专题4.9 全等三角形作辅助线常用方法（13类题型）（方法梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题4.9 全等三角形作辅助线常用方法（13类题型）（方法梳理与题型分类讲解） 【一】巩固基础篇 【题型1】连接两点............................................................1 【题型2】过点作垂直..........................................................2 【题型3】过点作平行线........................................................3 【题型4】延长相交............................................................4 【题型5】延长线段到一个点，使此线段等于彼线段................................5 【题型6】构造一线三直角证全等................................................6 【题型7】倍长中线............................................................7 【题型8】截长补短法..........................................................8 【题型9】旋转法.............................................................10 【二】拓展培优篇 【题型10】（分类讨论）构造一线三垂直........................................11 【题型11】（分类讨论）截长补短..............................................12 【题型12】（多种方法）作辅助线..............................................13 【题型13】（多条辅助线）作辅助线............................................13 第二部分【题型展示与方法点拨】 【一】巩固基础篇 【题型1】连接两点 【例1】 （24-25八年级上·山东威海·期末）如图，四边形，，，于点E，于点F．与相等吗？请说明理由． 【变式1】（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，D为等腰三角形内一点，，，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·河南南阳·期中）如图，点、分别为的边、上的点，，，，，则的度数为 ． 【变式3】（22-23八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，是外一点，是上一点，，，，，则的度数为 ． 【题型2】过点作垂直 【例1】（24-25八年级上·福建莆田·期末）如图，在中，，点在上，且，交延长线于点． （1）求证：平分； （2）若于点，写出图中与相等的线段，并证明． 【变式1】（24-25八年级上·山西朔州·期中）如图，这是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴到地面的距离，乐乐在荡秋千的过程中，当秋千摆到最高点时，测得点到地面的距离，当她从点处摆动到点处时，，则此时点到铅垂线的距离为 ． 【变式2】（23-24八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，为等腰直角三角形，，点是射线上一点（与点不重合），以为腰作等腰直角，当点运动时，连接，总与边交于点．若，则之间的数量关系是 （用含的代数式表示）． 【变式3】 （23-24八年级上·贵州毕节·期末）如图，四边形是等腰梯形，上底，过点作，且，连接．若的面积为，则的长为 ．    【题型3】过点作平行线 【例1】（24-25八年级上·重庆大足·期末）如图，在中，，在中，． （1）求证：； （2）连接，连接交于点，若点恰好是的中点，求证：． 【变式1】（12-13八年级上·吉林白城·期中）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，延长AC至点E，使CE＝BD．联结DE交BC于点F，求证：DF＝EF． 【变式2】（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）【问题提出】 （1）如图1，在中，，点是上一点，交于点，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，求证：； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，点是的中点，连接，，与的延长线交于点．探究线段与、之间的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图3，某校有一块四边形空地，现将这块空地规划为实践活动区域，在的中点处修建入口，沿修建一条小路（小路的宽度忽略不计），将这块空地分成两部分，在内种植蔬菜，在四边形内种花卉，已知，恰好平分，，，求的长． 【题型4】延长相交 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，平分．试说明：． 【变式1】（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，的面积为40，平分，于，连接，则的面积为（） A． B． C． D．25 【变式2】（24-25八年级上·山西朔州·期末）如图，在中，平分，过点B作，垂足为D，连接．若，，的面积为28，则的面积为 ． 【题型5】延长线段到一个点，使此线段等于彼线段 【例5】（22-23八年级上·上海静安·期中）如图，在中，，是的平分线，过点A作的垂线交延长线于点M，若，则的度数是    【变式1】（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，AD是中线，若，于点F，则的值是 ． 【变式2】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在四边形中，是对角线，，，．四边形的面积是（   ） A．25 B．40 C．50 D．100 【题型6】构造一线三直角证全等 【例1】（23-24八年级上·重庆巴南·阶段练习）四边形中，，面积为且的长为，则的面积为 ．                 【变式1】（22-23七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，，，，求的面积 ． 【变式2】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，于，则的长为 【变式3】（23-24八年级上·重庆·期中）如图，在中，，点是边上的一点，过点作交的延长线于点，延长至点，使得，连接交于点，连接．若，，则的长度为 ． 【题型7】倍长中线 【例7】（2024八年级上·吉林·专题练习）（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是 ； 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）请你写出图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． （3）深入思考：如图3，是的中线，，，，请直接利用（2）的结论，试判断线段与的数量关系，并加以证明． 