专题14 几何操作变化型问题之折叠问题（讲练，3考点+8题型+方法指导+命题预测）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（江苏专用）

专题14 几何操作变化型问题之折叠问题 试卷第1页，共3页 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 三角形中的折叠问题 ►题型01 等腰三角形中的折叠问题 ►题型02 直角三角形中的折叠问题 考点二 四边形中的折叠问题 ►题型01 平行四边形中的折叠问题 ►题型02 矩形中的折叠问题 ►题型03 菱形中的折叠问题 ►题型04 正方形中的折叠问题 考点三 函数中的折叠问题 ►题型01 一次函数中的折叠问题 ►题型02 二次函数中的折叠问题 01考情透视·目标航 中考考点 新课标要求 命题预测 几何图形中的折叠问题 几何图形中的折叠问题，边角量等关系； 图形变换问题主要包括折叠的形式考察，个别压轴题中还会与特殊图形结合;但是其结合性也比较广,特别是特殊三角形和特殊四边形.在涉及图形变化的考题中，解决问题的方法较多，关键在于解决问题的着眼点，从恰当的着眼点出发，再根据图形变换的特点发现变化的规律很重要.近几年来各地中考试题中,有较多问题需要利用图形变换进行思考和求解.这类问题考查学生的思维灵活性及深刻性，具有很好的选拔与区分功能，成为近年来各地中考试题的热点问题. 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 三角形中的折叠问题 ►题型01 等腰三角形中的折叠问题 1．（2024·江苏南京·一模）如图，将等边三角形沿着折叠，使点恰好落在边上点处．若，，则的边长是 ． ►题型02 直角三角形中的折叠问题 2．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图，中，，，，点为上一个动点，以为轴折叠得到，点A的对应点为点，当点落在内部（不包括边）上时，的取值范围为 .    3．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在中，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 ．    4．（2024·江苏南京·二模）如图，在中，，，分别是，上的点，将沿着折叠，使点落在边的中点（记为处．若，，则的长为 ． 折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等． 【解题思路】凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．解决折叠问题时，首先清楚折叠和轴对称能够提供我们隐含的且可利用的条件，分析角之间、线段之间的关系，借助勾股定理建立关系式求出答案，所求问题具有不确定性时，常常采用分类讨论的数学思想方法． 1．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，E是中点，F是上一点，沿着折叠，若，则 ． 2．（2024·湖北十堰·一模）如图，已知中，分别为边边上的点，将沿折叠，点的对应点恰好落在的中点处，则的长为 ． 3．（2024·新疆阿克苏·模拟预测）如图，在边长为8的等边中，点在上，且，点在上（不与点、重合），连接，把沿折叠，当点的对应点落在等边的边上时，的长为 ． 4．（2024·安徽·模拟预测）如图1，，分别是等边边上两点，且的面积和四边形的面积相等，将沿折叠得到． （1）若，，则 ； （2）如图2，若，，则 ．    考点二 四边形中的折叠问题 ►题型01 平行四边形中的折叠问题 1．（2023·江苏盐城·二模）如图，将平行四边形折叠，使点C落在边上的点处，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏泰州·二模）如图，中，，E，F分别为，的中点，将沿直线折叠，点C落在边上点G处，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏常州·一模）如图，在平行四边形中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，，则的周长为 ． 4．（2023·江苏泰州·一模）如图，在中，，，、分别是边、上一点，且，将沿折叠，使点与点重合，则的长为 ． ►题型02 矩形中的折叠问题 5．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边中点处．若，则 ． 6．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图是一张矩形纸片，点是对角线的中点，点在边上． (1)如图，将沿直线折叠，使点落在对角线上的点处，连接． ①若，，求对角线的长； ②若，求的度数及此时的值． (2)如图，若，，连接，将沿折叠，点的对应点为点，当线段与线段交于点且为直角三角形时，求此时的长． 7．（2024·江苏盐城·一模）综合与实践 折纸中蕴藏着丰富的数学知识，也启迪着数学问题的解决．综合实践课上，老师和同学们一起通过折纸，探究数学的奥秘． 【折纸探究】 如图1，在矩形纸片中，点、分别在边和上，将矩形纸片沿折叠，点落在边上的点处，点落在点处，连接，则与的位置关系为______； 折叠一：小明发现，当点F和点B重合时，连接，如图2，则有，请说明理由； 折叠二：如图3，若矩形是一张纸（），探究、和三者之间的数量关系，并说明理由； 【解决问题】 小华受【折纸探究】的启发，解决了下面的问题．如图4，在矩形纸片中，点E、F分别在边和上，连接、、，平分，，，求的值．（用含有k的代数式表示） ►题型03 菱形中的折叠问题 8．（2023·江苏南京·中考真题）如图， 在菱形纸片中， 点E在边上，将纸片沿折叠， 点B落在处，， 垂足为F  若， 则 9．（2024·江苏扬州·一模）如图，在菱形纸片中，点E在边上，将菱形沿折叠，点A、B分别落在、处，，垂足为F．若，，则 ． ►题型04 正方形中的折叠问题 10．（2024·江苏无锡·二模）如图，将正方形纸片沿折叠，使点B的对称点E落在边上，点A的对称点为F，交于点G，连接交于点H，连接．下列四个结论中： ①；②；③；④． 正确的是 ．（填序号即可） 11．（2024·江苏无锡·二模）如图，四边形为正方形，点E为中点，连接，将纸片折叠，使点C落在上的点G处，折痕为；展平后进行第二次折叠，使落在上，上的点H与点G重合，折痕为，展平后进行第三次折叠，使点A落在上点Q处，折痕为． (1)写出和的关系，并说明理由． (2)求证：H为的黄金分割点． (3)以下结论：①P是的黄金分割点；②P，Q，I三点共线；③，正确的是______（请在横线上填写序号） 折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等． 【解题思路】凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．