2024-2025学年七年级第二学期期中数学模拟试卷(2024浙教新版）

第1页，共6页 2024-2025 学年第二学期七年级期中考试 数学模拟卷（配 2024 浙教新版教材） 考生须知： 1. 本科目试卷分试题卷和答题卷两部分。满分 120分，考试时间 120分钟。 2.答题前，必须在答题卷的指定区城内填写班级、姓名和座位号。 3.所有答案都做在答题卷规定位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应。考试结 束后只需上交答题卷。 一、选择题（本大题共 10小题，每小题 3分，共 30分） 1．窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，在园林设计中常常可以看到．下列窗棂图案中可以 看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（ ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（ ） A． 2 3 6x x x⋅ = B． 2 2 4x x x+ = C． ( )2 21 2 1 2 4a a a+ = + + D． ( )( ) 21 1 1x x x− + + = − 3．如图所示，下列说法一定正确的是（ ） A． 1∠ 与 2∠ 互余 B． 1∠ 和 5∠ 是同位角 C． 3∠ 和 4∠ 互为补角 D． 3∠ 和 5∠ 是内错角 第 3 题 第 4 题 4．如图，将三角形 ABC 向右平移得到三角形DEF ，且点B E C F， ， ， 在同一条直线上，若 2EC = ， 8BF = ，则 AD的长为（ ） A．2 B．3 C．5 D．6 5．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A． 6 1 1 2 x y x y − =   + = B． 5 7 x y y z − =  + = C． 4 1 3 2 6 x x y =  − = D． 1 x y xy x y + =  − = 第2页，共6页 6．若关于 x，y 的二元一次方程组 4 2 5 4 2 4 5 x y k x y + = −  + = 的解满足 1x y+ = ，则 k 的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D． 1− 7．如图，点 E 在BC 的延长线上，对于给出的四个条件：① 1 3∠ = ∠ ；② 2 5 180+ = °∠∠ ；③ 4∠ = ∠B ；④ 180D BCD∠ +∠ = °．其中能判断 AB CD∥ 的有（ ） A．③ B．②③ C．②④ D．③④ 第 7 题 第 9 题 8．《九章算术》中有这样一题：今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七 十，盈三十．问家数、牛价各几何．题目大意：几家人合伙买牛，若每 7 家合伙出 190 钱，则差 330 钱；若每 9 家合伙出 270 钱，则多了 30 钱．问家数、牛价各是多少．下列说法正确的是（ ） A．设有 x 家，则牛价为 190 330 7 x −    钱 B．设有 x 家，则可列方程为 190 270330 30 7 9 x x+ = + C．设有 x 家，则牛价为 y 钱，则可列方程组为 190 330 7 270 30 9 y x y x  − =   − =  D．设有 x 家，牛价为 y 钱，则可列方程组为 190 330 7 270 30 9 y x x y  − =   − =  9．已知 2 2( 2023) ( 2025) 24x x− + − = ，则 2( 2024)x − 的值是（ ） A．12 B．11 C．13 D．10 10．如图，已知直线 AB CD∥ ，直线 EF 分别交直线 AB ，CD于点 E，F， EM 平分 AEF∠ 交CD 于点 M，G 是射线MD 上一动点（不与点 M，F 重合），EH 平分 FEG∠ 交CD于点 H．设 MEH EGFα β∠ = ∠ =， ．有下列四个式子：①2α β= ；②2 180α β− = °；③ 30α β− = °；④ 2 180α β+ = °．其中正确的是（ ） A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④ 第3页，共6页 二、填空题（本大题共 6小题，每小题 3分，共 18分） 11．数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象有 个． 12． ( )2024 20250.2 5− × = 13．乐乐的作业本不小心被撕掉了一部分，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮他推测出 等号左边被撕掉的内容是 ． 14．如图是某射箭运动员射箭的一个瞬间．已知 AB CD∥ ， AF DE∥ ， 1 90∠ = °， 2 110∠ = °， 135C∠ = °，则运动员两腿之间的夹角 CBE∠ 的度数为 ． 第 14 题 15．若关于 x， y 的二元一次方程组 3 2 3 10 ax by ax by − =  − = 的解为 2 1 x y =  = − ，则关于m ， n二元一次方程组 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 2 1 3 2 10 a m b n a m b n  + − − =  + − − = 的解为 ． 16．小明在计算 2 2 2 20252024 20252023 20252025 2+ − 时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本 不用计算器，而且很快说出了答案．你知道答案是多少吗，请将答案填在横线上 ． 三、解答题（本大题共 8小题，共 72分） 17．（本题 6 分）计算： (1) ( )26 3 2 3 2x x x x x÷ ⋅ + ⋅ − (2) ( )( ) ( )2 2x y x y xy xy x+ − + − ÷ 第4页，共6页 18．（本题 6 分）解方程组． 