专题02 平行线有关的证明（考题猜想，18大题型）-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲（鲁教版）

专题02 平行线有关的证明（18大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 判断命题的正误（易错） · 题型二 用直尺、三角板画平行线 · 题型三 平行公理及推论的应用 · 题型四 补全判定平行线的证明过程 · 题型五 添加一个条件判定两直线平行（易错） · 题型六 平行线的判定（高频） · 题型七 利用平行线的性质求角度（重点） · 题型八 根据平行线的性质探究角的关系（高频） · 题型九 根据平行线的性质与判定求角度（难点） · 题型十 根据平行线的性质与判定证明（难点） · 题型十一 平行线的性质在生活中的应用（高频） · 题型十二 与平行线有关的折叠问题（压轴）题型十三 与平行线有关的旋转问题（压轴） · 题型十四 与三角形角度探究有关的折叠问题（难点） · 题型十五 与平行形、角平分线有关的三角形内角和问题（重点） · 题型十六 三角形内角和定理与外角和定理的综合（难点） · 题型十七 与三角形角平分线有关的热考问题（压轴） · 题型十八 三角板中的角度计算（压轴） 题型一 判断命题的正误（易错） 1．（23-24七年级下·山东滨州·期末）有下列命题：①两点确定一条直线；②相等的角是直角；③内错角相等；④两点之间，线段最短．其中，假命题的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（23-24七年级下·山东临沂·期中）下列命题：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；③a，b为实数，若，则；④同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；⑤同旁内角互补，两条直线平行，其中正确的有（    ） A．④⑤ B．①⑤ C．①④⑤ D．③④⑤ 3．（23-24七年级下·山东烟台·期末）下列命题是假命题的有 ． ①若，则；②一个角的余角大于这个角；③若a，b是有理数，则； ④如果，那与是对顶角． 题型二 用直尺、三角板画平行线 4．（23-24七年级下·山东枣庄·期中）如图，的三个顶点A、B、C在正方形网格中，每个小方格的边长都为1．请在方格纸上画图并回答下列问题： (1)过C点画直线的垂线，垂足为点E； (2)过A点画射线，交直线于点F； (3)点C到直线的距离为线段______的长度； (4)比较大小：线段______线段（填“”、“”或“”）．理由是______． 5．（22-23七年级下·山东菏泽·期中）如图，用三角尺或量角器画图： (1)经过点A画直线的平行线； (2)经过点C画直线的垂线； (3)画点C到直线的垂线段． 6．（22-23七年级上·河南南阳·期末）【操作】在如图的方格纸中（网格线的交点叫格点），按要求画图、填空． （1）过点A作的垂线，垂足为点D，该垂线经过的一个格点记为点E． （2）过点E作的平行线，该平行线经过的一个格点记为F；过点B作的平行线，该平行线经过的一个格点记为G． 【发现】与的位置关系为______． 【概括】根据你的发现，概括一条事实或结论：______． 题型三 平行公理及推论的应用 7．（23-24七年级下·山东临沂·阶段练习）在同一平面内有直线，，，，，…，按此规律，那么与的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．相交 D．无法判断 8．（22-23七年级下·山东德州·阶段练习）如图，，则与的位置关系是（    ）    A．相交 B．平行 C．相交或平行 D．无法确定 9．（22-23七年级下·山东德州·期中）如图，已知，，垂足为点、，，猜想与的位置关系，并证明你的结论． 10．（22-23七年级下·山东青岛·阶段练习）如图，已知，，，，请说明的理由．    题型四 补全判定平行线的证明过程 11．（24-25七年级下·全国·期中）按要求完成下列说明过程． 已知：如图，在三角形中，于点是上一点，且． 请说明：． 解：∵（已知）， ∴_____________（_______________）． ∴_____________． ∵（已知）， ∴_____________=_____________（_____________）． ∴（__________________________）． 12．（23-24七年级下·山东聊城·期中）如图，点在上，已知，平分，平分，请说明的理由． 证明：因为（____________）， （____________）， 所以（____________）， 因为平分， 所以（____________）， 因为平分， 所以，得（____________）， 所以____________（____________）． 13．（20-21七年级下·山东青岛·阶段练习）推理填空： 已知：如图于B，于C，，求证：．   证明：∵于B，于C （已知） ∴ ∴与互余，与互余 又∵（ ）， ∴ ＝ （ ） ∴（ ）． 题型五 添加一个条件判定两直线平行（易错） 14．（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）将文具套尺中的量角器和三角板按照如图方式摆放，其中，三角板的直角顶点C与量角器的中心重合，为量角器的直径．下列条件中，能判定的是 （填序号） ①；②；③；④ 15．（23-24七年级下·山东滨州·阶段练习）如图，下列条件能判定的是 ． ①　　② ③　　④ 16．（23-24七年级下·山东泰安·期中）如图，在下列四组条件中：①，②，③，④，能判定的是 ．（填序号） 题型六 平行线的判定（高频） 17．（23-24七年级下·山东淄博·期中）已知，分别平分，，且与互余，试说明． 18．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）如图，在直线上有C，D两点，过点C作，过点D作，已知，求证：． 19．（24-25七年级下·山东聊城·开学考试）如图，直线和被直线所截． (1)如图，平分，平分，则当与满足 时，； (2)如图，平分，平分，则当与满足 时，； (3)如图，平分，平分，则当与满足什么条件时，？请说明理由． 题型七 利用平行线的性质求角度（重点） 20．（23-24七年级下·山东聊城·开学考试）如图，已知直线，根据图中标出的角度，求和的度数． 21．（23-24七年级下·山东聊城·期末）如图，是一块含角的直角三角尺，，，分别过顶点，作两条平行线，，若． (1)求的大小； (2)求的大小． 22．（23-24七年级下·山东德州·期末）如图，已知，直线分别交直线、于点E、F，． (1)若，求的度数； (2)若，平分，求的度数． 23．（23-24七年级下·山东济宁·期末）如图，，点P是射线上一个动点(点P不与点C重合)，和的平分线， 分别交射线于点E， F (1)若，求的度数； (2)无论点P运动到射线上的任意位置(点P不与点C重合)，和都保持不变的数量关系，写出两者之间的数量关系，并证明 题型八 根据平行线的性质探究角的关系（高频） 24．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）已知：在图图中，，点，点，点与，在同一平面内．(1)探究与表达请直接写出： 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系： 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系； 图中，，，，的数量关系； (2)推导与应用如图，将长方形纸片沿折叠，已知，求的度数． 25．（23-24七年级下·山东青岛·单元测试）已知：（1），P为平行线内一点，请猜测、、的关系并说明理由． （2）若内部有两个点，，那么，和，又有怎样的数量关系（直接写出结果） （3）内部有n个点呢，你找到了怎样的规律？（直接写出结果） （4）若内部有n个点的位置这样变化，你找到了怎样的规律？（直接写出结果） 题型九 根据平行线的性质与判定求角度（难点） 26．（23-24七年级下·山东临沂·期末）已知，点M，N分别是、上的点，点G在、之间，连接、． (1)如图1．若，已知的平分线交的平分线于点H．求的度数； (2)如图2．若点P是下方一点，平分，平分，已知．证明：为定值． 27．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，、两点分别在的、边上，与分别与相交于、两点，且，，，．求的度数． 28．（23-24七年级下·山东济南·期末）在张老师的课堂上，张老师引导学生证明“三角形内角和定理”． 如图1，已知：．求证：． 如何证明这个定理呢？ 下面是两种添加辅助线的方法，请按要求解决下列问题． 方法一：如图1，延长作射线，过点作射线． 方法二：如图2，过点作直线． (1)某同学写出了方法一的证明过程，请补充完整． 证明：如图1，延长作射线，过点作射线， ______（两直线平行，内错角相等）， （______）． （平角的定义）， （等量代换）． (2)请写出方法二的证明过程． (3)在回顾解题思路时，张老师带领同学们重点总结了转化思想，指出两种解题思路都利用了“平行线”进行等角转化；为了帮助同学们更好地感悟转化思想，张老师又提出了下面的问题，请你解答． 如图3，已知，过点作直线，为线段上一点，连接、，若，，．