新定义问题之概率、解几、函数与数列综合专项训练——2025届高三数学三轮冲刺

新定义问题：概率与数列综合、解析几何与数列综合、函数与数列综合专项训练 新定义问题：概率与数列综合、解析几何与数列综合、函数与数列综合专项训练 考点一 概率与数列综合 1．（2025·四川成都·二模）北湖生态公园有两条散步路线，分别记为路线和路线.公园附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和.已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为. (1)若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线散步的人数为，求的分布列及期望； (2)若某居民每天都去公园散步，记第天选择路线的概率为. （i）请写出与的递推关系； （ii）设，求证：. 2．（2025·广西柳州·三模）某学校有、两家餐厅，某同学每天都会在这两家餐厅中选择一家餐厅用晚餐.已知该同学第一天随机选择一家餐厅用晚餐，若在前一天选择去餐厅的条件下，后一天继续选择餐厅的概率为；而在前一天选择去餐厅的条件下，后一天继续选择去餐厅的概率为，如此往复. (1)求该同学第一天和第二天都选择去餐厅用晚餐的概率； (2)求该同学第二天选择去餐厅用晚餐的概率； (3)记该同学第天选择去餐厅用晚餐的概率为，求的通项公式. 3．（2025·内蒙古呼和浩特·一模）在某场乒乓球比赛中，甲乙两人进入决胜局，且目前该局比分为，接下来比赛规则如下：两人轮流各发一个球，谁赢此球就获得1分，直到有一方得分超过对方2分时即可获得该局的胜利.已知甲先发球，且甲此球取胜的概率为0.6，若上一球甲获胜，则甲在下一球比赛中获胜的概率为0.8，若上一球乙获胜，则甲在下一球比赛中获胜的概率为，其中，设甲在接下来第球比赛中获胜的概率为. (1)若，求甲以获胜的概率； (2)求与的关系； (3)证明：. 4．（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）信息熵是信息论中的一个重要概念，它刻画了随机试验结果的不确定性的大小.一般的，当信息熵越大时，不确定性越大.设随机试验的所有可能结果为、、、，且，，定义随机试验信息熵. (1)记随机试验为抛一枚质地均匀的硬币，随机试验为抛一枚质地不均匀的硬币，请通过计算比较与的大小，并说明实际意义； (2)一枚质地不均匀的硬币，正面朝上的概率为，反面朝上的概率为.随机试验:连续次抛掷这枚硬币正面朝上的次数是否为偶数.证明：当增加时，增加. 5．（24-25高三下·重庆·阶段练习）为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次．答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分；从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分．学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为，各次答题结果互不影响． (1)求甲前3次答题得分之和为40分的概率； (2)记甲第次答题所得分数的数学期望为． ①写出与满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）： ②若，求的最小值． 6．（2025·广东广州·一模）个人相互传球，传球规则如下：若球由甲手中传出，则甲传给乙；否则，传球者等可能地将球传给另外的个人中的任何一个．第一次传球由甲手中传出，第次传球后，球在甲手中的概率记为，球在乙手中的概率记为． (1)求； (2)求； (3)比较与的大小，并说明理由． 7．（2025·陕西·模拟预测）投掷均匀的骰子，每次掷得的点数为1或2时得1分，掷得的点数为3，4，5，6时得2分．独立地重复掷一枚骰子若干次，将每次得分相加的结果作为最终得分． (1)设投掷2次骰子，最终得分为，求随机变量的分布列与期望； (2)若投掷次骰子，记合计得分恰为分的概率为，求； (3)设最终得分为分的概率为，求数列的通项公式． 8．（2025·青海海南·模拟预测）在一个人工智能研发团队中，三个小组进行了一种算法模型的优化传递，每次传递由小组长根据模型的特点随机安排.由于A小组中人数较多，故当模型在A小组时，优化一次后，有的概率在本小组互传，的概率传给B小组；当模型在B小组时，优化一次后，有的概率传给A小组，的概率传给C小组；当模型在C小组时，优化一次后，传给小组的概率均为．