解三角形之中线、角平分线、高线问题专项训练——2025届高三数学三轮冲刺

解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 考点一 中线问题 1．（23-24高一下·浙江宁波·期中）在①；②；③向量与平行,这三个条件中任选一个,补充在下面题干中,然后解答问题.已知内角的对边分别为,且满足______. (1)求角； (2)若为锐角三角形,且,求周长的取值范围； (3)在（2）条件下,若边中点为,求中线的取值范围. （注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分） 【答案】(1)条件选择见解析, (2) (3) 【详解】（1）选①：因为， ,即， ，,. 选②：， ,               ， ,,. 选③：向量与平行， ,        , ,,. （2）,        , . 为锐角三角形,   ，         ， .               周长的取值范围为. （3），     又由中线公式可得， . 即， 为锐角三角形，    ，         ,.         . 2．（2025·河北张家口·一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，. (1)若，求； (2)当BC边上的中线最小时，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）因为，所以，故， 又，即， 所以由正弦定理， 若，则， 则， 所以； （2）由（1）得，取中点， 则为BC边上的中线， 则， 又由余弦定理得，故， 即，当且仅当时等号成立， 所以，即，当且仅当时等号成立， 所以BC边上的中线最小值为，此时. 3．（24-25高一下·天津·阶段练习）已知的内角的对边为，且 (1)求; (2)若的面积为 ①已知为的中点，且，求底边上中线的长; ②求内角的角平分线长的最大值. 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）由正弦定理得，即， 故，因为，所以， 所以. （2）①由（1）知，因为的面积为， 所以，解得， 且，解得，由于， 所以 ，所以，即. ②因为为角的角平分线，所以， 由于， 得到， 由于，所以， 由二倍角公式得，则，解得， 又，所以， 由于，当且仅当时，等号取得到， 故，故. 4．（24-25高一下·浙江·阶段练习）在中，角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)若，且边的中线的长为，求的面积； (3)若是锐角三角形，求的范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由和正弦定理得：， 即， ， 又. （2）. ， ， . 所以的面积为. （3）由正弦定理得： . 因为是锐角三角形，则. ， ， ，所以 5．（24-25高一下·天津·阶段练习）已知锐角的内角所对的边分别为，向量 ，，且 . (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的最小值； (3)若，边上的中线长为，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）∵，，且 ， ∴，故， ∵，∴，故， ∵，∴. （2）∵的面积为，∴，即，故. 由余弦定理得，， 当且仅当时等号成立，此时为等边三角形，符合题意， ∴，即的最小值为. （3）    ∵为边上的中线，∴， ∴，即， ∴，即，解得或（舍）， 此时，为等边三角形，符合题意， ∴. 6．（23-24高一下·江苏南京·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求角A的大小. (2)若，求AC边上的中线BD的长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 整理可得， 由余弦定理可得， 且，所以. （2）因为，且，可知， 可得， 由正弦定理可得，则， 又因为BD为AC边上的中线，则， 可得， 所以AC边上的中线BD的长为. 7．（23-24高一下·广东中山·期中）在中，满足 (1)求； (2)若，边上的中线，，求的周长和面积. 【答案】(1) (2)周长为，面积为 【详解】（1）解：在中，因为， 由正弦定理得， 又因为， 则， 因为，可得，所以， 即， 化简得 因为，可得， 解得，所以. （2）解：由边的中线， 可得，可得， 即，即， 在中，由余弦定理，可得， 联立方程组，可得，所以， 所以， 所以的周长为，面积为. 8．（24-25高三下·广东·开学考试）在中，内角所对的边分别为，已知. (1)证明：； (2)若边上的中线的长为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由正弦定理可得，所以， 由及余弦定理得， 代入，得， 化简得，故； （2）因为，所以，故， 在中，由余弦定理可得， 即， 解得. 考点二 角平分线问题 1．（24-25高一下·广东广州·阶段练习）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若B的角平分线交AC于点D，且，求△ABC的面积. (3)若的面积为，求c. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得，因为，所以， 从而，又因为，即， ，所以； （2）由角平分得，所以， 在△BCD中，由正弦定理得所以； （3）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 2．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，外接圆半径为2，的角平分线与交于点.求的长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以, 即,即, 因为，所以. （2）. 所以，从而， 所以， 因为外接圆半径为，所以外接圆直径为， 由正弦定理得， 所以 因为的角平分线为，所以，所以 在中，由正弦定理得，即，解得 3．（24-25高一下·广东东莞·阶段练习）在三角形中，点在线段上，平分． (1)尝试利用等面积法证明角平分线定理，即请证明：； (2)尝试利用正弦定理证明角平分线定理，即请证明：； (3)若，，则是多少？ 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）利用等面积法证明：设，BC边上的高为h. 由，又，故； （2）利用正弦定理证明：设，则， ， 在中，由正弦定理，， 在中，由正弦定理，， 因，两式相比，可得：； （3）由角平分线定理得，故， 于是， 两边平方得： ，故. 4．