求的度数． 题型十 根据平行线的性质与判定证明（难点） 29．（23-24七年级下·山东滨州·期末）感知发现：（）在学习平行线中，“启智”兴趣小组发现了很多有趣的模型图，如图，当时，可以得到结论：．请你写出证明过程； 探索思考：（）那么如果把条件和结论互换一下是否还成立呢？于是“启智”兴趣小组想尝试证明：如图，，求证：．请你写出证明过程； 综合与实线：（）利用这个“模型结论”，我们可以解决很多问题．“启智”兴趣小组的同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图．已知两直线且，在直角中，，，．“启智”兴趣小组的同学们发现，说明理由； 实践探究：（）如图，当时，是上一点，平分，平分，试探究与之间的数量关系？并证明你的结论． 30．（23-24七年级下·山东临沂·期末）如图，．将两块直角三角尺（一块含，一块含）按如下方式进行摆放，恰好满足． (1)若，求的度数； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 题型十一 平行线的性质在生活中的应用（高频） 31．（2024七年级上·全国·专题练习）“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且． (1)填空：_______； (2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线第一次到达之前，灯A转动几秒，两灯的光束互相平行？ 32．（23-24七年级下·全国·期中）如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角． (1)求此时支架与底座的夹角的度数； (2)求此时灯头与水平线的夹角的度数． 33．（23-24七年级下·广西南宁·期中）阅读材料，解决问题： 【阅读材料】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，且，这就是光的反射定律． （1）在图1中，证明； 【解决问题】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，，是平行放置的两面平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由（1）可知，光线经过平面镜反射时，有，． （2）请问和有什么关系？并说明理由； （3）小明尝试制作一如示意图的简易潜望镜，但发现光线无法顺利通过，请思考应如何调整平面镜，的位置，并给出建议（合理即可）． 题型十二 与平行线有关的折叠问题（压轴） 34．（23-24七年级下·山东临沂·阶段练习）【问题情境】 学习了平行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的（如图中的①—④，虚线部分表示折痕）． 【操作发现】 （1）发现一：如图④，由图②中的折叠可知，，由图③中的折叠可知，，则．用数学符号写出这个推理过程，并注明推理的依据． （2）发现二：如图④，由图②中的折叠可知，，由图③中的折叠可知，则，所以．用数学符号写出这个推理过程，并注明推理的依据． 【解决问题】（3）如图⑤，于点，平分，于点．求证：． 35．（23-24七年级下·山东聊城·期末）【综合与实践】 学习了平行线的性质与判定之后，我们继续探究折纸中的平行线． 37．（20-21七年级下·山东青岛·期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，，；）． (1)如图1，①若，求的度数； ②若，求的度数． (2)由（1）猜想与满足的数量关系，并说明理由． (3)若固定 ，将 绕点C旋转， ①当旋转至BEAC（如图2）时，直接写出的度数是 度． ②继续旋转至BCDA（如图3）时，求的度数． 38．（23-24七年级下·山东日照·期末）如图1，将一副三角板按图中所示位置摆放，点在直线上，且，与相交于点，其中，，，，． (1)求此时的度数； (2)如图2，若三角板绕点按顺时针方向旋转，当时，求此时的度数； (3)在（2）的条件下，三角板绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒，当时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况？若存在，请求出所有满足题意的值；若不存在，请说明理由． 题型十四 与三角形角度探究有关的折叠问题（难点） 39．（21-22七年级下·山东烟台·期中）将的顶角A沿直线DE折叠（如图），点A的对应点为点，记为，为． (1)如图1，当点A的对应点落在内部时，试探求与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点A的对应点落在外部时，与又有怎样的数量关系呢？请写出猜想，并给予证明． 题型十五 与平行形、角平分线有关的三角形内角和问题（重点） 40．（23-24七年级下·山东济宁·期中）如图，已知，，． (1)求的度数； (2)若平分，于E，求的度数． 41．（23-24七年级上·山东威海·期中）如图，是的角平分线，交于点D．若，，求的度数．    42．（22-23六年级下·山东威海·期末）如图1，线段于点A，平分，M为射线上一点，，垂足为E，的平分线交直线于点F． (1)如图1，当M为线段上一点，你能判断、的位置关系吗？请说明理由； (2)如图2，M为线段延长线上一点，你能判断、的位置关系吗？请说明理由． 题型十六 三角形内角和定理与外角和定理的综合（难点） 43．（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，在中，点D，E分别在边上，∠，与交于点F． (1)若，，则 ； (2)若，求证：． 44．（23-24七年级下·广东湛江·期末）在中，，点在线段上， (1)如图1，点在线段上，，若，，则______； (2)如图2，平分，点在线段上，交的延长线于点，与的角平分线交于点，问是否为定值，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，点在线段上，时，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 45．（23-24七年级下·四川内江·期末）如图1，，点C、D分别在射线上，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点F． (1)当时，求的度数； (2)当C、D在射线上任意移动时（不与点O重合），的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出的度数； (3)当在的三个内角中，有一个角是另一个角的3倍时，求的度数． 题型十七 与三角形角平分线有关的热考问题（压轴） 46．（23-24七年级下·山东滨州·阶段练习）（1）阅读并填空：如图1，分别是的内角的平分线，则：与之间的等量关系是__________． （2）探究，请直接写出结果，并任选一种情况说明理由： （i）如图2，分别是的两个外角的平分线，试探究与之间的等量关系． 答：与之间的等量关系是__________． （ii）如图③，分别是的一个内角和一个外角的平分线，试探究与之间的等量关系． 答：与之间的等量关系是__________． 47．（23-24七年级下·山东烟台·期中）如图，，分别平分和．    (1)如果，，请直接写出的度数； (2)判断，，三者之间有何等量关系？请写出证明过程． 题型十八 三角板中的角度计算（压轴） 48．（23-24七年级下·山东威海·期末）[实验探究] （1）将一副三角板如图1摆放，使三角板的两条直角边分别经过点，点，且，则______； （2）在图1的基础上，三角板保持不动，将三角板旋转得到图2，使三角板的两条直角边依然分别经过点，点，则______． [猜想证明] 如图3，试猜想之间的关系，并证明． [结论应用] 请直接利用以上的结论，解决问题：如图4，与的角平分线交于点，若，，求的度数． 49．（23-24七年级下·山东潍坊·期中）综合与实践： 借助一副三角板的不同摆放方式，研究并解决以下问题． (1)如图1， _____，利用一副三角板，我们还能画一些度数的角，请你再写出两个：_____，_____；（角的范围是，，，，除外） (2)如图2，若的度数比度数的2倍还多，求的度数； (3)将一副三角板如图3所示摆放，直线，如图4，现将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒． ①当旋转到时，请直接写出t的值； ②在三角板绕点A旋转的同时，三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，若边与三角板的一条直角边（边，边）平行时，请直接写出t的值． 50．（23-24八年级下·辽宁大连·阶段练习）【动手操作】 小明将一副三角板中的两个直角顶点 C按如图1方式叠放在一起，其中 ．三角板固定不动，将三角板绕点 C顺时针旋转． 【发现问题】 小明发现，在旋转三角板的过程中，有些角之间的存在着特殊的数量关系；某两条边在某个瞬间，有特殊的位置关系． 【解决问题】 (1)当三角板旋转至如图2所示的位置时． 求证： 求证： (2)小明将三角板从图1所示的位置开始绕点C以每秒的速度按顺时针方向旋转，设旋转时间为t秒，当旋转到延长线上时，小明停止旋转． 