假设每次传递都是独立事件，且项目开始时，模型在A小组． (1)求两次传递后模型在B小组的概率，以及三次传递后模型在C小组的概率； (2)记次传递后，模型在A小组的概率为，在B小组的概率为． （i）证明：数列是等比数列． （ii）求． 考点二 解析几何与数列综合 1．（2025·辽宁·二模）已知抛物线，焦点为．抛物线上有一点，直线与抛物线的另一个交点为．按照如下方式依次构造点，过作x轴的垂线，垂足为，垂线与抛物线C的另一个交点为．作直线，与抛物线C的另一个交点为，直线与x轴的交点为．记．    (1)若，求； (2)求证：数列是等比数列，并用m表示数列的通项公式； (3)对任意的正整数与的面积之比是否为定值？若是，请用m表示这个定值；若不是，请说明理由． 2．（24-25高三下·重庆渝中·阶段练习）已知双曲线 的离心率为 ，其虚轴的两个端点与右顶点所构成的三角形的面积为 2 . (1)求双曲线 的方程； (2)设 ，若点 在双曲线 上， 在点 处的切线 与两条渐近线分别交于 两点， 是坐标原点，且 . （i）证明数列 是等差数列，并求通项公式 ; （ii）设数列的前 项和为 .求证: 对  . (其中 表示不超过 的最大整数，例如 ) 3．（2025·河南驻马店·模拟预测）我们把焦点在x轴上，且离心率相同的双曲线称为双曲线系），记的方程为，左、右顶点为．已知双曲线系中曲线经过两点． (1)求双曲线系的离心率； (2)已知是双曲线系上的动点，其中在第二象限，在第三象限，依次构造点满足当三点共线时，直线的斜率与直线的斜率之比恒为常数． （ⅰ）证明：数列是以为公比的等比数列； （ⅱ）定义：无穷等比递减数列的所有项之和为，其中为的首项，q为的公比，且．设O是坐标原点，的面积的最小值为，求数列的所有项之和T． 4．（24-25高三上·山东威海·期末）已知抛物线，点在上，为常数，，按如下方式依次构造点，过点作轴的垂线交于点，过且斜率为的直线与的另一个交点为.记的坐标为. (1)当时，求； (2)设，证明：数列是等差数列； (3)设为的面积，证明：为定值. 5．（2025·湖北·二模）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线的倾斜角的5倍，为双曲线的右焦点，过的直线与双曲线的右支交于，两点，过点，分别作平行于轴的直线，与直线分别交于，两点，直线与轴的交点为. (1)求双曲线的离心率； (2)证明：数列是以为公比的等比数列； (3)定义：无穷等比递减数列的所有项和，其中为的首项，为的公比，且.设直线与直线的交点为，的面积记为，求数列的所有项和的最小值（结果用或表示）. 6．（2025·辽宁鞍山·二模）已知双曲线（，）的两条渐近线为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线（两条直线的斜率都存在）分别交双曲线于点、和点、，、分别为弦和的中点，直线与轴交于点；过点作两条互相垂直的直线（两条直线的斜率都存在）分别交双曲线于点、和点、，、分别为弦和的中点，直线与轴交于点……；依此类推得到点列，. （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）、分别在双曲线的左支和右支上，且直线经过点，当，时满足：①直线的倾斜角总是；②点和关于轴对称.设点的坐标为，数列的前项和为.证明：. 考点三 函数与数列综合 1．（2025·江苏宿迁·二模）已知函数，． (1)证明：有唯一零点； (2)记的零点为． （i）数列中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列，并说明理由； （ii）证明：． 2．（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）已知函数，过点作曲线的切线，交轴于点，若，则过点作曲线的切线，交轴于点，以此类推，得到数列. (1)当正整数，试求出与的关系式； (2)当正整数. ①证明：； ②是否存在正整数()，使得依次成等差数列？若存在，求出的所有取值；若不存在，试说明理由. 3．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）设函数，已知点，过点作曲线的切线，与曲线相切于点. (1)证明：； (2)证明：（i）； （ii）数列单调递增; (3)记数列的前n项和为，数列的前n项和为，证明： 4．