【变式1】（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为 ． 【变式2】（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至E，使， 是边上的中线， ， 在和中， ， （依据1）， ， 在中，（依据2）， ． （1）任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1：__________；依据2：__________． 【归纳总结】上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）任务二：利用“倍长中线法”，解决下列问题． 如图3，中，，D为中点，求证：． 【题型8】截长补短法 【例8】（21-22八年级上·湖北宜昌·期中）在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法． 截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等． 这两种方法统称截长补短法． 请用这两种方法分别解决下列问题： 已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1 = ∠2，P为AD上任一点，求证：AB－AC＞PB－PC 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，．如果点在的平分线所在的直线上，那么的最大值为 ． 【变式2】（22-23八年级上·辽宁大连·期末）如图，的角平分线，交于点，，用等式表示线段，，的数量关系为 ． 【变式3】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，平分，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的是 ． 【变式3】（19-20八年级上·山东济宁·期中）现阅读下面的材料，然后解答问题： 截长补短法，是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法．在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．截长法：在较长的线段上截一条线段等于较短线段，而后再证明剩余的线段与另一段线段相等．补短法：就是延长较短线段与较长线段相等，而后证延长的部分等于另一条线段． 请用截长法解决问题（1） （1）已知：如图1等腰直角三角形中，，是角平分线，交边于点．求证：． 请用补短法解决问题（2） （2）如图2，已知，如图2，在中，，是的角平分线．求证：． 【题型9】旋转法 【例9】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，以D为顶点作一个角，角的两边分别交于E、F两点，连接，探索线段之间的数量关系，并加以证明． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图①，在四边形中，分别是边上的点，连接，试探究图中线段之间的数量关系． （1）小王同学探究此问题的方法是延长到点，使，连接，先说明，再说明即可得出结论，他的结论应是______________； （2）如图②，在四边形中，，分别是边上的点，且，请判断（1）中结论是否仍然成立，并说明理由． 【变式2】（24-25八年级上·湖北孝感·期中）把两个全等的角三角形的斜边重合，组成一个四边形，以为顶点作，交边、于、． （1）如图1，若，，当绕点旋转时，、、三条线段之间有何种数量关系？并证明你的结论； （2）如图2，当，时，、、三条线段之间有何种数量关系？并证明你的结论； （3）如图3，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图3，其余条件不变，则、、之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明） 【二】拓展培优篇 【题型10】（分类讨论）作垂直 【例10】（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图所示，在等腰中，，点D为射线上的动点，，且，与所在的直线交于点P，若，则 ． 【变式】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知：中，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． （1）如图1，当点在线段上时，过点作于，连接．求证：； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，连接交的延长线于点，求证：； （3）当点在直线上时，连接交直线于，若，请求出的值． 【题型11】（分类讨论）截长补短 【例11】（24-25八年级上·云南红河·期末）已知，在四边形中，，，、分别是、边上的点．且．探究线段、、的数量关系． （1）为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明 ；再证明 ；即可得出线段、、之间的数量关系是 ． （2）如图②，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，分别是所在直线上的点，且．请直接写出、、线段之间的数量关系，不用证明． 【题型12】（多种方法）作辅助线 【例题12】（24-25八年级上·福建厦门·期中）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图，在任意中，为边上一点，若与是积等三角形，求证：为中线． 【理解运用】 （2）如图，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 （3）如图，在中，，过点作，点是射线上一点，以为边作，，，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 【题型13】（多条辅助线）作辅助线 （24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知：在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且． （1）为探究上述问题，小宁同学先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小宁的解题思路是：先证明 ；再证明 ；即可得出之间的数量关系是 ． （2）如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，E，F分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.9 全等三角形作辅助线常用方法（13类题型）（方法梳理与题型分类讲解） 【一】巩固基础篇 【题型1】连接两点............................................................1 【题型2】过点作垂直..........................................................5 