27.2.3 相似三角形应用举例-【名师学案】2024-2025学年九年级下册数学分层进阶学习法（人教版）

27.2.3 相似三角形应用举例 Φ知识储备 1.6m,人与标杆CD的水平距离DF=2m, 在日常生活中，我们可以借助光线或视线来 求旗杆AB的高度. 构造相似三角形，然后利用相似三角形的对应边 来计算不能直接测量的河的宽度或物 体的高度 A基础练 必备知识杭理 知识点一利用相似测量物体的高度 1.【新情境·视力保护】为了加强视力保护意 识，小明要在书房里挂一张视力表.由于书房 空间狭小，他想根据测试距离为5m的大视力 表制作一个测试距离为3m的小视力表.如 图，如果大视力表中的“E”的高度是3.5cm, 知识点二利用相似测量距离与宽度 那么小视力表中相应“E”的高度是 () 4【新情境·居民生活】如图 是某晾衣架的侧面示意图， 3.5cn 根据图中数据，则C,D两 ?cm 点间的距离是 ( 地面 5 m- A.0.9m B.1.2m A.3 cm B.2.5 cm C.2.3 cm D.2.1 cm C.1.5m D.2.5m 2.【新课标·跨物理学科】如图是小明设计用手 5.【新课标·数学文化】《九章算术》中 电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放 记载了一种测量井深的方法.如图， 一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜 在井口B处立一根垂直于井口的木 反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已 杆BD,从木杆的顶端D观察井水水 知AB⊥BD,CD⊥BD,且测得AB=1.2m, 岸C,视线DC与井口的直径AB交于 BP=1.8m,PD=12m,那么该古城墙的高 点E.如果测得AB=1.6m,BD 度是 1m,BE=0.2m,那么AC的长为 m. 6.【教材P40例5变式】如图，为测量出湖边不 可直接到达的A,B两点间的距离，测量人员 工 选取一定点O,使点A,O,C和点B,O,D分 A.6 m B.8 m C.18m D.24m 别在同一条直线上，测出CD=150m,且OB 3.【教材P40例6变式】九年级(1)班课外活动 =3OD,OA=3OC,则AB= m. 小组利用标杆测量学校旗杆的高度.已知标 杆高度CD=3m,标杆与旗杆的水平距离 BD=15m,人的眼睛与地面的高度EF= 37 九年级数学·下册 7.如图，一架投影机插入胶片后图像可投到屏 幕上.已知胶片与屏幕平行，A点为光源，与 胶片BC的距离为O.1m,胶片的高BC为 0.038m,若需要投影后的图像DE高1.9m, 求投影机光源到屏幕的距离. C素养练 学科素养培育口 10.【一日一优】【教材P59复习题T12变式】某 校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在 地面上C处垂直于地面竖立了高度为2m 的标杆CD,此时地面上的点E、标杆的顶端 D、大雁塔的塔尖B正好在同一条直线上， 测得EC=4m,将标杆CD向后平移到点G 处，此时地面上的点F、标杆的顶端H、大雁 塔的塔尖B正好在同一条直线上（点F,G, E,C与塔底A在同一直线上)，测得FG= 6m,GC=53m,请你根据以上数据，计算大 B综合练 金关健能力提升 雁塔的高度AB. 8.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=60°， 直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB, AC于点D,E.点B,C,D,E处的读数分别为 15,12,0,1,则直尺宽BD的长为 4 jirnmsmpmm 14 1 u山s B 9.如图，某校宣传栏BC后面12m处种有一排 与宣传栏平行的若干棵树，即BC∥DE,且相 邻两棵树的间隔为2，一人站在距宣传栏 前面的A处正好看到两端的树干，其余的树 均被宣传栏挡住.已知AF⊥BC,AF=3m, BC=10m,求DE处共有多少棵树.（不计宣 传栏的厚度) 少解题妙招 测量不能直接到达的物体的高度（宽度），先 将生活中的实际问题抽象为数学问题，再建立相 似三角形模型，利用相似三角形的性质解决.如 T3,T7,T10等. 助学助教优质高数38FE ∥BC,∠DAC=∠ACB,∠DAC=∠B.又∠EFB=∠D,△EBFD△CAD.CD =B,即EF·AC=CD·BE:(2)解：AB=AC,AB=20,AC=20,由()知△EBF △CAD器-需即费=吉部得EB=13证明：矩形ABCD.∠BAD- ∠ADE=90°，AB=DC.·∠ABD+∠ADB=90°.：AE⊥BD,·∠DAE+∠ADB=90° ∠ABD=∠DAE:∠BAD=∠ADE=9O△ADB△BAD.÷-AD =DE·BA.AB=DC,AD=DE·DC.4.证明：矩形ABCD,∴.AB=CD, ∠ADC=90.:AE⊥BD,PE⊥CE,.∠AED=90°=∠AEP+∠PED,∠PEC=90°= ∠PED+∠DEC.∴.∠AEP=∠DEC.又：∠EAP+∠ADE=9O°，∠ADE+∠EDC= 90∠EAP=∠EDC△AEP△DEC÷能-C又AB-(CD,AE,AB=DE ·AP5证明：DE∥BC△ADE△AC能=.