第4章 平行四边形（单元测试·基础卷）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（浙教版）

第4章 平行四边形（单元测试·基础卷） 一、选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（2025·陕西西安·一模）未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行判断即可． 解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故符合题意； B、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意； C、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意； D、该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故不符合题意； 故选：A． 2．（23-24八年级下·山东临沂·开学考试）小明同学写下了平行四边形的四条性质，其中不正确的是（    ） A．对角互补 B．邻角互补 C．对边平行 D．对角线互相平分 【答案】A 【分析】此题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质进判断即可. 解：平行四边形对角相等但不一定互补，邻角互补，对边平行，对角线互相平分， 故选：A 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，四边形中，，与，相邻的两外角的平分线交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用四边形的内角和等于，可求的度数，再利用角平分线的性质及三角形的外角性质可求的度数． 解：如图，连接并延长， ，， ， 、相邻的两外角平分线交于点， ， ，， 即 ． 故选：． 【点拨】本题运用四边形的内角和、角平分线的性质及三角形的外角性质，解题关键是准确计算． 4．（2023·山东潍坊·二模）已知中，∠A=55°，分别以点B，点C为圆心，以大于的长为半径画弧，分别交于点M，N，作直线交于点E，则的度数为（　　）    A．55° B．60° C．65° D．70° 【答案】D 【分析】由得，根据题意得是得垂直平分线，则，得，即求得的度数． 解：∵四边形是平行四边形， ∴，，则， ∵以点B，点C为圆心，以大于的长为半径画弧，分别交于点M，N，作直线交于点E， ∴是得垂直平分线，则， 所以， 那么， 故选：D． 【点拨】本题主要考查的是平行四边形性质以及垂直平分线等知识内容，熟练掌握垂直平分线性质是解题的关键． 5．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，在平行四边形中，于点，于点，若平行四边形的周长为，且，则平行四边形的面积为（　　） A．48 B．36 C．24 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，面积等于底×高．由平行四边形的对边相等可得一组对边的和为，设为未知数，利用两种方法得到的平行四边形的面积相等，可得长，乘以4即为平行四边形的面积． 解：平行四边形的周长为， ， 设为， 平行四边形面积， ， 解得， 平行四边形的面积为， 故选：C． 6．（2025·安徽滁州·一模）如图，在四边形中，对角线，交于点．若，则添加下列条件，仍不能得出的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．由平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可． 解：A、由，，不能证明四边形是平行四边形， 因此不能得出，故该选项符合题意； B、∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ， 故该选项不符合题意； C、∵， ∴四边形是平行四边形， ； 故该选项不符合题意； D、在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ， 故该选项不符合题意； 故选：A． 7．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）如图，要在一条河上架一座桥（河的两岸互相平行，桥与河岸垂直），在如下四种方案中，使得，两地的路程最短的是（   ）       A．与河岸垂直 B．，，共线 C． D．与河岸垂直 【答案】C 【分析】本题考查最短路径中的造桥问题，熟练掌握平行四边形的判定与性质，以及两点之间线段最短．根据是河的宽最短，即直线（或直线），只要最短即可． 解：如图，过点作，且等于河宽，连接交直线与，作即可．    ∴四边形是平行四边形， ∴，． ∴， ∴，，三点共线，，最短． ∴． 故选：C． 8．（21-22八年级下·河北秦皇岛·期末）已知在平面直角坐标系中有三个点：、、．在平面内确定点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在平面直角坐标系中，分类讨论①当AB，CD为对角线时，②当AC，BD为对角线时和③当BC，AD为对角线时，结合平行四边形的性质画出图形即得出答案． 解：①当AB，CD为对角线时，如图，此时四边形为平行四边形， ∴． ∵向上平移4个单位，向左平移2个单位得到， ∴向上平移4个单位，向左平移2个单位得到； ②当AC，BD为对角线时，如图，此时四边形为平行四边形， ∴． ∵向上平移1个单位，向左平移4个单位得到， ∴向上平移1个单位，向左平移4个单位得到； ③当BC，AD为对角线时，如图，此时四边形为平行四边形， ∴． ∵向下平移1个单位，向右平移4个单位得到， ∴向下平移1个单位，向右平移4个单位得到． 综上可知点D的坐标可能是或或， 故选D． 【点拨】本题考查平行四边形的判定和性质，坐标与图形．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 9．（24-25八年级下·福建三明·阶段练习）用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于”时，用反证法的假设正确的是：假设（    ） A．三个内角都大于 B．三个内角都小于 C．三个内角都不大于 D．三个内角至多有两个大于 【答案】A 【分析】本题考查了反证法．