解决折叠问题时，首先清楚折叠和轴对称能够提供我们隐含的且可利用的条件，分析角之间、线段之间的关系，借助勾股定理建立关系式求出答案，所求问题具有不确定性时，常常采用分类讨论的数学思想方法． 1．（2024·广东·模拟预测）如图，在菱形中，，，是 上一点，把四边形 沿折叠后得到四边形，，则的长为（      ）    A． B．3 C． D． 2．（2025·上海浦东新·模拟预测）如图，在矩形中，，，点是边上的一个动点，把沿折叠，点落在处，如果恰在矩形的对角线上，则的长为 ． 3．（2025·陕西西安·一模）如图，在中，，点为边上一点，，点是边上的动点，将沿直线折叠得到，若点恰好落在线段上，则的值为 ． 4．（2024·湖北·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为 ． 5．（2025·河北·一模）如图，在菱形中，，连接，将菱形沿过点B的直线折叠，使得点C的对应点F恰好落在上，折痕交于点E，延长交于点G，则的度数为 ． 6．（2024·湖南衡阳·模拟预测）在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当为的中点，，时，求的长； (3)如图3，当时，设矩形的周长为，的周长为，探究与的数量关系，并说明理由． 7．（2024·内蒙古包头·模拟预测）操作：如图①在正方形中，点E是的中点，将沿折叠后得到，点F在正方形内部，延长交于点G，易知． 探究：若将图①中的正方形改成矩形，其他条件不变，如图②，那么线段与相等吗？请说明理由． 拓展：如图③，将图①中的正方形改为平行四边形，其他条件不变，若，，则的周长为______． 考点三 函数中的折叠问题 ►题型01 一次函数中的折叠问题 1．（2024·江苏苏州·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． （1）求的长和点C的坐标； （2）求直线的解析式． 2．（2024·江苏苏州·二模）已知一个直角三角形纸片，其中，，．如图1，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边交于点C，与边交于点D． (1)若折叠后点B与点A重合，求直线的解析式； (2)若折叠后点B落在边上的点为，设，，试求出y关于x的函数解析式，并直接写出y的取值范围； (3)若折叠后点B落在边上的点为，且使，则的周长为_____．（请直接在答题卷相应位置上写出答案） ►题型02 二次函数中的折叠问题 3．（2023·四川资阳·模拟预测）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，拋物线的对称轴与交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上，两点之间的部分（不包含，两点），是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，将拋物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，求点的坐标． 二次函数图象的翻折与旋转 变换前 变换方式 变换后 口诀 y=a(x-h)²+k 沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变 沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、h不变，h变号 1．（2024·新疆昌吉·一模）已知直线与y轴、x轴分别交于点A和点B，M是线段上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在y轴上的点处，则点M的坐标是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，，连接，把沿着过点A的某条直线折叠，使点B落在x轴负半轴上的点D处，折痕与y轴交于点C． (1)求直线的解析式； (2)求点C的坐标． 3．（2024·吉林·二模）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点A和 (点A在点 B的左侧)，与y轴相交于点 (1)求此抛物线的解析式． (2)点 D为抛物线的顶点，点P在抛物线的对称轴上(不与点D 重合)，将线段绕点P 顺时针旋转，点 D 恰好落在抛物线上的点Q处． ①点 D的坐标为 ． ②求点 Q的坐标． (3)如图②，将图①中抛物线在x轴下方部分图象沿x轴折叠到x轴上方，与原抛物线在x轴上方的图象组成新的图象． ①当时，图象所对应的解析式为 ． ②再将新图象沿x轴向左平移m个单位长度，若平移后的图象在范围内，y随x的增大而增大，直接写出m的取值范围． 4．（2023·辽宁大连·模拟预测）如图，抛物线过两点，交轴于点，连接． (1)求抛物线解析式． (2)点是线段上的一个动点，当为等腰三角形时，试求点的坐标． (3)①将沿翻折得到，试求点的坐标． ②如图，将抛物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，求点的坐标． $$专题14 几何操作变化型问题之折叠问题 试卷第1页，共3页 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 三角形中的折叠问题 ►题型01 等腰三角形中的折叠问题 ►题型02 直角三角形中的折叠问题 考点二 四边形中的折叠问题 ►题型01 平行四边形中的折叠问题 ►题型02 矩形中的折叠问题 ►题型03 菱形中的折叠问题 ►题型04 正方形中的折叠问题 考点三 函数中的折叠问题 ►题型01 一次函数中的折叠问题 ►题型02 二次函数中的折叠问题 01考情透视·目标航 中考考点 新课标要求 命题预测 几何图形中的折叠问题 几何图形中的折叠问题，边角量等关系； 图形变换问题主要包括折叠的形式考察，个别压轴题中还会与特殊图形结合;但是其结合性也比较广,特别是特殊三角形和特殊四边形.在涉及图形变化的考题中，解决问题的方法较多，关键在于解决问题的着眼点，从恰当的着眼点出发，再根据图形变换的特点发现变化的规律很重要.近几年来各地中考试题中,有较多问题需要利用图形变换进行思考和求解.这类问题考查学生的思维灵活性及深刻性，具有很好的选拔与区分功能，成为近年来各地中考试题的热点问题. 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 三角形中的折叠问题 ►题型01 等腰三角形中的折叠问题 1．（2024·江苏南京·一模）如图，将等边三角形沿着折叠，使点恰好落在边上点处．若，，则的边长是 ． 【答案】/ 【知识点】等边三角形的性质、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质，由等边三角形的性质得出，由折叠得：，，，证明，得出，设，则，，则，求出，，，建立方程，求出的值即可得解，证明是解此题的关键． 【详解】解：是等边三角形， ， 由折叠得：，，， ， ， ， ， 设，则，，则， ，， ， ， ， ， ，， ， 解得：， ， ， 的边长是， 故答案为：． ►题型02 直角三角形中的折叠问题 2．