如图3．当 时，求t的值； 当三角板中的边与三角板中的某条边平行时，求t的值． 51．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）如图1，直角三角板与直角三角板的斜边在同一直线上，，，，平分，不动将绕点按逆时针方向旋转，记为，在旋转过程中： (1)如图2，当___________时，；当___________时，； (2)将绕点按逆时针方向旋转到如图3的位置，边与延长线交于点，边与交点，求的值； (3)当顶点不在内部时，此时的度数范围是___________；（三角形的内部不包含三角形的边） (4)在旋转过程中，当___________时，的一边与平行． 52．（23-24七年级下·河南南阳·期末）【问题背景】 在一副三角板和（顶点C重合）中，， ， ． 【问题发现】 （1）如图1，当时，求的度数． 【问题探究】 （2）如图2，若，判断与的位置关系，并说明理由． 【问题拓展】 （3）如图2，将三角板绕点C按顺时针方向旋转，在旋转一周的过程中，当与三角板的直角边重合时，请直接写出两个三角板斜边所夹的锐角的度数． $$专题02 平行线有关的证明（18大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 判断命题的正误（易错） · 题型二 用直尺、三角板画平行线 · 题型三 平行公理及推论的应用 · 题型四 补全判定平行线的证明过程 · 题型五 添加一个条件判定两直线平行（易错） · 题型六 平行线的判定（高频） · 题型七 利用平行线的性质求角度（重点） · 题型八 根据平行线的性质探究角的关系（高频） · 题型九 根据平行线的性质与判定求角度（难点） · 题型十 根据平行线的性质与判定证明（难点） · 题型十一 平行线的性质在生活中的应用（高频） · 题型十二 与平行线有关的折叠问题（压轴） · 题型十三 与平行线有关的旋转问题（压轴） · 题型十四 与三角形角度探究有关的折叠问题（难点） · 题型十五 与平行形、角平分线有关的三角形内角和问题（重点） · 题型十六 三角形内角和定理与外角和定理的综合（难点） · 题型十七 与三角形角平分线有关的热考问题（压轴） · 题型十八 三角板中的角度计算（压轴） 题型一 判断命题的正误（易错） 1．（23-24七年级下·山东滨州·期末）有下列命题：①两点确定一条直线；②相等的角是直角；③内错角相等；④两点之间，线段最短．其中，假命题的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题． 【详解】解：①两点确定一条直线，是真命题； ②相等的角是直角，是假命题； ③内错角相等，是假命题； ④两点之间，线段最短，是真命题； ∴假命题为②③共个， 故选C． 2．（23-24七年级下·山东临沂·期中）下列命题：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；③a，b为实数，若，则；④同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；⑤同旁内角互补，两条直线平行，其中正确的有（    ） A．④⑤ B．①⑤ C．①④⑤ D．③④⑤ 【答案】A 【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，对于假命题举出反例即可． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故不正确； ②两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故不正确； ③a，b为实数，若a2＝b2，如a＝2，b＝−2，则22＝（−2）2，而 不成立，故不正确； ④同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行是真命题，正确； ⑤同旁内角互补，两条直线平行，正确； 故选：A． 【点睛】本题考查命题与定理，平行线公理，平行线的性质和判定定理，算术平方根的意义，解题的关键是明确真命题的定义． 3．（23-24七年级下·山东烟台·期末）下列命题是假命题的有 ． ①若，则；②一个角的余角大于这个角；③若a，b是有理数，则； ④如果，那与是对顶角． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了平方、余角、绝对值意义、对顶角定义、命题的知识；解题的关键是熟练掌握相关的定义和性质．根据平方运算法则、余角定义、绝对值意义、对顶角的定义，逐个判断，即可得到答案． 【详解】解：①若，则或，原命题是假命题，故①符合题意； ②当一个角的度数小于，这个角的余角大于这个角，原命题是假命题，故②符合题意； ③当a，b是有理数，且a，b符号相同时可以得到|，原命题是假命题，故③符合题意； ④，和与是否是对顶角，没有因果关系，原命题是假命题，故④符合题意； 综上分析：假命题的有①②③④． 故答案为：①②③④． 题型二 用直尺、三角板画平行线 4．（23-24七年级下·山东枣庄·期中）如图，的三个顶点A、B、C在正方形网格中，每个小方格的边长都为1．请在方格纸上画图并回答下列问题： (1)过C点画直线的垂线，垂足为点E； (2)过A点画射线，交直线于点F； (3)点C到直线的距离为线段______的长度； (4)比较大小：线段______线段（填“”、“”或“”）．理由是______． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3) (4)，垂线段最短 【分析】本题考查了利用网格作图、垂线段最短以及点到直线的距离等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据网格的特点和垂线特点作图即可； （2）根据网格的特点和平行线特点作图即可； （3）根据点到直线的距离的概念解答； （4）根据垂线段最短解答． 【详解】（1）解：如图：直线即为所作； （2）解：如图，射线即为所作； （3）解：点C到直线的距离为线段的长度； 故答案为：； （4）根据垂线段最短得：线段 线段； 理由是：垂线段最短； 故答案为：，垂线段最短； 5．（22-23七年级下·山东菏泽·期中）如图，用三角尺或量角器画图： (1)经过点A画直线的平行线； (2)经过点C画直线的垂线； (3)画点C到直线的垂线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了用三角板和直尺作平行线的和垂线，解题的关键是熟练掌握过一点作平行线和垂线的方法． （1）用直尺和三角板作直线的平行线即可； （2）用三角板的直角作直线的垂线即可； （3）用三角板的直角作直线的垂线段即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求作的平行线； （2）解：如图，直线即为所求作的垂线； （3）解：如图，线段即为所求作的垂线段． 6．（22-23七年级上·河南南阳·期末）【操作】在如图的方格纸中（网格线的交点叫格点），按要求画图、填空． （1）过点A作的垂线，垂足为点D，该垂线经过的一个格点记为点E． （2）过点E作的平行线，该平行线经过的一个格点记为F；过点B作的平行线，该平行线经过的一个格点记为G． 【发现】与的位置关系为______． 【概括】根据你的发现，概括一条事实或结论：______． 【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；发现：平行；概括：平行于同一条直线的两条直线平行． 【分析】（1）根据网格结构作出的垂线即可； （2）根据网格结构的特征构造相等的同位角再画图，然后标注即可．再根据平行线的判定可得与的位置关系以及结论． 【详解】解：（1）如图，，D为垂足； （2）如图，，， 与的位置关系为平行； 结论：平行于同一条直线的两条直线平行． 【点睛】本题考查了这题-应用与设计作图，利用网格结构作垂线，作平行线，熟练掌握网格结构的特征，准确找出对应点的位置是解题的关键． 题型三 平行公理及推论的应用 7．（23-24七年级下·山东临沂·阶段练习）在同一平面内有直线，，，，，…，按此规律，那么与的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．相交 D．无法判断 【答案】A 【分析】此题考查规律的探索，能找出其中的规律的解题的关键．根据，，，，．．．寻找规律解答． 【详解】解：，， 按此规律， 又 以此类推： ∴ ∵ ∴ ∵ 故选A． 8．（22-23七年级下·山东德州·阶段练习）如图，，则与的位置关系是（    ）    A．相交 B．平行 C．相交或平行 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据平行线公理的推论：平行于同一条直线的两直线互相平行写出答案即可． 【详解】∵， ∴，即与的位置关系是平行． 故选：B． 【点睛】此题重点考查学生对平行线公理的推论的理解，熟练掌握平行线公理的推论是解题的关键． 9．（22-23七年级下·山东德州·期中）如图，已知，，垂足为点、，，猜想与的位置关系，并证明你的结论． 【答案】，证明见解析 【分析】此题考查了平行线的判定，，，则，得到，得到，即可证明结论． 【详解】解：， 证明如下： ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ 10．