第三章 图形的平移与旋转（单元重点综合测试A卷，北师大版）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记•巧练（陕西专用）

第三章 图形的平移与旋转（单元重点综合测试A卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．医院作为社会健康体系的核心支柱，在国民经济与民众生活中占据着举足轻重的地位．下列医院图标中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列运动属于旋转的是（    ） A．运动员投掷标枪 B．火箭升空 C．飞驰的动车 D．钟表的钟摆的运动 3．如图，三角形沿所在直线向右平移得到三角形，已知，则平移的距离为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 4．如图，将绕点逆时针旋转至的位置，若，，则旋转角的度数为（    ）    A． B． C． D． 5．如图，点A、B的坐标为、，将平移到，已知坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． （题6图）（题7图）（题8图） 6．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，则的面积为（　　） A．8 B．16 C．24 D． 7．如图，与关于点C成中心对称，，，，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 8．如图，为的角平分线，且，E为延长线上一点，，过点E作于点F，连接、，则其中所有正确的结论是（    ） ①可由绕点B旋转而得到；②；③． A．①③ B．①② C．②③ D．①②③ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．在平面直角坐标系中，点关于原点O对称的点的坐标是 ． 10．有下列图形：①线段，②三角形，③平行四边形，④正方形，⑤圆．其中不是中心对称图形的是 ．（填序号） 11．如图，在平面直角坐标系中，格点三角形①经过旋转后得到格点三角形②，则其旋转中心的坐标为 ． 12．如图，中，，，，将绕点B逆时针旋转得，若点在上，则的长为 ． 13．如图，在等边中，，点是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点是边的中点，连接、，则的最小值是 ． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分）如图所示，平移得到，，，求的度数和的长度． 15．（5分）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，求的度数． 16．（5分）如图，与关于原点成中心对称，已知，，求的值． 17．（5分）如图，在的方格纸中，的三个顶点都在格点上，画出关于点C成中心对称的，点A、B的对称点分别为、．    18．（5分）如图，将以点为旋转中心，逆时针旋转，得到，过点作，交的延长线于点，求证：．    19．（5分）如图，将绕点B顺时针旋转，得到，且恰好经过边的中点E，若，求图中阴影部分的面积． 20．（6分）如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，和的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)画出关于原点成中心对称的图形，并写出点，的坐标． (2)若是由绕着某点旋转得到的，且，，的对应点分别为，，，则这点的坐标为______． 21．（6分）如图， 将 逆时针旋转一定角度后得到 点D为的中点． (1)若 则旋转中心为点 ，旋转角度为 ； (2)若在（1）的条件下，求的长． 22．（7分）如图，在四边形中，，点E是上一点，点D与点C关于点E成中心对称，连接并延长，与的延长线交于点F．    (1)E是线段的 ，点A与点F关于点 成中心对称； (2)若，求证：是等腰三角形． 23．（7分）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，使点C的对应点E落在上，连接． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 24．（7分）如图，的顶点都在边长为1的小正方形组成的网格格点上． (1)将向左平移4格，画出平移后的对应； (2)将绕点顺时针旋转，画出旋转后的对应的； (3)第（2）问中旋转过程中边“扫过”的面积为___________． 25．（8分）在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上时，求点的坐标； (2)若点在过点且与轴平行的直线上时，求点的坐标； (3)将点向右平移个单位，再向上平移个单位后得到点，若点在第三象限，且点到轴的距离为，求点的坐标． 26．（10分）旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题． 【问题提出】 （1）如图①，在等腰中，，点是上的一点，，，将绕点旋转后得到，连接，则的长为______cm； 【问题探究】 （2）如图②，在四边形中，于点于点，点，分别是边上的点，且，求的周长；（结果用含的代数式表示） 【问题解决】 （3）如图③，四边形是某小区一块空地的示意图，小区物业计划在这块空地上铺上草坪，经测量，，求这块四边形空地的面积． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 图形的平移与旋转（单元重点综合测试A卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．医院作为社会健康体系的核心支柱，在国民经济与民众生活中占据着举足轻重的地位．下列医院图标中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】中心对称图形的识别 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】 解：A． 不是中心对称图形，故该选项不符合题意； B． 不是中心对称图形，故该选项不符合题意； C． 是中心对称图形，故该选项符合题意； D． 