（24-25高三上·山西·阶段练习）已知曲线在点处的切线交轴于点，曲线在点处的切线交轴于点，依此类推，曲线在点（）处的切线交轴于点，其中数列称为函数关于的“切线数列”. (1)若，是函数关于的“切线数列”，求的值； (2)若，是函数关于的“切线数列”，记，求数列的通项公式； (3)若（），是否存在（），使得函数关于的“切线数列”为周期数列？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由. 5．（2025·广东江门·一模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设f(x)在点处切线的x轴截距为，数列的前n项和为，证明：． 6．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）已知函数. (1)当时，若恒成立，求的取值范围； (2)当时，设为的从小到大的第个极值点.证明：数列是等比数列； (3)设函数在区间内的零点依次为，.求证：. 7．（2025·四川·模拟预测）已知函数． (1)若为增函数，求的取值范围； (2)记的导函数为，若，，求的取值范围； (3)定义：如果数列的前项和满足，其中为常数，则称数列为“和上界数列”，为数列的一个“和上界”．设数列满足，，证明：当时，数列为“和上界数列”，且不小于4的常数均可作为数列的“和上界”． 8．（2025·河北秦皇岛·一模）设函数，其中且. (1)当时，求的单调区间； (2)当时，，求的取值范围； (3)已知正项数列满足，，判断是否存在等比数列，使得，若存在，求数列的公比；若不存在，说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$新定义问题：概率与数列综合、解析几何与数列综合、函数与数列综合专项训练 新定义问题：概率与数列综合、解析几何与数列综合、函数与数列综合专项训练 考点一 概率与数列综合 1．（2025·四川成都·二模）北湖生态公园有两条散步路线，分别记为路线和路线.公园附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和.已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为. (1)若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线散步的人数为，求的分布列及期望； (2)若某居民每天都去公园散步，记第天选择路线的概率为. （i）请写出与的递推关系； （ii）设，求证：. 【答案】(1)分布列见解析， (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）记附近居民第天选择路线分别为事件， 依题意，，，， 则由全概率公式，得居民第二天选择路线散步的概率； 记第二天选择路线散步的人数为，则， 则，， ，， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 故的数学期望． （2）（i）当第天选择路线时，第天选择路线的概率； 当第天选择路线时，第天选择路线的概率， 所以. （ii）由（i）知，则，而， 于是数列是首项为，公比为的等比数列， 因此，即，， 当时，，而， 所以； 当时，，而， 所以， 所以. 2．（2025·广西柳州·三模）某学校有、两家餐厅，某同学每天都会在这两家餐厅中选择一家餐厅用晚餐.已知该同学第一天随机选择一家餐厅用晚餐，若在前一天选择去餐厅的条件下，后一天继续选择餐厅的概率为；而在前一天选择去餐厅的条件下，后一天继续选择去餐厅的概率为，如此往复. (1)求该同学第一天和第二天都选择去餐厅用晚餐的概率； (2)求该同学第二天选择去餐厅用晚餐的概率； (3)记该同学第天选择去餐厅用晚餐的概率为，求的通项公式. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）记事件该同学第天去餐厅，则，，， 由概率乘法公式可得. （2）由对立事件的概率公式可得， 由全概率公式可得. （3）记事件该同学第天去餐厅，则， 由题意可知，，， 由全概率公式可得， 即，则， 所以，数列是以为首项，公比为的等比数列， 所以，，故. 3．（2025·内蒙古呼和浩特·一模）在某场乒乓球比赛中，甲乙两人进入决胜局，且目前该局比分为，接下来比赛规则如下：两人轮流各发一个球，谁赢此球就获得1分，直到有一方得分超过对方2分时即可获得该局的胜利.