（22-23七年级下·山东青岛·阶段练习）如图，已知，，，，请说明的理由．    【答案】见解析 【分析】根据同位角相等，两直线平行，得到，同旁内角互补，两直线平行，得到，即可得证． 【详解】解：因为，， 所以， 所以（同位角相等，两直线平行）． 因为，， 所以， 所以（同旁内角互补，两直线平行）． 所以（平行于同一条直线的两条直线平行）． 【点睛】本题考查平行线的判定和平行公理的应用，解题的关键是掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，以及平行于同一条直线的两条直线平行． 题型四 补全判定平行线的证明过程 11．（24-25七年级下·全国·期中）按要求完成下列说明过程． 已知：如图，在三角形中，于点是上一点，且． 请说明：． 解：∵（已知）， ∴_____________（_______________）． ∴_____________． ∵（已知）， ∴_____________=_____________（_____________）． ∴（__________________________）． 【答案】；垂直的定义；；； ；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 根据垂直的定义得到，结合题意得到，由内错角相等，两直线平行即可求解． 【详解】解：：∵（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴， ∵（已知）， ∴（同角的余角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；垂直的定义；；； ；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行． 12．（23-24七年级下·山东聊城·期中）如图，点在上，已知，平分，平分，请说明的理由． 证明：因为（____________）， （____________）， 所以（____________）， 因为平分， 所以（____________）， 因为平分， 所以，得（____________）， 所以____________（____________）． 【答案】已知；平角的定义；同角的补角相等；角平分线的定义；等式的性质；；内错角相等，两直线平行． 【分析】本题考查了平行线的判定，补角性质，角平分线的定义，掌握平行线的判定是解题的关键． 【详解】证明：∵（已知）， （平角的定义）， ∴（同角的补角相等）， ∵平分， ∴（角平分线的定义）， ∵平分， ∴， ∴（等式的性质）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：已知；平角的定义；同角的补角相等；角平分线的定义；等式的性质；；内错角相等，两直线平行． 13．（20-21七年级下·山东青岛·阶段练习）推理填空： 已知：如图于B，于C，，求证：．    证明：∵于B，于C （已知） ∴ ∴与互余，与互余 又∵（ ）， ∴ ＝ （ ） ∴（ ）． 【答案】已知；；；等角的余角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】注意观察图中角之间的位置关系，主要依据为同角或等角的余角相等，平行线的判定定理． 【详解】解：∵于B，于C （已知） ∴ ∴与互余，与互余 又∵（ 已知 ）， ∴（ 等角的余角相等 ） ∴（ 内错角相等，两直线平行 ）． 【点睛】本题主要考查同角或等角的余角相等，内错角相等，两直线平行；熟练相关定理的运用是解题的关键． 题型五 添加一个条件判定两直线平行（易错） 14．（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）将文具套尺中的量角器和三角板按照如图方式摆放，其中，三角板的直角顶点C与量角器的中心重合，为量角器的直径．下列条件中，能判定的是 （填序号） ①；②；③；④ 【答案】①②③ 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解： ， 故①符合题意； ， ， ， 故②符合题意； ， ， 故③符合题意； 由不能得出， 故④不符合题意； 故答案为：①②③． 15．（23-24七年级下·山东滨州·阶段练习）如图，下列条件能判定的是 ． ①　　② ③　　④ 【答案】①②③ 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．由同位角，内错角相等及同旁内角互补等，判定两直线平行． 【详解】解：①、，能判定； ②、，能判定； ③、，能判定； ④、，能判定，不能判定； 故答案是：①②③ 16．（23-24七年级下·山东泰安·期中）如图，在下列四组条件中：①，②，③，④，能判定的是 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了平行线的判定条件，即内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，熟知上述判定条件是解题的关键．根据平行线的判定条件，逐一判断即可解答． 【详解】解：①，能判断，故符合题意； ②，能判定，故符合题意； ③∵， ∴，故符合题意； ④， ，故不符合题意， 故答案为：①②③． 题型六 平行线的判定（高频） 17．（23-24七年级下·山东淄博·期中）已知，分别平分，，且与互余，试说明． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查的是角平分线的定义，平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解本题的关键；先证明，，结合，可得，从而可得结论． 【详解】证明：∵，分别平分， ∴，， ∵与互余， ∴， ∴， ∴． 18．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）如图，在直线上有C，D两点，过点C作，过点D作，已知，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，先证明，根据同位角相等，两直线平行，说明即可． 【详解】证明：， ， 又， ， 即， ． 19．（24-25七年级下·山东聊城·开学考试）如图，直线和被直线所截． (1)如图，平分，平分，则当与满足 时，； (2)如图，平分，平分，则当与满足 时，； (3)如图，平分，平分，则当与满足什么条件时，？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线定义的应用，注意：平行线的判定是：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行． （1）根据角平分线定义得出，，时，求出，根据平行线的判定推出即可． （2）根据角平分线定义得出，，求出，根据平行线的判定推出即可． （3）根据角平分线定义得出，，求出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】（1）解：当时，．理由如下： 平分，平分 ． ， ， ． （2）解：当时，．理由如下： 平分，平分， ． ， ， ． （3）解：当时，．理由如下： 平分，平分， ． ， ， ． 题型七 利用平行线的性质求角度（重点） 20．（23-24七年级下·山东聊城·开学考试）如图，已知直线，根据图中标出的角度，求和的度数． 【答案】，． 【分析】此题考查了平行线的性质，对顶角相等， 根据平行线的性质求出，然后利用对顶角相等得到，然后根据平角的概念求解即可． 【详解】解：因为， 所以 所以 所以． 21．（23-24七年级下·山东聊城·期末）如图，是一块含角的直角三角尺，，，分别过顶点，作两条平行线，，若． (1)求的大小； (2)求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了邻补角以及平行线的性质的运用： （1）根据已知条件求出，再利用互补求出即可； （2）利用平行线得到，由于，可以得到，利用互补即可求出． 【详解】（1）因为是一块含角的直角三角尺，，． 所以， 所以， 所以． （2）因为， 所以． 由（1）知，， 所以． 又因为， 所以， 所以． 22．（23-24七年级下·山东德州·期末）如图，已知，直线分别交直线、于点E、F，． (1)若，求的度数； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行线的性质，平角和垂直的定义，角平分线的定义． （1）根据垂直的定义求出的度数，再根据平行线的性质即可求解； （2）根据平角的定义和可得，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义和平角的定义即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， 平分， 23．（23-24七年级下·山东济宁·期末）如图，，点P是射线上一个动点(点P不与点C重合)，和的平分线， 分别交射线于点E， F (1)若，求的度数； (2)无论点P运动到射线上的任意位置(点P不与点C重合)，和都保持不变的数量关系，写出两者之间的数量关系，并证明 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质； （1）先证明，再证明，再结合角的和差关系可得答案； （2）证明，，结合，从而可得结论； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵和的平分线， 分别交射线于点E， F， ∴， ∵， ∴， 即； （2）解：，理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴． 