解析几何之定点问题、定值问题、定直线问题专项训练——2025届高三数学三轮冲刺

解析几何：定点问题、定值问题、定直线问题专项训练 解析几何：定点问题、定值问题、定直线问题专项训练 考点一 定点问题 1．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）已知椭圆C：在左、右焦点，且经过点，点M为椭圆C的右顶点，直线与椭圆C交于A，B（异于点M）两点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若以AB为直径的圆过点M，求证直线过定点，并求定点坐标. 2．（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，是上除左、右顶点以外的动点，直线与交于另一点，当轴时，. (1)求的方程； (2)求的内切圆面积的最大值； (3)在射线、上分别取点、，满足，证明：直线过定点. 3．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知椭圆经过中的三点. (1)求的方程； (2)设分别为的左、右顶点，动点在直线上，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为. （i）证明：直线过定点，并求出该定点坐标； （ii）当直线的斜率为1时，求线段的长. 4．（2025·山东·模拟预测）已知点，，是平面内一动点，，垂足位于线段上且不与点A，B重合，. (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点且与曲线相交的两条线段分别为和，（直线EF，MN的斜率均存在，且点E，F，M，N都在曲线上），若G，H分别是和的中点，求证：直线过定点. 5．（2025·河北保定·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线与双曲线的一条渐近线垂直，分别为的左、右顶点，且到的两条渐近线的距离之和为. (1)求双曲线的标准方程； (2)设为上异于的不同的两点，且直线的斜率与直线的斜率满足，证明：直线恒过定点. 6．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知双曲线的焦距为，是双曲线上任意一点，，分别为双曲线的左、右焦点，且． (1)求双曲线的标准方程． (2)设双曲线的左、右顶点分别为．若为直线上一点，不在轴上，直线与直线分别与交于（不与重合）两点，试问直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 7．（2025·山西太原·一模）已知圆，点，动点，以为直径的圆与圆相外切，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设点，，，直线，分别与曲线交于点，（点异于点）． ①求证：直线过定点； ②若，为垂足，求点的轨迹方程． 8．（2025·山东济南·一模）已知双曲线：的离心率为，为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于P，Q两点，当轴时，. (1)求的方程； (2)过P作直线的垂线，垂足为N. （i）证明：直线过定点； （ii）求面积的最小值. 考点二 定值问题 1．（2025·陕西汉中·二模）已知椭圆的离心率为，点在该椭圆上，均为该椭圆上的动点． (1)求该椭圆的方程； (2)若的重心是坐标原点，求直线的方程； (3)若的重心是坐标原点，证明：的面积是定值． 2．（2025·湖南·模拟预测）已知双曲线的左，右焦点为，过作平行于轴的直线交于两点，若， (1)求双曲线的方程； (2)设直线与双曲线相切，切点为，与渐近线相交于两点． （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）设直线与圆相切于点，若的长度为圆的直径，求直线的方程． 3．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知双曲线：（，）的离心率为2，过点的直线与相交于，两点，且当的斜率为0时，． (1)求的方程； (2)是否存在，使得恰好是线段的中点？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由； (3)与直线：交于点，设，，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 4．（24-25高二下·重庆渝中·阶段练习）已知椭圆的左焦点为，椭圆上任意一点到的距离最大值为3； (1)求椭圆的方程； (2)过原点且斜率为的直线与椭圆交于两点； （ⅰ）当时，设直线的斜率分别是，求证：为定值； （ⅱ）过点作垂直于的直线交于，交圆于两点，记的面积分别为，求的取值范围． 