数列之an与Sn的关系、累加法、累乘法、构造法求通项专项训练——2025届高三数学三轮冲刺

数列通项：an与Sn的关系、累加法、累乘法、构造法专项训练 数列通项：与的关系、累加法、累乘法、构造法专项训练 考点一 利用与的关系求数列通项公式 1．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）已知数列的前n项和为．且满足． (1)求，值； (2)证明数列为等比数列并求其通项公式． 【答案】(1)，； (2)证明见解析，. 【详解】（1）数列的前n项和为，由得，解得， ，解得， 所以，. （2）当时，，则当时，， 两式相减得，整理得，而， 所以数列是首项为1，公比为的等比数列，通项公式. 2．（24-25高二下·四川内江·阶段练习）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．已知数列的前项和为，，且满足 ， (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，求使得不等式（）成立的最小整数． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) (3)9 【详解】（1）若选①，因为， 当时，，两式相减得， 当时，，即， 又，所以，故，满足， 所以是首项为，公比为的等比数列，故； 若选②，因为， 所以 ，又，所以. （2）由（1）知， 则① ② 两式相减得： ， 所以. （3）由，得，， 化简得，. 设，，则，， 因为，所以，又，所以，. 故， 因为，所以，则，， 则，所以数列为递增数列. 又因为， ， 因此，使得不等式（）成立的最小整数为9. 3．（24-25高二下·四川广安·阶段练习）在①；②，；③，.这三个条件中，请选择一个合适的条件，补充在下题横线上（只要写序号），并解答该题. 已知数列的各项均为正数，其前项和为，且对任意正整数，有__________. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）选①，当时，，解得， 当时，， 所以， 因为数列的各项均为正数，所以， 所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以； 选②，因为，且， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，所以， 当时，， 当时，，当时，， 所以； 选③，因为，所以， 所以当时，，当时，， 所以； （2）因为，所以，， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 所以， 所以 ，即得证. 4．（24-25高三下·安徽阜阳·阶段练习）已知数列的前n项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前n项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由得①， 所以②. 由②-①得，即③， 所以④. 由④-③整理得， 所以数列是等差数列. 在①中令，得，所以，则可得公差， 所以. （2）由(1)可得= =+=+， 所以=(++…+)+(++…+) =++…+++ =. 5．（24-25高三下·江苏盐城·阶段练习）已知数列的前n项和，数列的前n项和． (1)求，的通项公式； (2)若，求的前n项和． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为数列的前n项和， 所以当时，； 当时，， 此时满足上式，故． 因为数列的前n项和， 所以当时，； 当时， ，此时满足上式， 故． （2）因为， 所以， 则， 两式相减得， 化简得． 6．（24-25高二下·四川南充·阶段练习）已知数列的前项和为． (1)求证：数列是等差数列； (2)设的前项和为； ①求； ②若对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．（结果可保留幂的形式） 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以，所以， 所以是公差为1的等差数列； （2）①因为，所以，所以， ， ， ， 两式相减得， ， ． ②对任意的恒成立， 所以则对任意的恒成立， 令； 所以， 则当时，为递增数列，； 当时，； 当时，为递减数列，. 当或6时，，故． 考点二 累加法求数列通项公式 1．（24-25高二下·四川广安·开学考试）（1）已知数列的前项和，求数列的通项公式； （2）已知数列满足，求数列的通项公式； 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）， 当时，； 当时，， ， 易知不符合上式， 所以. （2）由， 得， 各式相加得， 又，所以. 2．（24-25高二上·甘肃嘉峪关·阶段练习） 数列中， (1)求数列的通项公式； (2)设记数列的前项和为，证明. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为，即， 所以当时，， 将以上各式相加，得，则， 当时也符合上式，故. （2）由题意， . 3．（24-25高二下·湖南长沙·开学考试）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足为数列的前项和，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）已知，且. 当时，，即，将代入可得. 当时，，即，将代入可得. 联立方程组， 解得，则. 所以. 当时，. 用减去可得： 因为，所以 两边同时除以可得：. 当时，，，上式也成立. 利用累加法求： ， ， ， ， 将以上个式子相加可得： 因为，所以，则. 当时，，上式也成立. 所以数列的通项公式为. （2）已知，则 得： 其中是首项为，公比为的等比数列的前项和， 得 ， 则 所以. 4．（24-25高三上·新疆·阶段练习）已知数列的前n项和为S，且，．数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式及． 【答案】(1)； (2)；. 【详解】（1）因为，所以， 当时，，所以， 当时，， 作差得， 所以， 所以， 所以. （2）当时，因为， 所以，，， 所以累加法得出， 所以，所以， 当时，，所以， 所以， 所以. 5．（24-25高二上·河北保定·阶段练习）记等差数列的前n项和为，，． (1)证明：数列是等差数列． (2)若数列满足，且，求的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：设等差数列的公差为d， 又，， 解得，， 所以，， 所以． 