3 4 1 2 5 x y x y + =  − = ． 19．（本题 8 分）已知：如图， C 1∠ = ∠ ， BE FD⊥ 于点G ． (1)请说明CF BE∥ ； (2)若 B C∠ = ∠ ，试说明 AB CD∥ ； (3)CF 与 FD 有怎样的位置关系？请说明理由． 20．（本题 8 分）随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小 商店购进 A 种头盔 3 个和 B 种头盔 4 个共需 345 元，A 种头盔 4 个和 B 种头盔 3 个共需 390 元． (1)求 A，B 两种头盔的单价各是多少元； (2)若该商店计划正好用 450 元购进 A，B 两种头盔 ( ,A B两种头盔均购买 ) ，销售 1 个 A 种头盔可获 利 35 元，销售 1 个 B 种头盔可获利 15 元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出， 最大利润是多少元？ 21．（本题 10 分）如图，正方形的边长为 5m + ，长方形的长为 4m + ，宽为 3m + ，m 为正整数，正 方形的面积记为 1S ，长方形的面积记为 2S ． (1)若 1 2 22S S− = ，求 m 的值； (2)若存在常数 a，使得不论 m 为何值， 1 2 2S S am− − 始终是一个定值，求 a 的值． 第5页，共6页 22．（本题 10 分）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变 形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负 数的意义来解决一些问题．比如 ( )22 24 5 4 4 1 2 1x x x x x+ + = + + + = + + 因为 ( )22 0x + ≥ ， 所以当 2x = − 时， ( )22x + 的值最小，最小值是 0． 所以 ( )22 1 1x + + ≥ ． 所以当 ( )22 0x + = 时，即 2x = − 时 ( )22 1x + + 的值最小，最小值是 1． 即 2 4 5x x+ + 的最小值是 1． 定义：一个正整数能表示成 2 2a b+ （a、b 是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5 是“完美数”，理由：因为 2 25 2 1= + ，所以 5 是“完美数”． 【解决问题】 （1）①已知 13 是“完美数”，请将它写成 2 2a b+ （a、b 是正整数）的形式______； ②配方： ( )22 6x x x− + = − ； 【探究问题】 （2）①已知 2 2 2 4 5 0x y x y+ − + + = ，则 x y+ = ______； ②已知 2 24 4 12S x y x y k= + + − + （ x、 y 是整数， k 是常数），要使S为“完美数”，试写出符合条件 的一个 k 值，并说明理由． 【拓展结论】 （3）已知实数 x、 y 满足 2 5 10 0x x y− + + − = ，当 x =______时， y x− 最小值为______． 23．（本题 12 分）【问题情境】（1）如图 1， AB CD∥ ， 130 120PAB PCD∠ = ° ∠ = °， ，求 APC∠ 度 数． 小明的思路：过 P 作PE AB ，通过平行线性质来求 APC∠ ． 按小明的思路，易求得 APC∠ 的度数为 度． 【问题迁移】（2）如图 2， AB CD∥ ，点 P 在射线OM 上运动．记 PAB α∠ = ， PCD β∠ = ． 当点 P 在 B、D 两点之间运动时，问： APC∠ 与α ，β 之间有何数量关系？请说明理由； 第6页，共6页 ②若点 P 在线段OB 或射线DM 上运动，（不与 O、B、D 三点重合），请直接写出 APC∠ 与α ，β 之间的数量关系． 【拓展创新】（3）图 3 为北斗七星的位置图，将其抽象成图 4，并将北斗七星分别标为 A、B、C、 D、E、F、G，顺次连接各点，天文小组发现线段 AF 恰好经过点 G，且 AF DE∥ ， 5B BCD∠ = ∠ °＋ ， 95D∠ = °，请你根据这些信息求出 B CGF∠ ∠－ 的度数． 24．（本题 12 分）我们定义：如果两个多项式M 与 N 的和为常数，则称M 与 N 互为“对消多项 式”，这个常数称为它们的“对消值”．如 22 6M x x= − + 与 22 1N x x= − + − 互为“对消多项式”，它们 的“对消值”为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）； ① 23 2x x+ 与 23 2x + ；② 6x − 与 2x− + ； ③ 2 35 2x y xy− + 与 2 35 2 1.x y xy− − (2)多项式 2( )A x a= − 与多项式 2- 2B bx x b= − + （a，b 为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消 值”； (3)关于 x的多项式 2 6 4C mx x= + + 与 ( )( )1D m x x n= − + + 互为“对消多项式”，“对消值”为 t．若 a b m− = ，b c mn− = ，求代数式 2 2 2 2a b c ab bc ac t+ + − − − + 的最小值． 2024-2025学年第二学期七年级期中考试 数学模拟卷（配2024浙教新版教材） 考生须知： 1. 本科目试卷分试题卷和答题卷两部分。满分120分，考试时间120分钟。 2.答题前，必须在答题卷的指定区城内填写班级、姓名和座位号。 3.所有答案都做在答题卷规定位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应。考试结束后只需上交答题卷。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，在园林设计中常常可以看到．下列窗棂图案中可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图所示，下列说法一定正确的是（   ） A．