已知甲先发球，且甲此球取胜的概率为0.6，若上一球甲获胜，则甲在下一球比赛中获胜的概率为0.8，若上一球乙获胜，则甲在下一球比赛中获胜的概率为，其中，设甲在接下来第球比赛中获胜的概率为. (1)若，求甲以获胜的概率； (2)求与的关系； (3)证明：. 【答案】(1)0.176； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）依题意，甲以获胜，在接下来的比赛中的情况为：甲乙甲甲或乙甲甲甲， 所以甲以获胜的概率为. （2）设 “在第球比赛中甲获胜”为事件，“在第球比赛中甲获胜”为事件， ，，， 依题意，， 所以. （3）由（2）知，， 而，则， 数列是以为首项，为公比的等比数列， 因此，即， 由，得，则数列递增， 所以. 4．（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）信息熵是信息论中的一个重要概念，它刻画了随机试验结果的不确定性的大小.一般的，当信息熵越大时，不确定性越大.设随机试验的所有可能结果为、、、，且，，定义随机试验信息熵. (1)记随机试验为抛一枚质地均匀的硬币，随机试验为抛一枚质地不均匀的硬币，请通过计算比较与的大小，并说明实际意义； (2)一枚质地不均匀的硬币，正面朝上的概率为，反面朝上的概率为.随机试验:连续次抛掷这枚硬币正面朝上的次数是否为偶数.证明：当增加时，增加. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）由题意：， 设质地不均匀的硬币正面朝上的概率为， 则， 设，，， 由得，此时函数单调递减， 由得，此时函数单调递增， 故，则． 当正面与反面等概率出现时，随机试验的不确定性最大，此时信息熵最大． （2）记次抛掷后得到偶数次正面向上的概率为， 由全概率公式得，，即， 所以， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以． 此时， 当增加时，单减，且， 由（1）知，当时，函数单调递减， 故当增加时，增加． 5．（24-25高三下·重庆·阶段练习）为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次．答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分；从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分．学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为，各次答题结果互不影响． (1)求甲前3次答题得分之和为40分的概率； (2)记甲第次答题所得分数的数学期望为． ①写出与满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）： ②若，求的最小值． 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）甲前3次答题得分之和为40分的事件是：甲前3次答题中仅只答对一次的事件， 所以甲前3次答题得分之和为40分的概率； （2）①甲第1次答题得20分、10分的概率分别为， 则， 当时，， 所以，且， ②由①知，当时，， 而， 因此数列以为首项，为公比的等比数列， ， 于是， 由得：， 因为，则有正整数， 所以的最小值是. 6．（2025·广东广州·一模）个人相互传球，传球规则如下：若球由甲手中传出，则甲传给乙；否则，传球者等可能地将球传给另外的个人中的任何一个．第一次传球由甲手中传出，第次传球后，球在甲手中的概率记为，球在乙手中的概率记为． (1)求； (2)求； (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意知， ， 所以； （2）由题意知，， 所以， 所以， 则； （3）由题意知， 则， 所以，（当时取等号） 所以. 7．（2025·陕西·模拟预测）投掷均匀的骰子，每次掷得的点数为1或2时得1分，掷得的点数为3，4，5，6时得2分．独立地重复掷一枚骰子若干次，将每次得分相加的结果作为最终得分． (1)设投掷2次骰子，最终得分为，求随机变量的分布列与期望； (2)若投掷次骰子，记合计得分恰为分的概率为，求； (3)设最终得分为分的概率为，求数列的通项公式． 【答案】(1)分布列见解析，; (2)； (3). 【详解】（1）可能取值为2,3,4， , , . 的分布列为 2 3 4 数学期望. （2）根据题意，投掷次，得分为分，则只有一次投掷得2分， 所以， 则， 则有， 两式相减，得， 所以. （3）由题意可知 则有 ， 是以为首项，为公比的等比数列， . 