题型八 根据平行线的性质探究角的关系（高频） 24．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）已知：在图图中，，点，点，点与，在同一平面内． (1)探究与表达请直接写出： 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系： 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系； 图中，，，，的数量关系； (2)推导与应用如图，将长方形纸片沿折叠，已知，求的度数． 【答案】(1) ； ； ； ； ； ； (2)． 【分析】（）根据平行线的判定与性质即可求解； （）利用（）中的结论即可求解； 本题考查了平行线的性质和平行定理推论，熟练掌握知识点的应用及正确添加辅助线是解题的关键． 【详解】（1）如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴； 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图，同理， 同理：； （2）由上可知：， ∵，， ∴． 25．（23-24七年级下·山东青岛·单元测试）已知：（1），P为平行线内一点，请猜测、、的关系并说明理由． （2）若内部有两个点，，那么，和，又有怎样的数量关系（直接写出结果） （3）内部有n个点呢，你找到了怎样的规律？（直接写出结果） （4）若内部有n个点的位置这样变化，你找到了怎样的规律？（直接写出结果） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了平行线的性质，以及规律的探索，解题的关键是掌握平行线的性质，正确作出辅助线，注意：两直线平行，同旁内角互补． （1）过点P作，利用平行线的性质得到，，进而求解即可； （2）过点作，过点作，根据平行线的性质得到，，，进而求解即可； （3）利用（1）（2）中的结论，找出规律，求解即可； （4）利用（1）（2）中的方法求出和之间有一个点和2个点时和，的关系，进而找到规律求解即可． 【详解】如图所示，过点P作， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）如图所示，过点作，过点作， ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴ ∴； （3）由（1）（2）可得， 当和之间有一个点P时，； 当和之间有两个点，时，； ∴当和之间有n个点时， ； （4）当和之间有一个点P时，如图所示， 同（1）可得，； 和之间有两个点，时，如图所示， 同（2）可得，； ∴若内部有n个点时， ． 题型九 根据平行线的性质与判定求角度（难点） 26．（23-24七年级下·山东临沂·期末）已知，点M，N分别是、上的点，点G在、之间，连接、． (1)如图1．若，已知的平分线交的平分线于点H．求的度数； (2)如图2．若点P是下方一点，平分，平分，已知．证明：为定值． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查平行的常见模型，对于平行的辅助线添加，可过转折点处作已知直线的平行线，再利用平行的性质求解．关于度数的定值问题，可以借助代数式求证． （1）过点作，利用平行线的性质得到，过点作，利用平行的性质得到对应的角度关系，进而求取的值； （2）根据角平分线的定义求出，，，设，求出，，相减即可证明． 【详解】（1）解：如图所示，过点作， ， ， ，， ， ， ． 过点作， ，，， 平分，平分， ， ， ，， ； （2）如图所示，将与的交点记作， 平分，且， ，， 平分， ， 设， ， 由（1）同理可得，， ， ， 在中，， ，即为定值． 27．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，、两点分别在的、边上，与分别与相交于、两点，且，，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据得出，进而根据平行线的性质得出，，根据已知进而得出，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， ， ． ， 28．（23-24七年级下·山东济南·期末）在张老师的课堂上，张老师引导学生证明“三角形内角和定理”． 如图1，已知：．求证：． 如何证明这个定理呢？ 下面是两种添加辅助线的方法，请按要求解决下列问题． 方法一：如图1，延长作射线，过点作射线． 方法二：如图2，过点作直线． (1)某同学写出了方法一的证明过程，请补充完整． 证明：如图1，延长作射线，过点作射线， ______（两直线平行，内错角相等）， （______）． （平角的定义）， （等量代换）． (2)请写出方法二的证明过程． (3)在回顾解题思路时，张老师带领同学们重点总结了转化思想，指出两种解题思路都利用了“平行线”进行等角转化；为了帮助同学们更好地感悟转化思想，张老师又提出了下面的问题，请你解答． 如图3，已知，过点作直线，为线段上一点，连接、，若，，．求的度数． 【答案】(1)，两直线平行，同位角相等 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键： （1）根据平行线的性质，作答即可； （2）过点作直线，根据平行线的性质和平角的定义，即可得出结论； （3）作，根据，得到，再根据平行线的性质和等量代换进行求解即可． 【详解】（1）证明：如图1，延长作射线，过点作射线， （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）． （平角的定义）， （等量代换）． （2）如图2，过点作直线， ， ，， ， ． （3）如图，作， 则， ， ， ， ， ， ． 题型十 根据平行线的性质与判定证明（难点） 29．（23-24七年级下·山东滨州·期末）感知发现：（）在学习平行线中，“启智”兴趣小组发现了很多有趣的模型图，如图，当时，可以得到结论：．请你写出证明过程； 探索思考：（）那么如果把条件和结论互换一下是否还成立呢？于是“启智”兴趣小组想尝试证明：如图，，求证：．请你写出证明过程； 综合与实线：（）利用这个“模型结论”，我们可以解决很多问题．“启智”兴趣小组的同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图．已知两直线且，在直角中，，，．“启智”兴趣小组的同学们发现，说明理由； 实践探究：（）如图，当时，是上一点，平分，平分，试探究与之间的数量关系？并证明你的结论． 【答案】（）证明见解析；（）证明见解析；（）证明见解析；（），证明见解析． 【分析】（）过点作，由平行公理的推论得，即得，，据此即可求证； （）过点作，由平行线的性质可得，进而可得，得到，再根据平行线的判定可得； （）由（）可得，再把代入即可求证； （）过点作，过点作，同理（）可得，根据平行线的性质和角平分线的定义推导即可求解； 本题考查了平行线的性质和判定，平行公理的推论，邻补角的性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（）证明：过点作， ，， ∴， ，， ， （）证明：过点作， ， ， ，， ， ， ∵， ∴； （）证明：如图，由（）可得，， ∵， ， ； （）解：，理由如下： 如图所示，过点作，过点作， 同（）可得， ，，，，， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 30．（23-24七年级下·山东临沂·期末）如图，．将两块直角三角尺（一块含，一块含）按如下方式进行摆放，恰好满足． (1)若，求的度数； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解答的关键． （1）先求得，再根据两直线平行、同旁内角互补求得即可求解； （2）先根据平行线的性质，进而得到，则，根据同旁内角互补，两直线平行可得到结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：． 理由：∵， ∴． ∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴． 题型十一 平行线的性质在生活中的应用（高频） 31．（2024七年级上·全国·专题练习）“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且． (1)填空：_______； (2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线第一次到达之前，灯A转动几秒，两灯的光束互相平行？ 