又：EF∥CD.能- CD小BC-CDDE·CD=BC·EE.6.证明：：ADLBC,∠ADB=∠ADC EF.DE EF 90°.：E是AC的中点，.DE=AE=CE..∠EDC=∠C.:∠BAC=90°=∠BAD+ ∠DAC,∠ADC=90°=∠DAC+∠C,.∠BAD=∠C.:∠BDF=∠EDC,∠EDC= ∠C∠BAD=∠BDF.又：∠F=∠R.△BDFO△DARB职-又：∠ADB =∠ADC,∠BAD=∠C△ABDD△CAn.0-0÷0-REAB·AF=AC ·DF.7.证明：，AD是△ABC的高，DE⊥AB,∠AED=∠ADB=∠ADC=90°. ∠BAD=∠EAD,△AEDD△ADB.0-A8AD=AE·AB.同理可证明AD =AF·AC,.AE·AB=AF·AC. 27.2.2相似三角形的性质 知识储备 1.相似比2.相似比3.相似比的平方 基础练 1C2.B5君75(263A2C4815.DE明：∠cE- ∠ACD,∴.∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE,即∠ACB=∠DCE.又·∠A=∠D, AARD,ACDC÷=-()-专偎号周是 6 =号CE=0.64:25度9：257B8B1:8言(22③巨：2 10.12解：2)△ADBO△ABCS-()广=（片）广=：△ADE的面 S△Ac 积为1，∴.△ABC的面积是16.，四边形BFED是平行四边形，.EF∥AB..△EFC() △ABC兮腰一（得）广=品÷△BFC的面积为∴平行回边形BFED的面积=16 -9-1=6.1.解：品=长成立，证明如下：△ABC0△AB"C,且相似比是 ∠BAC=∠BAC,∠ABC=∠ABC,0-∠BAE=∠BAE,∠ABD=∠AB D.:AD,AD'分别是∠BAE和∠BA'E的平分线，∠BAD=立∠BAE,∠BA'D'= ∠BA'E.∠BAD=∠BAD.又∠ABD=∠AB'D.△ABDO△AB'D. AD AB AD'AB-k. 27.2.3相似三角形应用举例 知识储备 成比例 基础练 1.D2.B3.解：过点E作EH⊥AB于点H,交CD于点G.由题意，得CG∥AH, △CGEn△AHE器需3=品2解得AH=.SAB=AH+HB =AH+EF=11.9+1.6=13.5(m).答：旗杆AB的高度是13.5m.4.B5.76.450 -158 7.解：过点A作AG⊥DE于G,交BC于F.BC∥DE,AG⊥DE,∴△ABC△ADE, AFLRC.小汇品即记-解得AG-5答，投影机光源到屏磨的距离是5m 8.号F9.解：延长AF交DE于点G,:AF L BC,BC∥DE,:AG⊥DE,△ABCD AADE.:G-DE.BC=10 m.AF-3 m.FG=12 m,AG=AF+FG=3+12-15(m). ∴是-品DB=50m则50÷2+1=25C棵.答：DE处共有26棵树。10解：AB ⊥AF,CD⊥AF,GH⊥AF,∴.AB∥CD∥GH.∴.△EDC△EBA,△FHGD△FBA.∴. 能器紧由题意知DC=G1,-是gCC解释AC 6 4 106,:器-器心后-5解得AB-5.答：大雁搭的商废是5m 4 27.3位似 第1课时位似图形 知识储备 1.一点成比例2.放大缩小 基础练 1.D2.D3.解：点O的位置如图所示.4.A5.B6.A7.D8.C 第3题答图 第9题答图 第11题答图 9.解：如图，△A'B'C和△A"B"C"即为所求.10.A11.解：(1)位似中心O的位置如图 所示：(2)1：2(3)如图所示，△ABC即为所求.12.解：(1)AC∥A'C,理由如下：： △ABC与△A'B'C'是位似图形，∴.△ABC△A'BC'.∠A=∠BA'C'..AC∥A'C (2)513.(ID号点0(2)证明：EC∥EC,ED∥ED,△OCE∽△0CE', △ODEn△ODE',.CE:C'E'=OE:OE,DE:D'E'=OE:OE,∠CEO=∠CE'O, ∠DEO=∠D'E'O,.CE:C'E'=DE:DE',∠CED=∠C'E'D',△CDE△CD'E'. ,△CDE是等边三角形，∴△CD'E是等边三角形. 第2课时平面直角坐标系中的位似 知识储备 (kx,ky)或(-kx,一ky) 基础练 1.D2.(1)A(2)(一4，一3)3.24.(1,0)或（一1,0）5.解：如图所示，△OA'B即 为所求：A'(-6,2),B'(-4,-2).6.D7.(2,25)8.89.(1)解：如图所示，△DEF 即为所求.(2)ma(3)2b …… 43-2 -2 第5题答图 第9(1)题答图 微专题（六）确定位似中心的坐标 【例】4x442242x+4-2(-2,0) 【变式练习】1.D2.（-1,0) 回归教材专题（二）三角形中内接矩形问题 1.解：设小正方形边长为x,由题意，得SP=ED=x,AE=60一x,SR=2x,SR∥PQ, ∠ADB=90.△ASR△ABC,∠AFS=∠ADB=90,5-瓷即O0-箭解 60 得x=24..PQ=SR=2x=48.答：矩形的边PQ的长为48.2.解：设PQ=x.AD⊥ BC,∴∠ADB=90.:矩形PQRS,∴PQ∥BC..△APQ△ABC,∠AEP=∠ADB= -159