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图，中，，，，点为上一个动点，以为轴折叠得到，点A的对应点为点，当点落在内部（不包括边）上时，的取值范围为 .    【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、根据等角对等边证明边相等、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】先过点作，垂足为，以为轴折叠得到，点的对应点为点，此时点落在边上，求出，再作的角平分线，交于点，以为轴折叠得到，点的对应点为点，此时点落在边上，求出，结合点落在内部（不包括边）上，即可得到的取值范围． 【详解】解：过点作，垂足为，以为轴折叠得到，点A的对应点为点，则点落在边上，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， 作的角平分线，交于点，以为轴折叠得到，点A的对应点为点，则点落在边上，    ∵由折叠可知：， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点落在内部（不包括边）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称中的折叠问题、含角的直角三角形的性质、勾股定理等，等腰三角形的判定，熟知折叠前后两个三角形全等是解答本题的关键． 3．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在中，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 ．    【答案】 【知识点】三角形边角的不等关系、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】由折叠性质可知，然后根据三角不等关系可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可知， ∵， ∴当、、B三点在同一条直线时，取最小值，最小值即为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查勾股定理、折叠的性质及三角不等关系，熟练掌握勾股定理、折叠的性质及三角不等关系是解题的关键． 4．（2024·江苏南京·二模）如图，在中，，，分别是，上的点，将沿着折叠，使点落在边的中点（记为处．若，，则的长为 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】连接交于点，先求出，然后证明△，，可求出，，最后由勾股定理即可求出． 【详解】解：连接交于点，如图， 在中，，，， 由勾股定理，得， 点是边的中点， ， ，， 将沿着折叠，使点落在边的中点处， ，， ，， 又，， ，， ，， 即，， 解得，， 在中， 由勾股定理，得． 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握相关知识是解题的关键． 折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等． 【解题思路】凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．解决折叠问题时，首先清楚折叠和轴对称能够提供我们隐含的且可利用的条件，分析角之间、线段之间的关系，借助勾股定理建立关系式求出答案，所求问题具有不确定性时，常常采用分类讨论的数学思想方法． 1．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，E是中点，F是上一点，沿着折叠，若，则 ． 【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、等腰三角形的性质和判定、勾股定理与折叠问题、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】取中点为D、连接，作中点G，连接交，交于O，根据勾股定理求出的长，由折叠性质以及等腰三角形的判定与性质得出共线，即O与重合，利用中位线性质，勾股定理得出一元二次方程，求出结果即可得出结论． 【详解】解：如图所示，取中点为D、连接，作中点G，连接交，交于O， 在中 为中点， ， 由折叠可知：， 点G是中点，在中有，且， 在中，， 在中，E为中点，G为中点， ， 取中点为，则， ， ， 共线，即O与重合， ， 在中，， 为的中点，D为的中点， ， ， ， 在中，设，则， ， ， 在中，，即， 整理得：， 解得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，一元二次方程的几何应用，中位线的性质，等腰三角形的判定与性质，折叠性质，熟练掌握相关性质定理，准确作出辅助线为解题关键． 2．（2024·湖北十堰·一模）如图，已知中，分别为边边上的点，将沿折叠，点的对应点恰好落在的中点处，则的长为 ． 【答案】/ 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查翻折变换，涉及等腰直角三角形性质，根据等腰直角三角形的性质求出，由翻折可得，过点作于点，得，所以，然后利用勾股定理求出，进而即可解决问题，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 【详解】解：∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵是的中点， ∴， 由翻折可知：， 过点作于点，如图所示： ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，即，解得， ∴， 故答案为：． 3．（2024·新疆阿克苏·模拟预测）如图，在边长为8的等边中，点在上，且，点在上（不与点、重合），连接，把沿折叠，当点的对应点落在等边的边上时，的长为 ． 【答案】3或 【知识点】公式法解一元二次方程、等边三角形的性质、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】分两种情况：当点落在边上时，利用翻折的性质和等边三角形的性质可得，可证，可得，可求；点落在边上时，利用所对的直角边等于斜边的一半即可求出． 【详解】解：①当点落在边上时， 把沿折叠， ， ， ， ， ， ， 而，， ， ∴，即， 解得或（舍去）； ②点落在边上时， 把沿折叠， ，，， ， ． 所以的长为3或． 故答案为：3或． 【点睛】本题考查翻折的性质，相似三角形的判定和性质以及含角的直角三角形的性质，一元二次方程的解法，解题时要考虑全面，难度中等． 4．（2024·安徽·模拟预测）如图1，，分别是等边边上两点，且的面积和四边形的面积相等，将沿折叠得到． （1）若，，则 ； （2）如图2，若，，则 ．    【答案】 5 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）先证明、、均为等边三角形，且，由题意得出，根据等边三角形的性质得出，解得，即可得出答案； （2）由题意得出，且，证明，根据相似三角形的性质得出，求出，最后得出即可． 