【题型3】过点作平行线.......................................................11 【题型4】延长相交...........................................................16 【题型5】延长线段到一个点，使此线段等于彼线段...............................19 【题型6】构造一线三直角证全等...............................................23 【题型7】倍长中线...........................................................27 【题型8】截长补短法.........................................................32 【题型9】旋转法.............................................................40 【二】拓展培优篇 【题型10】（分类讨论）构造一线三垂直........................................46 【题型11】（分类讨论）截长补短..............................................52 【题型12】（多种方法）作辅助线..............................................56 【题型13】（多条辅助线）作辅助线............................................59 第二部分【题型展示与方法点拨】 【一】巩固基础篇 【题型1】连接两点 【例1】 （24-25八年级上·山东威海·期末）如图，四边形，，，于点E，于点F．与相等吗？请说明理由． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．在和中，利用即可证明，则；再证明，有． 解：连接， 在和 中， ， ∴， ∴； ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，D为等腰三角形内一点，，，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据证明，得出，然后根据证明，即可得出结论． 解：连接，    在和中， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·河南南阳·期中）如图，点、分别为的边、上的点，，，，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 连结，由，，，根据“”证明，则，由，求得，则，于是得到问题的答案． 解：连结， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式3】（22-23八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，是外一点，是上一点，，，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，连接，证明，可得，再证明，即可得到，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 解：连接， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型2】过点作垂直 【例1】（24-25八年级上·福建莆田·期末）如图，在中，，点在上，且，交延长线于点． （1）求证：平分； （2）若于点，写出图中与相等的线段，并证明． 【答案】（1）见详解；（2），证明见详解 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质以及全等三角形的性质与判定，熟练掌握是解答本题的关键． （1）利用等角的余角相等即可证明； （2）根据题意过点作于点，即可得到，再利用证明，即可得出结论． 解：（1）证明：在中，， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， 平分； （2），证明：过点作于点， ， 由（1）知平分，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 【变式1】（24-25八年级上·山西朔州·期中）如图，这是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴到地面的距离，乐乐在荡秋千的过程中，当秋千摆到最高点时，测得点到地面的距离，当她从点处摆动到点处时，，则此时点到铅垂线的距离为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．作于点，作于点．，证明，得出解答即可． 解：如解图，作于点，作于点． ∵， ∴； ∴， ∴， 由题意可知 在和中 ∴， ∴． 由题意可知，， ∵， ∴ ∴， ∴， 点到铅垂线的距离为， 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，为等腰直角三角形，，点是射线上一点（与点不重合），以为腰作等腰直角，当点运动时，连接，总与边交于点．若，则之间的数量关系是 （用含的代数式表示）． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用分类讨论思想以及正确作出辅助线证明三角形全等是解题的关键 过点E作于G，证明，根据全等三角形的性质得到，再证明，根据全等三角形的性质证明结论；根据全等三角形的性质得到，结合，且，根据线段的和差关系列式代入计算；当点在直线上时，同理证明三角形的全等，然后运用全等三角形的性质以及数形结合思想，再结合线段的和差关系列式，代入数值进行计算，即可得到答案； 解：过点E作于G， 则， ∵ ∴ ∴ 在和中， ， ∴ ∴ 在和中 ， ∴ ∴； ∵ ∴ ∴， ∵， ∴ 则 ∵， ∴ 即； 如图，过点E作交的延长线于点H， 则， ∵， ∴ ∴ 在和中， ， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵，且， ∴； ∴ 故答案为：或． 【变式3】 （23-24八年级上·贵州毕节·期末）如图，四边形是等腰梯形，上底，过点作，且，连接．若的面积为，则的长为 ．    【答案】30 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，等腰梯形的性质等等，过点E作交延长线与F，过点D作于G，过点C作于H，先根据三角形面积公式求出，证明，得到，再证明，得到，进一步证明，则． 解：如图所示，过点E作交延长线与F，过点D作于G，过点C作于H， ∵的面积为，， ∴， ∴， ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 故答案为：30．    【题型3】过点作平行线 【例1】（24-25八年级上·重庆大足·期末）如图，在中，，在中，． （1）求证：； （2）连接，连接交于点，若点恰好是的中点，求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用全等三角形的性质和判定解决问题． （1）运用全等三角形的性质和判定，证明和全等，即可求得； （2）作辅助线构建全等三角形，运用全等三角形的性质和判定，证明， ，进而求得． 