5．（24-25高三下·青海玉树·开学考试）如图所示，已知抛物线的焦点为F，，过点F的直线l与抛物线C交于两点，直线与抛物线C交于两点，AC与BD交于点 (1)求取得最小值时直线l的方程； (2)若直线l与直线m相交于点Q，求证：为定值. 6．（24-25高二上·山东枣庄·期末）已知抛物线，过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M． (1)当直线l的倾斜角为时，，求抛物线G的方程： (2)对于（1）问中的抛物线G，若点，求证：为定值，并求出该定值． 7．（24-25高二上·山东菏泽·期末）极点与极线是射影几何学研究中的重要理论，对于椭圆，极点（不是坐标原点）对应椭圆C的极线为.已知，为椭圆C的左右焦点，点M为C上动点，若，则M对应椭圆C的极线经过点． (1)求椭圆C的方程； (2)若动点M对应椭圆C的极线交于A， B两点，求证：以AB为直径的圆恒过，； (3)若为曲线上的动点，且点P对应椭圆C的极线交椭圆C于Q， R两点，判断四边形OQPR的面积是否为定值，如果是定值，求出该定值；如果不是定值，说明理由． 8．（24-25高二上·山东东营·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，点在双曲线C上. (1)求双曲线C的方程; (2)设双曲线C的左右顶点分别为A，B，过点的直线l交双曲线C于点M，在第一象限，记直线AM，BN的斜率分别为，，判断是否是定值，若是定值，请求出此定值;若不是定值，请说明理由. 考点三 定直线问题 1．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）椭圆与圆和圆都外切． (1)求椭圆E的方程； (2)设A，B分别为椭圆E的左右顶点，F为椭圆的右焦点，K为椭圆E上动点（异于A，B），直线与椭圆E交于另一点H．若直线与交于点P，求证：点P在定直线l上； (3)在（2）的条件下，设直线与直线l交于Q点，椭圆E在点K处的切线与l交于R， ①求证：． ②求面积取最小值时K点的横坐标． 2．（2024·广东深圳·一模）在平面直角坐标系中，已知动点和定点，，直线，分别与轴交于，两点，且.记动点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)已知点，斜率为的直线与交于A，两点， （i）求直线与的斜率之和； （ii）的外心是否在一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由. 3．（24-25高二下·广东·阶段练习）已知椭圆过点，直线与交于两点. (1)求的方程； (2)若，求的值； (3)已知的上，下顶点分别为，记直线交于点，证明：点在定直线上，并求出该直线方程. 4．（2025·天津·一模）椭圆的左焦点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆的右顶点为，点的坐标为，过点的直线与椭圆交第一象限于点，与线段交于点．若三角形的面积是三角形面积的5倍（为坐标原点），求直线的方程． 5．（2025·北京石景山·一模）已知椭圆过点，短轴长为4． (1)求椭圆的方程； (2)椭圆与轴的交点为，（点位于点的上方），直线与椭圆交于不同的两点，．设直线与直线相交于点．试问点是否在某定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 6．（24-25高三上·河北石家庄·期末）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，且焦距为，短轴长为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于、两点，动点与、、四点不共线，设直线、、的斜率分别为、、，且满足：．证明：点在定直线上，并求出该直线． 7．（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）已知圆和圆，动圆Q与圆、圆都外切或都内切，记点Q的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)过点作直线，使其被曲线E截得的弦恰被点P平分，求直线的方程； (3)记曲线E的左、右顶点为，，过点的直线与曲线E的左支交于C，D两点，点C在第二象限，直线与交于点G，证明点G在定直线上. 8．（2025·四川成都·二模）已知双曲线过点，渐近线方程为. (1)求的方程； (2)已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点，在线段上取异于点的点. （i）当为中点时，的面积为7，求直线的斜率； （ii）直线分别与轴交于点，若为中点，证明：点恒在一条定直线上. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$解析几何：定点问题、定值问题、定直线问题专项训练 解析几何：定点问题、定值问题、定直线问题专项训练 考点一 定点问题 1．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）已知椭圆C：在左、右焦点，且经过点，点M为椭圆C的右顶点，直线与椭圆C交于A，B（异于点M）两点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若以AB为直径的圆过点M，求证直线过定点，并求定点坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【详解】（1）设椭圆C的半焦距为， 则， 可得，即，则， 所以椭圆C的标准方程为. （2）由题意可知：， 若直线的斜率不为0时，设， 联立方程，消去x得， 则，可得， 又因为， 由题意可知：， 则， 整理得， 则， 又因为，则，可得， 整理得，即直线过定点； 若直线的斜率为0，则， 又因为， 由题意可知：，即 且，解得，此时直线，不合题意； 综上所述：直线过定点. 2．（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，是上除左、右顶点以外的动点，直线与交于另一点，当轴时，. (1)求的方程； (2)求的内切圆面积的最大值； (3)在射线、上分别取点、，满足，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由的焦点坐标可知，不妨点在第二象限，则， 则，则，故， 所以的方程为. （2）由题意可知，、、三点不共线，即直线不与轴重合， 设直线的方程为，设点、. 联立得得， ， 所以，， 所以. 又因为 ， 当且仅当，即时等号成立，所以. 又因为的周长为， 又因为， 所以的内切圆半径， 故的内切圆面积的最大值为. （3）因为点、分别在射线、上，且， 所以，，即，， 如图，又因为原点是线段的中点， 所以. 由椭圆的定义可知，所以. 不妨设，则， 所以，，则，可得， 故、、三点共线，因此直线必过原点. 3．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知椭圆经过中的三点. (1)求的方程； (2)设分别为的左、右顶点，动点在直线上，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为. （i）证明：直线过定点，并求出该定点坐标； （ii）当直线的斜率为1时，求线段的长. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析，；（ii）. 【详解】（1）由题可知点均在椭圆上， 若点也在椭圆上，则，方程组无解， 所以椭圆经过点， 所以，解得， 所以椭圆的方程为. （2）（i）由对称性可知直线经过的定点必在轴上且异于原点与左、右顶点， 设定点为，且， 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，， 联立，得， 则，， 由（1）可得， 则直线的方程为，直线的方程为， 由题意知直线与交于点，且点在直线上， 所以，即， 所以，即， 所以①， 当，，得， 代入①得，， 若时，上式恒成立，直线过定点； 若，则，即②， ②式与联立得，， ②式与联立得，， 则，得与矛盾； 当，即直线的斜率不存在时， 若，则直线的方程为， 取，满足①式. 当直线的斜率为0时，直线，过点. 综上，直线过定点，且该定点的坐标为. （ii）由（i）可知直线过定点，由题可知直线的斜率为1， 所以， 所以. 4．（2025·山东·模拟预测）已知点，，是平面内一动点，，垂足位于线段上且不与点A，B重合，. (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点且与曲线相交的两条线段分别为和，（直线EF，MN的斜率均存在，且点E，F，M，N都在曲线上），若G，H分别是和的中点，求证：直线过定点. 【答案】(1)动点的轨迹的方程为. (2)证明见解析，直线过定点. 【详解】（1）由题可设，， 因为，所以， 整理得，即动点的轨迹的方程为. （2）证明：由题可设直线的方程为，， 联立， 所以， 所以的中点为， 因为，所以直线方程为， 同理可得中点坐标为， 所以直线斜率为，    所以直线的方程为， 令. 所以直线过定点. 5．