【详解】解：（1）过点A作于点M，如图所示：    ∵为等边三角形， ∴，， ， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 即， 根据折叠可知：，， ∴，, ∴和为等边三角形， ∴，， ， ∴为等边三角形， ∵为等边三角形，， ∴， ∴， ∴， 同理得：， ∵的面积和四边形的面积相等， ∴， ∴， ∵和为等边三角形，且， ∴， ∴， ∴， 解得：，负值舍去； 故答案为：； （2）∵的面积和四边形的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 同理得：， ∴，， ， ∴， ∴， 解得：，负值舍去； 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，三角形相似的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握等边三角形的判定和性质． 考点二 四边形中的折叠问题 ►题型01 平行四边形中的折叠问题 1．（2023·江苏盐城·二模）如图，将平行四边形折叠，使点C落在边上的点处，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、利用平行四边形的性质求解、折叠问题 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．根据平行线的性质求出的度数，根据折叠的性质求出的度数，利用三角形内角和求出． 【详解】解：设折痕与平行四边形交点为，如图所示， 四边形是平行四边形， ， ， 根据折叠可得， ． 故选：B． 2．（2024·江苏泰州·二模）如图，中，，E，F分别为，的中点，将沿直线折叠，点C落在边上点G处，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、利用平行四边形的性质求解、折叠问题 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的判定以及性质，折叠的性质，根据平行四边形的性质可得出，，得出，求出，由题意可得出，再利用平行线的性质得出，由折叠的性质可得出，最后利用平角的定义即可求出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∵ ∴， ∵E，F分别为，的中点， ∴， ∴， 由折叠的性质可得出， ∴， 故选：D． 3．（2024·江苏常州·一模）如图，在平行四边形中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，，则的周长为 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的性质求解、折叠问题 【分析】本题考查了图形的折叠问题，平行四边形的性质，等边三角形的性质与判定；先根据平行四边形性质和折叠性质证得：，，，进而得是等边三角形，进而得出结论． 【详解】解：平行四边形，， ，， ， 沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处， ，，，， ，， ， 是等边三角形， ， ， 故答案为：． 4．（2023·江苏泰州·一模）如图，在中，，，、分别是边、上一点，且，将沿折叠，使点与点重合，则的长为 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的性质证明、折叠问题 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、轴对称的性质、等边三角形的判定与性质等知识，证明是等边三角形是解题的关键． 设点的对应点为点，由平行四边形的性质得，，，则，由折叠得，，，所以，而，则，所以是等边三角形，则，所以，即可推导出，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：设点的对应点为点， 四边形是平行四边形，，， ，，，， ， 由折叠得，，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 故答案为：． ►题型02 矩形中的折叠问题 5．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边中点处．若，则 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，关键是由勾股定理列出关于的方程．由矩形的性质推出，由线段中点定义得到，由折叠的性质得到：，设，由勾股定理得到，求出，得到的值． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵是中点， ∴， 由折叠的性质得到：， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图是一张矩形纸片，点是对角线的中点，点在边上． (1)如图，将沿直线折叠，使点落在对角线上的点处，连接． ①若，，求对角线的长； ②若，求的度数及此时的值． (2)如图，若，，连接，将沿折叠，点的对应点为点，当线段与线段交于点且为直角三角形时，求此时的长． 【答案】(1)①；②，； (2)或 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（）①由矩形的性质可得，由直角三角形的性质及勾股定理可得，由折叠的性质可得，，证明为等边三角形，得出，求出， 再由直角三角形的性质即可得解； ②连接，由折叠的性质可得，，从而得出，由等边对等角得出，设，则，，由直角三角形的性质可得，得出，由三角形内角和定理得出，即，，再由等边对等角结合三角形外角的定义及性质可得，证明，由相似三角形的性质得出，，即可求解； （）由勾股定理可得，由直角三角形的性质可得， 再分两种情况：当时，当时，分别利用相似三角形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：①∵四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴； ②如图，连接， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵为直角三角形， ∴当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， ∵， ∴由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴； 当时，如图， 同理可得，， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴由勾股定理可得， ∴， 解得或， ∴或， ∵， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角的定义及性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解题的关键． 