期中预测模拟卷01（考试范围：第1-4章）-2024-2025学年七年级数学下册重难考点强化训练（北师大版2024）

期中预测模拟卷01 考试范围：第1-4章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，在近月轨道时飞行大约需要．数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．如图，下列条件，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，用圆规和没有刻度的直尺，按如图所示的步骤作出，观察图中的作图痕迹，可以得出的度数为（    ） A． B． C． D． 4．下列说法中，正确的是（    ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．不相交的两条直线叫做平行线 C．若，则点C是线段AB的中点 D．全等三角形的面积相等 5．“成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列成语：①“水中捞月”，②“守株待兔”，③“水涨船高”，④“瓜熟蒂落”描述的事件是不可能事件的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 6．如图，点A，O，B在同一条直线上，，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．用图1中的正方形和长方形纸片可拼成图2所示的正方形，此拼图过程可以说明一个多项式的因式分解，正确的是（　　） A． B． C． D． 8．匹克球作为一项新兴运动，吸引了大量参与者．丹东市举办了首届匹克球公开赛，标志着我市在新型体育赛事上面迈出了重要一步．小亮同学来到运动场练习发球，在统计后，他发现发球1000次，有效799次，请估计他有效发球的概率大约为（   ） A．0.7 B．0.75 C．0.8 D．0.85 9．如图，在三角形纸片中，，，点是的中点，点是边上一动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的度数为（   ） A． B． C． D．或 10．如图，已知，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA．下面结论：①△ABD≌△EBC；②AC=2CD；③AD=AE=EC；④∠BCE+∠BCD=180°．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．若，，则 ． 12．如图，，点E在线段上（不与点B，C重合），连接．若，则 ． 13．先阅读再解答：我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式，实际上还有一些等式也可以用这种方式加以说明，例如： (2a＋b)(a＋b)＝2a2＋3ab＋b2，就可以用图①的面积关系来说明．根据图②写出一个等式： ； 14．某水果销售网络平台以2.6元/kg的成本价购进20000kg沃柑．如下表是平台销售部通过随机取样，得到的“沃柑损坏率”统计表的一部分，从而可大约估计每千克沃柑的实际售价定为 元时（精确到0.1），可获得13000元利润．（销售总金额－损耗总金额＝销售总利润） 沃柑总质量 损坏沃柑质量 沃柑损坏的频率（精确到0.001） …… …… …… 100 10.44 0.104 200 19.63 0.098 300 30.62 0.102 400 39.54 0.099 500 50.67 0.101 15．如图，于点，且，若点是三角形的角平分线的交点，点是的中点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号）． 评卷人 得分 三、解答题 16．计算： (1)． (2)． (3)（要求用公式简便计算） (4)． 17．先化简再求值． (1)，其中，； (2)已知，求的值． 18．如图，C在上，，．    (1)求证：平分； (2)连接，若，，求的度数． 19．2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为，，，．体育老师把这四个项目分别写在四张背面完全相同的卡片上，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)体育老师想从这四张卡片中随机抽取一张，了解该项目在奥运会中的得分标准，恰好抽到（冲浪）的概率是______； (2)体育老师想从中选出两个项目，做成手抄报在学校进行普及．他先从这四张卡片中随机抽取一张不放回，再从剩下的三张卡片（洗匀后）中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是（霹雳舞）和（滑板）的概率． 20．如图a是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图b的形状，拼成一个正方形． (1)图b中的阴影部分面积为______； (2)观察图b，请你写出三个代数式，，之间的等量关系是______； (3)若，，利用（2）提供的等量关系计算的值． 21．【问题情境】 （1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，如果，求间的距离． 【探索应用】 （2）如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接（或将绕着点D逆时针旋转得到，把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断，中线的取值范围是什么？并说明理由． 【拓展提升】 （3）如图3，在中，，，，，的延长线交于点F，求证：． 22．问题情境：如图1，，，求的度数．小明的思路是过点P作，通过平行线的性质来求．    (1)按照小明的思路，则的度数为______； (2)问题迁移：如图2，，点P在射线上运动，记，．当点P在B、D两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点P不在B、D两点之间运动时（点P与点O、B、D三点不重合），直接写出与、之间的数量关系． 23．问题提出：（1）小李和小王在一次学习中遇到了以下问题，如图1，是的中线，若，，求和的取值范围． 他们利用所学知识很快计算出了的取值范围，请你也算一算的取值范围__________．    探究方法：但是他们怎么也算不出的取值范围，于是他们求助于学习小组的同，讨论后发现：延长至点E，使，连接．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取范围． 问题解决：（2）如图2，在中，点E在上，且，过E作，且．求证：平分． 问题拓展：（3）思考：已知，如图3，是的中线，，，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．    学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中预测模拟卷01 考试范围：第1-4章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，在近月轨道时飞行大约需要．