【答案】(1) (2)30或110秒 【分析】本题主要考查了平行线的性质与角的和差关系的运用、一元一次方程的几何应用， （1）根据两角之和为以及两角之比为即可求解； （2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分为两种情况得到关于t的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵且， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）设灯A转t秒时，两灯的光束互相平行， 或， 所以或． 答：灯A转动30或110秒，两灯的光束互相平行． 32．（23-24七年级下·全国·期中）如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角． (1)求此时支架与底座的夹角的度数； (2)求此时灯头与水平线的夹角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质求解即可； （2）根据平行线的性质及角的和差求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 33．（23-24七年级下·广西南宁·期中）阅读材料，解决问题： 【阅读材料】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，且，这就是光的反射定律． （1）在图1中，证明； 【解决问题】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，，是平行放置的两面平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由（1）可知，光线经过平面镜反射时，有，． （2）请问和有什么关系？并说明理由； （3）小明尝试制作一如示意图的简易潜望镜，但发现光线无法顺利通过，请思考应如何调整平面镜，的位置，并给出建议（合理即可）． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）调整平面镜，使得两面镜子达到平行（合理即可） 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． （1）根据等角的余角相等解答即可； （2）根据平行线的性质求解即可； （3）根据潜望镜的原理，平行线的性质进行分析即可． 【详解】（1）证明：， ，， ； （2），理由如下： ，，， ， ， ； （3）因为潜望镜它是根据光的折射，而潜望镜是要改变光的传播方向的，光线无法顺利通过，说明没有与光线平行，需要调整平面镜，的位置，使得两面镜子，达到平行（合理即可）． 题型十二 与平行线有关的折叠问题（压轴） 34．（23-24七年级下·山东临沂·阶段练习）【问题情境】 学习了平行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的（如图中的①—④，虚线部分表示折痕）． 【操作发现】 （1）发现一：如图④，由图②中的折叠可知，，由图③中的折叠可知，，则．用数学符号写出这个推理过程，并注明推理的依据． （2）发现二：如图④，由图②中的折叠可知，，由图③中的折叠可知，则，所以．用数学符号写出这个推理过程，并注明推理的依据． 【解决问题】（3）如图⑤，于点，平分，于点．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定定理并灵活运用． （1）利用同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行进行分析即可； （2）利用同位角相等，两直线平行进行分析即可； （3）由题意可得，则有，，再由角平分线的定义可得，则可求得． 【详解】（1）解：，， ∴（同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行）； （2）解：，， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）； （3）证明：于点，于点， ∴， ，， 又平分， ． ． 35．（23-24七年级下·山东聊城·期末）【综合与实践】 学习了平行线的性质与判定之后，我们继续探究折纸中的平行线． (1)【知识初探】 如图1，长方形纸条中，，，，将纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G． ①若，求的度数． ②若，则__________（用含的式子表示）． (2)【类比再探】 如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处．点B落在处，得到折痕，则折痕与有怎样的位置关系？说明理由． (3)【提升自我】 如图3，在图2的基础上，过点作的平行线，直接写出和的数量关系． 【答案】(1)①；②； (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了折叠的性质、平行线的判定与性质，熟练掌握折叠的性质和平行线的判定与性质是解题的关键． （1）①由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果； ②由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果； （2）由题意得，，，由平行线的性质得，推出，即可得出． （3）根据，，得出，根据平行线的性质得出，根据，可以得出结论． 【详解】（1）解：①由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴； ②由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 由题意得：，， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型十三 与平行线有关的旋转问题（压轴） 36．（22-23七年级下·山东潍坊·期中）现有一块含角的直角三角尺，是直角，其顶点在直线上，请你解决下列问题：    (1)如图1，请直接写出、的数量关系； (2)如图2，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、，请写出图中分别与、相等的角，并说明理由； (3)如图3，平分，将直角三角尺绕着点旋转，当时，请直接写出与直线所成锐角的度数． 【答案】(1)，理由见解析； (2)，理由见解析； (3)，理由见解析． 【分析】（1）由平角的定义可得、和的和为，可求得与的关系， （2）由直角三角形的两锐角互余，再由（1）和结论可得出结论， （3）由平行线的性质可得，再利用（1）中的关系可求出的大小即可， 【详解】（1），理由如下： 点在直线上， ，， ， 故答案为：． （2），，理由如下： 由（1）得， ， ， ， ， ， ， ， ． （3），理由如下： 如图，   平分，， ， ， ， 由（1）可知，． 故答案为： 【点睛】本题考查了平角的定义及直角三角形的两锐角互余，以及平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 37．（20-21七年级下·山东青岛·期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，，；）． (1)如图1，①若，求的度数； ②若，求的度数． (2)由（1）猜想与满足的数量关系，并说明理由． (3)若固定 ，将 绕点C旋转， ①当旋转至BEAC（如图2）时，直接写出的度数是 度． ②继续旋转至BCDA（如图3）时，求的度数． 【答案】(1)①140°；②30° (2)，见解析 (3)①45；②30° 【分析】（1）①根据，可知，则；②根据，，可知，则； （2）根据，可知； （3）①根据，可知；②根据，可知，则，则． 【详解】（1）①∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴； （2）， 理由如下： ∵， ∴； （3）①∵， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质，三角板的特殊内角，掌握平行线的性质是解决问题的关键． 38．（23-24七年级下·山东日照·期末）如图1，将一副三角板按图中所示位置摆放，点在直线上，且，与相交于点，其中，，，，． (1)求此时的度数； (2)如图2，若三角板绕点按顺时针方向旋转，当时，求此时的度数； (3)在（2）的条件下，三角板绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒，当时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况？若存在，请求出所有满足题意的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，的值为15秒或45秒或60秒 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质，注意分情况讨论是解题的关键． （1）过G作，由平行线的性质得出，再由计算即可得出答案； （2）过F作．由平行线的性质得出，再由计算即可得出答案； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别利用平行线的性质建立方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过G作， ，， ， ， ； （2）解：如图，F作， ，， ， ， ； （3）解：分三种情况： 当时，如图： ，， ， ， ， 解得； 当时，如图： ，， ， ， 解得； 当时，过F作， ，， ， ，， ； ， 解得； 综上，三角板旋转的时间为15秒或45秒或60秒时，存在三角板的某一条边与平行的情况． 