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小： (2)若，，，求的值； (3)设是边上一点，为角平分线且，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意及正弦定理可得：， 可得，即， 在中，，所以， 因为，所以； （2）因为，，， 由余弦定理得， 所以，即， 所以，，由正弦定理可得：， 可得， 因为，则，则， 可得， 且， 所以 ； （3）因为，是角平分线，即， 因为， 所以，由正弦定理可知， 所以，所以， 整理可得， 又因为，且， 即，解得. 5．（2024·江西新余·模拟预测）在中，，为的角平分线，在线段上. (1)求证：； (2)求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，为的角平分线， 在中，因为，得到①， 在中，因为，得到②， 又，由①②得到， 所以. （2）法一：在中，， 得到，即， 由（1）知，所以，， 在中，，得到， 解得或， 在中，，得到 解得或，所以. 法二：在中，可算， 又，， 又，两式相加可解得. 6．（23-24高一下·吉林·期末）法国伟大的军事家、政治家拿破仑一生钟爱数学，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意的三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，以，，为边向外作三个等边三角形，其中心分别为D，E，F. (1)求角A； (2)若，且的周长为9，求； (3)若的面积为，求的角平分线的取值范围. 【答案】(1)； (2)9； (3). 【详解】（1）在中，由及正弦定理得， 又，则， 又，于是即，又， 所以. （2）由（1）知，由正的周长为，得， 依题意，， 在中，由余弦定理得， 则，即， 在中，由余弦定理得，即，联立解得， 所以. （3）由正的面积为，得， 由（2）知，即， 由，得， 于是，又，则， 又，即，解得，因此， 令函数，而函数与在上均单调递增， 则函数在上单调递增，从而，则， 所以的取值范围是. 7．（23-24高一下·陕西榆林·期末）已知中，内角的对边分别为、、，点为边上一点，满足. (1)求证：； (2)若为内角A的角平分线，满足，求. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【详解】（1）记的中点为，可得， 因为，则， 可知为的垂直平分线，所以. （2）记， 因为，且点在线段内，可知， 又因为为内角A的平分线，则，即， 在中，分别由余弦定理得： ，联立可得， 在中，由余弦定理得， 且，所以. 8．（2025·山西吕梁·一模）如图，已知三角形的内角的对边分别为，且. (1)求的大小； (2)若，设为三角形的角平分线，求的长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由得, 又因为， 所以, 又因为， 所以, 又因为, 所以. （2）因为， 所以, 又因为, 所以, 所以, 故答案为：. 考点三 高线问题 1．（2025·安徽池州·二模）已知的内角的对边分别为，且. (1)求； (2)在三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求边上高线的长. ①；②；③的周长为. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）由题意知.又， 所以，即， 化简得， 又，，则， 又， 解得，. （2）由（1）知为定值. 若选①，由正弦定理可知存在且唯一确定，记边上高为， 则，所以边上高线的长为9； 若选②，由（1）知，， 由正弦定理知，所以不存在； 若选③的周长为，即 由，由正弦定理， 设，则， 解得，所以，故存在且唯一确定， 记边上高为，则，即边上高线的长为9. 2．（2025·北京平谷·一模）在中，. (1)求的大小； (2)再从下列三个条件中，选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：边上的高为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）方法一：由正弦定理及，得 .① 因为， 所以.② 由①②得 因为，所以. 所以.因为，所以. 方法二：在中，因为， 由余弦定理得， 整理得 所以，所以. （2）若选条件①：；，所以,而，这与矛盾，故不能选①. 选条件②： 方法一：由余弦定理，得 即，解得. 所以 方法二：由正弦定理，所以，因为 ，所以， 所以. 选条件③： 边上的高，所以， 以下与选择条件②相同. 3．（2025·江苏宿迁·二模）记的内角、、所对边分别为、、，面积为，且． (1)证明：； (2)若，边上的高为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，所以， 在中，，所以． 由正弦定理，得． 因为， 所以， 所以，即， 所以． （2）因为，所以，由（1）知． 法1：因为， 所以为锐角三角形． 过作，过作，、分别为垂足， 由，设， 因为，所以，， 所以在中，，，，所以，解得， 所以在中，，即．    法2：因为，又因为，解得，． 因为，所以，所以，． 由，得，解得． 由正弦定理，得，解得． 4．（24-25高三上·浙江·期末）已知 (1)求的最小正周期; (2)若锐角中，边AC上的高且求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ， ； （2），即 所以或得舍 由边AC上的高， 根据正弦定理得： 是锐角三角形， ，， 5．（24-25高三上·广东深圳·期末）记的内角A，B，C的对边分别为. (1)求； (2)设AC边上的高为，若，且，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理得， 因为， 所以， 因为，，所以，， 又，解得； （2）∵，，即， 所以，即， 又，所以， 因为，所以，故， 所以，所以， 所以周长的范围为． 6．（24-25高三上·北京顺义·期末）在中，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求最长边上的高． 条件①：，； 条件②：，的周长为20； 条件③：，． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分 【答案】(1) (2)选条件②③时，最长边上的高为. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 而为三角形内角，故，故， 所以，而， 故即. （2）若选①，则，，由余弦定理可得， 整理得到：，故或， 因为三角形不唯一，故舍； 若选②，则，的周长为20， 故，由余弦定理得，故， 故最长边为，该边上的高为； 若选③，则，，由正弦定理得， 故，由余弦定理可得， 解得或(舍)，以下同选条件②. 7．（2025·江西新余·一模）在中，已知角的对边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若边上的高为，求三角形ABC的周长. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题设及余弦定理知，整理得， 所以，，则； （2）由题意及（1）知：，则， 由，即， 所以（负值舍），故，而， 所以三角形ABC的周长为. 8．（24-25高三上·四川南充·阶段练习）已知函数在上的值域为． (1)求，并求在R上的单调递增区间； (2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，求边BC上的高h． 【答案】(1)，． (2) 【详解】（1）因为，所以， 令，因为，所以， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，，当时，， 所以，且，所以．∴ 由，解得， ∴的单调递增区间为． （2）由已知及正弦定理得：， 又，∴， 又，∴，则， 而，∴，则，故，得． ∵， ∴，∴ 由得，， 由得. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 考点一 中线问题 1．（23-24高一下·浙江宁波·期中）在①；②；③向量与平行,这三个条件中任选一个,补充在下面题干中,然后解答问题.已知内角的对边分别为,且满足______. (1)求角； (2)若为锐角三角形,且,求周长的取值范围； (3)在（2）条件下,若边中点为,求中线的取值范围. （注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分） 2．（2025·河北张家口·一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，. (1)若，求； (2)当BC边上的中线最小时，求的面积. 3．（24-25高一下·天津·阶段练习）已知的内角的对边为，且 (1)求; (2)若的面积为 ①已知为的中点，且，求底边上中线的长; ②求内角的角平分线长的最大值. 4．（24-25高一下·浙江·阶段练习）在中，角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)若，且边的中线的长为，求的面积； (3)若是锐角三角形，求的范围. 5．（24-25高一下·天津·阶段练习）已知锐角的内角所对的边分别为，向量 ，，且 . (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的最小值； (3)若，边上的中线长为，求的值. 6．（23-24高一下·江苏南京·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求角A的大小. (2)若，求AC边上的中线BD的长. 7．（23-24高一下·广东中山·期中）在中，满足 (1)求； (2)若，边上的中线，，求的周长和面积. 8．（24-25高三下·广东·开学考试）在中，内角所对的边分别为，已知. (1)证明：； (2)若边上的中线的长为，求. 考点二 角平分线问题 1．（24-25高一下·广东广州·阶段练习）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若B的角平分线交AC于点D，且，求△ABC的面积. (3)若的面积为，求c. 2．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，外接圆半径为2，的角平分线与交于点.求的长. 3．（24-25高一下·广东东莞·阶段练习）在三角形中，点在线段上，平分． (1)尝试利用等面积法证明角平分线定理，即请证明：； (2)尝试利用正弦定理证明角平分线定理，即请证明：； (3)若，，则是多少？ 4．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小： (2)若，，，求的值； (3)设是边上一点，为角平分线且，求的值. 5．（2024·江西新余·模拟预测）在中，，为的角平分线，在线段上. (1)求证：； (2)求的长. 6．（23-24高一下·吉林·期末）法国伟大的军事家、政治家拿破仑一生钟爱数学，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意的三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，以，，为边向外作三个等边三角形，其中心分别为D，E，F. (1)求角A； (2)若，且的周长为9，求； (3)若的面积为，求的角平分线的取值范围. 7．（23-24高一下·陕西榆林·期末）已知中，内角的对边分别为、、，点为边上一点，满足. (1)求证：； (2)若为内角A的角平分线，满足，求. 8．（2025·山西吕梁·一模）如图，已知三角形的内角的对边分别为，且. (1)求的大小； (2)若，设为三角形的角平分线，求的长. 考点三 高线问题 1．（2025·安徽池州·二模）已知的内角的对边分别为，且. (1)求； (2)在三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求边上高线的长. ①；②；③的周长为. 2．（2025·北京平谷·一模）在中，. (1)求的大小； (2)再从下列三个条件中，选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：边上的高为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 3．（2025·江苏宿迁·二模）记的内角、、所对边分别为、、，面积为，且． (1)证明：； (2)若，边上的高为，求． 4．（24-25高三上·浙江·期末）已知 (1)求的最小正周期; (2)若锐角中，边AC上的高且求面积的取值范围. 5．（24-25高三上·广东深圳·期末）记的内角A，B，C的对边分别为. (1)求； (2)设AC边上的高为，若，且，求周长的取值范围. 6．（24-25高三上·北京顺义·期末）在中，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求最长边上的高． 条件①：，； 条件②：，的周长为20； 条件③：，． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分 7．（2025·江西新余·一模）在中，已知角的对边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若边上的高为，求三角形ABC的周长. 8．（24-25高三上·四川南充·阶段练习）已知函数在上的值域为． (1)求，并求在R上的单调递增区间； (2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，求边BC上的高h． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$