（2025·河北保定·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线与双曲线的一条渐近线垂直，分别为的左、右顶点，且到的两条渐近线的距离之和为. (1)求双曲线的标准方程； (2)设为上异于的不同的两点，且直线的斜率与直线的斜率满足，证明：直线恒过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）双曲线的一条渐近线方程为， 因为双曲线的一条渐近线与双曲线的一条渐近线垂直， 所以双曲线的一条渐近线方程为，即， 则， ，由对称性可知，到的一条渐近线的距离为， 所以，解得， 所以， 故的标准方程为. （2）证明：由（1）可知，， ①当直线的斜率存在时，设方程为，， 由，整理得， 则， 得， 由得，，即， 由，则， 所以， 则 即， 所以， 整理得， 所以， 解得或， 若时，直线的方程为， 即，则直线过定点，不合题意，舍去； 若时，直线的方程为，即，则直线过定点. 当直线过定点， ②当斜率不存在时，， 得，故直线，满足题意. 综上可知，直线恒过定点. 6．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知双曲线的焦距为，是双曲线上任意一点，，分别为双曲线的左、右焦点，且． (1)求双曲线的标准方程． (2)设双曲线的左、右顶点分别为．若为直线上一点，不在轴上，直线与直线分别与交于（不与重合）两点，试问直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)过定点 【详解】（1）由题意可知， 所以， 所以双曲线的标准方程为； （2）由（1）知， 设， 则，所以直线的方程为， 联立，消得， 则，解得， 则，所以， 所以，故， ，所以直线的方程为， 联立，消得， 则，解得， 则，所以， 所以，故， 当直线的斜率不存在时，则，解得， 此时，直线的方程为 当直线的斜率存在时，， 则直线的方程为， 即， 令，则， 综上所述，直线过定点. 7．（2025·山西太原·一模）已知圆，点，动点，以为直径的圆与圆相外切，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设点，，，直线，分别与曲线交于点，（点异于点）． ①求证：直线过定点； ②若，为垂足，求点的轨迹方程． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【详解】（1）设是的中点，，连接，， 由题意可得且， 所以， 故点的轨迹是以，为焦点，实轴长为2的双曲线的右支曲线， 则，所以，， 所以曲线的方程为． （2）①设，，直线的方程为， 由得， ∴，， 直线的方程为，令，则， 直线的方程为，令，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴或， 当时，直线的方程为，令，即，所以， 所以直线经过点，即点与重合，与题意不符； 当时，直线的方程为，令，即，所以， 所以直线过定点； ②由①知直线过定点，记其为点， 由可知垂足在以为直径的圆上，∵，∴， 所以点的轨迹方程为． 8．（2025·山东济南·一模）已知双曲线：的离心率为，为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于P，Q两点，当轴时，. (1)求的方程； (2)过P作直线的垂线，垂足为N. （i）证明：直线过定点； （ii）求面积的最小值. 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）. 【详解】（1）由题设且，则， 由轴时，，不妨令，代入双曲线得， 所以，则所求方程为； （2）（i）设，则，由斜率不为0，设， 联立双曲线并整理得，则， 所以， 由，直线， 根据双曲线的对称性，直线所过定点必在轴上， 令，则， 因为，所以， 而，则， 所以过定点；    （ii）由， 由（i），，可得， 令，则， 由，故，当时取等号， 综上，的最小值为. 考点二 定值问题 1．（2025·陕西汉中·二模）已知椭圆的离心率为，点在该椭圆上，均为该椭圆上的动点． (1)求该椭圆的方程； (2)若的重心是坐标原点，求直线的方程； (3)若的重心是坐标原点，证明：的面积是定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）因为，所以，可得． 又因为点在该椭圆上，所以，解得，所以， 故该椭圆的方程为． （2）设，则的中点． 因为的重心是坐标原点，所以，， 可得，，得的中点． 由得， 即，可得， 所以直线的方程为，即． （3）设，当直线的斜率不存在时，易得，直线的方程为， 或，直线的方程为． 将代入椭圆的方程，可得， 所以的面积. 当直线的斜率存在时，设，． 与（2）同理，可得，得的中点， 所以直线的方程为， 即． 令，可得直线在轴上的截距为，则． 将代入椭圆的方程，得， 即，则， 所以． 因为，所以，所以，所以． 又因为是的重心，所以． 综上，的面积是定值． 2．（2025·湖南·模拟预测）已知双曲线的左，右焦点为，过作平行于轴的直线交于两点，若， (1)求双曲线的方程； (2)设直线与双曲线相切，切点为，与渐近线相交于两点． （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）设直线与圆相切于点，若的长度为圆的直径，求直线的方程． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）或 【详解】（1）由题意得， 得， 又由勾股定理得 解得，所以， 故双曲线的标准方程为． （2） （ⅰ）①当与轴垂直时，，解得 ②当与轴不垂直时，设，设 与联立可得：， 且有， 故， 且． 将与联立可得：． ， ．综上所述，，所以得证． （ⅱ）由与圆相切可知：． 因为，所以． 由（ⅰ）可知，则．而． 消去可得：， 所以 故或 3．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知双曲线：（，）的离心率为2，过点的直线与相交于，两点，且当的斜率为0时，． (1)求的方程； (2)是否存在，使得恰好是线段的中点？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由； (3)与直线：交于点，设，，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)为定值0 【详解】（1）设的焦距为． 因为的离心率为2，所以， 即，所以：． 当直线的斜率为0时，：， 代入，得， 所以，解得， 所以的方程为． （2）假设存在直线满足条件，设，， 则，，所以， 即， 因为为线段的中点，所以，， 所以，所以，即直线的斜率为3， 所以直线的方程为． 联立，消去并整理得， ， 所以直线与无公共点，这与直线与交于，两点矛盾， 故不存在直线，使得恰好是线段的中点. （3）由题可知直线的斜率存在， 设直线的方程为，即， 联立得，，且， 解得，且， 由韦达定理得．① 设， 由在直线：上，得，即；② 由在直线上，得．③ 由，得， 即，解得， 同理，由，得， 结合①②③，得 ，故为定值0． 4．（24-25高二下·重庆渝中·阶段练习）已知椭圆的左焦点为，椭圆上任意一点到的距离最大值为3； (1)求椭圆的方程； (2)过原点且斜率为的直线与椭圆交于两点； （ⅰ）当时，设直线的斜率分别是，求证：为定值； （ⅱ）过点作垂直于的直线交于，交圆于两点，记的面积分别为，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）. 【详解】（1）由题知，又，可得，则椭圆方程为； （2）（ⅰ）不妨设，由化简为， 显然，则， 又 ，即证. （ⅱ）由于均为直角三角形，， 由圆的性质知，故 由于，则， 当时，， 当时：直线PQ方程为，则 又， 所以，令，那么， 即，则， 综上：. 5．（24-25高三下·青海玉树·开学考试）如图所示，已知抛物线的焦点为F，，过点F的直线l与抛物线C交于两点，直线与抛物线C交于两点，AC与BD交于点 (1)求取得最小值时直线l的方程； (2)若直线l与直线m相交于点Q，求证：为定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）由题设，则，联立抛物线得，显然， 所以，，则，， 由， 所以 ，当且仅当，即时取等号， 所以取最小值时，，则， 所以. （2）令，则且，可得，即， 将代入，可得，如下图，有， 由抛物线对称性，不妨令在轴上方， 由且在抛物线上，可设且，，则， 所以，则， 又可能重合，即可能重合， 可设，， 联立直线，可， 所以，则， 注意，否则，即两条直线没有交点，不合题设， 所以， 综上，，为定值. 6．（24-25高二上·山东枣庄·期末）已知抛物线，过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M． (1)当直线l的倾斜角为时，，求抛物线G的方程： (2)对于（1）问中的抛物线G，若点，求证：为定值，并求出该定值． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）由题意知，设直线的方程为， 由  得：，所以 所以，所以，故抛物线的方程为； （2）由（1）抛物线的方程为， 当直线的斜率为0时，直线的方程为，直线与抛物线只有一个交点，与已知矛盾， 故直线的斜率不为0，故可设的方程为 消去得：，设， 则： 所以： ，即 所以： 7．（24-25高二上·山东菏泽·期末）极点与极线是射影几何学研究中的重要理论，对于椭圆，极点（不是坐标原点）对应椭圆C的极线为.