不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．下列运动属于旋转的是（    ） A．运动员投掷标枪 B．火箭升空 C．飞驰的动车 D．钟表的钟摆的运动 【答案】D 【知识点】判断生活中的旋转现象 【分析】本题考查旋转的定义，熟练掌握旋转的定义是解题的关键； 在平面内，把一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转． 【详解】解：根据旋转的定义可以知道钟表的钟摆的运动是旋转； 运动员投掷标枪、火箭升空的运动、飞驰的动车都是平移， 故选：D 3．如图，三角形沿所在直线向右平移得到三角形，已知，则平移的距离为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查了平移的性质，理解平移的不变性是解题的关键． 由平移得即可求解． 【详解】解：由平移得，， 故选：A． 4．如图，将绕点逆时针旋转至的位置，若，，则旋转角的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了旋转的性质，根据角之间的关系先求出，由旋转的性质可得，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴旋转角的度数为， 故选：B． 5．如图，点A、B的坐标为、，将平移到，已知坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知图形的平移，求点的坐标 【分析】本题主要考查了平移的性质， 根据平移的特征可知点A向右平移2个单位，再向上平移1个单位长度，根据平移特征得出答案． 【详解】解：根据点平移到点，可知横坐标增加2，纵坐标增加1， ∴将点A向右平移2个单位，再向上平移1个单位长度得到点， ∴将点B向右平移2个单位，再向上平移1个单位长度得到点， ∴点，即． 故选：C． 6．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，则的面积为（　　） A．8 B．16 C．24 D． 【答案】D 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理．根据题意易证明是等边三角形，则由等边三角形的性质可得答案． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∴是等边三角形， 作垂足为点， ∴， ∴， ∴的面积为， 故选：D． 7．如图，与关于点C成中心对称，，，，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【知识点】全等三角形的性质、用勾股定理解三角形、根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，勾股定理，根据中心对称的性质，得出，求出，，，求出，根据勾股定理得出答案即可． 【详解】解：∵与关于点C成中心对称， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 故选：D． 8．如图，为的角平分线，且，E为延长线上一点，，过点E作于点F，连接、，则其中所有正确的结论是（    ） ①可由绕点B旋转而得到； ②； ③． A．①③ B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】D 【知识点】根据旋转的性质求解、等腰三角形的性质和判定、角平分线的性质定理、全等三角形综合问题 【分析】证明，可得①正确；根据全等三角形的性质得出，再根据等腰三角形的性质和对顶角相等得出，等量代换可得②正确；过E作交延长线于点M，求出，，证明，可得，再证，得出，然后根据线段的和差关系，通过等量代换可得③正确． 【详解】解：∵为的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴可由绕点B旋转而得到，①正确； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，②正确； 过E作交延长线于点M， ∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，③正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，角平分线的定义和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．在平面直角坐标系中，点关于原点O对称的点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用了关于原点的对称点：横、纵坐标都变成相反数．根据关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数，可得答案． 【详解】解：点关于原点O对称的点的坐标是， 故答案为：． 10．有下列图形：①线段，②三角形，③平行四边形，④正方形，⑤圆．其中不是中心对称图形的是 ．（填序号） 【答案】② 【知识点】中心对称图形的识别 【分析】此题考查了中心对称图形的识别，中心对称图形定义：把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，根据定义逐项判断即可得出结论． 【详解】解：根据中心对称图形的定义可知，在①线段，②三角形，③平行四边形，④正方形，⑤圆中，是中心对称图形的是①线段，③平行四边形，④正方形，⑤圆，不是中心对称图形的是②三角形， 故答案为：②． 11．如图，在平面直角坐标系中，格点三角形①经过旋转后得到格点三角形②，则其旋转中心的坐标为 ． 【答案】 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；先确定点A与点E为对应点，点B和点F为对应点，则根据旋转的性质得旋转中心在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上，所以作的垂直平分线和的垂直平分线，它们的交点即为旋转中心． 【详解】解：∵经过旋转后得到， ∴点A与点E为对应点，点B和点F为对应点， ∴旋转中心在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上， 作的垂直平分线和的垂直平分线，它们的交点为M点，如图， 即旋转中心为M点． ∵， ∴其旋转中心的坐标为， 故答案为：． 