解：（1）解：证明：，， ， 在和中， ， ； （2）证明：过点作交于点，如图所示， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【变式1】（12-13八年级上·吉林白城·期中）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，延长AC至点E，使CE＝BD．联结DE交BC于点F，求证：DF＝EF． 【答案】见分析 【分析】过点D作DG∥AC交BC于点G，由题意易得∠B＝∠ACB，进而可得∠ACB＝∠DGB＝∠B，DG＝DB，则可证△DFG≌△ECF，进而问题得证． 解：证明：如图，过点D作DG∥AC交BC于点G， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∵DG∥AC， ∴∠ACB＝∠DGB，∠DGF＝∠ECF， ∴∠ACB＝∠DGB＝∠B， ∴DG＝DB， ∵CE＝BD ∴DG=CE 在△DFG和△EF中，， ∴△DFG≌△ECF（AAS） ∴DF＝EF． 【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【变式2】（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）【问题提出】 （1）如图1，在中，，点是上一点，交于点，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，求证：； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，点是的中点，连接，，与的延长线交于点．探究线段与、之间的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图3，某校有一块四边形空地，现将这块空地规划为实践活动区域，在的中点处修建入口，沿修建一条小路（小路的宽度忽略不计），将这块空地分成两部分，在内种植蔬菜，在四边形内种花卉，已知，恰好平分，，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2），见分析；（3）的长为 【分析】（1）由，可得，，由F是的中点，可得，进而可证，由全等的性质即可得证； （2）由和E为边的中点，可证，再由等腰三角形性质和判定，即可得证； （3）由，，得，再由点E是的中点，可证，由全等三角形的性质可得，由平分，结合等腰三角形的判定，可证，由等腰三角形三线合一可得，由，，可得，进而可证，最后可得． 解：（1）证明：∵，， ∴，， ， ∵点F是的中点， ∴， ，，， ∴， ∴， ∴． （2）解：． 理由：分别延长与的延长线交于点G． ∵， ∴，， ∵E为边的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：过C作交的延长线于点M，延长交于点N，连接， ∵点E是的中点，， ∴， ∵，， ∴，，， ，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又， ∴平分， ∴， ∵，， ∴， ，，， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定，理清角度关系和线段的关系，作出正确的辅助线是解题的关键． 【题型4】延长相交 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，平分．试说明：． 【答案】详见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．分别延长、交于点， 由平分，，，从而得到，再证，得出，进一步即可求解． 解：分别延长、交于点，如图： 平分， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ，， ， 在与中， ， ， ， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，的面积为40，平分，于，连接，则的面积为（） A． B． C． D．25 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，等底同高的三角形的面积相等是解题的关键．延长、交于点，由题意证得，证得，，即可证得，，利用即可求得结果． 解：延长、交于点， 平分，且于点， 在和中， ， ， ，， ，， 的面积为40， ， ． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·山西朔州·期末）如图，在中，平分，过点B作，垂足为D，连接．若，，的面积为28，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．延长交于点，证明，得到，，，利用三角形面积公式求解即可． 解：如图，延长交于点． 平分，且， ∴，，， ∴， ∴，，， ， ， ， 故答案为：． 【题型5】延长线段到一个点，使此线段等于彼线段 【例5】（22-23八年级上·上海静安·期中）如图，在中，，是的平分线，过点A作的垂线交延长线于点M，若，则的度数是    【答案】/53度 【分析】延长至点，使，先求得，进而证得，得到，结合即可求得答案． 解：如图所示，延长至点，使．    ∵，， ∴． ∴． ∵，是的平分线， ∴． ∴， ． ∴． 在和中 ∴．   ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 【点拨】本题主要考查全等三角形的判定及性质、角平分线的定义、多边形内角和等，能根据题意作出辅助线构建全等三角形是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，AD是中线，若，于点F，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键．过点B作于H，延长至E，使，连接，利用AAS证明，，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 解：过点B作于H，延长至E，使，连接， ， ，， ， 是中线， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 【变式2】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在四边形中，是对角线，，，．四边形的面积是（   ） A．25 B．40 C．50 D．100 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键．延长到点，使得，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，，进而证明，，然后根据四边形的面积求解即可． 解：如图，延长到点，使得， ∵， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴， ∴四边形的面积． 故选：C． 【题型6】构造一线三直角证全等 【例1】（23-24八年级上·重庆巴南·阶段练习）四边形中，，面积为且的长为，则的面积为 ．                 【答案】 【分析】过点作于，过点作交的延长线于点，证明是等腰直角三角形，得出，再根据证明得出，即可求解． 