反证法是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后通过推理，推出矛盾，从而证明原命题成立． “至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“三角形的三个内角都大于”． 解：∵命题“三角形的内角中至少有一个角不大于”，其结论为“至少有一个角不大于”，意思是三角形的三个内角中存在一个或者多个角是小于等于的， ∴它的否定就是三角形的三个内角都大于． ∴用反证法证明该命题时，应假设“三角形的三个内角都大于”． 故选：A． 10．（23-24七年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，互不重合的四个点，直线与x轴交于E点，直线与x轴交于F点，折线段E→D→F的长度记为，E→A→B→F的长度记为，E→A→C→B→F的长度记为，对于的大小关系，下列判断正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系以及平行四边形的判定与性质，根据题意得出、四边形是平行四边形是解题关键． 解：由题意得： ∵ ∴ ∵； ∴且 ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ 故选：C 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24八年级下·上海长宁·期末）如果从多边形的一个顶点出发的对角线有9条，那么它的边数是 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了多边形的边数与对角线条数的关系，解题的关键是熟练掌握边形从一个顶点出发的对角线最多可画的条数为． 根据边形从一个顶点出发的对角线最多可画的条数为，求出多边形的边数即可． 解：∵多边形从一个顶点出发的对角线最多可画9条， ∴， ∴多边形的边数为：． 故答案为：12． 12．（22-23九年级上·广东湛江·期中）若点与点关于原点对称，则 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确把握对应点横纵坐标的关系是解题关键．直接利用关于原点对称点的性质得出答案． 解：点与点关于原点对称， ，， 解得：，． ． 故答案为：3． 13．（22-23八年级下·四川成都·期中）如图，在平行四边形中，以点为圆心，的长为半径画弧交对角线于点，若，，则 ．    【答案】/126度 【分析】根据题意得，平行四边形的性质得到，再根据三角形内角和定理得到，即可解答． 解：∵以点为圆心，的长为半径画弧交对角线于点， ∴， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握其性质是解题的关键． 14．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在四边形中，对角线，相交于点，其中，请你再添加一个条件，使四边形为平行四边形，可以添加的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．根据平行四边形的判定方法添加条件即可． 解：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 故可添加， 根据两组对边分别相等的四边形为平行四边形， 故可添加， 故答案为：．（答案不唯一） 15．（2019·四川成都·二模）在平行四边形ABCD中，动点P从点B出发，沿B⇒C⇒D⇒A运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图所示，则四边形ABCD的面积是 ． 【答案】8． 【分析】根据y关于x的函数图象，得△ABC的面积为4，进而可得答案． 解：根据y关于x的函数图象，得△ABP的面积的最大值为4，即△ABC的面积是4， ∴S▱ABCD=2S△ABC=8． 故答案是：8． 【点拨】本题主要考查函数图象与几何图形的综合，掌握平行四边形的性质与函数图象的意义，是解题的关键． 16．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，点 E 为的对角线AC 上一点， ，连接并延长至点 F，使得，连接，则为 【答案】3 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，正确作辅助线是解题关键．作交于点H，证明出，得到，，然后证明出四边形是平行四边形，得到． 解：作交于点H ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 故答案为：3． 17．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在中，点分别在的延长线上，且满足．若，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定． 根据平行四边形的性质得出，通过证明出四边形是平行四边形，以及，即可得出结论． 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 18．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图 1， 对 “三角形中位线定理” 进行拓展思考， 可以提出以下三个命题∶ ①若 ，则 ． ②若 ，则 是 的中位线． ③若 ，则 ． 图 2 是以上命题中某个假命题的反例示意图，则此假命题是 （选填①②③中其一） 【答案】③ 【分析】图2是③的反例示意图，可利用平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质证明命题①和②是真命题．本题考查了命题与定理以及三角形中位线定理，掌握平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 解：图2是③的反例示意图． 真命题为命题①和②， 命题①的证明： 证明：过点作交边于点，连接， 又， 四边形是平行四边形， ，， 又， ， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ，， ，， 命题②的证明如下： 证明：如图，延长至点， 使，连接， 是边的中点， ． 又， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， ， ， 是边的中点， 是的中位线． 