12．如图，中，，，，将绕点B逆时针旋转得，若点在上，则的长为 ． 【答案】 【知识点】根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理等知识．连接，由旋转的性质得出、的长度，利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得， ，，， 根据勾股定理得： ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， 故答案为：． 13．如图，在等边中，，点是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点是边的中点，连接、，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，得出点的运动轨迹是解题关键．根据等边三角形和旋转的性质，证，得到，即点在以点为顶点，且与夹角为的直线上运动，过点作于点，当点在点处时，取得最小值，即为的长，然后结合勾股定理求解即可． 【详解】解：是等边三角形， ，， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， 即点在以点为顶点，且与夹角为的直线上运动， 如图，过点作于点， 当点在点处时，取得最小值，即为的长， 点是边的中点， ， 在中，， ， ， 即的最小值是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分）如图所示，平移得到，，，求的度数和的长度． 【答案】， 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查的是平移的性质，直接利用平移的性质求解即可，平移前后的对应线段相等，对应角相等． 【详解】解：∵平移得到， ∴， ∴． 15．（5分）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，求的度数． 【答案】 【知识点】根据旋转的性质求解、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转性质得到旋转角即可求解． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ， ∴． 16．（5分）如图，与关于原点成中心对称，已知，，求的值． 【答案】2 【知识点】根据等角对等边求边长、根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】本题主要考查了等角对等边，中心对称图形的性质，根据等角对等边得到，再根据中心对称图形的性质可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵与关于原点成中心对称， ∴． 17．（5分）如图，在的方格纸中，的三个顶点都在格点上，画出关于点C成中心对称的，点A、B的对称点分别为、．    【答案】见解析 【知识点】画已知图形关于某点对称的图形 【分析】根据成中心对称图形的特征可得到对应点，再依次连接即可． 【详解】解：点A关于点C对称得到对应点， 同理可得，依次连接即可， 如图所示，即为所求．    【点睛】本题考查了作图——中心对称图形，熟练掌握中心对称图形对应点的特征是解题的关键． 18．（5分）如图，将以点为旋转中心，逆时针旋转，得到，过点作，交的延长线于点，求证：．    【答案】证明见解析 【知识点】根据旋转的性质求解、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，根据旋转的性质得到，再由平行线的性质得到，由此即可证明结论． 【详解】证明：将以点为旋转中心，逆时针旋转，得到， ． ， ． 19．（5分）如图，将绕点B顺时针旋转，得到，且恰好经过边的中点E，若，求图中阴影部分的面积． 【答案】阴影部分的面积是8 【知识点】根据旋转的性质求解、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查旋转的性质、三角形面积的计算，掌握旋转的性质、三角形面积的计算公式是解题的关键．过点作，交于点，根据题意得证明阴影部分的面积的面积；根据旋转的性，从而求出，再由三角形面积公式求出的面积即可． 【详解】解：如图，过点作，交于点． 根据题意，得， 点是的中点，， 将绕点顺时针旋转， 阴影部分的面积是8 20．（6分）如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，和的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)画出关于原点成中心对称的图形，并写出点，的坐标． (2)若是由绕着某点旋转得到的，且，，的对应点分别为，，，则这点的坐标为______． 【答案】(1)作图见解析，点， (2) 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、找旋转中心、旋转角、对应点、画已知图形关于某点对称的图形 【分析】本题考查作图中心对称，旋转的性质． （1）作出、、关于原点对称的的对应点、、，顺次连接即可，根据坐标系写出点的坐标，即可求解； （2）根据旋转中心为两组对应点连线的垂直平分线的交点可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求 点， （2）解：如图，根据旋转的性质：旋转中心到两对应点的距离相等； ∴旋转中心在线段、的中垂线上，即为图中点； 由图象可知，该点的坐标为． 故答案为：． 21．（6分）如图， 将 逆时针旋转一定角度后得到 点D为的中点． (1)若 则旋转中心为点 ，旋转角度为 ； (2)若在（1）的条件下，求的长． 【答案】(1)C， (2)4 【知识点】根据旋转的性质求解 【分析】（1）根据旋转的概念可得结论； （2）由点为的中点得出，由旋转的性质得． 本题主要考查旋转的概念和性质，①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等． 【详解】（1）解：∵将 逆时针旋转一定角度后得到 ∴点为旋转中心， 由旋转得，， ， ， ， 旋转角度为， 故答案为：；； （2）解：，且点为的中点， ， 由旋转得，． 22．