因为， 所以， 所以数列是等差数列． （2），又， 所以，又 当时，， 则 ． 又也满足上式，所以的通项公式为． 6．（24-25高三上·安徽·期中）已知各项均为正数的数列满足：，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由条件，知，，，， 累加，得， 所以，又，所以，又符合上式， 所以数列的通项公式为. （2）由（1），知， 设，则， 两边同乘以2，得， 两式相减，得 ， 所以，即. 考点三 累乘法求数列通项公式 1．（24-25高二下·山东德州·阶段练习）已知数列中，，，记数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 则，，， ，则当时， ，满足上式， 所以数列通项公式为 （2）由（1）， ， 两式相减则： 所以. 2．（23-24高二下·江西萍乡·期中）已知数列的前项和为，且满足． (1)求的值； (2)试猜想的通项公式，并证明． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 【详解】（1）由题知，，解得， 同理，，解得； （2）由（1）可猜想，证明如下： 已知，当时，有， 化简得，即， 则有， 又，故， 则， 当时，上式仍成立，则． 3．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知数列满足. (1)求的通项公式. (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以，，，……，， 所以， 所以，得； （2）由（1）得， 令数列的前项和为，则 所以， 所以 ， 所以 所以数列的前项和为. 4．（23-24高二下·黑龙江大庆·期末）记数列的前项和为，已知且． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意，，，则， 两式相减得， 即， 所以， 故的通项公式为； （2）由（1）知，，所以， 故， . 考点四 构造法求数列通项公式 1．（2025·河南·二模）已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题设条件，可得若，则， 用反证法，假设，由题设条件，显然，这与已知条件矛盾，所以. 因为，所以，，，所以，， 由得，所以， 又，所以是首项、公比均为的等比数列. 所以，则. （2）显然时，成立， 当时，，所以，所以， 所以，即，所以， 所以. 综上，，得证. 2．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知数列满足，且，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若数列的前项和为，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）已知， 则. 又，，所以. 那么（常数）. 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）知，等式两边同时除以得：. 设，则，且. 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. 所以. 因为，所以. （3）已知，则. . 所以. 假设数列中存在不同的三项，，（，）构成等差数列， 则，即， 两边同时乘以得：. 因为，，所以，， 则是的倍数，除以余，等式不成立. 所以假设不成立，即数列中任意不同的三项都不能构成等差数列. 3．（24-25高三上·陕西商洛·期末）已知表示不超过x的最大整数．例如：．已知数列满足，． (1)求． (2)证明：且数列是等比数列． (3)设数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）因为，所以， 则，且，所以． （2）由题可得为正整数，则， 所以数列为递增数列， 当时，则，，， 可得，即． 由， 且均为正整数，得， 因为满足，所以， 则，由，得，所以， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列． （3）由（2）得，则． ， 则， 因为，所以． 4．（24-25高二上·浙江衢州·期末）已知数列满足且，数列满足且 (1)求数列，的通项公式； (2)设，求数列的前n项和 【答案】(1)，； (2) 【详解】（1）因为，所以， 又因为，所以是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，， 因为， 所以 ， 又因为也适合，所以； （2）因为， 所以①， ②， ①-②得， 所以. 5．（24-25高二上·吉林·期末）求下列满足条件的数列： (1)在等比数列中，，，求； (2)在等差数列中，，，求数列的前项和； (3)已知数列满足，，求数列的通项公式. 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）因为是等比数列，； （2）因为是等差数列，， 化为，，解得，， 所以； （3）因为，所以，所以， 所以是首项为2，公比为2的等比数列，. 所以. 6．（2024·重庆·模拟预测）已知数列的前项和为，且分别满足：，. (1)求通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)，； (2) 【详解】（1）令得， 当时，由得： ，两式相减得： ， 整理得，即， 所以是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，得， 当时，， 时，上式也成立，所以， 所以，即. （2）记，其前项和为， 则， ， 两式相减得 所以 7．（24-25高二上·重庆·期中）已知数列的前项和满足：,． (1)求； (2)若，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为数列的前项和满足：， 则，则，可得， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，可得， 令，可得，则，解得， 所以，，且， 所以，数列为等比数列，首项为，公比为， 所以，，故. （2）因为， 对任意的，， 问题转化为求数列的前项和，记数列的前项和为， ， 则， 上式下式得 ， 化简得， 因此，. 8．（24-25高三上·辽宁沈阳·期中）已知数列的前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，解得， 因①， 当时，②， ①②得，，即， 则，又. 所以是以为首项，为公比的等比数列， 可得，即； （2）由（1）可得：， 则， 所以. 9．