解：过点作于，过点作交的延长线于点，   的面积为且， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式1】（22-23七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，，，，求的面积 ． 【答案】 【分析】作，证，得到，即可求解， 本题考查了，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：做出辅助线，构造全等三角形． 解：过点作，交延长线于点， ∵， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：8． 【变式2】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，于，则的长为 【答案】10 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 作于点，证明，由全等三角形的性质得出．设．由四边形的面积可得出答案． 解：如图，作于点， ∵， ， ， 在与中， ， ， ， 设， ∵四边形的面积为10， 整理得：， ， 故答案为：10． 【变式3】（23-24八年级上·重庆·期中）如图，在中，，点是边上的一点，过点作交的延长线于点，延长至点，使得，连接交于点，连接．若，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识．过点C作于M，证明，可得，，进而证明，可得H为的中点，即可求解． 解：过点C作于M， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型7】倍长中线 【例7】（2024八年级上·吉林·专题练习）（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是 ； 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）请你写出图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． （3）深入思考：如图3，是的中线，，，，请直接利用（2）的结论，试判断线段与的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2），且，证明见分析；（3），理由见分析 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等三角形是解本题的关键． （1）先判断出，由“”可证，得出，最后用三角形三边关系即可得出结论； （2）由（1）知，，根据全等三角形的性质和平行线的判定即可得出结论； （3）同（1）的方法得出，则，进而判断出，进而判断出，得出，，即可得出结论． 解：（1）如图2，延长到，使得，连接， 是的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ，， ， 故答案为：； （2），且， 证明：由（1）知，， ，， ； （3）， 理由：如图2，延长到，使得，连接， 由（1）知，， ， ， ， 由（2）知：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 即：． 【变式1】（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，延长到使，连接，通过，根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到，由等腰三角形的性质得到，推出即可得解决问题． 解：如图，延长到使，连接， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ． ， ，即， ， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至E，使， 是边上的中线， ， 在和中， ， （依据1）， ， 在中，（依据2）， ． （1）任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1：__________；依据2：__________． 【归纳总结】上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）任务二：利用“倍长中线法”，解决下列问题． 如图3，中，，D为中点，求证：． 【答案】（1）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边 （2）证明见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由全等三角形的判定及三角形三边关系可得出结论； （2）延长至，使，连接，证明，可得出，则可得出结论． 解：（1）任务一：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等； 依据2：三角形任意两边的和大于第三边； 故答案为：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形两边的和大于第三边； （2）任务二：证明：如图4，延长至，使，连接， 由任务一得：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【题型8】截长补短法 【例8】（21-22八年级上·湖北宜昌·期中）在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法． 截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等． 这两种方法统称截长补短法． 请用这两种方法分别解决下列问题： 已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1 = ∠2，P为AD上任一点，求证：AB－AC＞PB－PC 【答案】见分析 【分析】截长法：在AB上截取AN=AC，连结PN，可证得△APN≌△APC，可得到PC=PN，△BPN中，利用三角形的三边关系，即可求证；补短法：延长AC至M，使AM=AB，连结PM，证明△ABP≌△AMP，可得PB=PM，在△PCM中，利用三角形的三边关系，即可求证． 解：截长法：在AB上截取AN=AC，连结PN， 在△APN和△APC中 ∵AN=AC，∠1=∠2，AP=AP， ∴△APN≌△APC， ∴PC=PN， ∵△BPN中有PB－PN＜BN， 即PB－PC＜AB－AC； 补短法：延长AC至M，使AM=AB，连结PM， 在△ABP和△AMP中， ∵AB=AM，∠1=∠2，AP=AP， ∴△ABP≌△AMP， ∴PB=PM， 又∵在△PCM中有CM＞PM－PC， 即AB－AC＞PB－PC． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，理解截长补短法是解题的关键． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，．如果点在的平分线所在的直线上，那么的最大值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键．在线段上取点，使得，证明得，再由三角形的三边关系得，从而当，，在同一直线上时，取最大值，从而问题得解． 解：如图，在线段上取点，使得，连接． 因为点在的平分线所在的直线上， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． 因为，， 所以． 