与互余 B．和是同位角 C．和互为补角 D．和是内错角 第3题 第4题 4．如图，将三角形向右平移得到三角形，且点在同一条直线上，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 6．若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D． 7．如图，点E在的延长线上，对于给出的四个条件：①；②；③；④．其中能判断的有（   ） A．③ B．②③ C．②④ D．③④ 第7题 第9题 8．《九章算术》中有这样一题：今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十．问家数、牛价各几何．题目大意：几家人合伙买牛，若每7家合伙出190钱，则差330钱；若每9家合伙出270钱，则多了30钱．问家数、牛价各是多少．下列说法正确的是（   ） A．设有x家，则牛价为钱 B．设有x家，则可列方程为 C．设有x家，则牛价为y钱，则可列方程组为 D．设有x家，牛价为y钱，则可列方程组为 9．已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 10．如图，已知直线，直线分别交直线，于点E，F，平分交于点M，G是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点H．设．有下列四个式子：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象有 个． 12． 13．乐乐的作业本不小心被撕掉了一部分，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮他推测出等号左边被撕掉的内容是 ． 14．如图是某射箭运动员射箭的一个瞬间．已知，，，，，则运动员两腿之间的夹角的度数为 ． 第14题 15．若关于，的二元一次方程组的解为，则关于，二元一次方程组的解为 ． 16．小明在计算时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本不用计算器，而且很快说出了答案．你知道答案是多少吗，请将答案填在横线上 ． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（本题6分）计算： (1) (2) 18．（本题6分）解方程组．． 19．（本题8分）已知：如图，，于点． (1)请说明； (2)若，试说明； (3)与有怎样的位置关系？请说明理由． 20．（本题8分）随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元． (1)求A，B两种头盔的单价各是多少元； (2)若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？ 21．（本题10分）如图，正方形的边长为，长方形的长为，宽为，m为正整数，正方形的面积记为，长方形的面积记为． (1)若，求m的值； (2)若存在常数a，使得不论m为何值，始终是一个定值，求a的值． 22．（本题10分）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，即时的值最小，最小值是1． 即的最小值是1． 定义：一个正整数能表示成（、是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）①已知13是“完美数”，请将它写成（、是正整数）的形式______； ②配方：； 【探究问题】 （2）①已知，则______； ②已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展结论】 （3）已知实数、满足，当______时，最小值为______． 23．（本题12分）【问题情境】（1）如图1，，，求度数． 小明的思路：过P作，通过平行线性质来求． 按小明的思路，易求得的度数为 度． 【问题迁移】（2）如图2，，点P在射线上运动．记，． 当点P在 B、D两点之间运动时，问：与，之间有何数量关系？请说明理由； ②若点P在线段或射线上运动，（不与O、B、D三点重合），请直接写出与，之间的数量关系． 【拓展创新】（3）图3为北斗七星的位置图，将其抽象成图4，并将北斗七星分别标为A、B、C、D、E、F、G，顺次连接各点，天文小组发现线段恰好经过点G，且，，，请你根据这些信息求出的度数． 24．（本题12分）我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）； 与；与；与 (2)多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”； (3)关于的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为．若，，求代数式的最小值． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期七年级期中考试 数学模拟卷（配2024浙教新版教材） 考生须知： 1. 本科目试卷分试题卷和答题卷两部分。满分120分，考试时间120分钟。 2.答题前，必须在答题卷的指定区城内填写班级、姓名和座位号。 3.所有答案都做在答题卷规定位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应。考试结束后只需上交答题卷。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，在园林设计中常常可以看到．下列窗棂图案中可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】生活中的平移现象、图形的平移 【分析】本题考查了图形的平移，根据平移只改变位置，不改变大小，形状和方向，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：由平移只改变位置，不改变大小，形状和方向可知，四个选项中只有A选项中的图案可以有平移得到， 选项B，D中的图形可通过旋转或轴对称得到；C中的图形可通过旋转得到； 故选：A． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、合并同类项、同底数幂相乘 【分析】本题考查整式的混合运算，根据同底数幂的乘法可以判断A；根据合并同类项的方法可以判断B；根据完全平方公式可以判断C；根据平方差公式可以判断D． 【详解】解：A、，故选项A错误，不符合题意； B、，故选项B错误，不符合题意； C、，故选项C错误，不符合题意； D、，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 3．如图所示，下列说法一定正确的是（   ） A．与互余 B．和是同位角 C．和互为补角 D．和是内错角 【答案】D 【知识点】与余角、补角有关的计算、同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查了本题主要考查三线八角，互余、互补的概念，掌握三线八角，互余、互补的概念，，数形结合分析是关键． 指同一平面上的两条直线被第三条直线所截形成的八个角，有同位角，内错角，外错角，同旁内角，同旁外角，互余：两角之和为就称这两个角“互为余角”，简称“互余”，互补：指同一平面内的两个角相加的和等于，两个角的所在位置并不影响其互为补角，要判断两个角是否互补，只需满足：两个角的和等于，由此即可求解． 【详解】解：A、与的和不等于，不互余，故原选项错误，不符合题意； B、和不是同位角，原选项错误，不符合题意； C、和不一定互为补角，原选项错误，不符合题意； D、和是内错角，正确，符合题意； 故选：D ． 4．如图，将三角形向右平移得到三角形，且点在同一条直线上，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查了平移的性质，由平移得，进而可得，据此即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：由平移得，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 5．下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】此题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解本题的关键． 利用二元一次方程组的定义判断即可． 【详解】A．不是整式方程，不符合二元一次方程组的定义，故本选项不符合题意； B．整个方程组里含有3个未知数，不符合二元一次方程组的定义，故本选项不符合题意； C．符合二元一次方程组的定义，故本选项不符合题意； D．最高次项的次数为2，不符合二元一次方程组的定义，故本选项不符合题意． 故选C． 6．若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】B 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查的是二元一次方程组的特殊解法，利用方程①加上方程②，得到，再利用整体代入法求解即可． 【详解】解：， 得， 将代入上式，得：， 解得：， 故选：B． 7．如图，点E在的延长线上，对于给出的四个条件：①；②；③；④．其中能判断的有（   ） A．③ B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、对顶角相等、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，对顶角相等等知识点，熟练掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解决此题的关键．由平行线的判定进行判断即可． 【详解】解：， ，不符合题意； ， ， ， ，符合题意； ， ，符合题意； ， ，不符合题意； 故选：． 8．《九章算术》中有这样一题：今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十．问家数、牛价各几何．题目大意：几家人合伙买牛，若每7家合伙出190钱，则差330钱；若每9家合伙出270钱，则多了30钱．问家数、牛价各是多少．下列说法正确的是（   ） A．设有x家，则牛价为钱 B．设有x家，则可列方程为 C．设有x家，则牛价为y钱，则可列方程组为 D．设有x家，牛价为y钱，则可列方程组为 【答案】D 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用)、古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用．根据题意正确的列方程组是解题的关键．设有x家，牛价为y钱，由每7家共出钱，会差钱，每9家共出钱，又多了钱，列方程即可． 【详解】解：设有x家，牛价为y钱， 根据题意可列方程为，故A选项，B选项错误； 则可列方程组为，故C选项错误，D选项正确； 故选：D． 9．已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键，根据题意巧妙构造，再利用完全平方公式展开，合并同类项后即可得到答案． 【详解】解：已知， 则， 那么， 整理得：， 则， 故选：B． 10．如图，已知直线，直线分别交直线，于点E，F，平分交于点M，G是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点H．设．有下列四个式子：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，画出图形分类讨论是解题的关键． 分点在点右侧，点在和之间，根据平行线的性质和角平分线的定义，分别求出结论即可． 【详解】解：当点在点右侧时，如图示： 平分，平分， ，， ， ． ， ， 当点在和之间时，如图： 平分，平分， ，， ， ． ， ，则； 综上：①④正确，②③错误； 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象有 个． 【答案】1 【知识点】垂线段最短、两点之间线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短，线段的性质，根据垂线段最短，线段的性质分别判断即可．