7．（2024·江苏盐城·一模）综合与实践 折纸中蕴藏着丰富的数学知识，也启迪着数学问题的解决．综合实践课上，老师和同学们一起通过折纸，探究数学的奥秘． 【折纸探究】 如图1，在矩形纸片中，点、分别在边和上，将矩形纸片沿折叠，点落在边上的点处，点落在点处，连接，则与的位置关系为______； 折叠一：小明发现，当点F和点B重合时，连接，如图2，则有，请说明理由； 折叠二：如图3，若矩形是一张纸（），探究、和三者之间的数量关系，并说明理由； 【解决问题】 小华受【折纸探究】的启发，解决了下面的问题．如图4，在矩形纸片中，点E、F分别在边和上，连接、、，平分，，，求的值．（用含有k的代数式表示） 【答案】【折纸探究】；折叠一：见解析；折叠二：，见解析；【解决问题】 【知识点】利用同角三角函数关系求值、相似三角形的判定与性质综合、矩形与折叠问题、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】解：折纸探究：由折叠的性质可得；折叠一：可证明，得结论；折叠二：过点作，垂足为，连接，交于点，连接，证明，得，从而求出、和的关系；解决问题：延长到点，使得，连接，交于点，连接．易证，可转化为“折叠二”问题，得，把代入， 得 【详解】解：折纸探究：根据轴对称的性质得出， 折叠一：连，交于点． ∵点和点关于对称， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 折叠二：过点作，垂足为，连接，交于点，连接． ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点和点关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：． 解决问题： 延长到点，使得，连接，交于点，连接． ∵平分， ∴， ∴， 转化为“折叠二”问题， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定以及性质，三角函数的定义，关键是作适当的辅助线构造相似三角形． ►题型03 菱形中的折叠问题 8．（2023·江苏南京·中考真题）如图， 在菱形纸片中， 点E在边上，将纸片沿折叠， 点B落在处，， 垂足为F  若， 则 【答案】/ 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、折叠问题、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】根据菱形的性质，翻折的性质，和三角形的相似判定和性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 由翻折，菱形的性质，得： ， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点E作， 设， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 9．（2024·江苏扬州·一模）如图，在菱形纸片中，点E在边上，将菱形沿折叠，点A、B分别落在、处，，垂足为F．若，，则 ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长、折叠问题、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查菱形性质，折叠的性质，解直角三角形，根据菱形的性质得到，结合折叠得到，，根据三角函数得到，，结合角度关系得到，求出，再根据三角函数即可得到答案； 【详解】解：过作所在直线于点Q， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∵菱形沿折叠，点A、B分别落在、处， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． ►题型04 正方形中的折叠问题 10．（2024·江苏无锡·二模）如图，将正方形纸片沿折叠，使点B的对称点E落在边上，点A的对称点为F，交于点G，连接交于点H，连接．下列四个结论中： ①；②；③；④． 正确的是 ．（填序号即可） 【答案】①②④ 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理、正方形折叠问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】过点B作于，证明，得，，一再证明，得，即可得出结论，可判定①正确；由折叠可得： ，再证明，即可得出结论，可判定②正确；根据，则，可判定③错误；连接，，，先证明，再证明，得到，即．可得出结论．可判定④正确． 【详解】解：过点B作于，如图， ∵正方形， ∴，， ∴， 由折叠可得：，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由折叠可得：，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴ ∴，故③错误； 连接，，，如图， ，， ，， ， 由折叠可得：，平分， ∴，． ， ∴ ∴ ∵ ，，，B四点共圆， ． ∵在和中， ， ． ， ， ， ∴， ， ， ． ． ．故④正确； 综上可得，正确的结论有：①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查正方形折叠问题，相似三角形判定与性质，全等三角形判定与性质，圆周角定理，勾股定理等知识，综合性较强，属中考试压轴题目． 11．（2024·江苏无锡·二模）如图，四边形为正方形，点E为中点，连接，将纸片折叠，使点C落在上的点G处，折痕为；展平后进行第二次折叠，使落在上，上的点H与点G重合，折痕为，展平后进行第三次折叠，使点A落在上点Q处，折痕为． (1)写出和的关系，并说明理由． (2)求证：H为的黄金分割点． (3)以下结论：①P是的黄金分割点；②P，Q，I三点共线；③，正确的是______（请在横线上填写序号） 【答案】(1)，，理由见解析 (2)证明见解析 (3)①②③ 【知识点】正方形折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、黄金分割 【分析】（1）正方形的性质，得到，进而得到，折叠，得到，进而得到，即可得出结论； （2）设，得到，，进而得到，进而得到，即可得证； （3）连接，证明，得到，得到，判断②，设，则：，，勾股定理求出的值，进而求出的值，解直角三角形，求出的值，进而求出的长，判断①③即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：设，则：， ∵折叠， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴H为的黄金分割点； （3）连接， ∵正方形， ∴， ∵翻折， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线，故②正确； 设，则：，， ∴， ∴， 由勾股定理，得：， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴P是的黄金分割点；故①正确； 综上：正确的有①②③； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查正方形的折叠问题，勾股定理，黄金分割，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握正方形的性质，折叠的性质，利用勾股定理和直角三角形的性质求值，是解题的关键． 