（24-25高三上·四川泸州·开学考试）已知数列的首项，且满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)若，求． 【答案】(1)证明见详解； (2). 【详解】（1）由题设易知，因为，所以， 所以， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）知，得， 所以 10．（2024·福建福州·模拟预测）已知数列中，，． (1)证明：数列为常数列； (2)求数列的前2024项和． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）依题意， ， 则化为， 而，则，因此， 所以数列为常数列. （2）由（1）知，，由，即是以6为周期的周期数列，令， 所以数列的前2024项和 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$数列通项：an与Sn的关系、累加法、累乘法、构造法专项训练 数列通项：与的关系、累加法、累乘法、构造法专项训练 考点一 利用与的关系求数列通项公式 1．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）已知数列的前n项和为．且满足． (1)求，值； (2)证明数列为等比数列并求其通项公式． 2．（24-25高二下·四川内江·阶段练习）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．已知数列的前项和为，，且满足 ， (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，求使得不等式（）成立的最小整数． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 3．（24-25高二下·四川广安·阶段练习）在①；②，；③，.这三个条件中，请选择一个合适的条件，补充在下题横线上（只要写序号），并解答该题. 已知数列的各项均为正数，其前项和为，且对任意正整数，有__________. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 4．（24-25高三下·安徽阜阳·阶段练习）已知数列的前n项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前n项和为，求证：. 5．（24-25高三下·江苏盐城·阶段练习）已知数列的前n项和，数列的前n项和． (1)求，的通项公式； (2)若，求的前n项和． 6．（24-25高二下·四川南充·阶段练习）已知数列的前项和为． (1)求证：数列是等差数列； (2)设的前项和为； ①求； ②若对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．（结果可保留幂的形式） 考点二 累加法求数列通项公式 1．（24-25高二下·四川广安·开学考试）（1）已知数列的前项和，求数列的通项公式； （2）已知数列满足，求数列的通项公式； 2．（24-25高二上·甘肃嘉峪关·阶段练习） 数列中， (1)求数列的通项公式； (2)设记数列的前项和为，证明. 3．（24-25高二下·湖南长沙·开学考试）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足为数列的前项和，求证：． 4．（24-25高三上·新疆·阶段练习）已知数列的前n项和为S，且，．数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式及． 5．（24-25高二上·河北保定·阶段练习）记等差数列的前n项和为，，． (1)证明：数列是等差数列． (2)若数列满足，且，求的通项公式． 6．（24-25高三上·安徽·期中）已知各项均为正数的数列满足：，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 考点三 累乘法求数列通项公式 1．（24-25高二下·山东德州·阶段练习）已知数列中，，，记数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 2．（23-24高二下·江西萍乡·期中）已知数列的前项和为，且满足． (1)求的值； (2)试猜想的通项公式，并证明． 3．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知数列满足. (1)求的通项公式. (2)求数列的前项和. 4．（23-24高二下·黑龙江大庆·期末）记数列的前项和为，已知且． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和 考点四 构造法求数列通项公式 1．（2025·河南·二模）已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，求证：. 2．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知数列满足，且，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若数列的前项和为，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列． 3．（24-25高三上·陕西商洛·期末）已知表示不超过x的最大整数．例如：．已知数列满足，． (1)求． (2)证明：且数列是等比数列． (3)设数列的前n项和为，证明：． 4．（24-25高二上·浙江衢州·期末）已知数列满足且，数列满足且 (1)求数列，的通项公式； (2)设，求数列的前n项和 5．（24-25高二上·吉林·期末）求下列满足条件的数列： (1)在等比数列中，，，求； (2)在等差数列中，，，求数列的前项和； (3)已知数列满足，，求数列的通项公式. 6．（2024·重庆·模拟预测）已知数列的前项和为，且分别满足：，. (1)求通项公式； (2)求数列的前项和. 7．（24-25高二上·重庆·期中）已知数列的前项和满足：,． (1)求； (2)若，求的前项和． 8．（24-25高三上·辽宁沈阳·期中）已知数列的前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)，求数列的前项和. 9．（24-25高三上·四川泸州·开学考试）已知数列的首项，且满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)若，求． 10．（2024·福建福州·模拟预测）已知数列中，，． (1)证明：数列为常数列； (2)求数列的前2024项和． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$