因为， 所以当点，，在同一直线上时，取最大值为的长， 所以， 所以的最大值为2． 故答案为：2． 【变式2】（22-23八年级上·辽宁大连·期末）如图，的角平分线，交于点，，用等式表示线段，，的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，及角平分线的定义，三角形的内角和定理，在上找到使得，连接，由，是的角平分线， 得，然后证明，即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 解：证明：如图，在上找到使得，连接，   ∵，是的角平分线， ∴， ∴， ∵的角平分线，交于点， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，平分，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查平行线的性质，全等三角形的判定与性质，运用平行线的性质可判断①；在上截取，连接，证明可判断②；由可得出，分两种情况讨论可判断③；根据全等三角形的性质可判断④ ． 解：①∵ ∴, ∵平分, ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴平分，故①正确； ②在上截取，连接， ∵平分, ∴ 在和中， ， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ 在和中， ， ∴ ∴ ∵， ∴故②正确； ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时， 当时，故③错误； ④∵ ∴，， ∴， 故④正确， 综上，正确的结论是①②④， 故答案为：①②④ 【变式3】（19-20八年级上·山东济宁·期中）现阅读下面的材料，然后解答问题： 截长补短法，是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法．在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．截长法：在较长的线段上截一条线段等于较短线段，而后再证明剩余的线段与另一段线段相等．补短法：就是延长较短线段与较长线段相等，而后证延长的部分等于另一条线段． 请用截长法解决问题（1） （1）已知：如图1等腰直角三角形中，，是角平分线，交边于点．求证：． 请用补短法解决问题（2） （2）如图2，已知，如图2，在中，，是的角平分线．求证：． 【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析． 【分析】（1）根据截长法，在上截取，连接，通过题目条件可证，进而证得是等腰直角三角形，等量代换即可得； （2）根据补短法，延长到，使，连接，根据已知条件可证，进而可证，等量代换即可得证． 解：（1）证明：如图1，在上截取，连接， ∵是角平分线， ∴ 在和中 ∴ ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴，∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． （2）如图2，延长到，使，连接， ∵是的角平分线， ∴ 在和中 ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了截长法和补短法两种方法证明线段和的问题，三角形全等的判定和性质的应用，角平分线的性质应用，等量代换的应用，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【题型9】旋转法 【例9】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，以D为顶点作一个角，角的两边分别交于E、F两点，连接，探索线段之间的数量关系，并加以证明． 【答案】，见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．如图，结论：．延长到M，使，根据条件证明，则，再证明，从而得． 解：如图，结论： 理由如下：延长到M，使， ∵， 又， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图①，在四边形中，分别是边上的点，连接，试探究图中线段之间的数量关系． （1）小王同学探究此问题的方法是延长到点，使，连接，先说明，再说明即可得出结论，他的结论应是______________； （2）如图②，在四边形中，，分别是边上的点，且，请判断（1）中结论是否仍然成立，并说明理由． 【答案】（1）；（2）（1）中的结论仍然成立．理由见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键. （1）延长到点，使，连接，先证明，再证明即可得出； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明即可得出. 解：（1）解：如图，延长到点，使，连接 ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 理由：如图，延长到点G，使，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式2】（24-25八年级上·湖北孝感·期中）把两个全等的角三角形的斜边重合，组成一个四边形，以为顶点作，交边、于、． （1）如图1，若，，当绕点旋转时，、、三条线段之间有何种数量关系？并证明你的结论； （2）如图2，当，时，、、三条线段之间有何种数量关系？并证明你的结论； （3）如图3，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图3，其余条件不变，则、、之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明） 【答案】（1），证明见分析；（2），证明见分析；（3），证明见分析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）延长到， 使， 证明，推出， ， 证， 推出即可； （2）延长到， 使， 证，推出， ， 证， 推出即可； （3）在截取， 连接， 证，推出，， 证， 推出即可． 解：（1）， 证明： 延长到， 使， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）， 证明： 延长到， 使， 连接， 由（1）知： ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）， 证明： 在截取， 连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【二】拓展培优篇 【题型10】（分类讨论）作垂直 【例10】（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图所示，在等腰中，，点D为射线上的动点，，且，与所在的直线交于点P，若，则 ． 【答案】或 【分析】作，交（或的延长线）于H，利用证明，得，，再证明，得，从而解决问题．注意分两种情况讨论，即点D在线段外和在线段上． 解：（情况一）作，交的延长线于点H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∴，， ∴， ∴； （情况二）作，交于点H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：或． 