG＝90°， 作GK∥EP， ∴∠P＝∠PGK，∠PEG＝∠KGF， ∴． 52．【问题情境】已知，∠1＝∠2，EG平分∠AEC交BD于点G． 【问题探究】（1）如图1，∠MAE＝45°，∠FEG＝15°，∠NCE＝75°，试判断EF与CD的位置关系，并说明理由； 【问题解决】（2）如图2，∠MAE＝140°，∠FEG＝30°，当AB∥CD时，求∠NCE的度数； 【问题拓展】（3）如图2，若AB∥CD，试说明∠NCE＝∠MAE﹣2∠FEG． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）解：EF∥CD，理由如下： ∵∠1＝∠2， ∴AB∥EF， ∴∠AEF＝∠MAE， ∵∠MAE＝45°，∠FEG＝15° ∴∠AEG＝60°， ∵EG平分∠AEC， ∴∠CEG＝∠AEG＝60°， ∴∠CEF＝∠CEG+∠FEG＝75°，∠NCE＝75°， ∴∠NCE＝∠CEF， ∴EF∥CD． （2）解：∵∠1＝∠2， ∴AB∥EF， ∴∠FEA+∠MAE＝180°，∠MAE＝140°， ∴∠FEA＝40°，∠FEG＝30°， ∴∠AEG＝70°， ∵EG平分∠AEC， ∴∠CEG＝∠AEG＝70°， ∴∠FEC＝100°， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠NCE+∠FEC＝180°， ∴∠NCE＝80°． （3）证明：∵∠1＝∠2， ∴AB∥EF， ∴∠MAE+∠FEA＝180°， ∴∠FEA＝180°﹣∠MAE， ∴∠AEG＝∠FEA+∠FEG＝180°﹣∠MAE+∠FEG， ∵EG平分∠AEC， ∴∠GEC＝∠AEG， ∴∠FEC＝∠GEC+∠FEG＝180°﹣∠MAE+∠FEG+∠FEG＝180°﹣∠MAE+2∠FEG， ∵AB∥CD，AB∥EF， ∴EF∥CD， ∴∠FEC+∠NCE＝180°， ∴180°﹣∠MAE+2∠FEG+∠NCE＝180°， ∴2∠FEG+∠NCE＝∠MAE， 即∠NCE＝∠MAE﹣2∠FEG． 53．问题情境： 如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC＝∠APE+∠CPE＝50°+60°＝110°． 问题解决： （1）如图2，AB∥CD，直线l分别与AB、CD交于点M、N，点P在直线l上运动，当点P在线段MN上运动时（不与点M、N重合），∠PAB＝α，∠PCD＝β，判断∠APC、α、β之间的数量关系并说明理由； （2）在（1）的条件下，如果点P在线段MN或NM的延长线上运动时，请直接写出∠APC、α、β之间的数量关系； （3）如图3，AB∥CD，点P是AB、CD之间的一点（点P在点A、C右侧），连接PA、PC，∠BAP和∠DCP的平分线交于点Q．若∠APC＝128°，请结合（2）中的规律，求∠AQC的度数． 【答案】（1）∠APC＝α+β，见解析； （2）∠APC＝β﹣α或∠APC＝α﹣β； （3）64°． 【解答】解：（1）如图2，过点P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴PE∥AB∥CD， ∴∠APE＝α，∠CPE＝β， ∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝α+β． （2）如图，在（1）的条件下，如果点P在线段MN的延长线上运动时， ∵AB∥CD，∠PAB＝α， ∴∠1＝∠PAB＝α， ∵∠1＝∠APC+∠PCD，∠PCD＝β， ∴α＝∠APC+β， ∴∠APC＝α﹣β； 如图，在（1）的条件下，如果点P在线段NM的延长线上运动时， ∵AB∥CD，∠PCD＝β， ∴∠2＝∠PCD＝β， ∵∠2＝∠PAB+∠APC，∠PAB＝α， ∴β＝α+∠APC， ∴∠APC＝β﹣α； （3）过点P，Q分别作PE∥AB，QF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥QF∥PE∥CD， ∴∠BAP＝∠APE，∠PCD＝∠EPC， ∵∠APC＝128°， ∴∠BAP+∠PCD＝128°， ∵AQ平分∠BAP，CQ平分∠PCD， ∴，， ∴， ∵AB∥QF∥CD， ∴∠BAQ＝∠AQF，∠DCQ＝∠CQF， ∴∠AQF+∠CQF＝∠BAQ+∠DCQ＝64°， ∴∠AQC＝64°． 54．问题情境：已知，∠1＝∠2，EG平分∠AEC交BD于点G． 探究（1）如图1，∠MAE＝45°，∠FEG＝15°，∠NCE＝75°， 试判断EF与CD的位置关系，并说明理由； 探究（2）如图2，∠MAE＝140°，∠FEG＝30°，当AB∥CD时，求∠NCE的度数； 【答案】（1）EF∥CD，见解析；（2）80°． 