题型十四 与三角形角度探究有关的折叠问题（难点） 39．（21-22七年级下·山东烟台·期中）将的顶角A沿直线DE折叠（如图），点A的对应点为点，记为，为． (1)如图1，当点A的对应点落在内部时，试探求与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点A的对应点落在外部时，与又有怎样的数量关系呢？请写出猜想，并给予证明． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，证明见解析 【分析】此题主要考查折叠的性质、三角形外角的性质，掌握折叠前后图形对应角度相等和三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和是解题的关键． （1）利用三角形两次外角定理得出结论； （2）由三角形外角定理，再由折叠可得即可得出结论． 【详解】（1）解：，理由见解析： 如图1，连接，   是的外角， ． 同理，． ． 由折叠性质得． ． （2），证明如下： 如图2，连接，   是的外角， ． 同理，． ． 由折叠性质得． ， ． 题型十五 与平行形、角平分线有关的三角形内角和问题（重点） 40．（23-24七年级下·山东济宁·期中）如图，已知，，． (1)求的度数； (2)若平分，于E，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，理解平行线的性质和判定是解答关键． （1）根据由得到，然后证明出，得到； （2）首先根据角平分线的概念得到，然后由平行线的性质得到，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）∵，平分， ∴ ∵， ∴ ∴． 41．（23-24七年级上·山东威海·期中）如图，是的角平分线，交于点D．若，，求的度数．    【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义，求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在中，． 42．（22-23六年级下·山东威海·期末）如图1，线段于点A，平分，M为射线上一点，，垂足为E，的平分线交直线于点F． (1)如图1，当M为线段上一点，你能判断、的位置关系吗？请说明理由； (2)如图2，M为线段延长线上一点，你能判断、的位置关系吗？请说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】（1）利用平行线的判定即可证明； （2）利用各角之间的关系，证明所在的直线与的夹角为即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 平分，平分， ， ， ； （2）延长，交于点G， 在和中，，， ， 又、分别为和的平分线， ， 又， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的判定以及垂线的判定，角平分线的概念，熟练掌握平行线的判定以及垂线的判定是解题的关键． 题型十六 三角形内角和定理与外角和定理的综合（难点） 43．（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，在中，点D，E分别在边上，∠，与交于点F． (1)若，，则 ； (2)若，求证：． 【答案】(1)70 (2)见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识点，灵活运用三角形内角和定理是解题的关键． （1）由三角形内角和定理可得，再根据即可解答； （2）设，由三角形内角和定理可得，再根据条件将转化为化简即可看到两角都等于β即可证明结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴。 故答案为：70． （2）证明：如图，设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴． 44．（23-24七年级下·广东湛江·期末）在中，，点在线段上， (1)如图1，点在线段上，，若，，则______； (2)如图2，平分，点在线段上，交的延长线于点，与的角平分线交于点，问是否为定值，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，点在线段上，时，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)50 (2)是定值，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据三角形外角的性质得到，再结合已知条件可证； （2）如图，延长交于K．设，求出x与y之间的关系即可解决问题； （3）如图，延长交于K，延长交于N．设，仿照（2）求出x与y之间的关系即可解决问题； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：是定值，理由如下： 如图，延长交于K．设． ∵，平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴ ∵（三角形的外角的性质）， ∴， ∴，即， ∴是定值； （3）解：如图，延长交于K，延长交于N．设． 同（2）法可证：， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角的性质，角度的和差计算等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 45．（23-24七年级下·四川内江·期末）如图1，，点C、D分别在射线上，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点F． (1)当时，求的度数； (2)当C、D在射线上任意移动时（不与点O重合），的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出的度数； (3)当在的三个内角中，有一个角是另一个角的3倍时，求的度数． 【答案】(1) (2)不变化， (3)或 【分析】本题考查了角平分线的计算，三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，以及三角形的内角和是180°的定理．解决本题的关键是熟练掌握了三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和． （1）根据三角形的内角和是，可求，所以，再根据三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，可得答案． （2）先求得．再由是的平分线，是的平分线，可得．最后由三角形外角性质可得答案； （3）设．由（2）知，，可得，再由平分可得．由得出，解得　，从而求出．即　，最后分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵是的平分线，是的平分线， ∴． ∵， ∴． （2）解：不变化，． ∵∠AOB=90°， ∴． ∵是的平分线，是的平分线， ∴． ∵， ∴， ， ； （3）解：设． 由（2）知，， ∴， ∵平分， ∴． ∵， ∴，解得　， ∴． ∴． 即　， 当时，即，解得　． ∴； 当时，即，解得　，不合题意，舍去； 当时，即，解得　． ∴． 综上所述，的度数为或． 题型十七 与三角形角平分线有关的热考问题（压轴） 46．（23-24七年级下·山东滨州·阶段练习）（1）阅读并填空：如图1，分别是的内角的平分线，则：与之间的等量关系是__________． （2）探究，请直接写出结果，并任选一种情况说明理由： （i）如图2，分别是的两个外角的平分线，试探究与之间的等量关系． 答：与之间的等量关系是__________． （ii）如图③，分别是的一个内角和一个外角的平分线，试探究与之间的等量关系． 答：与之间的等量关系是__________． 【答案】（1）；（2）（i）；理由见解析；（ii）；理由见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质等，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）根据角平分线的定义以及三角形内角和定理证明即可； （2）（i）根据三角形外角的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可； （ii）根据三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义求解即可． 【详解】解：（1）∵分别是，的平分线， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）（i）∵分别是的两个外角，的平分线， ∴，， ∵，， ∴ ， 故答案为：； （ii）∵分别是的一个内角和一个外角的平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 47．