熟记垂线段最短是解题的关键． 【详解】解：①测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故该选项符合题意； ②木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意； ③弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意； ④弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意； 故能用“垂线段最短”来解释的现象有1个， 故答案为：1． 12． 【答案】5 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】本题考查了积的乘方的逆应用，掌握积的乘方的逆应用是解题的关键． 利用积的乘方的逆运算进行计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：5． 13．乐乐的作业本不小心被撕掉了一部分，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮他推测出等号左边被撕掉的内容是 ． 【答案】 【知识点】多项式除以单项式 【分析】此题考查多项式除以单项式．根据题意得到，计算即可得到等号左边被撕掉的内容． 【详解】解：． 故答案为：． 14．如图是某射箭运动员射箭的一个瞬间．已知，，，，，则运动员两腿之间的夹角的度数为 ． 【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行线的性质，过点B作，先由平行线的性质推出，，再由平行线的性质推出，，再由可得答案． 【详解】解：如图，过点B作． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 15．若关于，的二元一次方程组的解为，则关于，二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握换元思想成为解题的关键． 设，则关于，二元一次方程组可化为，即，然后代入确定m、n的值即可解答． 【详解】解：设，则关于，二元一次方程组可化为， ∵关于，的二元一次方程组的解为， ∴， ∴，解得：． 故答案为：． 16．小明在计算时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本不用计算器，而且很快说出了答案．你知道答案是多少吗，请将答案填在横线上 ． 【答案】/ 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，正确将已知式的局部进行因式分解成为解题的关键． 先运用平方差公式对局部进行因式分解，然后再计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（本题6分）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】多项式除以单项式、运用平方差公式进行运算、同底数幂的除法运算、整式的混合运算 【分析】本题考查的是幂的混合运算，整式的混合运算，多项式除以单项式； （1）先计算积的乘方，再计算同底数幂的除法与乘法运算，最后合并同类项即可； （2）先计算整式的乘法运算，多项式除以单项式，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 18．（本题6分）解方程组．． 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法．把方程②化为，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， ②，得：③， ，得：， 解得：， 把代入②，得：， 解得：， ∴方程组的解为． 19．（本题8分）已知：如图，，于点． (1)请说明； (2)若，试说明； (3)与有怎样的位置关系？请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)，理由见详解 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，掌握平行线的判定及性质是解题的关键． （1）由同位角相等，两直线平行进行判定，即可求解； （2）由等量代换得，由内错角相等，两直线平行进行判定，即可求解； （3）由两直线平行，同位角相等得，即可求解； 【详解】（1）解：， ； （2）解：，， ， ； （3）解：，理由如下： ， ， ， ， ． 20．（本题8分）随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元． (1)求A，B两种头盔的单价各是多少元； (2)若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？ 【答案】(1)A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元 (2)共有2种购买方案，最大利润是220元 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，根据某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元；列出二元一次方程组，解方程组即可； 设购进A种头盔m个，B种头盔n个，根据该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题． 本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出二元一次方程． 【详解】（1）解：设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元． （2）解：设购进A种头盔m个，B种头盔n个， 由题意得：， 整理得：， 、n均为正整数， 或， 该商店共有2种购买方案： ①购进A种头盔2个，B种头盔10个，利润为元； ②购进A种头盔4个，B种头盔5个，利润为元； ， 最大利润是220元． 