数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查了科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 【详解】解：数据用科学记数法表示为， 故选：D． 2．如图，下列条件，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，熟知同旁内角互补，两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行是解题的关键． 【详解】解：A、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，故此选项不符合题意； B、由，可以根据同位角相等，两直线平行得到，不可以得到，故此选项符合题意； C、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，故此选项不符合题意； D、由，可以根据同位角相等，两直线平行得到，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．已知，用圆规和没有刻度的直尺，按如图所示的步骤作出，观察图中的作图痕迹，可以得出的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】作角平分线(尺规作图)、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了复杂作图掌握三角形的内角和定理、角平分线的性质、及三角形的外角定理，先根据作图得出，平分，再根据三角形的内角和定理、角平分线的性质、及三角形的外角定理求解，熟练掌握相关性质是解题的关键． 【详解】解：由作图得：，平分， ， ， ， ， ， 故选：Ｃ． 4．下列说法中，正确的是（    ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．不相交的两条直线叫做平行线 C．若，则点C是线段AB的中点 D．全等三角形的面积相等 【答案】D 【知识点】全等三角形的性质、两直线平行同旁内角互补、平面内两直线的位置关系、线段中点的有关计算 【分析】本题考查平行线的性质，全等三角形的性质，线段中点定义，掌握以上知识点是解题的关键．由平行线的性质，全等三角形的性质，线段中点定义，平行线的概念，即可判断． 【详解】解：A、两直线平行，同旁内角互补，故A不符合题意； B、在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故B不符合题意； C、若，则点不一定是线段的中点，故C不符合题意； D、全等三角形的面积相等，正确，故D符合题意． 故选：D． 5．“成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列成语：①“水中捞月”，②“守株待兔”，③“水涨船高”，④“瓜熟蒂落”描述的事件是不可能事件的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：①“水中捞月”，是不可能事件； ②“守株待兔”，是随机事件； ③“水涨船高”，是必然事件； ④“瓜熟蒂落”，是必然事件； 故选：A． 6．如图，点A，O，B在同一条直线上，，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角平分线的有关计算、利用邻补角互补求角度 【分析】根据，可得，从而得到，再由平分，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：D 【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，邻补角的性质，明确题意，准确得到角与角之间的数量关系是解题的关键． 7．用图1中的正方形和长方形纸片可拼成图2所示的正方形，此拼图过程可以说明一个多项式的因式分解，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方和公式的几何意义，根据图形，结合选项即可得到答案，数形结合，熟记相关代数公式是解决问题的关键． 【详解】解：由图可知，四个图形拼成了正方形，他们面积相等，则 ， 故选：B． 8．匹克球作为一项新兴运动，吸引了大量参与者．丹东市举办了首届匹克球公开赛，标志着我市在新型体育赛事上面迈出了重要一步．小亮同学来到运动场练习发球，在统计后，他发现发球1000次，有效799次，请估计他有效发球的概率大约为（   ） A．0.7 B．0.75 C．0.8 D．0.85 【答案】C 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查了用频率估计概率，熟练掌握是解题的关键． 实验值接近0.8，可以估计概率为0.8． 【详解】解：∵． ∴概率为0.8． 故选：C． 9．如图，在三角形纸片中，，，点是的中点，点是边上一动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的度数为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题考查轴对称的性质，三角形的内角和定理，根据题意，画出示意图，再结合轴对称的性质即可解决问题． 【详解】解：当点在上方时，如图所示， ∵， ∴， 由翻折可知，， ∴， ∵， ∴； 当点在下方时，如图所示， ∵， ∴， 由翻折可知，， ∴， 又∵， ∴． 综上所述，的度数为：或． 故选：D． 10．如图，已知，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA．下面结论：①△ABD≌△EBC；②AC=2CD；③AD=AE=EC；④∠BCE+∠BCD=180°．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【知识点】全等三角形综合问题 【详解】已知BD为△ABC的角平分线，根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD， 在△ABD和△EBC中， BD＝BC，∠ABD＝∠CBD，BE＝BA， 由SAS可判定△ABD≌△EBC，即可得①正确，符合题意； 根据已知条件，无法证明AC=2CD，②错误，不符合题意； 已知BD为△ABC的角平分线，BD=BC，BE=BA，可得∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA， 再由∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA，可得∠DCE=∠DAE，所以AE=EC； 再由△ABD≌△EBC，可得AD=EC， 所以AD=AE=EC，即③正确，符合题意； 由△ABD≌△EBC，可得∠BCE=∠BDA， 所以∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，④正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．若，，则 ． 