【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，分两种情况讨论，构造全等三角形解决问题． 【变式】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知：中，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． （1）如图1，当点在线段上时，过点作于，连接．求证：； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，连接交的延长线于点，求证：； （3）当点在直线上时，连接交直线于，若，请求出的值． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）或 【分析】（1）由结合已知得结合题意证，利用全等的性质可证； （2）如图2，过点作，由垂直得结合已知证，得到，，再证即可得到结果； （3）当点在延长线上时，如图，交的延长线于，由，设则，分别，利用全等的性质求出，，，最后利用三角形面积公式计算即可． （3）作交的延长线于点，先证明，得，，所以，可证明，得，再分两点情况，一是点在的延长线上，设，则，由得，则，，，可求得；二是点在线段上，设，则，则，，，于是得，，所以． 解：（1）证明：，， ， ，， ， 又，， ， ， ， ； （2）证明：如图2，过点作， ，， ， ，， ， 又，， ， ， ， ， 又，， ， ； （3）如图，当点在直线上时，连接交直线于，交的延长线于， ， ， 设，则， ， ，， ， ，， ， 又，， ， ，， 又，， ， ， ， ， ， ． 如图4，点在线段上，设，则， ， ， ， ， ，， ， 综上所述，或， 故答案为：或． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形面积公式；解题的关键是证明三角形全等并运用性质进行等量换算． 【题型11】（分类讨论）截长补短 【例11】（24-25八年级上·云南红河·期末）已知，在四边形中，，，、分别是、边上的点．且．探究线段、、的数量关系． （1）为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明 ；再证明 ；即可得出线段、、之间的数量关系是 ． （2）如图②，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，分别是所在直线上的点，且．请直接写出、、线段之间的数量关系，不用证明． 【答案】（1），，；（2）成立，证明见分析；（3）或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）依据题意，补全小宁的解题思路即可； （2）延长到点G，使，连接，先证明，再证明，即可得出线段、、之间的数量关系； （3）分三种情况讨论，分别采用截长补短，先利用证明三角形全等，再进行线段的和差计算即可． 解：（1）解：补全小宁的解题思路如下： 先证明；再证明；即可得出线段、、之间的数量关系是， 故答案为：，，； （2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图②，延长到点G，使，连接， ，， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ； （3）解：或或，理由如下： ， 如图③，在上截取，使，连接， ，， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ； ， 如图④，在上截取， 同第一种情况，先证得，再证得， ； 由（1）、（2）可知，； 如图，点在延长线上，点在延长线上，此时线段、、之间并无直接数量关系； 综上，线段、、之间的数量关系为：或或． 【题型12】（多种方法）作辅助线 【例题12】（24-25八年级上·福建厦门·期中）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图，在任意中，为边上一点，若与是积等三角形，求证：为中线． 【理解运用】 （2）如图，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 （3）如图，在中，，过点作，点是射线上一点，以为边作，，，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 【答案】（1）证明见分析；（2）；（3）与为积等三角形，理由见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）过点作于，通过与是积等三角形，得出，得到，得到为的中线； （2）延长至，使，连接，证明，得出，再根据为正整数，得到； （3）过点作于点，证明，根据，，得到，得出与为积等三角形． 解：（1）证明：过点作于，如图1， 与是积等三角形， ， ， ， 为的中线； （2）解：如图2，延长至，使，连接， 与为积等三角形， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 为正整数， ； （3）证明：与为积等三角形，理由如下： 如图3，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ∵为钝角三角形，为直角三角形， ∴两个三角形不全等 与为积等三角形． 【题型13】（多条辅助线）作辅助线 （24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知：在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且． （1）为探究上述问题，小宁同学先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小宁的解题思路是：先证明 ；再证明 ；即可得出之间的数量关系是 ． （2）如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，E，F分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： ． 【答案】（1）见分析，；（2）（1）中的结论仍然成立，见分析；（3）或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． （1）由题意补图，补充思路即可； （2）延长到G，使，连接，证明即可； （3）分三种情况讨论，分别采用截长补短，证明即可，再进行线段和差计算． 解：（1）解：补全图形，如图： 小明的解题思路：先证明，再证明，即可得出之间的数量关系是， 证明如下：延长到点G，使，连接， ， 在和中， ， ，， 又， ， ， 即， 又， ， ， ， ， 故答案为：； （2）（1）中结论仍成立，理由如下： 延长到G，使，连接，如图所示， ，， ， 在和中， ， ，， 又， ， ， 即， 又， ， ， ， ， （3） E，F分别是边上，则有，第（2）问已证明； 点E在边延长线上，点F在边延长线上，此时，证明如下： 在上截取，使，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 即， 又， ， ， ， ； 当点E在延长线上，点F在延长线上，如图，在上截取，连接， 同上可证明：， ， ， 即， 综上所述：线段之间的数量关系为或或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$