折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等． 【解题思路】凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．解决折叠问题时，首先清楚折叠和轴对称能够提供我们隐含的且可利用的条件，分析角之间、线段之间的关系，借助勾股定理建立关系式求出答案，所求问题具有不确定性时，常常采用分类讨论的数学思想方法． 1．（2024·广东·模拟预测）如图，在菱形中，，，是 上一点，把四边形 沿折叠后得到四边形，，则的长为（      ）    A． B．3 C． D． 【答案】D 【知识点】折叠问题、含30度角的直角三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查折叠，菱形的性质，正方形的判定和性质，三角函数，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键； 根据题意，连接，延长到于点，延长到于点，证明为正方形，根据三角函数求出，的长度，即可求解； 【详解】解：连接，延长到于点，延长到于点，    因为四边形 沿折叠后得到四边形， ，， 为正方形， ， ， ， ， ， ， 故选：D 2．（2025·上海浦东新·模拟预测）如图，在矩形中，，，点是边上的一个动点，把沿折叠，点落在处，如果恰在矩形的对角线上，则的长为 ． 【答案】 【知识点】矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了翻折变换，解决本题的关键是综合运用矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识．先根据勾股定理求出，由相似三角形的性质求得，由三角形相似的判定定理证得，根据相似三角形的性质求得． 【详解】解：连接， 四边形是矩形，，， ，，， ∴， 由翻折的性质得：垂直平分， ，， ， ， ，， ， ∴，即， ， ． 故答案为：． 3．（2025·陕西西安·一模）如图，在中，，点为边上一点，，点是边上的动点，将沿直线折叠得到，若点恰好落在线段上，则的值为 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、勾股定理与折叠问题、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了翻折背景下勾股定理和相似三角形性质和判定的运用，及平行四边形的性质，解直角三角形，根据题意画出图形是突破该题的关键． 作于M，作交延长线于N，用勾股定理求出的长，进而可求，证明，得，进而可用勾股定理求，分别延长，交于点，由翻折可知，，，进而可得，根据，得，即可求出． 【详解】解：作于M，作交延长线于N， 、都是直角三角形， 中， ， ， ， ，， 即， ，， ， ， ， 中，，，， ， ， ，， ， 分别延长，交于点， 由翻折可知，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 4．（2024·湖北·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为 ． 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、折叠问题、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、解直角三角形、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是根据题意正确画出图形，再添加合适的辅助线，构造直角三角形，找出全等三角形解决问题．过点作，交的延长线于点，证明，得出，解直角三角形求出和，再求出即可求解． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点， 四边形为平行四边形，， ，，， ，，， 由翻折得，， 又∵， ∴，， 在和中， ， ， ， ，，， ， 设，， ，， ，， 在中，， ， 故答案为：． 5．（2025·河北·一模）如图，在菱形中，，连接，将菱形沿过点B的直线折叠，使得点C的对应点F恰好落在上，折痕交于点E，延长交于点G，则的度数为 ． 【答案】55度/ 【知识点】利用菱形的性质求线段长、折叠问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质， 先根据菱形等腰三角形的性质得，再根据折叠的性质求出，最后根据三角形内角和定理得出答案. 【详解】解：四边形是菱形， ， ． 由折叠的性质得， ， ， ． 故答案为：． 6．（2024·湖南衡阳·模拟预测）在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当为的中点，，时，求的长； (3)如图3，当时，设矩形的周长为，的周长为，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、正方形折叠问题 【分析】（1）证明对应角相等，即可得到； （2）根据，求得的长度，从而得出长度； （3）根据题意得出四边形是正方形，根据折叠的性质，设，则，，则，，在中，勾股定理可得，根据得出，，进而得出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图， 四边形是矩形， ， ， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ， ， ， ； （2）解：四边形是矩形， ，，， 为中点， ， 设， ， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ，即， ， ， ． （3）解：∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴设，则， ∵折叠， ∴， 设，则，， 在中， 即， ∴ ∴，即， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形与折叠、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上基础知识是解题关键． 7．（2024·内蒙古包头·模拟预测）操作：如图①在正方形中，点E是的中点，将沿折叠后得到，点F在正方形内部，延长交于点G，易知． 探究：若将图①中的正方形改成矩形，其他条件不变，如图②，那么线段与相等吗？请说明理由． 拓展：如图③，将图①中的正方形改为平行四边形，其他条件不变，若，，则的周长为______． 