已知，为椭圆C的左右焦点，点M为C上动点，若，则M对应椭圆C的极线经过点． (1)求椭圆C的方程； (2)若动点M对应椭圆C的极线交于A， B两点，求证：以AB为直径的圆恒过，； (3)若为曲线上的动点，且点P对应椭圆C的极线交椭圆C于Q， R两点，判断四边形OQPR的面积是否为定值，如果是定值，求出该定值；如果不是定值，说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)是，，理由见解析 【详解】（1）由点为椭圆上的动点，则将点坐标值代入椭圆方程得， 又由极点极线定义可知，点对应椭圆的极线 极线过点，所以， 联立方程解得，所以椭圆的方程为. （2） 由（1）知动点对应椭圆的极线， 联立方程，解得或， 不妨令，， 由椭圆的方程易知，，所以，， 又因为点在椭圆上，则，， 所以，同理可知， 所以，所以以为直径的圆恒过，； （3） 由题意知曲线的方程为，又在曲线上， 点对应椭圆的极线， 联立，，即， ，不妨令，， ，， 设为的中点所以，， 所以点同时为的中点，即四边形为平行四边形. 即. ， 点到直线的距离， 所以， . 8．（24-25高二上·山东东营·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，点在双曲线C上. (1)求双曲线C的方程; (2)设双曲线C的左右顶点分别为A，B，过点的直线l交双曲线C于点M，在第一象限，记直线AM，BN的斜率分别为，，判断是否是定值，若是定值，请求出此定值;若不是定值，请说明理由. 【答案】(1) (2)是定值， 【详解】（1）依题意，， 解得，， 故双曲线C的方程为 （2）设直线l的方程为，，， 由整理得， ， 由韦达定理得：，， 得：， 由题，， 所以 ， 所以是定值， 考点三 定直线问题 1．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）椭圆与圆和圆都外切． (1)求椭圆E的方程； (2)设A，B分别为椭圆E的左右顶点，F为椭圆的右焦点，K为椭圆E上动点（异于A，B），直线与椭圆E交于另一点H．若直线与交于点P，求证：点P在定直线l上； (3)在（2）的条件下，设直线与直线l交于Q点，椭圆E在点K处的切线与l交于R， ①求证：． ②求面积取最小值时K点的横坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)①证明见解析；② 【详解】（1）圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为； 由题意椭圆E与两圆都外切，结合图形可知，， 故椭圆E的方程为. （2）由椭圆E的方程为可知， 由题意知，不垂直于轴，故可设直线， 由焦点在椭圆内，则直线与椭圆恒有两个交点， 设， 联立直线与椭圆方程得， 由韦达定理得， 则（）， 又直线方程为，方程为， 设两直线交点， 则联立方程，解得， 将（）式代入化简得， 故点P在定直线上. （3）①由题意知椭圆E在点处的切线斜率存在， 可设切线的方程为， 联立直线与椭圆E方程消得， ， 由直线与椭圆相切， 则， 化简得， 由，得代入上式得， 解得，故， 令，得 直线，令得； 直线，令得； 由， 故为线段的中点， ，得证. ②由， 则 则 ， 则的面积 . 令，， 则， 由解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 故当时，函数取最小值. 即面积S取最小值时K点的横坐标为． 2．（2024·广东深圳·一模）在平面直角坐标系中，已知动点和定点，，直线，分别与轴交于，两点，且.记动点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)已知点，斜率为的直线与交于A，两点， （i）求直线与的斜率之和； （ii）的外心是否在一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）是， 【详解】（1）设，则直线的斜率为， 直线的方程为， 令，则，即，从而. 同理可得，由，得，化简得. 当时，显然不满足题设，故的方程为. （2）（i）由题意，设直线的方程为，与的方程联立得. 因为直线与交于A，两点，所以，解得. 设，，则，. 所以， 又 所以. （ii）设直线的方程为，即， 与的方程联立得. 因为A，为直线与椭圆的交点，所以 设的中点为，则 ， 所以线段的中垂线方程为，即.① 又因为直线的方程为，同理可得线段的中垂线方程为② 设的外心为，联立①②，解得，，消去，得. 故的外心在一条定直线上. 3．（24-25高二下·广东·阶段练习）已知椭圆过点，直线与交于两点. (1)求的方程； (2)若，求的值； (3)已知的上，下顶点分别为，记直线交于点，证明：点在定直线上，并求出该直线方程. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析， 【详解】（1）依题意， 解得故的方程为. （2）设， 由得， 所以，解得， 所以， 所以， 解得（负值舍去），故. （3）证明：设，因为，且在同一条直线上， 所以， 又在同一条直线上， 所以， 所以， 所以，即点在直线上. 4．（2025·天津·一模）椭圆的左焦点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆的右顶点为，点的坐标为，过点的直线与椭圆交第一象限于点，与线段交于点．