时， 时，适合上式. 综上，. 8．（2025·青海海南·模拟预测）在一个人工智能研发团队中，三个小组进行了一种算法模型的优化传递，每次传递由小组长根据模型的特点随机安排.由于A小组中人数较多，故当模型在A小组时，优化一次后，有的概率在本小组互传，的概率传给B小组；当模型在B小组时，优化一次后，有的概率传给A小组，的概率传给C小组；当模型在C小组时，优化一次后，传给小组的概率均为．假设每次传递都是独立事件，且项目开始时，模型在A小组． (1)求两次传递后模型在B小组的概率，以及三次传递后模型在C小组的概率； (2)记次传递后，模型在A小组的概率为，在B小组的概率为． （i）证明：数列是等比数列． （ii）求． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）， 【详解】（1）依题意，两次传递后模型在B小组的情况只有一类：，概率为． 三次传递后模型在C小组的情况只有一类：，概率为． （2）（i）由题意知，次传递后，模型在C小组的概率为，且， 第次传递后，模型在A小组的概率为，在B小组的概率为， 由题意得则 由，得， 所以是以为公比，为首项的等比数列． （ii）由（i）知，所以， ， 由满足上式，得， 综上得，，. 考点二 解析几何与数列综合 1．（2025·辽宁·二模）已知抛物线，焦点为．抛物线上有一点，直线与抛物线的另一个交点为．按照如下方式依次构造点，过作x轴的垂线，垂足为，垂线与抛物线C的另一个交点为．作直线，与抛物线C的另一个交点为，直线与x轴的交点为．记．    (1)若，求； (2)求证：数列是等比数列，并用m表示数列的通项公式； (3)对任意的正整数与的面积之比是否为定值？若是，请用m表示这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析， (3)为定值 【详解】（1）   ， 直线，联立可得， 直线，联立可得，则， 由，可得， 综上可得：； （2）一方面，对任意的自然数k，都有直线过点， 设直线的方程为：， ，， 则， 因为，，故①， 另一方面，对任意的自然数k，都有直线过点 设直线的方程为：， ，， 则， 因为，，故②， 由①得：， 两式相乘得：③， 把②带入③，得：， 即：， 综上可得：递推知数列是等比数列，且公比为． 又，故． （3）对任意的自然数， ，    另解： ， ， 因此，，所以面积之比为定值． 2．（24-25高三下·重庆渝中·阶段练习）已知双曲线 的离心率为 ，其虚轴的两个端点与右顶点所构成的三角形的面积为 2 . (1)求双曲线 的方程； (2)设 ，若点 在双曲线 上， 在点 处的切线 与两条渐近线分别交于 两点， 是坐标原点，且 . （i）证明数列 是等差数列，并求通项公式 ; （ii）设数列的前 项和为 .求证: 对  . (其中 表示不超过 的最大整数，例如 ) 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；；（ii）证明见解析. 【详解】（1）由题可得，又， 则，又其虚轴的两个端点与右顶点所构成的三角形的面积为 2， 则，则，故双曲线方程为：； （2）（i）因在双曲线上， 则. 因，则在第一象限， 则此时点P满足方程：， 则，故点P对应切线斜率为： . 则切线方程为：. 与渐近线联立，可得，同理可得. 则， 又， 则， 又，则， 故数列 是以1为首项，公差为1的等差数列，则； （ii）由（1）可得，则. 则， 注意到 ， 又，则； 另一方面，. 注意到时，，则. 则 ，又， 则. 下面证明：， 注意到， 则要证，即证， 注意到， 则证明. 令，因，则，则对于函数. 有， 令，则， 则， 故在上单调递增，在上单调递减， 又注意到，则当时，. 则. 最后由不等式同向可加性可得： 又注意到，则， 则. 则 . 综上可知，. 3．（2025·河南驻马店·模拟预测）我们把焦点在x轴上，且离心率相同的双曲线称为双曲线系），记的方程为，左、右顶点为．已知双曲线系中曲线经过两点． (1)求双曲线系的离心率； (2)已知是双曲线系上的动点，其中在第二象限，在第三象限，依次构造点满足当三点共线时，直线的斜率与直线的斜率之比恒为常数． （ⅰ）证明：数列是以为公比的等比数列； （ⅱ）定义：无穷等比递减数列的所有项之和为，其中为的首项，q为的公比，且．设O是坐标原点，的面积的最小值为，求数列的所有项之和T． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ⅱ） 【详解】（1）双曲线系中曲线经过两点 由题意，得，，则， 所以双曲线的离心率为， 所以双曲线系的离心率为； （2）（ⅰ）由（1）及题意，知，，． 设，． 设直线的方程为，其中在第二象限，在第三象限， 联立得方程组， 消去并整理，得， 则， ，， 所以， 则 ， 所以，则． 故数列是以为公比的等比数列． （ⅱ）由（ⅰ）知，直线也恒过定点， 因此 ， 设，则， 则，当时，则 ， ， 所以数列的所有项之和. 4．（24-25高三上·山东威海·期末）已知抛物线，点在上，为常数，，按如下方式依次构造点，过点作轴的垂线交于点，过且斜率为的直线与的另一个交点为.记的坐标为. (1)当时，求； (2)设，证明：数列是等差数列； (3)设为的面积，证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）    因为点在上，所以，解得， 由题意知的坐标为，直线的方程为：， 由，整理得，解得. （2）法一：由题意知的坐标为， 所以，又， 两式相减得，即， 由题意知，可得， 所以数列是以1为首项，为公差的等差数列， 所以，可得， 所以， 可得，所以数列是等差数列. 法二： 由题意知的坐标为， 所以直线的方程为， 由，可得， 由题意知是直线与的公共点，所以， 所以数列是以1为首项，为公差的等差数列， 所以，可得， 所以， 所以，所以数列是等差数列. （3）法一：的三个顶点为， 因为，两式相减得，即， 所以直线的斜率为， 可得， 直线的方程为， 即， 设到直线的距离为，则 所以， 所以为定值. 法2： 的三个顶点为， 可得， ， 所以 ， 所以为定值. 法3： 要证为定值，只需证， 即证与面积相等， 因为，两式相减得， 即， 所以直线的斜率为， 同理可得直线的斜率为 所以，可得点到直线的距离相等， 所以，即为定值. 5．（2025·湖北·二模）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线的倾斜角的5倍，为双曲线的右焦点，过的直线与双曲线的右支交于，两点，过点，分别作平行于轴的直线，与直线分别交于，两点，直线与轴的交点为. (1)求双曲线的离心率； (2)证明：数列是以为公比的等比数列； (3)定义：无穷等比递减数列的所有项和，其中为的首项，为的公比，且.设直线与直线的交点为，的面积记为，求数列的所有项和的最小值（结果用或表示）. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【详解】（1）设双曲线的一条渐近线的倾斜角为，另一条渐近线的倾斜角为， 依题意，，解得，， 则双曲线的渐近线方程为，即， 所以双曲线的离心率为 （2）由（1）知，，双曲线的方程为， 设，，则，， 过的直线斜率不为0，设直线的方程为， 由消去并整理得，， 则，， ， 直线的斜率，直线的方程为， 令，则 ，因此直线恒过定点， 又直线与轴的交点为，于是，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （3）由对称性知，直线也恒过定点，则，， 因此 ，， 则是以为首项，为公比的等比数列，数列的所有项和 ，设，则， 由过的直线与双曲线的右支交于两点，得，即， 则，又函数在上单调递减， 则 ，， 所以数列的所有项和的最小值为. 6．（2025·辽宁鞍山·二模）已知双曲线（，）的两条渐近线为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线（两条直线的斜率都存在）分别交双曲线于点、和点、，、分别为弦和的中点，直线与轴交于点；过点作两条互相垂直的直线（两条直线的斜率都存在）分别交双曲线于点、和点、，、分别为弦和的中点，直线与轴交于点……；依此类推得到点列，. （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）、分别在双曲线的左支和右支上，且直线经过点，当，时满足：①直线的倾斜角总是；②点和关于轴对称.设点的坐标为，数列的前项和为.证明：. 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析. 【详解】（1）由双曲线的两条渐近线为，得，即， 又双曲线经过点，得，解得， 所以双曲线的方程为. （2）令，设两条直线的方程分别为和， 设，，由得， 由，得，， 则，， 点，同理得点， 于是直线的斜率， 直线的方程为：， 令，得，因此， 由，得，则数列是首项为，公比为的等比数列， 所以.    （ⅱ）设直线的方程为，由点的坐标为，得的坐标为， 由消去得，因此，， 则， 所以. 考点三 函数与数列综合 1．（2025·江苏宿迁·二模）已知函数，． (1)证明：有唯一零点； (2)记的零点为． （i）数列中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列，并说明理由； （ii）证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）不存在，理由见解析；（ii）证明见解析 【详解】（1）当时，，所以在上无零点， 因为，所以在上单调递增， 所以在上至多一个零点， 当时，有唯一零点1． 当时，因为，， 所以函数有唯一零点，得证， （2）（i）由（1）知，，且， 两边取自然对数，得，（*） 所以， 两式相减，得， 所以． 因为函数在上单调递增， 所以，所以数列单调递增． 假设数列中存在，，成等比数列，则， 所以． 由（*）式得，，代入上式，得 ， ．（**） 因为，所以， 又，所以方程（**）无解． 所以数列中不存在连续三项按某顺序构成等比数列． （ii）先证明：时，，（***） 设，则， 所以当时，，单调递减： 当时，，单调递增， 所以，当且仅当时，等号成立． 由（***）式知，， 所以，所以， 所以． 在（***）式中，令，得， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以，，当且仅当时等号成立． 当时，在（***）式中，令，得， 所以时， ． 当时，成立． 所以，得证． 2．（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）已知函数，过点作曲线的切线，交轴于点，若，则过点作曲线的切线，交轴于点，以此类推，得到数列. (1)当正整数，试求出与的关系式； (2)当正整数. ①证明：； ②是否存在正整数()，使得依次成等差数列？若存在，求出的所有取值；若不存在，试说明理由. 【答案】(1)（） (2)①证明见解析 ②存在， 【详解】（1）由，得， 当时，曲线在处的切线方程为， 令，则， 所以()； （2）由（1）得，所以当时，， 令，则， 令，则，令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， ①因为，所以，即当时，. ②假设存在正整数，使得依次成等差数列， 则公差，由①得. 又由得， 而，所以，即. 令，则，显然， 则在上单调递增，且，， 所以函数在上必有唯一零点. 又，故仅存在成等差数列. 故. 3．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）设函数，已知点，过点作曲线的切线，与曲线相切于点. (1)证明：； (2)证明：（i）； （ii）数列单调递增; (3)记数列的前n项和为，数列的前n项和为，证明： 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析； (3)证明见解析. 【详解】（1）令函数，则， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 因此，当且仅当时等号成立. （2）（i）定义域为，则， 当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 所以，即对于任意切点有①， 切线的方程为，又， 将点代入得②，整理得，故， 代入①，易得，当且仅当等号成立，即， 由②，得，显然等号不成立，因此. （ii）由于，，因此数列单调递增． （3）由（1）得，又， 所以， 累加求和，有， 即，整理有. 4．（24-25高三上·山西·阶段练习）已知曲线在点处的切线交轴于点，曲线在点处的切线交轴于点，依此类推，曲线在点（）处的切线交轴于点，其中数列称为函数关于的“切线数列”. (1)若，是函数关于的“切线数列”，求的值； (2)若，是函数关于的“切线数列”，记，求数列的通项公式； (3)若（），是否存在（），使得函数关于的“切线数列”为周期数列？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【详解】（1）由，得， 因为，所以，， 所以曲线在处的切线方程为， 即. 令，得，即. （2）由，得， 所以，， 所以曲线在处的切线方程为， 即. 令，得，即. 因为，所以，， 即，所以（）， 所以 ， 又，所以， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以. （3）由，得， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为， 令，则，即， 由，得（）， 设，则. 