【答案】探究：，理由见解析；拓展：10 【知识点】利用矩形的性质证明、利用平行四边形的性质求解、折叠问题 【分析】本题考查折叠的性质，矩形的性质，平行四边形的性质等： 探究：连接，由折叠前后对应边相等、对应角相等，可得，，等量代换可得，，由等边对等角可得，进而可得，可证； 拓展：连接，仿照探究中的方法，证明，再利用平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：探究：，理由如下： 如图②，连接， 四边形是矩形， ， 点E是的中点， ， 将沿折叠后得到， ，， ，， ， ， ， ， ， ； 拓展：的周长为10． 如图③，连接， 四边形是平行四边形， ，， ， 点E是的中点， ， 将沿折叠后得到， ，，， 又， ， ． ，， ， ， ， ， ， 的周长 ． 考点三 函数中的折叠问题 ►题型01 一次函数中的折叠问题 1．（2024·江苏苏州·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． （1）求的长和点C的坐标； （2）求直线的解析式． 【答案】（1）AB=5，C(8，0)；（2） 【知识点】求一次函数解析式、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】（1）先根据A、B两点是直线与两坐标轴的交点求出两点坐标，再由勾股定理求出AB的长，由图形翻折变换的性质得出AC=AB，故可得出C点坐标； （2）设点D的坐标为D(0，m)，由图形翻折变换的性质可知CD=BD，在Rt△OCD中由勾股定理可求出m的值，进而得出D点坐标，利用待定系数法即可求出直线CD的解析式． 【详解】解：（1）当x=0时，， B点的坐标为（0，4）， OB=4， 当y=0,则，解得x=3， A点的坐标为（3，0）， OA=3， AB =， △DAB沿直线AD折叠， ， ， ； （2）设点，则， ∴， 在中， ， 即， 解得， ， 设直线 的解析式为， 则， 解得， 直线 的解析式为． 【点睛】本题考查了一次函数，勾股定理，折叠；熟知待定系数法求一次函数的解析式、勾股定理、折叠的性质，是解题的关键． 2．（2024·江苏苏州·二模）已知一个直角三角形纸片，其中，，．如图1，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边交于点C，与边交于点D． (1)若折叠后点B与点A重合，求直线的解析式； (2)若折叠后点B落在边上的点为，设，，试求出y关于x的函数解析式，并直接写出y的取值范围； (3)若折叠后点B落在边上的点为，且使，则的周长为_____．（请直接在答题卷相应位置上写出答案） 【答案】(1) (2)，y的取值范围为 (3) 【知识点】求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】（1）因为折叠后点B与点A重合，那么，可先设出C点的坐标，然后表示出，在中，根据勾股定理即可求出C点的纵坐标，也就求出了C点的坐标，然后根据待定系数法即可得到结论； （2）方法同（1）用表示出然后在中根据勾股定理得出x，y的关系式．由于在上，因此有，由此可求出y的取值范围； （3）根据（1）（2）的思路，应该先得出的关系，知道的值，那么可以通过证来实现．和是平行线的内错角，又因为，因此，即，由此可得出两三角形相似，得出的比例关系，然后根据（1）（2）的思路，在中求出的值，根据勾股定理和三角形的周长公式即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1，折叠后点B与点A重合，则． 设点C的坐标为，则， ∴， 在中，由勾股定理，， 即，解得． ∴点C的坐标为， ∵， ∴， 设直线的解析式为 ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：如图2，折叠后点B落在边上的点为， ∴． ∵ ∴ 在中，由勾股定理，得． ∴， 即． 由点在边上，有， ∴解析式为所求． ∵当时，y随x的增大而减小， ∴y的取值范围为； （3）解：如图3，折叠后点B落在边上的点为，且． ∴． 又∵， ∴， ∵． ∴． ∴， ∴， 在Rt△B″OC中， 设，则． 由（2）的结论，得， 解得． ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴的周长 故答案为：． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了相似三角形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式，勾股定理，折叠的性质，正确地作出图形是解题的关键． ►题型02 二次函数中的折叠问题 3．（2023·四川资阳·模拟预测）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，拋物线的对称轴与交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上，两点之间的部分（不包含，两点），是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，将拋物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，求点的坐标． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用二次函数的顶点式运算求解即可； （2）求出直线的解析式，过点作轴交对称轴于点，过点作轴交直线于点，分别表达出，，的坐标，再利用三角形面积公式列式运算即可； （3）设点关于直线的对称点为，利用折叠和等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵拋物线的顶点的坐标为， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）存在，理由如下： 由（1）知抛物线的解析式为， 令，则， ∴， 设直线的解析式为，代入和可得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵抛物线的对称轴与交于点， ∴把代入可得：， ∴， ∴， 过点作轴交对称轴于点，过点作轴交直线于点，如图所示： 设点G的坐标为，则，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴； （3）由（2）知，，又， ∴， 设点关于直线的对称点为，如图所示， 则，， ∵， ∴， ∴， 即是等腰直角三角形， ∴， 由抛物线的对称性可知，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查了二次函数的图形性质，二次函数点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，三角形面积，等腰三角形的判定及性质等知识点，熟悉掌握各知识点是解题的关键． 