【解答】解：（1）EF∥CD． 理由如下：∵∠1＝∠2， ∴AB∥EF， ∴∠AEF＝∠MAE＝45°， ∵∠FEG＝15°， ∴∠AEG＝60°， ∵EG平分∠AEC， ∴∠CEG＝∠AEG＝60°， ∴∠CEF＝∠CEG+∠FEG＝75°， ∵∠NCE＝75°， ∴∠NCE＝∠CEF， ∴EF∥CD； （2）∵∠1＝∠2， ∴AB∥EF， ∴∠FEA+∠MAE＝180°，∠MAE＝140°， ∴∠FEA＝40°， ∵∠FEG＝30°， ∴∠AEG＝70°， ∵EG平分∠AEC， ∴∠CEG＝∠AEG＝70°， ∴∠FEC＝100°， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠NCE+∠FEC＝180°， ∴∠NCE＝80°． 55．【阅读材料】 在“相交线与平行线”的学习中，有这样一道典型问题： 如图①，AB∥CD，点P在AB与CD之间，可得结论：∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°． 理由如下：过点P作PQ∥AB．∴∠BAP+∠APQ＝180°． ∵AB∥CD，∴PQ∥CD．∴∠PCD+∠CPQ＝180°．∴∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°． 【问题解决】 （1）如图②，AB∥CD，点P在AB与CD之间，求证：∠BAP+∠PCD＝∠APC； （2）如图③，AB∥CD，点P在AB与CD之间，AE平分∠BAP，CE平分∠DCP，写出∠AEC与∠APC间的等量关系，并写出理由； （3）如图④，AB∥CD，点P，E在AB与CD之间，，，可得∠AEC与∠APC间的等量关系是 　∠APC+3∠AEC＝360°　 （只写结论） 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：过点P作PQ∥AB． ∵PQ∥AB， ∴∠BAP＝∠APQ； ∵AB∥CD， ∴PQ∥CD． ∴∠PCD＝∠CPQ， ∴∠BAP+∠PCD＝∠APQ+∠CPQ＝∠APC； （2）结论：∠APC＝2∠AEC． 理由：如图中，∵AE平分∠BAP，CE平分∠DCP， ∴，． 设∠EAB＝∠EAP＝x，∠ECD＝∠ECP＝y， 则∠BAP＝2x，∠PCD＝2y， 由（1）可知：∠BAP+∠PCD＝∠APC， 同理可得：∠EAB+∠ECD＝∠AEC， ∠AEC＝x+y，∠APC＝2x+2y， ∴∠APC＝2∠AEC； （3）∠APC+3∠AEC＝360°． 理由如下：由（2）可知∠EAB+∠ECD＝∠AEC， ∵，， ∴， 即：∠BAP+∠DCP＝3∠AEC， 由题意可知：∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°， ∴∠APC+3∠AEC＝360°； 故答案为：∠APC+3∠AEC＝360°． 七．利用频率估计概率（共5小题） 56．劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于树立正确的劳动价值观，为了培养大家的劳动习惯与劳动能力，我校学生会在寒假期间开展了“家务劳动我最行”的实践活动，开学后从本校七至九年级各随机抽取一些学生，对他们的每日平均家务劳动时长（单位，min）进行了调查，并对数据进行了收集、整理和描述．如图1、2是其中的部分信息：（其中A组为10≤x＜20，B组为20≤x＜30，C组为30≤x＜40，D组为40≤x＜50，E组为50≤x＜60，F组为60≤x＜70） 根据以上信息，回答下列问题： （1）①这次抽取的学生总人数是 　90人　 ； ②估计这些随机抽取的学生每日平均家务劳动时长； （2）学生会准备将每日平均家务劳动时长不少于50min的学生评为“家务小能手”，在本校学生中随机抽取一名学生，记事件A：该学生为“家务小能手”．请估计事件A的概率． 【答案】（1）①90人；②42min；（2）． 【解答】解：（1）①这次抽取的学生总人数是9÷10%＝90（人）； ②C组人数为90﹣（9+12+24+21+9）＝15（人）， 则这些随机抽取的学生每日平均家务劳动时长约为（15×9+25×12+35×15+45×24+55×21+65×9）＝42（min）； 故答案为：90人； （2）在本校学生中随机抽取一名学生，记事件A：该学生为“家务小能手”． 则事件A的概率约为． 57．某水果店以2元/千克的成本购进2000千克橙子，店员在销售过程中随机抽取橙子进行“橙子损坏率”统计，并绘制成如图所示的统计图，请解决以下问题： （1）估计完好的橙子的质量约有　1800　 千克； （2）若这批橙子销售（只售好果）完毕后，利润是1000元，每千克的售价应为多少元？