故答案为：③． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图，学校有一块五边形绿地，测量得，与互补，，分别延长，交于点． （1）求的度数． （2）求证：点到的距离与点到的距离相等． 【答案】（1）；（2）证明见分析 【分析】本题考查多边形的内角和，补角，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用四边形内角和公式得，再结合，，即可求解； （2）过点作于点，延长线于点，利用四边形内角和公式求得，则，可得，证明，即可得． 解：（1）解：∵四边形的内角和为， ∴， ∵与互补， ∴， 又∵， ∴， 解得：； （2）解：过点作于点，延长线于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 又∵， 在和中， ， ∴， ∴， 即点到的距离与点到的距离相等． 20．（本小题满分8分）（2023·广西南宁·模拟预测）如图，，分别是的边、的中点，连接并延长到点，使，连接，其中，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）过点作于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并求出四边形的面积． 【答案】（1）见分析；（2）见分析， 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，垂线的尺规作图，含30度角的直角三角形的性质： （1）由三角形中位线定理得到，，再证明，即可证明四边形是平行四边形； （2）先根据垂线的尺规作图方法作图，再由含30度角的直角三角形的性质得到，求出，即可利用平行四边形面积计算公式求出答案． 解：（1）证明：、分别为、的中点， ∴是的中位线， ，， 则， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解；作图如下所示：    在中， ， ， ， ， ． 21．（本小题满分10分）（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，已知，交于点；   （1）求证：； （2）请写出四个面积等于面积一半的三角形． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中线平分三角形面积等知识； （1）由两个平行条件可得四边形是平行四边形，且，进而可证明，得，问题即可解决； （2）由是中线得的面积等于面积一半；由得等底等高，则其面积相等，则得满足题意的四个三角形． 解：（1）证明：， ∴四边形是平行四边形，， ； ， ， ， ， ； （2）解：由是的中线，则的面积等于面积一半； 由，则等底等高，它们的面积也相等； 故面积都等于面积一半的三角形． 22．（本小题满分10分）（2023八年级下·江苏·专题练习）（1）回顾定理：如图1，在中，是的中位线．那么与的关系有___________． （2）运用定理：如图2，在四边形中，，，点F为的中点，点E为的中点．若，，求的长． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）直接根据三角形中位线定理直接作答； （2）取的中点H，连接、，根据中位线定理可得，，即有，同理，，，有，即可得，再根据勾股定理即可作答． 解：（1）在中，是的中位线， ∴，， 故答案为：，； （2）取的中点H，连接、， ∵点E为的中点，点H为的中点， ∴，， ∴， 同理，，， ∴， ∴， 由勾股定理得，． 【点拨】本题主要考查了三角形的中位线定理以及勾股定理，掌握三角形中位线的性质是解答本题的关键． 23．（本小题满分10分）（23-24八年级下·河南郑州·期末）综合与实践： 某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：  （1）基础计算：边长为2的等边三角形的面积为 ； （2）实践操作：如图，在中， ．以为边向外作等边，以为边向外作等边，以为边向上作等边，连接，． ①探究面积：记的面积为，的面积为，则 的值为______； ②深入探究：请证明四边形是平行四边形，并求的度数． 【答案】（1）；（2）①；②证明见分析， 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，掌握手拉手全等模型是解题的关键． （1）首先画出等边三角形，然后求出，得到，勾股定理求出，然后利用三角形面积公式求解即可； （2）①首先得出，，，即可得出答案； ②证明，求出的度数；证明，，得到四边形是平行四边形． 解：（1）如图所示，是等边三角形，，，    ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积； （2）①同（1）的方法可得，，， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 同理可得， ∴四边形是平行四边形． 24．（本小题满分12分）（23-24八年级下·湖北黄冈·期中）[材料阅读]小明偶然发现线段的端点的坐标为，端点的坐标为，则线段中点的坐标为，通过进一步的探究发现在平面直角坐标系中，以任意两点，为端点的线段中点坐标为； [知识运用]如图，长方形的对角线相交于点，、分别在轴和轴上，为坐标原点，点的坐标为，则点的坐标为　　　　； [能力拓展]在平面直角坐标系中，有，，三点，另有一点与点、、构成平行四边形的顶点，求点的坐标． 【答案】[知识运用] ；[能力拓展] 或或 【分析】本题主要查了中点坐标的公式，平行四边形的性质： [知识运用]根据中点坐标的公式计算，即可求解； [能力拓展]根据平行四边形的性质分三种情况讨论，即可． 解：[知识运用] 解：在长方形中，， ∵点的坐标为，点O的坐标为， ∴点M的坐标为，即； 故答案为：； [能力拓展] 解：设点D的坐标为， 若以为对角线，此时 ，解得：， ∴点D的坐标为； 若以为对角线，此时 ，解得：， ∴点D的坐标为； 若以为对角线，此时 ，解得：， ∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 平行四边形（单元测试·基础卷） 一、选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（2025·陕西西安·一模）未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东临沂·开学考试）小明同学写下了平行四边形的四条性质，其中不正确的是（    ） A．