（7分）如图，在四边形中，，点E是上一点，点D与点C关于点E成中心对称，连接并延长，与的延长线交于点F．    (1)E是线段的 ，点A与点F关于点 成中心对称； (2)若，求证：是等腰三角形． 【答案】(1)中点，E (2)见解析 【知识点】等腰三角形的定义、成中心对称、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，解题的关键是了解中心对称的定义，利用中心对称的定义判定两点关于某点成中心对称． （1）利用中心对称的性质回答即可， （2）证得，利用等腰三角形的定义即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点D与点C关于点E中心对称， ∴E是线段的中点，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴点A与点F关于点E成中心对称， 故答案为：中点，E； （2）证明：∵， ∴， ∴是等腰三角形． 23．（7分）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，使点C的对应点E落在上，连接． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由旋转可得，再得到，即可求解； （2）由勾股定理求出，由旋转的性质得，进而得到，再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解： 绕点顺时针旋转得到，使点的对应点落在上，， ∴， ， ∵， ， ∴； （2）解：∵在中，， ∴， 由旋转的性质，得， ， ∴在中，由勾股定理得，． 24．（7分）如图，的顶点都在边长为1的小正方形组成的网格格点上． (1)将向左平移4格，画出平移后的对应； (2)将绕点顺时针旋转，画出旋转后的对应的； (3)第（2）问中旋转过程中边“扫过”的面积为___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】平移(作图)、画旋转图形、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查作图平移变换、旋转变换，熟练掌握平移、旋转的性质是解答本题的关键． （1）将三个顶点向左平移4格得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）将点B，C绕点A顺时针旋转得到点，，再首尾顺次连接即可． （3）首先勾股定理求出，然后得到旋转过程中边“扫过”的部分是以点A为圆心，以为半径的圆，进而求解即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）根据题意得， ∵绕点顺时针旋转得到 ∴旋转过程中边“扫过”的部分是以点A为圆心，以为半径的圆 ∴旋转过程中边“扫过”的面积为． 25．（8分）在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上时，求点的坐标； (2)若点在过点且与轴平行的直线上时，求点的坐标； (3)将点向右平移个单位，再向上平移个单位后得到点，若点在第三象限，且点到轴的距离为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】由平移方式确定点的坐标、求点到坐标轴的距离、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标及点的平移，掌握相关知识并熟练使用，坐标移动时的方向及求解时的符号是解答本题的关键． （1）由点在轴上，得出纵坐标为，解得值并带入横坐标的代数式中即可得出答案． （2）由过点且与轴平行的直线上，得出、两点的横坐标相同，令的横坐标为，解得值并代入纵坐标的代数式中，求值即可得出答案； （3）根据题意用含的代数式表示点的坐标，根据点的位置特征，解得m的值并带入点的坐标中，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得：， 把代入中得：， ∴点坐标为． （2）∵点在过点且与y轴平行的直线上， ∴点的横坐标为， ∴， 解得：， 把代入得：， ∴点坐标为． （3）∵将点向右平移个单位，再向上平移个单位后得到点， ∴的坐标为，即， ∵在第三象限，且到轴的距离为， ∴点的横坐标为， ∴， 解得：， ∴，， ∴． 26．（10分）旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题． 【问题提出】 （1）如图①，在等腰中，，点是上的一点，，，将绕点旋转后得到，连接，则的长为______cm； 【问题探究】 （2）如图②，在四边形中，于点于点，点，分别是边上的点，且，求的周长；（结果用含的代数式表示） 【问题解决】 （3）如图③，四边形是某小区一块空地的示意图，小区物业计划在这块空地上铺上草坪，经测量，，求这块四边形空地的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题 【分析】本题是四边形的综合题，主要考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等，四边形和三角形面积计算等知识，关键是利用旋转的性质作辅助线，构建全等三角形来解决问题． （1）如图①，先根据等腰直角三角形得两锐角为，由旋转得，，由勾股定理可得的长，最后根据是等腰直角三角形可得结论； （2）如图②，延长到，使，连接，证明和，根据等量代换可得的周长； （3）如图③，连接，由于，所以可将绕点顺时针方向旋转，得到，连接，延长，作；易证是等边三角形， 是等腰直角三角形，利用勾股定理计算，，根据面积差可得结论． 【详解】解：（1）如图①， ，， ， 由旋转得：，，，， ，是等腰直角三角形， ， ， ； 故答案为：； （2）如图②，延长到，使，连接， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 的周长； （3）如图③，连接，由于，所以可将绕点顺时针方向旋转，得到， 连接，延长，作于， 由旋转得：， ， ，， ，是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， 设等边三角形的高为， 则勾股定理得：， ． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$