（精确到0.1元） 【答案】（1）1800； （2）2.8元． 【解答】解：（1）根据所给的图可得：橙子损坏率估计值为0.1， 所以橙子完好率估计值为1﹣0.1＝0.9， 所以估计完好的橙子的质量约有2000×0.9＝1800（千克）； 故答案为：1800； （2）设每千克的售价应为x元， 根据题意得：1800x﹣2000×2＝1000， 解得：x≈2.8， 答：每千克的售价应大约为2.8元． 58．在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于0.25， （1）请估计摸到白球的概率将会接近 　0.25　 ； （2）计算盒子里白球有多少个？ （3）如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 【答案】（1）0.25； （2）15个； （3）15个． 【解答】解：（1）∵大量重复摸球试验，摸到白球的频率稳定于0.25， ∴摸到白球的概率接近0.25； 故答案为：0.25； （2）60×0.25＝15（个）， 答：盒子里白球有15个； （3）设需要往盒子里再放入x个白球； 根据题意得：， 解得：x＝15， 经检验得：x＝15为所列方程的解，且符合题意， ∴x＝15， 答：需要往盒子里再放入15个白球． 59．【综合实践】如图，学校劳动基地有一个不规则的封闭菜地ABC，为求得它的面积，学习小组设计了如下的一个方案： ①在此封闭图形内画出一个半径为1米的圆． ②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似地看成点），记录如下： 掷小石子落在不规则图形内的总次数（含外沿） 100 200 500 1000 … 小石子落在圆内（含圆上）的次数m 32 63 153 305 … 小石子落在圆外的阴影部分（含外沿）的次数n 68 137 347 695 … 小石子落在圆内（含圆上）的频率 0.320 0.315 0.306 x … 【数学发现】 （1）若以小石子所落的有效区域为总数（即m+n），则表格中的数据x＝　0.305　 ； 随着投掷次数增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在 　0.3　 附近（结果精确到0.1）； 【结论应用】 （2）请你利用（1）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？（结果保留π） 【答案】（1）0.305，0.3； （2）估计整个封闭图形的面积是π平方米． 【解答】解：（1）x0.305， 随着投掷次数增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在0.3附近， 故答案为：0.305，0.3； （2）∵圆的面积＝12π＝π（平方米）， ∴整个封闭图形的面积＝π÷0.3π（平方米）， 答：估计整个封闭图形的面积是π平方米． 60．经过五华奥园十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．交管部门在汽车行驶高峰时段对车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为，向左转和直行的频率均为． （1）假设平均每天通过该路口的汽车为1000辆，求汽车在此左转、右转、直行的车辆各是多少辆； （2）目前在此路口，汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间均为30秒，在绿灯总时间不变的条件下，为了缓解交通拥挤，请你利用概率的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整． 【答案】（1）汽车在此左转、右转、直行的车辆各是300辆、400辆、300辆； （2）左转、右转、直行的绿灯亮的时间为27秒，36秒，27秒． 【解答】解：（1）汽车在此左转的车辆数为：（辆）， 汽车在此右转的车辆数为：（辆）， 汽车在此直行的车辆数为：（辆） 答：汽车在此左转、右转、直行的车辆各是300辆、400辆、300辆． （2）根据频率估计概率的知识，可知： ∵汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间均为30秒， ∴可调整绿灯亮的时间如下： 左转绿灯亮的时间为（秒）， 右转绿灯亮的时间为（秒）， 直行绿灯亮的时间为（秒）． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$