【答案】1 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了幂的乘方以及同底数幂的除法知识点，解题的关键是将转化为以4为底的幂的形式，再利用同底数幂除法的运算法则进行计算． 先把变形为，根据幂的乘方法则得到，再根据同底数幂的除法法则，用除以，进而求出的值． 【详解】 ，而， ， ， 又 ，根据同底数幂的除法法则为整数)， ，即， ． 故答案为：1． 12．如图，，点E在线段上（不与点B，C重合），连接．若，则 ． 【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点E作，则，进而由平行线的性质得到，则，即． 【详解】解：如图所示，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．先阅读再解答：我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式，实际上还有一些等式也可以用这种方式加以说明，例如： (2a＋b)(a＋b)＝2a2＋3ab＋b2，就可以用图①的面积关系来说明．根据图②写出一个等式： ； 【答案】（a+2b）(2a+b) = 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】仿照图①计算面积的方法进行计算可得结果． 【详解】解：本题主要考查归纳推理方法的应用．本题属基础题．由题意及图，可知 根据图②写出一个等式为：（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2． 故答案为：（a+2b）(2a+b) = 【点睛】本题主要考查归纳推理方法的应用． 14．某水果销售网络平台以2.6元/kg的成本价购进20000kg沃柑．如下表是平台销售部通过随机取样，得到的“沃柑损坏率”统计表的一部分，从而可大约估计每千克沃柑的实际售价定为 元时（精确到0.1），可获得13000元利润．（销售总金额－损耗总金额＝销售总利润） 沃柑总质量 损坏沃柑质量 沃柑损坏的频率（精确到0.001） …… …… …… 100 10.44 0.104 200 19.63 0.098 300 30.62 0.102 400 39.54 0.099 500 50.67 0.101 【答案】3.6 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、由频率估计概率 【分析】从表格中可以看出，沃柑损坏的频率在常数0.1左右摆动，并且随统计量的增加这种规律逐渐明显，易得沃柑的完好率应为．设每千克沃柑的实际售价定为元，根据题意列方程求解即可获得答案． 【详解】解：从表格中可以看出，沃柑损坏的频率在常数0.1左右摆动，并且随统计量的增加这种规律逐渐明显，所以沃柑的完好率应为， 设每千克沃柑的实际售价定为元， 则有， 解得， 所以，可大约估计每千克沃柑的实际售价定为3.6元时，可获得13000元利润． 故答案为：3.6． 【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率、一元一次方程的应用等知识，正确确定沃柑的完好率是解题关键． 15．如图，于点，且，若点是三角形的角平分线的交点，点是的中点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①③④ 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题实质上属于婆罗摩笈多模型，主要考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义，掌握全等三角形的性质与判定，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．利用点是三角形的角平分线的交点，得到，，结合，再利用三角形内角和定理可判断①；通过证明和，得到，分析可知需证明，则需证明是等腰直角三角形，而题目条件无法判断，可判断②；延长至点使得，连接，先证明，进而推出，可判断③；延长交于点，由得到，结合可判断④，即可得出结论． 【详解】解：， ， ， 点是三角形的角平分线的交点， 平分，平分， ，， ， ，故①正确； ，，， ， ，， ， 同理可得：， ，， ， ， 若需证明，则需证明是等腰直角三角形，而题目条件无法判断，故②不正确； 如图，延长至点使得，连接， 点是的中点， ， 又，， ， ，，， ，，， ， ， ， 又，， ， ， ，故③正确； 如图，延长交于点， ， ， ， ， ， ， ，故④正确； 综上所述，其中正确的是①③④． 故答案为：①③④． 评卷人 得分 三、解答题 16．计算： (1)． (2)． (3)（要求用公式简便计算） (4)． 【答案】(1) (2)1 (3)1 (4) 【知识点】整式的混合运算、运用完全平方公式进行运算、负整数指数幂 【分析】本题考查了整式的混合运算，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）按照从左到右的顺序进行计算，即可解答； （2）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （3）利用平方差公式进行计算，即可解答； （4）利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 17．先化简再求值． (1)，其中，； (2)已知，求的值． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】整式四则混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查整式的混合运算，整式的化简求值，根据乘法公式，整式的混合运算化简，代入求值即可，掌握乘法公式，整式的混合运算法则是解题的关键． （1）运用乘法公式化简，再代入求值即可； （2）运用乘法公式将代数式化简，再整体代入计算即可求解． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， ∵， ∴原式． 18．如图，C在上，，．    (1)求证：平分； (2)连接，若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】三角形角平分线的定义、三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质探究角的关系、角平分线的有关计算 【分析】本题考查平行线的性质和三角形外角的性质． （1）根据平行线的性质可得，，结合即可证明； （2）根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴平分； （2）∵平分， ∴， ∵， ∴． 19．2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为，，，．体育老师把这四个项目分别写在四张背面完全相同的卡片上，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)体育老师想从这四张卡片中随机抽取一张，了解该项目在奥运会中的得分标准，恰好抽到（冲浪）的概率是______； (2)体育老师想从中选出两个项目，做成手抄报在学校进行普及．