（23-24七年级下·山东烟台·期中）如图，，分别平分和．    (1)如果，，请直接写出的度数； (2)判断，，三者之间有何等量关系？请写出证明过程． 【答案】(1) (2)，证明见解析． 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和计算问题，以及对顶角相等的知识． （1）利用角平分线的定义得出，，由对顶角相等得出，，利用三角形内角和定理即可得出，，两式相加可得出，化简可得出，然后代入，计算即可得出答案． （2）利用角平分线的定义得出，，由对顶角相等得出，，利用三角形内角和定理即可得出，，两式相加可得出，化简可得出． 【详解】（1）解：∵，分别平分和， ∴，， ∵，， ∴， ， ∴， 即， ∵， ∴． （2）证明：∵，分别平分和， ∴，， ∵，， ∴， ， ∴， 即    题型十八 三角板中的角度计算（压轴） 48．（23-24七年级下·山东威海·期末）[实验探究] （1）将一副三角板如图1摆放，使三角板的两条直角边分别经过点，点，且，则______； （2）在图1的基础上，三角板保持不动，将三角板旋转得到图2，使三角板的两条直角边依然分别经过点，点，则______． [猜想证明] 如图3，试猜想之间的关系，并证明． [结论应用] 请直接利用以上的结论，解决问题：如图4，与的角平分线交于点，若，，求的度数． 【答案】[实验探究] （1）；（2）；[猜想证明] ，证明见解析；[结论应用] 【分析】本题考查了三角形内角和定理，准确识别图形是解题的关键． [实验探究] （1）根据直角三角板的性质可得，，即可求解； （2）根据直角三角板的性质可得，，即可求解； [猜想证明] 连接，在和中，根据三角形内角和定理可得，，即可求解； [结论应用] 由[猜想证明]得：，，再由角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】解：[实验探究] （1）∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为： （2）∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为： [猜想证明]  ，证明如下： 如图，连接， 在中，， 在中，， ∴ ， 即； [结论应用]  由[猜想证明]得：，， ∵与的角平分线交于点， ∴， ∴， ∴， 解得：． 49．（23-24七年级下·山东潍坊·期中）综合与实践： 借助一副三角板的不同摆放方式，研究并解决以下问题． (1)如图1， _____，利用一副三角板，我们还能画一些度数的角，请你再写出两个：_____，_____；（角的范围是，，，，除外） (2)如图2，若的度数比度数的2倍还多，求的度数； (3)将一副三角板如图3所示摆放，直线，如图4，现将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒． ①当旋转到时，请直接写出t的值； ②在三角板绕点A旋转的同时，三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，若边与三角板的一条直角边（边，边）平行时，请直接写出t的值． 【答案】(1)；，（答案不唯一）； (2)； (3)①；②10或40． 【分析】（1）由三角板的性质可得出，由三角板的度数求解即可． （2）由图可知，结合已知条件可求出． （3）①设直线与，分别交于P，Q，根据平行线的性质得到，再利用外角的性质求出，再除以速度可得时间； ②分，，表示出相应角，利用平行线的性质，三角形内角和与外角的性质得到方程，解之即可得到t值． 【详解】（1）解：， 例如：，， 故答案为：；，（答案不唯一） （2）由图可知：， ∴， 由∵， ∴， ∴ （3）①如图，， 设直线与，分别交于P，Q， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图，当时， 设直线与，分别交于P，Q， 此时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：；    如图，当时， 延长，，分别与交于P，Q， 此时，，， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， 解得：；      综上：所有满足条件的t的值为10或40． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角板的特征，三角形内角和和外角的性质，解决本题的关键是找到相对应的情形，本题图形比较抽象，关键是准确画出图形，找到符合题意的情形，不要漏解． 50．（23-24八年级下·辽宁大连·阶段练习）【动手操作】 小明将一副三角板中的两个直角顶点 C按如图1方式叠放在一起，其中 ．三角板固定不动，将三角板绕点 C顺时针旋转． 【发现问题】 小明发现，在旋转三角板的过程中，有些角之间的存在着特殊的数量关系；某两条边在某个瞬间，有特殊的位置关系． 【解决问题】 (1)当三角板旋转至如图2所示的位置时． 求证： 求证： (2)小明将三角板从图1所示的位置开始绕点C以每秒的速度按顺时针方向旋转，设旋转时间为t秒，当旋转到延长线上时，小明停止旋转． 如图3．当 时，求t的值； 当三角板中的边与三角板中的某条边平行时，求t的值． 【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析 (2)①40；②15或45或55 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，平行线的性质，三角形外角的性质： （1）①根据，即可证明；②先得到，再由，即可证明； （2）①由平行线的性质得到，则，据此可得答案；②分当时，当时，当时，三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）证明：①∵， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴； ②当时，则， ∴ 当时，则， ∴， ∴； 当时，延长交于F，则， ∴， ∴； 综上所述，t的值为15或45或55． 51．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）如图1，直角三角板与直角三角板的斜边在同一直线上，，，，平分，不动将绕点按逆时针方向旋转，记为，在旋转过程中： (1)如图2，当___________时，；当___________时，； (2)将绕点按逆时针方向旋转到如图3的位置，边与延长线交于点，边与交点，求的值； (3)当顶点不在内部时，此时的度数范围是___________；（三角形的内部不包含三角形的边） (4)在旋转过程中，当___________时，的一边与平行． 【答案】(1)15；60 (2) (3)或 (4)15或105或135 【分析】（1）根据平行线的判定进行求解即可； （2）利用三角形的内角和定理和三角形的外角的性质，进行求解即可； （3）求出点在边和边上时，的度数，即可得出结果； （4）分，三种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：当，，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴ ； （3）当点在边上时， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴当时，顶点不在内部； ②当点在上时：， ∴当时，顶点不在内部； 综上：或； （4）①当时，如图： 则：， ∵， ∴， ∴，即：； ②当时，， ∴， ∴，即：； ③当时，则：， ∴，即； 故答案为：15或105或135． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形的外角等知识点，熟练掌握相关知识点，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 52．（23-24七年级下·河南南阳·期末）【问题背景】 在一副三角板和（顶点C重合）中，， ， ． 【问题发现】 （1）如图1，当时，求的度数． 【问题探究】 （2）如图2，若，判断与的位置关系，并说明理由． 【问题拓展】 （3）如图2，将三角板绕点C按顺时针方向旋转，在旋转一周的过程中，当与三角板的直角边重合时，请直接写出两个三角板斜边所夹的锐角的度数． 【答案】（1）；（2），理由见解析； （3）或 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，熟练掌握平行线的判定和性质，利用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据，得到，即可得解； （2）若与交于点，利用， ，求得，再得到，，即得证； （3）当与三角板的直角边和直角边重合时，分别讨论两种情况即可得解； 【详解】解：（1） ， ， ， ． （2），理由如下， 若与交于点，如图， ，，， ， ， ， ， 又， ， ， 又， ， ． （3）当与三角板的直角边重合时，与交于点，如图所示， ，， ， 此时，两个三角板斜边所夹的锐角的度数为． 当与三角板的直角边重合时，和延长线交于点，如图所示 ，， ， ， ． 此时，两个三角板斜边所夹的锐角的度数为 综上，当与三角板的直角边重合时，两个三角板斜边所夹的锐角的度数为或． $$