对角互补 B．邻角互补 C．对边平行 D．对角线互相平分 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，四边形中，，与，相邻的两外角的平分线交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·山东潍坊·二模）已知中，∠A=55°，分别以点B，点C为圆心，以大于的长为半径画弧，分别交于点M，N，作直线交于点E，则的度数为（　　）    A．55° B．60° C．65° D．70° 5．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，在平行四边形中，于点，于点，若平行四边形的周长为，且，则平行四边形的面积为（　　） A．48 B．36 C．24 D．12 6．（2025·安徽滁州·一模）如图，在四边形中，对角线，交于点．若，则添加下列条件，仍不能得出的是（   ）    A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）如图，要在一条河上架一座桥（河的两岸互相平行，桥与河岸垂直），在如下四种方案中，使得，两地的路程最短的是（   ）       A．与河岸垂直 B．，，共线 C． D．与河岸垂直 8．（21-22八年级下·河北秦皇岛·期末）已知在平面直角坐标系中有三个点：、、．在平面内确定点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标不可能是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·福建三明·阶段练习）用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于”时，用反证法的假设正确的是：假设（    ） A．三个内角都大于 B．三个内角都小于 C．三个内角都不大于 D．三个内角至多有两个大于 10．（23-24七年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，互不重合的四个点，直线与x轴交于E点，直线与x轴交于F点，折线段E→D→F的长度记为，E→A→B→F的长度记为，E→A→C→B→F的长度记为，对于的大小关系，下列判断正确的是（  ） A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24八年级下·上海长宁·期末）如果从多边形的一个顶点出发的对角线有9条，那么它的边数是 ． 12．（22-23九年级上·广东湛江·期中）若点与点关于原点对称，则 ． 13．（22-23八年级下·四川成都·期中）如图，在平行四边形中，以点为圆心，的长为半径画弧交对角线于点，若，，则 ．    14．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在四边形中，对角线，相交于点，其中，请你再添加一个条件，使四边形为平行四边形，可以添加的条件是 ． 15．（2019·四川成都·二模）在平行四边形ABCD中，动点P从点B出发，沿B⇒C⇒D⇒A运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图所示，则四边形ABCD的面积是 ． 16．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，点 E 为的对角线AC 上一点， ，连接并延长至点 F，使得，连接，则为 17．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在中，点分别在的延长线上，且满足．若，则的长为 ． 18．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图 1， 对 “三角形中位线定理” 进行拓展思考， 可以提出以下三个命题∶ ①若 ，则 ． ②若 ，则 是 的中位线． ③若 ，则 ． 图 2 是以上命题中某个假命题的反例示意图，则此假命题是 （选填①②③中其一） 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图，学校有一块五边形绿地，测量得，与互补，，分别延长，交于点． （1）求的度数． （2）求证：点到的距离与点到的距离相等． 20．（本小题满分8分）（2023·广西南宁·模拟预测）如图，，分别是的边、的中点，连接并延长到点，使，连接，其中，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）过点作于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并求出四边形的面积． 21．（本小题满分10分）（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，已知，交于点；   （1）求证：； （2）请写出四个面积等于面积一半的三角形． 22．（本小题满分10分）（2023八年级下·江苏·专题练习）（1）回顾定理：如图1，在中，是的中位线．那么与的关系有___________． （2）运用定理：如图2，在四边形中，，，点F为的中点，点E为的中点．若，，求的长． 23．（本小题满分10分）（23-24八年级下·河南郑州·期末）综合与实践： 某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：  （1）基础计算：边长为2的等边三角形的面积为 ； （2）实践操作：如图，在中， ．以为边向外作等边，以为边向外作等边，以为边向上作等边，连接，． ①探究面积：记的面积为，的面积为，则 的值为______； ②深入探究：请证明四边形是平行四边形，并求的度数． 24．（本小题满分12分）（23-24八年级下·湖北黄冈·期中）[材料阅读]小明偶然发现线段的端点的坐标为，端点的坐标为，则线段中点的坐标为，通过进一步的探究发现在平面直角坐标系中，以任意两点，为端点的线段中点坐标为； [知识运用]如图，长方形的对角线相交于点，、分别在轴和轴上，为坐标原点，点的坐标为，则点的坐标为　　　　； [能力拓展]在平面直角坐标系中，有，，三点，另有一点与点、、构成平行四边形的顶点，求点的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$