若三角形的面积是三角形面积的5倍（为坐标原点），求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得：， 所以 所以椭圆方程为. （2）由题意可知，直线的斜率存在且为正， 直线方程为， 因为三角形的面积是三角形面积的5倍 ∴ ∵  ∴ 又由题意可知、均在轴右侧，∴ 【算法一】设直线方程为，由，解得 ， 思路一： 所以 因为点点在椭圆上，故将点坐标代入椭圆方程整理得： ∴ 所以直线方程为，即． 思路二：由得， 显然成立 ∵ ∴ ∴ 整理得： ∴ 所以直线方程为，即． 【算法二】设直线方程为， 由，解得， 思路一：． 所以由  得 因为点点在椭圆上，故将点坐标代入椭圆方程整理得： ∴ 所以直线方程为，即．15分 思路二：得， 显然成立 ∵ ∴ ∴ 整理得： ∴ 所以直线方程为，即 5．（2025·北京石景山·一模）已知椭圆过点，短轴长为4． (1)求椭圆的方程； (2)椭圆与轴的交点为，（点位于点的上方），直线与椭圆交于不同的两点，．设直线与直线相交于点．试问点是否在某定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)在定直线上，理由见详解. 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的方程为； （2）在定直线上，理由如下： 设点与直线联立消去整理得， 由，且， 所以， 易知，，则，， 两式作商得，解得， 故在定直线上. 6．（24-25高三上·河北石家庄·期末）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，且焦距为，短轴长为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于、两点，动点与、、四点不共线，设直线、、的斜率分别为、、，且满足：．证明：点在定直线上，并求出该直线． 【答案】(1) (2)证明见解析，直线方程为 【详解】（1）由题意知，，，，所以椭圆方程为：． （2）设、、， 当直线斜率为时，不妨令、， 则：， 因为、、、四点不共线，所以，解得． 当直线斜率不为时，设直线的方程为． 联立，得，， 由韦达定理得．    于是， ． 因为，由得： ． 整理得：，即， 因为、、、四点不共线，所以，所以， 综上，点在定直线上． 7．（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）已知圆和圆，动圆Q与圆、圆都外切或都内切，记点Q的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)过点作直线，使其被曲线E截得的弦恰被点P平分，求直线的方程； (3)记曲线E的左、右顶点为，，过点的直线与曲线E的左支交于C，D两点，点C在第二象限，直线与交于点G，证明点G在定直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）设动圆的半径为，当动圆与圆、圆都外切时， 所以 当动圆与圆、圆都内切时，， 所以，所以， 所以点的轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线， 所以，，所以， 所以曲线的方程为. （2）设直线交双曲线于点，并设，， 所以两式相减可得：， ，则， 因为为线段的中点，所以，， 所以，所以直线的方程为， 化简可得，经检验，该直线与曲线有两个交点，符合题意. （3），，设点，， 因为直线CD的斜率不为0，故设CD的方程为， 联立得， 直线的方程为， 直线的方程为， 联立直线与可得 ，则 又，得，故点在定直线上.    8．（2025·四川成都·二模）已知双曲线过点，渐近线方程为. (1)求的方程； (2)已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点，在线段上取异于点的点. （i）当为中点时，的面积为7，求直线的斜率； （ii）直线分别与轴交于点，若为中点，证明：点恒在一条定直线上. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）由题意，得，则①， 将点代入双曲线方程，得②， 联立①②解得故的方程为. （2）若直线的斜率不存在，则直线与双曲线右支只有一个交点，不符合题意，故直线的斜率存在. 设直线的方程为，与联立得. 设，由题意，得解得. （i）解：因为为中点，所以. 由，得. 又，解得，所以直线的斜率为. （ii）证明：设直线的方程为，令，得. 同理可得，. 因为为中点，所以，即. 又因为点都在直线上， 所以， 整理，得， 代入韦达定理，得，所以. 因为，所以点恒在定直线上. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$