他先从这四张卡片中随机抽取一张不放回，再从剩下的三张卡片（洗匀后）中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是（霹雳舞）和（滑板）的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，正确画出树状图是解题的关键． （1）直接运用概率公式求解即可； （2）先画出树状图，可知共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是（霹雳舞）和（滑板）的结果有2种，最后由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：体育老师想从中随机抽取一张，恰好抽到（冲浪）的概率是； 故答案为：； （2）解：画树状图如下： ， 共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是（霹雳舞）和（滑板）的结果数为2， 体育老师抽到的两张卡片恰好是（霹雳舞）和（滑板）的概率． 20．如图a是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图b的形状，拼成一个正方形． (1)图b中的阴影部分面积为______； (2)观察图b，请你写出三个代数式，，之间的等量关系是______； (3)若，，利用（2）提供的等量关系计算的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，属于基础题，注意仔细观察图形，表示出各图形的面积是关键． （1）表示出阴影部分的边长，即可得出其面积； （2）大正方形的面积等于4个矩形的面积加上阴影部分的面积，可得出三个代数式，，之间的等量关系； （3）根据（2）所得出的关系式，可求出，继而可得出的值． 【详解】（1）图b中的阴影部分面积为； （2）大正方形的面积可以表示为, 大正方形的面积还可以表示为, ∴； （3）由（2）知 将，代入得 ， ， ∴的值为． 21．【问题情境】 （1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，如果，求间的距离． 【探索应用】 （2）如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接（或将绕着点D逆时针旋转得到，把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断，中线的取值范围是什么？并说明理由． 【拓展提升】 （3）如图3，在中，，，，，的延长线交于点F，求证：． 【答案】（1）间的距离为；（2），理由见解析；（3）证明见解析． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，由全等的性质得出； （2）延长到点，使，连接，证明，可得，再由三角形三边关系即可求解； （3）在上截取，易证，得到，，再证明，得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）如图，连接， 在和中， ∵， ∴ ∴， （2）延长到点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴； （3）证明：在上截取， ∵， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 22．问题情境：如图1，，，求的度数．小明的思路是过点P作，通过平行线的性质来求．    (1)按照小明的思路，则的度数为______； (2)问题迁移：如图2，，点P在射线上运动，记，．当点P在B、D两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点P不在B、D两点之间运动时（点P与点O、B、D三点不重合），直接写出与、之间的数量关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)当P在延长线上时，；当P在延长线上时，，理由见解析 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】（1）过点P作，则，根据平行线的性质得出，，据此即可求解； （2）过P作交于E，根据平行线的性质得出，即可得出答案； （3）分两种情况当P在延长线上时，当P在延长线上，分别画出图形，利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：过点P作，如图所示：    ∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：； 解：，理由如下： （2）解：，理由如下： 如图所示，过P作交于E，    ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：当P在延长线上时，；当P在延长线上时，；理由如下： ①如图所示，当P在延长线上时，过点P作，    ∵， ∴， ∴， ∴． ②如图所示，当P在延长线上时，    同理可得； 综上所述：当P在延长线上时，；当P在延长线上时，． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用两直线平行，内错角相等． 23．问题提出：（1）小李和小王在一次学习中遇到了以下问题，如图1，是的中线，若，，求和的取值范围． 他们利用所学知识很快计算出了的取值范围，请你也算一算的取值范围__________．    探究方法：但是他们怎么也算不出的取值范围，于是他们求助于学习小组的同，讨论后发现：延长至点E，使，连接．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取范围． 问题解决：（2）如图2，在中，点E在上，且，过E作，且．求证：平分． 问题拓展：（3）思考：已知，如图3，是的中线，，，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．    【答案】（1）；（2）见解析；（3），；证明见解析 【知识点】确定第三边的取值范围、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据等边对等角证明 【分析】（1）根据三角形三边关系进行解答即可； （2）延长，取，连接，证明，得出，，证明，得出，根据平行线的性质得出，证明，即可得出答案； （3）在上取点H，使，连接，证明，得出，，证明，得出，，即可证明结论． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 即； 故答案为：； （2）延长，取，连接，如图所示：    ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． （3），；证明如下： 在上取点H，使，连接，如图所示：    则， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质，三角形三边关系的应用，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法． 学科网（北京）股份有限公司 $$