已知，由，得，所以（）. 函数的定义域为，， 所以函数在上单调递增， ①当（，）时， ， ， 所以数列在时单调递减，故数列不是周期数列； ②当（，）时， ， ， 所以数列在时单调递增，故数列不是周期数列. 综上所述，当时，不存在（）， 使得关于的“切线数列”为周期数列. 5．（2025·广东江门·一模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设f(x)在点处切线的x轴截距为，数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明过程见解析. 【详解】（1），则， 则，， 则曲线在点处的切线方程为，即. （2），， 则切线方程为， 令，得，即， 则 ， 得， 令，则， 令，则， 其对称轴为，且，故当时，， 故在上单调递减，则，即， 则在上单调递减，则， 即当时，，故当时，， 又时，， 故对于任意都有，即，即. 6．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）已知函数. (1)当时，若恒成立，求的取值范围； (2)当时，设为的从小到大的第个极值点.证明：数列是等比数列； (3)设函数在区间内的零点依次为，.求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）当时，恒成立， 当时，，故恒成立， 令，则， 所以当时，单调递减，则，故. （2）， 令，由得，即， 对，若，则；若，则， 因此，在区间与上符号总是相反， 于是，当时，取得极值，所以， 此时，，易知， 而是常数， 故数列是首项为，公比为的等比数列. （3）由，则， 因为，所以， 所以在区间上单调递减， 又， ， 当时，存在唯一，使得， 记，则，由（1）知，时，在上恒成立，故， 即，整理得， 要证，等价于证， 只需证， 设，则， 所以单调递增，则，原命题得证. 7．（2025·四川·模拟预测）已知函数． (1)若为增函数，求的取值范围； (2)记的导函数为，若，，求的取值范围； (3)定义：如果数列的前项和满足，其中为常数，则称数列为“和上界数列”，为数列的一个“和上界”．设数列满足，，证明：当时，数列为“和上界数列”，且不小于4的常数均可作为数列的“和上界”． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）已知函数． 若为增函数，则， 即对任意恒成立， 令，则，令，解得， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 故，故. 故的取值范围为. （2），， 由题意，任意，， 即对任意恒成立， 设，其中， 当时， ， ，， 由，则，则，又， 可得，所以， 即在上单调递增，所以， 且， 要使对任意恒成立，则. 故的取值范围为. （3）当时，， 设，则， 当时，，则在单调递增； 当时，，则在单调递减； 所以，则有，当且仅当时等号成立. 所以对任意恒成立， 由，,其中， 所以，且， 则当时， ； 又当时，成立； 综上所述，任意，都有， 故数列为“和上界数列”，且不小于4的常数均可作为数列的“和上界”． 8．（2025·河北秦皇岛·一模）设函数，其中且. (1)当时，求的单调区间； (2)当时，，求的取值范围； (3)已知正项数列满足，，判断是否存在等比数列，使得，若存在，求数列的公比；若不存在，说明理由. 【答案】(1)在上单调递增， (2) (3)存在等比数列，公比. 【详解】（1）当时，，， 设，所以， ， , 所以在上递减，在上递增， 则恒成,恒成立， 所以在上单调递增. （2）对求导得， 令，再对求导得. 当时， 则. 所以， 当时当且仅当时，即， 在上单调递增，满足条件. 当时，在上单调递增， 令即 ， 当时，，单调递减，当时，，单调递增. 在处取得最小值，， 令，则其对称轴为. 因为在时先递减后递增，要使，则，即，解得. 综上，的取值范围是. （3）已知，则， 设对求导得， 对时，，单调递减；对时，，单调递增. 即 又所以 假设存在等比数列，公比为，， 由于，得. 当时，，由于得. 又，随的增大而增大，递增且. 若，当足够大时，趋近于0，而，不满足. 若由于得此时 满足. 所以等比数列，公比. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$