二次函数图象的翻折与旋转 变换前 变换方式 变换后 口诀 y=a(x-h)²+k 沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变 沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、h不变，h变号 1．（2024·新疆昌吉·一模）已知直线与y轴、x轴分别交于点A和点B，M是线段上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在y轴上的点处，则点M的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、勾股定理与折叠问题、折叠问题 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，翻折性质，勾股定理，由直线与y轴、x轴分别交于点A和点B，可得，，由折叠的性质可得结合由勾股定理可求的长，设点M坐标为， ，，由勾股定理建立等式求解，即可解题． 【详解】解：令，则， ， 令，则，解得：， 点， ， ，， x轴y轴， ， ， 由折叠可知：，， ， 设点M坐标为， ， ，， ， ， ， ， ， 点M的坐标为， 故选：A． 2．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，，连接，把沿着过点A的某条直线折叠，使点B落在x轴负半轴上的点D处，折痕与y轴交于点C． (1)求直线的解析式； (2)求点C的坐标． 【答案】(1) (2)点C的坐标为 【知识点】求一次函数解析式、用勾股定理解三角形、全等三角形的性质 【分析】（1）直接利用待定系数法求解一次函数解析式即可； （2）由折叠的性质可知，．可得，．求解，可得．设，则．再结合勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：设直线的解析式为． 将点，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为． （2）解：由折叠的性质可知，． ∴，． ∵，， ∴，． 在中，根据勾股定理，得， ∴． ∴ 设，则． 在中，根据勾股定理，， ∴， 解得， ∴． ∴点C的坐标为． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数解析式，轴对称的性质，勾股定理的应用，全等三角形的性质，掌握基础知识是解本题的关键． 3．（2024·吉林·二模）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点A和 (点A在点 B的左侧)，与y轴相交于点 (1)求此抛物线的解析式． (2)点 D为抛物线的顶点，点P在抛物线的对称轴上(不与点D 重合)，将线段绕点P 顺时针旋转，点 D 恰好落在抛物线上的点Q处． ①点 D的坐标为 ． ②求点 Q的坐标． (3)如图②，将图①中抛物线在x轴下方部分图象沿x轴折叠到x轴上方，与原抛物线在x轴上方的图象组成新的图象． ①当时，图象所对应的解析式为 ． ②再将新图象沿x轴向左平移m个单位长度，若平移后的图象在范围内，y随x的增大而增大，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② (3)①；②或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、根据旋转的性质求解 【分析】（1）利用待定系数法，将B、C两点的坐标代入抛物线方程，求出系数a、c,即可求得其解析式； （2）根据旋转前后点D、Q与点P距离不变，得到各点坐标间关系，将Q点代入抛物线方程即可求解； （3）①抛物线在x轴下方部分图象沿x轴折叠到x轴上方，原来解析式中x不变，而y则相反，即可求出解析式；②根据新图象的特点，分别讨论在段和点B的右侧落在范围内，进而求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：将点、 分别代入抛物线， 得方程组： 解得：， 故抛物线的解析式为； （2）∵抛物线方程可整理为 ． 设点， , ，即， 将其代入抛物线方程，， 整理得， 或， 或． 又∵点P不与点D重合， ， ； （3）①抛物线在x轴下方部分图象沿x轴折叠到x轴上方，原来解析式中x不变，而y则相反， ，即； ②∵当时，或5， ． 根据图象，在段和点B的右侧，y随x的增大而增大，新图象向左平移m个单位后，． ∵平移后的图象在范围内，y随x的增大而增大， ，， ， 当B点右侧平移到范围内时，有，即， ∴或． 【点睛】本题主要考查二次函数解析式的求法及其性质、与x轴的交点和图象的几何变换等，综合性较强，有一定难度，计算量不小，要求学生有一定的分析推理能力． 4．（2023·辽宁大连·模拟预测）如图，抛物线过两点，交轴于点，连接． (1)求抛物线解析式． (2)点是线段上的一个动点，当为等腰三角形时，试求点的坐标． (3)①将沿翻折得到，试求点的坐标． ②如图，将抛物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或或 (3)①；②． 【知识点】其他问题(二次函数综合)、等腰三角形的性质和判定、折叠问题、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据抛物线过两点，利用待定系数法即可求得该抛物线的解析式． （2）根据题意，利用待定系数法可得，线段所在直线的解析式为，设，再分三种情况讨论，、、，然后利用勾股定理可求得点的坐标． （3）①连接交于点，过点作轴于点，得，再根据，得，再结合三角函数值可得得长，从而得出点的坐标． ②作关于线段对称的，交抛物线于点，易得直线的解析式为，联列成二元一次方程组，得点的坐标为，设点的坐标为，根据，代入数值解得，故可求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线过两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）把代入中，得到， ∴点的坐标为， 设线段所在直线的解析式为，则 ， 解得：， ∴线段所在直线的解析式为． 分三种情况讨论：设， ①时，， ∴， ∴； ②时，， ∴（舍去），． ∴， ∴；     ③时，， ∴（舍去）；， ∴， ∴； 综上，当△BOM为等腰三角形时，M点的坐标为或或 ． （3）①如图，连接交于点，过点作轴于点， ∴， ∵， ∴， 而， ∴， ∴，， ∴点的坐标为； ②如图，作关于线段对称的，交抛物线于点． 由（3）①可知点的坐标为， 而，可求得直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴点的坐标为， ∵点和点关于对称， ∴， 设点的坐标为，则， ∴， ∴， 解得（不合题意舍去），． ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查二元一次方程组，二次函数的图象和性质，待定系数法，三角函数，翻折的性质，等腰三角形的性质，勾股定理解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． $$