21．（本题10分）如图，正方形的边长为，长方形的长为，宽为，m为正整数，正方形的面积记为，长方形的面积记为． (1)若，求m的值； (2)若存在常数a，使得不论m为何值，始终是一个定值，求a的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式加减中的无关型问题、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了完全平方公式、多项式乘多项式、解一元一次方程、一元一次不等式的解集等知识点，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）根据正方形和长方形的面积公式可得出，然后根据列出关于m的一元一次方程求解即可； （2）先求出，然后根据为定值得，即可求出a的值． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴，解得：． （2）解：∵为定值， ∴，解得：． 22．（本题10分）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，即时的值最小，最小值是1． 即的最小值是1． 定义：一个正整数能表示成（、是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）①已知13是“完美数”，请将它写成（、是正整数）的形式______； ②配方：； 【探究问题】 （2）①已知，则______； ②已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展结论】 （3）已知实数、满足，当______时，最小值为______． 【答案】（1）①；②9，3；（2）①；②当时，为“完美数”，理由见解析；（3）3，1 【知识点】运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）①把13分为两个整数的平方即可； ②原式利用完全平方公式即可求解； （2）①已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，即可求出的值； ②根据为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可； （3）由已知等式表示出，代入中，配方后再利用非负数的性质求出最小值即可． 【详解】解：（1）①根据题意得：； 故答案为：； ②根据题意得：， 故答案为：9，3； （2）①∵， ∴， ∴， ，， ，， 解得：，， ∴； 故答案为：； ②当时，为“完美数”， 理由如下： ， ，是整数， ，也是整数， 是一个“完美数”； （3）∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为1． 故答案为：3，1． 23．（本题12分）【问题情境】（1）如图1，，，求度数． 小明的思路：过P作，通过平行线性质来求． 按小明的思路，易求得的度数为 度． 【问题迁移】（2）如图2，，点P在射线上运动．记，． 当点P在 B、D两点之间运动时，问：与，之间有何数量关系？请说明理由； ②若点P在线段或射线上运动，（不与O、B、D三点重合），请直接写出与，之间的数量关系． 【拓展创新】（3）图3为北斗七星的位置图，将其抽象成图4，并将北斗七星分别标为A、B、C、D、E、F、G，顺次连接各点，天文小组发现线段恰好经过点G，且，，，请你根据这些信息求出的度数． 【答案】（1）110；（2） ①，理由见解析；② 或（3） 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，解题时注意分类思想的运用． （1）过P作，通过平行线性质求即可； （2）①过P作交于E，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； ②分两种情况：P在延长线上；P在延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出，，即可得出答案． （3）过点C作，根据平行线的性质，得出，进而得到，即可求出的度数． 【详解】解：（1）过点P作，如图1， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：110； （2）①， 理由：如图2，过P作交于E， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图3所示，当P在延长线上时，设与交于点， ∵ ∴ 又 ∴； 如图4所示，当P在延长线上时，同理可得． （3）如图5．过点C作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 24．（本题12分）我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）； 与；与；与 (2)多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”； (3)关于的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为．若，，求代数式的最小值． 【答案】(1)； (2)它们的“对消值”为； (3)代数式的最小值是． 【知识点】整式加减的应用、完全平方式在几何图形中的应用 【分析】此题考查了求代数式值的能力， ()运用题目中的定义进行逐一计算、辨别； ()先运用题目中的定义求得，的值，再代入求解； ()先求得，再将原式进行配方变形进行求解；解题的关键是能准确运用题目的新定义进行求解． 【详解】（1）∵， , ， ∴组多项式不是互为“对消多项式”，组多项式是互为“对消多项式”， 故答案为：； （2），， ∵与互为“对消多项式”， ，， ，， ∴它们的“对消值”为； （3），， ， ∵与互为“对消多项式”且“对消值”为， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∴代数式的最小值是． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$